第二十六章 二次函数 小结与复习 （分层同步练习·反思性作业单）2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学单元复习同步练，以“分层进阶+反思闭环”设计，通过基础巩固、能力提升、拓展探究三级梯度，实现二次函数从概念理解到综合应用的知识内化，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次函数定义、顶点式、对称轴等单一知识点|15道题覆盖核心概念，如选择题考定义、填空题求顶点坐标，夯实基础| |能力提升|解析式求解、实际问题最值、函数与几何初步结合|8道综合题，如用配方法求顶点、销售利润问题，培养运算与推理能力| |拓展探究|函数变换、复杂几何综合、动态问题|6道挑战题，如函数图象对称变换、动点面积问题，发展创新与模型意识|

第二十六章 二次函数 小结与复习 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆 （30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)，图象是抛物线。 ②顶点式y=a(x-h)²+k：顶点(h,k)，对称轴x=h。 ③a决定开口方向和大小；对称轴x=-b/2a，顶点(-b/2a,(4ac-b²)/4a)。 ④抛物线与x轴交点个数由Δ决定；二次函数可求最值和实际应用。 2. 与本节课相关的旧知识：一次函数、一元二次方程、配方法、图象平移。 3. 预习时遇到的疑问：本章综合性强：解析式、图象、性质、应用相互联系，求最值务必注意自变量范围。。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①顶点坐标和对称轴公式记混。 ②实际问题求最值忽略自变量取值范围。 二、基础随堂自检 （当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 二次函数y=2(x-1)²+3的顶点是____。 2. 抛物线y=x²-4x+3的对称轴是____。 3. y=-x²+2x的最大值是____。 4. 抛物线y=x²与y=2x²中开口较大的是____。 5. y=(x+1)²-2可由y=x²先向__平移__，再向__平移__。 6. 抛物线y=x²-2x-3与x轴交点是____。 7. 二次函数y=ax²+bx+c中，a<0时开口向____。 8. 抛物线y=2x²+bx+3对称轴为y轴，则b=____。 三、分层自主作业 （分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 下列函数中是二次函数的是（　）A.y=2x+1　B.y=2x(x-1)　C.y=2/x　D.y=(x-1)²-x² 2. 抛物线y=-(x-2)²+3的顶点坐标是（　）A.(-2,3)　B.(2,3)　C.(2,-3)　D.(-2,-3) 3. 二次函数y=x²-2x+3的最小值是（　）A.4　B.2　C.1　D.3 4. 抛物线y=2x²先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得解析式是____。 5. 抛物线y=x²-6x+5与x轴交点坐标是____。 6. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图，对称轴为x=1，下列结论正确的是（　）A.abc>0　B.2a+b=0　C.b²-4ac<0　D.a-b+c<0 7. 用配方法求y=2x²-4x+5的顶点坐标和对称轴。 8. 抛物线y=-x²+2x+3，当y>0时x的取值范围是____。 9. 二次函数y=x²-2x-3，当0≤x≤3时y的取值范围是____。 10. 抛物线y=ax²+bx+c经过(0,0)、(1,2)、(-1,-4)，求解析式。 11. 某商品进价40元，售价50元时月销500件，每涨1元少卖10件。设涨价x元，求月利润y与x的关系式。 12. 抛物线y=2x²-4x+1与y轴交点坐标是____。 13. 二次函数y=x²-2mx+1的最小值为0，求m。 14. 若抛物线y=x²+bx+c的顶点为(1,-4)，求b、c。 15. 抛物线y=-2x²+8x-6，求它的开口方向、对称轴、顶点及最值。 ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 已知二次函数y=x²-2x-3。(1)用配方法求顶点坐标和对称轴；(2)求图象与坐标轴的交点；(3)说出开口方向和增减性；(4)当x取何值时y>0？ 解： 2. 已知抛物线y=ax²+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点。(1)求解析式；(2)求顶点坐标；(3)在对称轴上是否存在点P使PA+PC最小？若存在求P。 解： 3. 某商品进价为每件40元。售价为50元时每天可卖500件。售价每涨1元日销量减少10件。(1)设售价为x元，求日利润y与x的关系式；(2)售价定为多少元时日利润最大？最大利润是多少？ 解： 4. 用长为24m的篱笆一面靠墙围成一个矩形养鸡场。(1)设垂直于墙的边长为x m，写出面积S与x的关系式；(2)怎样围面积最大？最大面积是多少？ 5. 已知二次函数y=x²-(m²+2)x+m²。(1)求证：不论m为何值，抛物线与x轴总有两个交点；(2)若两交点横坐标的平方和为6，求m。 解： 6. 如图，抛物线y=-x²+5x+n经过点A(1,0)，与y轴交于点B。(1)求抛物线解析式；(2)P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，求P坐标。 解： 7. 某隧道截面由抛物线和矩形构成。矩形长8m宽2m，抛物线解析式为y=-1/4x²+4。(1)求隧道顶部到地面距离；(2)一辆高4m宽2m的货车能否通过？ 解： 8. 某商店经销一种成本为每千克40元的水产品。若按每千克50元销售，一个月能售500千克；售价每涨1元月销量减少10千克。(1)求月利润y与涨价x的关系式；(2)在月成本不超过10000元的情况下，使月利润达到8000元，求销售单价。 解： ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 已知二次函数y=-x²+2x+3。(1)求顶点D的坐标；(2)求抛物线与x轴交点A、B（A在左）及与y轴交点C；(3)画出函数大致图象；(4)求△BCD的面积；(5)当x取何值时y随x增大而减小？ 解： 2. 已知抛物线y=x²-2x-3。(1)求它关于y轴对称的抛物线解析式；(2)求它关于x轴对称的抛物线解析式；(3)求它关于原点对称的抛物线解析式。 解： 3. 某跳水运动员从10m跳台跳水，高度h(m)与时间t(s)满足h=-5t²+5t+10。(1)几秒后入水？(2)几秒时达到最大高度？最大高度是多少？ 解： 4. 已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)，与y轴交于C(0,3)。(1)求解析式；(2)设抛物线顶点为D，求四边形ACDB的面积；(3)在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为8？若存在求P。 解： 5. 某企业设计了一款工艺品，每件成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销。据市场调查：销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本。(1)求每天的销售利润y元与销售单价x元的关系式；(2)销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 解： 6. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)三点。(1)求这个二次函数的解析式；(2)求顶点D的坐标；(3)若点M在y轴上，且△BCM是以BC为直角边的直角三角形，求点M的坐标。 解： 四、自习后置复盘 （2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用 （可选·素养） 1. 某商品的进价为每件40元。售价为每件50元时，每月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每月少卖10件（每件售价不能高于65元）。设每件商品的售价上涨x元，每月的利润为y元。(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？ 解： 2. 如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm。点P从A沿AB向B以1cm/s移动，点Q从B沿BC向C以2cm/s移动。(1)若P、Q同时出发，写出四边形APQC的面积S与时间t的关系式；(2)当t为何值时S最小？最小值是多少？ 解： 3. 某商场销售某种品牌的纯牛奶，进价为每箱40元，售价在40～70元之间。市场调查：若每箱以50元销售，每天可售90箱；价格每降低1元每天多售3箱，每升高1元每天少售3箱。(1)求每天利润w与售价x的关系式；(2)当每箱售价为多少元时每天利润最大？最大利润是多少？ 解： 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 第二十六章 二次函数 小结与复习 参考答案 一、自习前置速忆 二次函数：图象抛物线、顶点式、对称轴、最值、应用。 二、基础随堂自检 1.(1,3)　2.x=2　3.1　4.y=x²　5.左1下2　6.(-1,0)(3,0)　7.下　8.0 三、分层自主作业 ★ 基础巩固 1.B　2.B　3.B　4.y=2(x-1)²+3　5.(1,0)(5,0)　6.B　7.(1,3),x=1　8.-1<x<3　9.-4≤y≤0　10.y=-x²+2x+3　11.y=-10x²+400x+5000　12.(0,1)　13.m=±1　14.b=-2,c=-3　15.向下，x=2，(2,2)，最大值2 ★★ 能力提升 1.(1)(1,-4),x=1；(2)x轴(-1,0)(3,0)，y轴(0,-3)；(3)向上左减右增；(4)-1<x<3　2.(1)y=-x²+2x+3；(2)(1,4)；(3)(1,2)　3.(1)y=-10x²+1400x-40000；(2)70元，9000元　4.(1)S=x(24-2x)；(2)x=6，72m²　5.(1)Δ=4>0；(2)m=±1　6.(1)y=-x²+5x-4；(2)(0,√17-1)等　7.(1)4m；(2)能　8.(1)y=-10x²+400x+5000；(2)80元 ★★★ 拓展探究 1.(1)(1,4)；(2)A(-1,0)B(3,0)C(0,3)；(3)略；(4)3；(5)x>1　2.(1)y=x²+2x-3；(2)y=-x²+2x+3；(3)y=-x²-2x+3　3.(1)2s；(2)0.5s，11.25m　4.(1)y=-x²+2x+3；(2)9；(3)(1±√8,4)　5.(1)y=-5x²+800x-27500；(2)80元，4500元　6.(1)y=x²-2x-3；(2)(1,-4)；(3)M(0,-1)或(0,-9) 五、学以致用 1.(1)y=-10x²+110x+2100(0≤x≤15)；(2)55元，2400元　2.(1)S=200-2t²+30t；(2)7.5s，87.5cm²　3.(1)w=-3x²+480x-18000；(2)80元，1200元 学科网（北京）股份有限公司 $