第4章 数据的集中趋势和离散程度（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材苏科版九年级上册

第4章 数据的集中趋势和离散程度（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B D B D A B 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．7 10．10 11． 12．81 13． 14． 15．乙 16．B 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17． 分位数为，分位数为 【详解】解 将数据从小到大排列得：，，，，，，，，，，，，，，，数据总个数 计算分位数的位置 ， 不是整数，向上取整得，因此分位数为排列后的第个数据，即 计算分位数的位置 ， 是整数，因此分位数为第个数据和第个数据的平均值， ∴ ，即分位数为．------------------3分 18．(1) (2) 能推测他的成绩超过这次比赛中一半以上选手的成绩 【详解】（1）解：将12个数据从小到大排列为： ∵数据个数为12，是偶数 ∴中位数为第6个和第7个数据的平均数，即．------------------2分 （2）解：因为将12名选手的用时从小到大排列，得样本数据的中位数为， 用样本估计总体，可知这次比赛中约有一半选手的用时少于， 由于，该选手用时小于中位数，因此他的成绩超过一半以上选手的成绩．------------------5分 19．分 【详解】解：（分）， 答：该企业的最终成绩为80分．------------------5分 20．(1)A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群(答案合理即可) (2)A组有可能是青年组 【详解】（1）解：由图可知，A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群(答案合理即可)；------------------2分 （2）解：由图可知，A年龄段的人群晚上休息时间比于B年龄段人群晚，而表青年人晚上休息时间普遍晚于老年人， 所以A组有可能是青年组．------------------5分 21．(1)5和4 (2)李越宏轮得分的方差为分 【详解】（1）解：李越宏的8轮成绩分别为5分，3分，4分，2分，4分，5分，4分，5分， 其中数据5和4各出现了3次，且出现次数最多， ∴众数为5和4， 故答案为：5和4；------------------2分 （2）解：∵平均得分为：（分）， ∴ （分）， 答：李越宏轮得分的方差为分．------------------5分 22．(1)由表1估计该校学生平均课外阅读时间为，由表2估计为 【详解】（1）解：对于表1，各组组中值依次为，，，，，11． 估计平均课外阅读时间为 对于表2，各组组中值依次为，，10． 估计平均课外阅读时间为 ------------------4分 （2）两个表估计的结果不同，用表1估计更合适．因为表1分组更细，组中值对组内数据平均水平的代表性更强，估计误差更小------------------6分 23．(1)50名； (2)落在分数段内 (3)该校九年级绝大多数学生掌握了网络安全知识．（答案不唯一） 【详解】（1）解： 抽样总人数： （名）， 100分及以上人数：（名） 所占百分比：， 答：被抽样的学生有50名，100分及以上的人数占被抽样人数的；------------------2分 （2）解：样本共50个数据，中位数为从小到大排序后第25、26个数据的平均数， 累计频数： ， ， 前5组共有19个数据，第20～33个数据落在分数段， 因此第25、26个数据落在分数段， 答：估计这500名学生本次检测成绩的中位数落在分数段内．------------------4分 （3）解：评价示例（任选一条） ① 样本中 72 分及以上合格人数：，合格率很高，说明该校九年级绝大多数学生掌握了网络安全知识． ② 100 分及以上的学生占抽样人数的 ，高分学生占比较多． ③ 只有少数学生成绩低于 72 分，需要对这部分学生进行针对性辅导．------------------6分 24．(1)A组：，，； B组：，，； 【详解】（1）解：方法一：的位置为，是第3项和第4项数据的平均数； 的位置为，是第6项和第7项数据的平均数； 的位置为，是第9项和第10项数据的平均数． A组排序后数据为：6.4，6.9，7.1，7.5，7.9，8.3，8.4，8.8，8.9，9.4，9.6，9.8， ，，， B组：排序后数据为：7.5，7.7，8.0，8.2，8.4，8.5，8.6，8.6，8.8，9.0，9.1，9.2， ，，， 方法二：A组排序后数据为：6.4，6.9，7.1，7.5，7.9，8.3，8.4，8.8，8.9，9.4，9.6，9.8， 前6个数中间的数为7.1，7.5，中间两个数为8.3，8.4，后6个数中间的数为8.9，9.4， ∴，，， B组：排序后数据为：7.5，7.7，8.0，8.2，8.4，8.5，8.6，8.6，8.8，9.0，9.1，9.2， 前6个数中间的数为8.0，8.2，中间两个数为8.5，8.6，后6个数中间的数为8.8，9.0， ，，；------------------4分 （2）解：B组更有可能是专业人员组成的评委组．理由：专业评委对合唱的打分标准更统一，分数会更集中、波动更小．从数据和箱线图能看出：A组的分数范围是，四分位距（）为；B组的分数范围是，四分位距仅为，B组打分的整体离散程度远小于A组，分数更集中，符合专业评委打分的特征．------------------6分 25．(1)采取措施前后汽车的平均流量没有变化，均为千辆 (2)采取措施前的方差为，采取措施后的方差为；采取的措施有效 【详解】（1）采取措施前的平均流量为（千辆）， 采取措施后的平均流量为（千辆）， 答：采取措施前、后汽车的平均流量没有变化；------------------2分 （2）解：采取措施前的方差为， 采取措施后的方差为， 由于采取措施后的方差小于采取措施前的方差，说明流量平稳，所以采取的措施有一定的效果．------------------6分 26．(1) (2) (3)小明不可以游到的位置； 【详解】（1）解：从到匀速行驶，汽车在该时间段内的平均速度为， ∴该时间段行驶的路程为； 从到汽车的速度随着时间均匀减小，因此汽车在该时间段内的平均速度为， 该时间段行驶的路程为； ∴小丽驾车从到共行驶；------------------3分 （2）解：根据题意，得游泳的水平速度抵消水流速度， 故， ，且， ， ， ；------------------6分 （3）解：∵水流速度恒定， ∴水平方向的速度恒定，而竖直方向的速度逐渐减少， ∴相同时间内垂直位移增量越来越小，因此轨迹向上凸，位于直线左侧， 故小明的游泳轨迹可能是； 解：小明不可以游到的位置； 设小明到达对岸所用时间为，则小明到达对岸时的速度为， 故小明的平均速度为：， 小明游过的竖直距离为：， 解得：或， ， 不符合要求，舍去， 故， ．------------------10分 27．(1)8；3；；------------------3分 (2)补全条形图和扇形图如下： ------------------5分 (3)；230------------------7分 (4)54人------------------9分 (5)看法：分组数增加时，每个组内的数据量会变少，组内数据的相似度会提升，组内离差平方和会持续降低，但组数过多会让各组数据过于零散，无法体现立定跳远成绩的分布规律，掩盖不同水平群体的特征，还会大幅增加数据处理的冗余度，失去分组统计的实际意义； 根据这组立定跳远数据的特征，分为组‌最为合适，理由如下： 这组数据的分布存在明显的低分段（）、中低分段（）、中高分段（）、高分段（），4组可以清晰对应不同运动水平的群体，既保证每组内成绩接近、组内离差平方和足够小，也能直观呈现整体的成绩分布特征．------------------11分 【详解】（1）解：由表格数据可知，的有8人，的有3人， ∴，， ∵，， ∴，； （2）解：略 （3）解：方差； 20个数据从小到大排列：162 165 167 203 205 208 210 210 210 210 212 220 223 225 228 232 235 236 238 241， 后十位为212 220 223 225 228 232 235 236 238 241，则第三四分位数为（取中位数计算）：， ，则第三四分位数为（取百分数计算）：， ∴； （4）解：（人）， 答：估计八年级男生立定跳远等级为优秀的有54人； （5）解：略 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 数据的集中趋势和离散程度（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．某校规定学生的学期数学成绩由平时、期中、期末三部分组成，权重分别为．小明平时、期中、期末成绩依次为90分、85分、92分，则他的学期数学成绩为（     ） A．89分 B．89.5分 C．90分 D．90.5分 2．四位同学练习投实心球，每人投3次．下图记录了他们每人投球的情况，3次投球的平均成绩最接近的同学是（     ） A．小伟 B．小军 C．小华 D．小亮 3．一次学校田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩（m） 1.30 1.35 1.40 1.45 1.47 1.50 人数 1 2 4 3 3 2 这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（     ） A．1.40，1.40 B．1.45，1.40 C．1.425，1.40 D．1.40，1.45 4．赵县雪花梨是河北石家庄赵县的特产，甲、乙、丙、丁四个果篮中10个雪花梨的平均质量与方差如下表所示，若要挑选一个单果质量大且雪花梨大小均匀的果篮，则应选（     ） 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量/g 392 401 405 405 方差 0.3 1.5 1.2 0.4 A．甲果篮 B．乙果篮 C．丙果篮 D．丁果篮 5．把数据2，4，6，9，10分成与两组，则组内离差平方和是（     ） A．8.2 B．8.5 C．8.7 D．8.8 6．将某组数据绘制成箱线图如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．最大值是180，最小值是120 B．中位数是150 C．第一四分位数是140 D．四分位距是60 7．某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示，下列说法正确的是（     ） 年龄（岁） 62 50 43 32 30 28 25 人数（人） 2 3 3 5 2 4 1 A．这20人年龄的下四分位数是29岁 B．这20人年龄的上四分位数是29岁 C．这20人年龄的中位数是31岁 D．这20人年龄的众数是5人 年龄（岁） 25 28 30 32 43 50 62 人数（人） 1 4 2 5 3 3 2 8．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为7，9，12，13，15．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（     ） 分组情况 组内离差平方和 第一组4个，第二组1个 22.8 第一组3个，第二组2个 14.7 第一组2个，第二组3个 6.7 第一组1个，第二组4个 18.8 A．和 B．和 C．和 D．和 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．一组数据4，6，3，x，2，8的平均数是5，则x的值为_______． 10．已知一组数据66，67，，69，70的方差是2，则这组数据的离差平方和是________． 11．某市8月某周的空气质量指数（AQI）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为________ 12．2026年4月，湖南省首届版画展中，某参展的作品在“视觉吸引”、“启发思考”、“社会责任”三方面的具体评比成绩（百分制：分）如表所示： 视觉吸引 启发思考 社会责任 90 80 70 如果按照“视觉吸引”占，“启发思考”占，“社会责任”占计算总成绩，那么该作品得分是______分． 13．甲、乙两地月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这天中日平均气温的方差与的大小关系是_____．（填“”或“”） 14．八（1）班若干名学生1分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则这若干名学生平均1分钟跳绳的次数是________． 15．拟派一名射击运动员参加一项比赛，对甲、乙两名射击运动员进行了次选拔比赛，他们成绩的箱线图如图所示．经预测，射击成绩为环及以上就能入围决赛，在这项比赛中为了取得较好的名次，应派________运动员参加比赛． 16．锦凌中学准备优化师生的配餐菜品，现在对A、B、C三个套餐进行评估，各项得分如下表：（单位：分） 套餐 营养均衡度 口味接受度 价格合理度 A 8 9 8 B 9 8 8 C 7 9 9 若规定营养均衡度、口味接受度、价格合理度在总分中所占的比例分别为、、，则三项得分的加权平均数最高的是___________．（填“A”“B”或“C”） 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17．求下列这组数据的分位数和分位数． 15    18    22    22    25    26    29    31    32    33    35    36    38    42    43 18．在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取12名选手所用的时间（单位：）如下： 136  140  129  180  124  154  146  145  158  175  165  148 (1)这组样本数据的中位数是多少？ (2)一名选手所用的时间是，推测他的成绩是否超过这次比赛中一半以上选手的成绩？ 19．某企业参加“科技创新，企业百强”评选活动，已知该企业的创新能力、创新价值和创新影响三项得分（百分制）分别为80分，90分，70分，若将这三项得分依次按照，，的比例确定最终成绩，求该企业的最终成绩． 20．小明抽样调查了两个不同年龄段的人群晚上休息的时间，制作了如下统计图： (1)这两个年龄段的人群晚上休息的时间有什么特点？ (2)如果一组是青年组，另一组是老年组，那么你认为哪组有可能是青年组？ 21．北京时间8月5日分，巴黎奥运射击男子25米手枪速射决赛正式开始，中国选手李越宏40枪得到32分，领先第二名7分，拿到金牌，在连续两届奥运会获得铜牌后，终于圆梦，这也是中国射击本届奥运会的第五枚金牌，也是中国代表团的第20枚金牌，比赛分为8轮，每轮5枪，9.7环以上视为命中，命中1枪得1分．李越宏的8轮成绩分别为5分，3分，4分，2分，4分，5分，4分，5分 (1)李越宏的8轮成绩的众数为 ； (2)求李越宏8轮得分的方差． 22．学校为了解学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一星期课外阅读的时间，用了两个不同的表进行统计． 表1 课外阅读时间 人数 2 6 23 11 5 3 表2 课外阅读时间 人数 8 34 8 (1)根据表1和表2分别估计这所学校所有学生的平均课外阅读时间． (2)用这两个表估计的结果相同吗？如果不同，用哪个表估计更合适？为什么？ 23．某校为了解九年级500名学生对网络安全知识的掌握情况，组织了一次检测（满分120分，成绩均为整数，72分及以上为“合格”），采用简单随机抽样的方法从中抽取了部分学生的检测成绩进行分析，绘制成如图所示的频数分布直方图． (1)被抽样的学生有多少名？其中100分及以上的人数占被抽样人数的百分比是多少？ (2)估计这500名学生本次检测成绩的中位数落在哪个分数段内． (3)对这500名学生本次检测的总体情况做出评价．（写出一条即可） 24．某电视台组织国庆节合唱节目评选活动，由12名观众代表和12名专业人员组成两个评委组．下面是两个评委组对同一个合唱队的打分表（满分10分，按从小到大的顺序排列）及其箱线图． 评委 分数 A组 6.4 6.9 7.1 7.5 7.9 8.3 8.4 8.8 8.9 9.4 9.6 9.8 B组 7.5 7.7 8.0 8.2 8.4 8.5 8.6 8.6 8.8 9.0 9.1 9.2 (1)分别求两个评委组所打分数的四分位数． (2)观察两个评委组所打的分数及其箱线图，判断哪个组更有可能是专业人员组成的评委组．说说理由． 25．为了缓解上班高峰时道路交通的压力，某市政府采取了错时上下班的措施．从6：30到9：00，分成5个时间段，每段．在一条主干道上，分别观测了采取措施前后各时间段通过的汽车数量X和Y（单位：千辆），如下表： 时间段 X 1.8 2.5 3.5 2.0 1.6 Y 1.4 2.0 2.5 3.0 2.5 (1)采取措施前后，汽车的平均流量有变化吗？ (2)分别计算两组数据的方差，你认为采取的措施是否有效？ 26．知识回顾： 方法指导 如果物体的运动速度随着时间均匀增加（或减少），那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数．例如，由图象可知，第到第汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为，该时间段行驶的路程为 (1)如图，小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第x时的速度为，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系．根据上述方法指导，小丽驾车从到共行驶______ (2)知识应用：如图，一条河宽度，小明欲从处游到对岸，水流速度为，小明游泳速度．（注：表示小明在水平方向上的速度，表示小明在垂直方向上的速度，表示小明斜向游泳的速度，且），小明为了游到正对岸的位置，心里想：我必须向着上游方向出发，使得游泳的水平速度抵消水流速度；最终通过调整出发方向与河岸的夹角，求小明到达点，所用的时间； (3)实际情况下，如图小明由于体力消耗，速度会减小，假设速度每秒衰减，为了游到对岸，小明改变策略但始终保持和对岸垂直的方向游泳． 小明的游泳轨迹可能是______（选择，，，其中一个） 小明可以游到的位置吗？如果能，请说明理由；如果不能，请求出小明实际到对岸的位置与的距离． 27．立定跳远是一项集弹跳、爆发力、身体协调性和技术等于一体的体育运动，其等级评价表如下： 立定跳远等级 男生成绩 女生成绩 优秀 良好 及格 不及格 【收集数据】某校为调查八年级男生的立定跳远水平，在该年级中随机抽取了20名男生立定跳远的成绩（单位：），数据收集如下： 235 210 210 228 205 241 203 210 232 162 223 225 208 165 238 212 236 167 220 210 【整理数据】将以上数据进行整理： 成绩 立定跳远等级 人数 百分比 优秀 6 良好 及格 不及格 3 【描述数据】根据整理的数据绘制如下统计图： 【分析数据】根据上述图表，计算平均数、中位数、众数、方差、四分位数如下： 平均数 中位数 众数 方差 四分位数 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 212 211 210 206.5 211 请根据以上图表中的信息，完成下列问题： (1)______，______，______，______； (2)补全条形图和扇形图； (3)______，______； (4)若八年级男生共有180人，估计八年级男生立定跳远等级为优秀的有多少人？ (5)对于样本中的20个立定跳远成绩数据，有人认为根据组内离差平方和最小原则，分组数越多越好，也有人认为分组数不宜过多．请结合统计学知识，谈谈你的看法，并说明在本题中分为几组更合适，理由是什么． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 数据的集中趋势和离散程度（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．某校规定学生的学期数学成绩由平时、期中、期末三部分组成，权重分别为．小明平时、期中、期末成绩依次为90分、85分、92分，则他的学期数学成绩为（     ） A．89分 B．89.5分 C．90分 D．90.5分 【答案】B 【详解】解：， 小明的学期数学成绩为（分）． 2．四位同学练习投实心球，每人投3次．下图记录了他们每人投球的情况，3次投球的平均成绩最接近的同学是（     ） A．小伟 B．小军 C．小华 D．小亮 【答案】A 【分析】利用平均数反映数据集中趋势的特点，通过观察数据点相对于基准线的分布位置进行估算． 【详解】解：观察图形可知，小军、小华、小亮的投球成绩点主要分布在线的左侧， ∴他们的平均成绩明显小于， 而小伟的投球成绩点分布在线的两侧，且偏离程度较小， ∴小伟的平均成绩最接近． 3．一次学校田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩（m） 1.30 1.35 1.40 1.45 1.47 1.50 人数 1 2 4 3 3 2 这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（     ） A．1.40，1.40 B．1.45，1.40 C．1.425，1.40 D．1.40，1.45 【答案】B 【详解】解：总人数为，中位数为从小到大排序后第个数据. ∵成绩为、、的人数和为， ∴第个数据对应成绩为，即中位数是； ∵成绩为的人数最多，共人， ∴众数是. 4．赵县雪花梨是河北石家庄赵县的特产，甲、乙、丙、丁四个果篮中10个雪花梨的平均质量与方差如下表所示，若要挑选一个单果质量大且雪花梨大小均匀的果篮，则应选（     ） 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量/g 392 401 405 405 方差 0.3 1.5 1.2 0.4 A．甲果篮 B．乙果篮 C．丙果篮 D．丁果篮 【答案】D 【分析】从平均质量和方差两个维度依次筛选即可； 【详解】解：先比较平均质量，四个果篮平均质量：，丙和丁的平均质量最大， 满足“单果质量大”的要求，排除甲、乙， 再比较丙和丁的方差：，丁的方差更小，说明丁果篮的雪花梨大小更均匀， 因此应选丁果篮． 5．把数据2，4，6，9，10分成与两组，则组内离差平方和是（     ） A．8.2 B．8.5 C．8.7 D．8.8 【答案】B 【分析】组内离差平方和为每组数据中各数据与本组均值的差的平方的总和，分别计算两组的离差平方和后再求和． 【详解】解：第一组的平均数为，组内离差平方和为； 第二组的平均数为，组内离差平方和为； ∴总组内离差平方和为． 6．将某组数据绘制成箱线图如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．最大值是180，最小值是120 B．中位数是150 C．第一四分位数是140 D．四分位距是60 【答案】D 【分析】定位箱线图各统计量的位置，读取最大值、最小值、中位数及四分位数． 【详解】解：由箱线图可知，最大值为180，最小值为120，中位数为150 ，第一四分位数为140 ，第三四分位数为163， ∴四分位距为． 7．某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示，下列说法正确的是（     ） 年龄（岁） 62 50 43 32 30 28 25 人数（人） 2 3 3 5 2 4 1 A．这20人年龄的下四分位数是29岁 B．这20人年龄的上四分位数是29岁 C．这20人年龄的中位数是31岁 D．这20人年龄的众数是5人 【答案】A 【分析】将年龄从小到大排列，确定各位置对应的年龄后，结合各统计量的定义计算判断． 【详解】解：将年龄从小到大排列如下： 年龄（岁） 25 28 30 32 43 50 62 人数（人） 1 4 2 5 3 3 2 A、解法一：下四分位数即分位数，， 为第5个和第6个数据的平均数， 即，故A正确； 解法二：共有20个数据，中位数为， 下四分位数为前半部分的中位数， 即，故A正确； B、解法一：上四分位数即分位数，， 为第15个和第16个数据的平均数， 即，故B错误； 解法二：共有20个数据，中位数为， 上四分位数为后半部分的中位数， 即，故B错误； C、， 中位数为第10个和第11个数据的平均数，， 即中位数为32，故C错误； D、众数是出现次数最多的年龄，为32岁，故D错误． 8．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为7，9，12，13，15．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（     ） 分组情况 组内离差平方和 第一组4个，第二组1个 22.8 第一组3个，第二组2个 14.7 第一组2个，第二组3个 6.7 第一组1个，第二组4个 18.8 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：将5名同学的引体向上个数从小到大排列为， 比较组内离差平方和：， 其中最小值对应第一组2个、第二组3个的分法， 要使组内个数相差较小，需将连续的数分为一组， 即分组为和． 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．一组数据4，6，3，x，2，8的平均数是5，则x的值为_______． 【答案】7 【分析】明确平均数的计算公式，因为已知这组数据的平均数，所以可以列出关于的一元一次方程．先计算已知数据的和，代入平均数公式，求解方程得到的值． 【详解】由平均数的定义得， 即， ∴． 10．已知一组数据66，67，，69，70的方差是2，则这组数据的离差平方和是________． 【答案】10 【分析】根据方差公式，方差等于离差平方和除以数据个数，已知方差和数据个数，可直接计算得结果． 【详解】解：∵这组数据共有个，方差为，方差等于离差平方和除以数据个数， ∴离差平方和． 11．某市8月某周的空气质量指数（AQI）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为________ 【答案】 【分析】根据箱线图的分布特点即可解答． 【详解】解：箱线图数据分布如下： 观察箱线图可知下四分位数为． 12．2026年4月，湖南省首届版画展中，某参展的作品在“视觉吸引”、“启发思考”、“社会责任”三方面的具体评比成绩（百分制：分）如表所示： 视觉吸引 启发思考 社会责任 90 80 70 如果按照“视觉吸引”占，“启发思考”占，“社会责任”占计算总成绩，那么该作品得分是______分． 【答案】81 【详解】解：由题意，该作品得分是（分）． 13．甲、乙两地月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这天中日平均气温的方差与的大小关系是_____．（填“”或“”） 【答案】 【分析】由折线统计图可以看出，甲的气温波动较大，乙的气温波动较小，所以甲的方差大于乙的方差． 【详解】解：由折线统计图可知，甲的气温波动较大，乙的气温波动较小， ． 14．八（1）班若干名学生1分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则这若干名学生平均1分钟跳绳的次数是________． 【答案】 【分析】从频数分布直方图中读出各组的频数，取各组的组中值作为该组数据的代表值，利用加权平均数公式进行计算． 【详解】解：由图可知，各组的组中值分别为：，，，， 对应的频数分别为，，，， ∴这若干名学生平均分钟跳绳的次数是：． 15．拟派一名射击运动员参加一项比赛，对甲、乙两名射击运动员进行了次选拔比赛，他们成绩的箱线图如图所示．经预测，射击成绩为环及以上就能入围决赛，在这项比赛中为了取得较好的名次，应派________运动员参加比赛． 【答案】乙 【分析】根据箱线图中，箱体代表数据中间的成绩，箱体位置越高，高分成绩占比越多判断即可． 【详解】解：甲：中位数约为6.2，大量成绩低于7环，最低仅3环，高分段少； 乙：中位数约为7.2，箱体整体高于甲，7环及以上的成绩数量更多，下限 5 环、上限 9 环，高分表现更稳定， ∴应派乙运动员参赛． 故答案为：乙． 16．锦凌中学准备优化师生的配餐菜品，现在对A、B、C三个套餐进行评估，各项得分如下表：（单位：分） 套餐 营养均衡度 口味接受度 价格合理度 A 8 9 8 B 9 8 8 C 7 9 9 若规定营养均衡度、口味接受度、价格合理度在总分中所占的比例分别为、、，则三项得分的加权平均数最高的是___________．（填“A”“B”或“C”） 【答案】B 【分析】根据加权平均数的计算方法，分别求出三个套餐的加权得分，比较大小即可得到结果． 【详解】解：分别计算三个套餐的加权平均数： 套餐A的得分：（分）； 套餐B的得分：（分）； 套餐C的得分：（分）； ∵， ∴加权平均数最高的是B． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17．求下列这组数据的分位数和分位数． 15    18    22    22    25    26    29    31    32    33    35    36    38    42    43 【答案】 分位数为，分位数为 【分析】先计算百分位数对应的位置，根据是否为整数确定百分位数的值． 【详解】解 将数据从小到大排列得：，，，，，，，，，，，，，，，数据总个数 计算分位数的位置 ， 不是整数，向上取整得，因此分位数为排列后的第个数据，即 计算分位数的位置 ， 是整数，因此分位数为第个数据和第个数据的平均值， ∴ ，即分位数为． 18．在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取12名选手所用的时间（单位：）如下： 136  140  129  180  124  154  146  145  158  175  165  148 (1)这组样本数据的中位数是多少？ (2)一名选手所用的时间是，推测他的成绩是否超过这次比赛中一半以上选手的成绩？ 【答案】(1) (2) 能推测他的成绩超过这次比赛中一半以上选手的成绩 【分析】（1）对样本数据排序后，结合偶数个数据的中位数定义计算； （2）用样本中位数估计总体中等水平，比较选手用时与中位数的大小判断． 【详解】（1）解：将12个数据从小到大排列为： ∵数据个数为12，是偶数 ∴中位数为第6个和第7个数据的平均数，即． （2）解：因为将12名选手的用时从小到大排列，得样本数据的中位数为， 用样本估计总体，可知这次比赛中约有一半选手的用时少于， 由于，该选手用时小于中位数，因此他的成绩超过一半以上选手的成绩． 19．某企业参加“科技创新，企业百强”评选活动，已知该企业的创新能力、创新价值和创新影响三项得分（百分制）分别为80分，90分，70分，若将这三项得分依次按照，，的比例确定最终成绩，求该企业的最终成绩． 【答案】分 【分析】用对应项的得分乘以其权重，然后求和即可得到答案． 【详解】解：（分）， 答：该企业的最终成绩为80分． 20．小明抽样调查了两个不同年龄段的人群晚上休息的时间，制作了如下统计图： (1)这两个年龄段的人群晚上休息的时间有什么特点？ (2)如果一组是青年组，另一组是老年组，那么你认为哪组有可能是青年组？ 【答案】(1)A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群(答案合理即可) (2)A组有可能是青年组 【分析】本题考查了箱线图，能从箱线图获取信息是解题的关键． （1）观察箱线图，A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群； （2）根据箱线图并结合实际情况即可得出结论． 【详解】（1）解：由图可知，A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群(答案合理即可)； （2）解：由图可知，A年龄段的人群晚上休息时间比于B年龄段人群晚，而表青年人晚上休息时间普遍晚于老年人， 所以A组有可能是青年组． 21．北京时间8月5日分，巴黎奥运射击男子25米手枪速射决赛正式开始，中国选手李越宏40枪得到32分，领先第二名7分，拿到金牌，在连续两届奥运会获得铜牌后，终于圆梦，这也是中国射击本届奥运会的第五枚金牌，也是中国代表团的第20枚金牌，比赛分为8轮，每轮5枪，9.7环以上视为命中，命中1枪得1分．李越宏的8轮成绩分别为5分，3分，4分，2分，4分，5分，4分，5分 (1)李越宏的8轮成绩的众数为 ； (2)求李越宏8轮得分的方差． 【答案】(1)5和4 (2)李越宏轮得分的方差为分 【分析】本题考查了众数，方差，平均数，熟练掌握方差公式是解题的关键． （）根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数求解即可； （）先求得数据的平均数，再利用方差公式求解即可． 【详解】（1）解：李越宏的8轮成绩分别为5分，3分，4分，2分，4分，5分，4分，5分， 其中数据5和4各出现了3次，且出现次数最多， ∴众数为5和4， 故答案为：5和4； （2）解：∵平均得分为：（分）， ∴ （分）， 答：李越宏轮得分的方差为分． 22．学校为了解学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一星期课外阅读的时间，用了两个不同的表进行统计． 表1 课外阅读时间 人数 2 6 23 11 5 3 表2 课外阅读时间 人数 8 34 8 (1)根据表1和表2分别估计这所学校所有学生的平均课外阅读时间． (2)用这两个表估计的结果相同吗？如果不同，用哪个表估计更合适？为什么？ 【答案】(1)由表1估计该校学生平均课外阅读时间为，由表2估计为 (2)两个表估计的结果不同，用表1估计更合适．因为表1分组更细，组中值对组内数据平均水平的代表性更强，估计误差更小 【分析】(1)利用组中值计算加权平均数，用样本平均数估计总体平均阅读时间． (2)根据分组的精细程度判断估计结果的准确性． 【详解】（1）解：对于表1，各组组中值依次为，，，，，11． 估计平均课外阅读时间为 对于表2，各组组中值依次为，，10． 估计平均课外阅读时间为 （2）略 23．某校为了解九年级500名学生对网络安全知识的掌握情况，组织了一次检测（满分120分，成绩均为整数，72分及以上为“合格”），采用简单随机抽样的方法从中抽取了部分学生的检测成绩进行分析，绘制成如图所示的频数分布直方图． (1)被抽样的学生有多少名？其中100分及以上的人数占被抽样人数的百分比是多少？ (2)估计这500名学生本次检测成绩的中位数落在哪个分数段内． (3)对这500名学生本次检测的总体情况做出评价．（写出一条即可） 【答案】(1)50名； (2)落在分数段内 (3)该校九年级绝大多数学生掌握了网络安全知识．（答案不唯一） 【分析】（1）将各组频数相加求出样本容量；根据横轴分组，分以上即为100分及以上，计算该部分人数占比． （2）50个数据的中位数是第25、26位，依次累加频数，判断这两个数据所在区间． （3）结合样本的合格率、高分段占比，对整体成绩做简单合理描述． 【详解】（1）解： 抽样总人数： （名）， 100分及以上人数：（名） 所占百分比：， 答：被抽样的学生有50名，100分及以上的人数占被抽样人数的； （2）解：样本共50个数据，中位数为从小到大排序后第25、26个数据的平均数， 累计频数： ， ， 前5组共有19个数据，第20～33个数据落在分数段， 因此第25、26个数据落在分数段， 答：估计这500名学生本次检测成绩的中位数落在分数段内． （3）解：评价示例（任选一条） ① 样本中 72 分及以上合格人数：，合格率很高，说明该校九年级绝大多数学生掌握了网络安全知识． ② 100 分及以上的学生占抽样人数的 ，高分学生占比较多． ③ 只有少数学生成绩低于 72 分，需要对这部分学生进行针对性辅导． 24．某电视台组织国庆节合唱节目评选活动，由12名观众代表和12名专业人员组成两个评委组．下面是两个评委组对同一个合唱队的打分表（满分10分，按从小到大的顺序排列）及其箱线图． 评委 分数 A组 6.4 6.9 7.1 7.5 7.9 8.3 8.4 8.8 8.9 9.4 9.6 9.8 B组 7.5 7.7 8.0 8.2 8.4 8.5 8.6 8.6 8.8 9.0 9.1 9.2 (1)分别求两个评委组所打分数的四分位数． (2)观察两个评委组所打的分数及其箱线图，判断哪个组更有可能是专业人员组成的评委组．说说理由． 【答案】(1)A组：，，； B组：，，； (2)解：B组更有可能是专业人员组成的评委组．理由：专业评委对合唱的打分标准更统一，分数会更集中、波动更小．从数据和箱线图能看出：A组的分数范围是，四分位距（）为；B组的分数范围是，四分位距仅为，B组打分的整体离散程度远小于A组，分数更集中，符合专业评委打分的特征． 【详解】（1）解：方法一：的位置为，是第3项和第4项数据的平均数； 的位置为，是第6项和第7项数据的平均数； 的位置为，是第9项和第10项数据的平均数． A组排序后数据为：6.4，6.9，7.1，7.5，7.9，8.3，8.4，8.8，8.9，9.4，9.6，9.8， ，，， B组：排序后数据为：7.5，7.7，8.0，8.2，8.4，8.5，8.6，8.6，8.8，9.0，9.1，9.2， ，，， 方法二：A组排序后数据为：6.4，6.9，7.1，7.5，7.9，8.3，8.4，8.8，8.9，9.4，9.6，9.8， 前6个数中间的数为7.1，7.5，中间两个数为8.3，8.4，后6个数中间的数为8.9，9.4， ∴，，， B组：排序后数据为：7.5，7.7，8.0，8.2，8.4，8.5，8.6，8.6，8.8，9.0，9.1，9.2， 前6个数中间的数为8.0，8.2，中间两个数为8.5，8.6，后6个数中间的数为8.8，9.0， ，，； （2）略 25．为了缓解上班高峰时道路交通的压力，某市政府采取了错时上下班的措施．从6：30到9：00，分成5个时间段，每段．在一条主干道上，分别观测了采取措施前后各时间段通过的汽车数量X和Y（单位：千辆），如下表： 时间段 X 1.8 2.5 3.5 2.0 1.6 Y 1.4 2.0 2.5 3.0 2.5 (1)采取措施前后，汽车的平均流量有变化吗？ (2)分别计算两组数据的方差，你认为采取的措施是否有效？ 【答案】(1)采取措施前后汽车的平均流量没有变化，均为千辆 (2)采取措施前的方差为，采取措施后的方差为；采取的措施有效 【分析】（1）分别求出采取措施前后的平均流量，比较可得答案； （2）分别求出采取措施前后的方差，比较可得答案． 【详解】（1）采取措施前的平均流量为（千辆）， 采取措施后的平均流量为（千辆）， 答：采取措施前、后汽车的平均流量没有变化； （2）解：采取措施前的方差为， 采取措施后的方差为， 由于采取措施后的方差小于采取措施前的方差，说明流量平稳，所以采取的措施有一定的效果． 26．知识回顾： 方法指导 如果物体的运动速度随着时间均匀增加（或减少），那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数．例如，由图象可知，第到第汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为，该时间段行驶的路程为 (1)如图，小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第x时的速度为，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系．根据上述方法指导，小丽驾车从到共行驶______ (2)知识应用：如图，一条河宽度，小明欲从处游到对岸，水流速度为，小明游泳速度．（注：表示小明在水平方向上的速度，表示小明在垂直方向上的速度，表示小明斜向游泳的速度，且），小明为了游到正对岸的位置，心里想：我必须向着上游方向出发，使得游泳的水平速度抵消水流速度；最终通过调整出发方向与河岸的夹角，求小明到达点，所用的时间； (3)实际情况下，如图小明由于体力消耗，速度会减小，假设速度每秒衰减，为了游到对岸，小明改变策略但始终保持和对岸垂直的方向游泳． 小明的游泳轨迹可能是______（选择，，，其中一个） 小明可以游到的位置吗？如果能，请说明理由；如果不能，请求出小明实际到对岸的位置与的距离． 【答案】(1) (2) (3)小明不可以游到的位置； 【分析】（1）分从到和从到两种情况求解即可； （2）求得，用垂直的路程除以这个方向的速度，即得所用的时间； （3）根据题意，得水流速度恒定，故水平方向的速度恒定，而竖直方向的速度逐渐减少，继而解答即可； ②根据题意，得小明的速度方向一直垂直，而水流速度平行，所以它们的和速度一定不垂直，故他到不了点B的位置，先计算小明游到对岸所用的时间，然后乘水流速度，就是的距离； 【详解】（1）解：从到匀速行驶，汽车在该时间段内的平均速度为， ∴该时间段行驶的路程为； 从到汽车的速度随着时间均匀减小，因此汽车在该时间段内的平均速度为， 该时间段行驶的路程为； ∴小丽驾车从到共行驶； （2）解：根据题意，得游泳的水平速度抵消水流速度， 故， ，且， ， ， ； （3）解：∵水流速度恒定， ∴水平方向的速度恒定，而竖直方向的速度逐渐减少， ∴相同时间内垂直位移增量越来越小，因此轨迹向上凸，位于直线左侧， 故小明的游泳轨迹可能是； 解：小明不可以游到的位置； 设小明到达对岸所用时间为，则小明到达对岸时的速度为， 故小明的平均速度为：， 小明游过的竖直距离为：， 解得：或， ， 不符合要求，舍去， 故， ． 27．立定跳远是一项集弹跳、爆发力、身体协调性和技术等于一体的体育运动，其等级评价表如下： 立定跳远等级 男生成绩 女生成绩 优秀 良好 及格 不及格 【收集数据】某校为调查八年级男生的立定跳远水平，在该年级中随机抽取了20名男生立定跳远的成绩（单位：），数据收集如下： 235 210 210 228 205 241 203 210 232 162 223 225 208 165 238 212 236 167 220 210 【整理数据】将以上数据进行整理： 成绩 立定跳远等级 人数 百分比 优秀 6 良好 及格 不及格 3 【描述数据】根据整理的数据绘制如下统计图： 【分析数据】根据上述图表，计算平均数、中位数、众数、方差、四分位数如下： 平均数 中位数 众数 方差 四分位数 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 212 211 210 206.5 211 请根据以上图表中的信息，完成下列问题： (1)______，______，______，______； (2)补全条形图和扇形图； (3)______，______； (4)若八年级男生共有180人，估计八年级男生立定跳远等级为优秀的有多少人？ (5)对于样本中的20个立定跳远成绩数据，有人认为根据组内离差平方和最小原则，分组数越多越好，也有人认为分组数不宜过多．请结合统计学知识，谈谈你的看法，并说明在本题中分为几组更合适，理由是什么． 【答案】(1)8；3；； (2)补全条形图和扇形图如下： (3)；230 (4)54人 (5)看法：分组数增加时，每个组内的数据量会变少，组内数据的相似度会提升，组内离差平方和会持续降低，但组数过多会让各组数据过于零散，无法体现立定跳远成绩的分布规律，掩盖不同水平群体的特征，还会大幅增加数据处理的冗余度，失去分组统计的实际意义； 根据这组立定跳远数据的特征，分为组‌最为合适，理由如下： 这组数据的分布存在明显的低分段（）、中低分段（）、中高分段（）、高分段（），4组可以清晰对应不同运动水平的群体，既保证每组内成绩接近、组内离差平方和足够小，也能直观呈现整体的成绩分布特征． 【分析】（1）根据表格数据计算即可； （2）结合（1）中的计算结果补全条形图和扇形图； （3）根据方差的定义和第三四分位数的定义计算； （4）利用样本估计总体的思想求解即可； （5）根据分组统计的意义解答． 【详解】（1）解：由表格数据可知，的有8人，的有3人， ∴，， ∵，， ∴，； （2）解：略 （3）解：方差； 20个数据从小到大排列：162 165 167 203 205 208 210 210 210 210 212 220 223 225 228 232 235 236 238 241， 后十位为212 220 223 225 228 232 235 236 238 241，则第三四分位数为（取中位数计算）：， ，则第三四分位数为（取百分数计算）：， ∴； （4）解：（人）， 答：估计八年级男生立定跳远等级为优秀的有54人； （5）解：略 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $