八年级数学上学期期中学情自测·培优卷（新教材人教版，举一反三，测试范围：第13章 三角形～第15章 轴对称）

八年级数学上学期期中学情自测·培优卷 【新教材人教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·河北保定·阶段检测）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的定义识别．根据轴对称图形定义，依次判断各选项图形能否沿一条直线对折后完全重合，风车图案无符合条件的直线． 【详解】解：轴对称图形定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形． A（雪花）：有多条对称轴，是轴对称图形． B（风车）：无论沿哪条直线对折，两边都无法重合，只有旋转对称性，不是轴对称图形． C：有3条对称轴，是轴对称图形． D（太阳图案）：有多条对称轴，是轴对称图形． 2．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）一个三角形的三边为且周长为不大于的偶数，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系及取不等式组的特殊解．由三角形三边关系和周长条件列不等式组确定的取值范围，结合周长为偶数的条件验证选项． 【详解】解：三角形最长边为，由三边关系得，解得． 周长为，由周长不大于，得，解得． 由周长为偶数，得为偶数，即为奇数． 综上，的取值范围是，且为奇数． 选项A、B、D均满足上述条件，选项C中不满足，无法构成三角形，不符合条件． 3．（26-27八年级上·全国·阶段检测）如图，已知 ，添加下列条件不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ，， ∴， 故A能判定，不符合题意； ∵， ， ∴， 故B能判定，不符合题意； ∵， ∴， 又∵ ， ∴， 故D能判定，不符合题意； 不能判定的是． 4．（26-27八年级上·天津红桥·开学考试）如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（     ） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】根据，，分别是，，的中点，得到，，，继而得到，解答即可． 【详解】解：由，，分别是，，的中点， 得到，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（     ） A．10 B．11 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先根据三角形的外角的性质得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据的周长得出答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴的周长为． 6．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线．若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可判断为的垂直平分线，可得，，通过周长公式进行等量代换求解． 【详解】解：根据题意可知，为的垂直平分线， 则，， ， ， 的周长为， ， ，即， ， 故的周长为． 7．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，等边的边长为，点在边上，，过点作交于点，连接，点在上，连接，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是等边三角形得，， 则，证明是等边三角形得， 则，再证明， 得，由此可得． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴，， ∵点在边上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 8．（2025·河北衡水·模拟预测）如图1，已知，要求出的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出度数的方案是（     ） A．只有甲、乙能求出 B．只有甲、丙能求出 C．只有乙、丙能求出 D．甲、乙、丙都能求出 【答案】D 【分析】甲利用三角形外角定理，乙利用平行线的性质和三角形内角和定理，丙利用三角形内角和定理分别求证即可解答． 【详解】解：甲：是的外角， ， 是的外角， ， ； 乙：， ， ，， ，， ； 丙：在中，， 在中，， ． 综上所述，甲、乙、丙都能求出． 9．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在和中，，，，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点B到的距离不相等 【答案】D 【分析】先说明是等边三角形，可得即可解答A；再根据“边角边”证明，解答B，D；然后根据全等三角形的对应角相等得，再说明是等边三角形，可得，然后求出说明C即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴，则A正确； ∵ ∴， ∴点B到的距离相等， 则B正确，D不正确； ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，则C正确． 10．（25-26七年级下·重庆·期末）如图所示，在和中，，，，上有一点，连接，使得，则的度数（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设为未知数，利用等腰三角形两底角相等分别表示出与，结合建立等式求出，再算出；最后证，得到平分，求出． 【详解】解：设． ∵， ∴． ∴． ， 为等腰三角形， ． ， 为等腰三角形， ． 由图可知，代入式子： ∵， ， 解得，即． ， ． 在和中， ． ∴． ， ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知是对称轴，，，则_________． 【答案】/115度 【分析】先由轴对称性质得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由轴对称性质得， ∵， ∴． 12．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，点在边上，连接，，是的角平分线，是的高线．若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】由全等三角形性质得出及的度数；在 中求出，利用角平分线定义求出；在中求出 ，利用邻补角求出，最后求和． 【详解】 解： ， ，， ， ，即， ， ， 在中，， 是的角平分线，点在边上， ， 是 的高线， ，即， 在中，， 点在上， ， ． 13．（25-26七年级下·福建福州·期末）等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，先根据周长和比例求出两部分的长度，再分两种情况计算腰长与底边长，最后利用三角形三边关系验证是否成立，即可得到底边长； 【详解】解： 等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分. 分成的两部分周长分别为，. 设等腰三角形的腰长为，底边长为； 分两种情况讨论： ① 若腰长与半腰长的和为，则， 解得； 则， 此时三角形三边长为； ，不满足三角形两边之和大于第三边，所以此情况不成立，舍去； ② 若腰长与半腰长的和为，则， 解得， 则， 此时三角形三边长为， ，，满足三角形三边关系，此情况成立. 综上，这个等腰三角形的底边长为； 14．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线分别与、交于点、，那么_____． 【答案】3 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（26-27八年级上·湖北·期中）如图，，，，，垂足分别为，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】由，，可以得到，再根据，可以得到，从而求得，然后利用全等三角形的性质可以求得的长． 【详解】解：，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，． ， ． 16．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为_________时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 【答案】或 【分析】先求出，，的长，以及，再分六种情况：①，②，③，④，⑤，⑥，分别利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， ①当时， ∴，， ∴， 解得， ∴此时点的运动速度为； ②当时， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴此时点的运动速度为； ③当时， ∴，，， ∴，， ∴解得，， ∴， ∴此时点的运动速度为； ④当时， ∴，，， ∴，， 解得，， ∴， ∴此时点的运动速度为； ⑤当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴此时点的运动速度为； ⑥当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴此时点的运动速度为； 综上，当点的运动速度为或时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（2026八年级上·全国·专题练习）已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再根据三角形的内角和为，即可解答； （2）先求出，再根据三角形的内角和为，即可解答． 【详解】（1）解：是的高， ． ． （2）解∶是的角平分线． ． ． 18．（6分）（26-27八年级上·江苏·阶段检测）如图，与都是等边三角形，若与相交于点F． (1)求的度数； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接，作，于点G，H， 由（1）可知， ∴，， ∴， ∴平分． 【分析】（1）根据与都是等边三角形，证明，由全等三角形的性质得出；由三角形外角的定义和性质进一步即可得出． （2）连接，作，于点G，H，，根据，可得，根据全等三角形的面积相等，底相等，可得高相等，再根据角平分线的判定即可得结论． 【详解】（1）解：∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）略； 19．（8分）（24-25八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在所给的网格中，完成下列各题 (1)画出格点关于直线的对称 (2)若点B的坐标为，在图中建立平面直角坐标系，并确定的坐标为______ (3)在上画出点P，使最小（保留找点的痕迹），此时点P的坐标为______ 【答案】(1)如图，即为所求， (2)建立平面直角坐标系如图所示． 的坐标为， (3)点P即为所求， 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据点B的坐标建立平面直角坐标系，进而可得答案． （3）连接交直线DE于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接交直线于点P，连接， 此时，为最小值，则点P即为所求． 此时点P的坐标为． 20．（8分）（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，点在边上，过点作交于点，连接，平分，在边上取点，连接，，过点作于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，据此可证明结论； （2）由三线合一定理得到，则可求出，证明是等腰直角三角形，可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 21．（10分）（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：是等边三角形，为中点， ，，，， ， ， ， ，； ∵，， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ， ∵， 是等边三角形． 【分析】（1）利用等边三角形三线合一求出，结合得到，通过角的差计算 （2）先沿用（1）的结论得到，证明得到，算出；利用三角形内角与邻补角求出，结合判定，最终证明为等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形，为中点， ，，， ， ， ， ； （2）略 22．（10分）（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）解答以下问题 (1)如图1，把沿折叠，使点A落在点处，试探索与的关系．并说明理由． (2)如图2，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，求的度数； (3)如图3，在锐角中，于点F，于点G，交于点H，把折叠使点A和点H重合，试探索与的关系，并说明理由． 【答案】(1) ，理由如下， ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴； (2) (3) 解：，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 【分析】（1）根据四边形内角和，平角等于，列式求解即可； （2）根据题意，结合（1）得到，由角平分线的定义，三角形内角和定理得到，，由此即可求解； （3）根据垂直，四边形内角和定理得到，由对顶角相等得到，结合（1）的计算即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：由（1），得， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ； （3）略． 23．（12分）（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知等边，将线段绕着点顺时针旋转度（）得到线段，点对应点是点，连接，过点作的垂直平分线交直线于点，交线段于点，若射线在边右侧． (1)求的度数（用含的代数式表示）； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)； (2) (3)证明：在射线上截取，连接， 由（2）可知，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在射线上截取，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）根据旋转的性质，等边对等角结合三角形的内角和定理进行求解即可； （2）易得，等边对等角，求出的度数，进而求出的度数，三角形的内角和定理求出，对顶角相等，即可得出结果； （3）在射线上截取，连接，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，在射线上截取，连接，易得是等边三角形，证明，推出，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结果. 【详解】（1）解：∵旋转， ∴，， ∴； （2）解：∵等边， ∴， ∴，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）略 24．（12分）（25-26八年级下·江西萍乡·期末）根据题意解答下列问题： (1)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点在外，连接、、，且，过点作于点，请直接写出、、之间的数量关系． 小马同学的解题思路如下：如图，在上截取，连接，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为_______； (2)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【学以致用】如图，在中，，，点在边上，过点作交的延长线于点，延长至点，连接，使，连接交于点，若，，求的面积． 【答案】(1)； (2)解：，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等腰直角三角形， ∴平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）在上截取，连接，与交于点，然后证明，则有，再由等腰三角形的三线合一定理可得，从而有，即， （2）在上截取，连接，由等边三角形的性质可得，，，则有，再通过等边对等角可得，证明，所以，再证明为等边三角形，所以，则； （3）过作于点，证明，所以，，则有，然后证明，所以，最后通过即可求解． 【详解】（1）解：如图，在上截取，连接，与交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）略； （3）解：如图，过作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的面积为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期中学情自测·培优卷 【新教材人教版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第13章 三角形~第15章 轴对称 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·河北保定·阶段检测）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）一个三角形的三边为且周长为不大于的偶数，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·全国·阶段检测）如图，已知 ，添加下列条件不能判定的是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·天津红桥·开学考试）如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（     ） A．12 B．16 C．24 D．32 5．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（     ） A．10 B．11 C．15 D．16 6．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线．若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，等边的边长为，点在边上，，过点作交于点，连接，点在上，连接，，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．（2025·河北衡水·模拟预测）如图1，已知，要求出的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出度数的方案是（     ） A．只有甲、乙能求出 B．只有甲、丙能求出 C．只有乙、丙能求出 D．甲、乙、丙都能求出 9．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在和中，，，，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点B到的距离不相等 10．（25-26七年级下·重庆·期末）如图所示，在和中，，，，上有一点，连接，使得，则的度数（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知是对称轴，，，则_________． 12．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，点在边上，连接，，是的角平分线，是的高线．若，则的度数为_________． 13．（25-26七年级下·福建福州·期末）等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 14．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线分别与、交于点、，那么_____． 15．（26-27八年级上·湖北·期中）如图，，，，，垂足分别为，若，则的长为_____． 16．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为_________时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（2026八年级上·全国·专题练习）已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 18．（6分）（26-27八年级上·江苏·阶段检测）如图，与都是等边三角形，若与相交于点F． (1)求的度数； (2)连接，求证：平分． 19．（8分）（24-25八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在所给的网格中，完成下列各题 (1)画出格点关于直线的对称 (2)若点B的坐标为，在图中建立平面直角坐标系，并确定的坐标为______ (3)在上画出点P，使最小（保留找点的痕迹），此时点P的坐标为______ 20．（8分）（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，点在边上，过点作交于点，连接，平分，在边上取点，连接，，过点作于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 21．（10分）（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 22．（10分）（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）解答以下问题 (1)如图1，把沿折叠，使点A落在点处，试探索与的关系．并说明理由． (2)如图2，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，求的度数； (3)如图3，在锐角中，于点F，于点G，交于点H，把折叠使点A和点H重合，试探索与的关系，并说明理由． 23．（12分）（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知等边，将线段绕着点顺时针旋转度（）得到线段，点对应点是点，连接，过点作的垂直平分线交直线于点，交线段于点，若射线在边右侧． (1)求的度数（用含的代数式表示）； (2)求的度数； (3)求证：． 24．（12分）（25-26八年级下·江西萍乡·期末）根据题意解答下列问题： (1)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点在外，连接、、，且，过点作于点，请直接写出、、之间的数量关系． 小马同学的解题思路如下：如图，在上截取，连接，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为_______； (2)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【学以致用】如图，在中，，，点在边上，过点作交的延长线于点，延长至点，连接，使，连接交于点，若，，求的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $