专题05 相似多边形与位似多边形（期中真题汇编，上海专用）九年级数学上学期

专题05 相似多边形与位似多边形 6大高频考点概览 考点01 概念辨析选择题（期中必考） 考点02 相似多边形边长、周长、面积计算（填空 / 选择） 考点03 位似图形识别、找位似中心（作图 + 选择） 考点04平面直角坐标系位似坐标变换（期中高频填空） 考点05相似多边形 + 相似三角形综合计算题（期中解答大题） 考点06 位似作图题（期中简答 / 画图） 地 城 考点01 概念辨析选择题（期中必考） 1．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）下列图形一定相似的为（    ） A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【答案】B 【知识点】相似图形、相似多边形 【分析】根据相似三角形及多边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A．两个等腰三角形的内角不一定相等，因此两个等腰三角形不一定相似，故A不符合题意； B．∵两个等边三角形的内角都是60°， ∴两个等边三角形一定相似，故B符合题意； C．两个矩形的对应边不一定对应成比例，因此两个矩形不一定相似，故C不符合题意； D．两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，因此两个平行四边形不一定相似，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形及多边形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．（24-25九年级上·上海青浦·期末）下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】C 【知识点】相似图形、相似多边形 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据“对应角相等，对应边成比例的图形相似”逐个判断即可． 【详解】解：A、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意． B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项符合题意； D、两个等腰梯形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； 故选C． 3．（25-26九年级上·上海·期中）用放大镜观察三角形时，一定不发生变化的是（   ） A．三角形的周长 B．三角形的内角大小 C．三角形的面积 D．三角形各边的长度 【答案】B 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】放大镜观察三角形时，相当于进行相似变换，相似变换中三角形的内角大小保持不变，而周长、面积和各边长度都会按比例变化．本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】放大镜观察相当于相似变换， 三角形的形状不变，内角大小不变， 但各边长度、周长和面积都会按比例放大或缩小，故选项错误； 一定不发生变化的是三角形的内角大小，故选项B正确； 故选：B． 4．（24-25九年级·上海浦东·期中）如图，线段、相交于点，请你补充一个条件：______，使与是以点为位似中心的位似图形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查了位似图形“看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形”，熟练掌握位似图形的定义是解题关键．补充条件使得即可得． 【详解】解：补充条件，则， 所以与是以点为位似中心的位似图形． 故答案为：（答案不唯一）． 5．（2024九年级上·上海奉贤·期中）如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是_______．（用a的代数式表示）． 【答案】/ 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、相似多边形 【分析】连接，根据菱形对角线互相垂直，构建直角三角形，再根据相似，得出，再根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半得出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵菱形与菱形相似， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， 即，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似的性质，解题的关键是熟练掌握菱形对角线互相垂直，相似多边形对应角相等． 地 城 考点02 相似多边形边长、周长、面积计算（填空 /选择） 6．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）上海人民广场占地面积约为，若按比例尺缩小后，其面积大约相当于( ) A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积 C．《中学生报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积 【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由题意知，按比例尺缩小后，其面积大约为，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，上海人民广场占地面积约为，按比例尺缩小后，其面积大约为，相当于《中学生报》的一个版面的面积， 故选：C． 7．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知两个矩形相似，其中一个矩形相邻两边的长分别为1和2，另一矩形相邻两边的长分别为3和，那么的值可能是：①4；②6；③；④．这四个结论中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了图形的相似；根据图形相似的性质，分两种情况考虑：与，即可求得x的值． 【详解】解：由于两个矩形相似， 则有或， 解得：或； 故选：B． 8．（24-25九年级上·上海金山·期末）将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对应边成比例的性质是解题关键．表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解． 【详解】解：设原来矩形的长为，宽为， 则对折后的矩形的长为，宽为， ∵得到的两个矩形都和原矩形相似， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 9．（25-26九年级上·上海·期中）已知，如果它们的面积比为，那么对应高的比为_________． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质， 相似三角形的面积比等于相似比的平方，而对应高的比等于相似比． 【详解】解：∵，面积比为， ∴相似比为， ∴对应高的比为． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海静安·期中）甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是______． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似图形的性质，熟练掌握相似图形的相似比等于对应边的比是解题的关键．根据相似图形的性质，用两个图的比例尺相比即可求得相似比． 【详解】解：甲图与乙图的相似比． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海·期中）矩形中，E、F分别为中点，如果矩形与矩形相似，那么它们的相似比为______． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解作答即可． 【详解】解：∵E、F分别为中点， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴相似比， 解得， 或（舍去）， ∴相似比为， 故答案为：． 地 城 考点03 位似图形识别、找位似中心（作图 + 选择） 12．（25-26九年级上·全国·期末）下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似图形、位似图形的识别、位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件． 【详解】解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”． 选项A、B、C的图形均为位似图形(同时是相似图形)； 选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形． 故选：D． 13．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 【答案】A 【知识点】位似图形的识别 【分析】本题考查位似图形，根据“两个相似图形的对应点的连线相交于一点，而且对应边互相平行或位于同一条直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，”进行判断即可． 【详解】解：图①对应点的连线相交于点A，对应边，对应边与在同一条直线上，与在同一条直线上，是位似图形； 图②，对应边，，对应边和在同一条直线上，对应点的连线交于一点（的延长线于的交点），是位似图形； 图③，对应点的连线交于点O，对应边，，，是位似图形； 图④，对应点法连线交于点O，对应边，，，是位似图形， 故选：A． 14．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【知识点】判断位似中心 【分析】本题考查位似中心的定义，解题关键是理解“位似中心是对应顶点连线的交点”，通过找到对应顶点并分析其连线的交点来确定答案．需找到线段与线段对应顶点（如A与C、B与D）连线的交点，该交点即为位似中心． 【详解】解：位似中心是位似图形中对应顶点连线的交点， 观察方格图中各点位置，连接A与C、B与D，发现这两条线段的交点为点， 因此位似中心是点． 故选：B． 15．（25-26九年级上·全国·期末）图中的与位似，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【知识点】判断位似中心 【分析】本题考查图形的位似：连接，三条直线的交点即为位似中心． 【详解】解：如图： 与位似，则位似中心是点N， 故选：B． 16．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 【答案】 【知识点】位似图形的识别 【分析】根据位似变换的定义对各选项进行判断． 【详解】解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了作图——位似变换：先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 17．（2024九年级上·全国·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点_____．    【答案】P． 【知识点】判断位似中心 【分析】把图形的对应定点连线，都相交的那个点就是位似中心. 【详解】如图所示：这两个三角形的位似中心是点P． 故答案为：P．    【点睛】本题考查的是位似图形的位似中心，解题的关键是知道位似图形的对应点的连线相交的点就是位似中心. 地 城 考点04 平面直角坐标系位似坐标变换（期中高频选择/填空） 18．（2026·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】根据位似图形的性质，结合已知点的坐标以及位似比，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将按的相似比缩小得到， ∴点的坐标是，即． 19．（2026·上海浦东·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求位似图形的对应坐标 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是 ， ∴，即 ， 由图可知，点与点在位似中心的同侧 ， ∴点的横、纵坐标均为点横、纵坐标的2倍 ， ∵， ∴点的坐标为，即． 20．（24-25九年级上·全国·期中）已知在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．若以点为位似中心，在平面直角坐标系内画出，使得与位似，且位似比为，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了网格图中作图，图中点的坐标表示，位似的定义和相似比的应用，掌握位似的作图是解题的关键．根据位似的定义和相似比，结合网格画出图形即可得出结果． 【详解】解：根据位似的定义和相似比，结合网格图，作出位似图形，如图所示，可以得出点的坐标为或， 故选：D． 21．（25-26九年级上·上海松江·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段轴，的长为2，点A的坐标为，以点O为位似中心，在第一象限内画线段，使它与线段位似（点A，B的对应点分别为点，）．若，则点的坐标为______． 【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比、求位似图形的对应坐标 【分析】根据位似比画图，即可得到结果． 本题考查位似的知识，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：由题可知，与位似，且相似比为, ∵点A的坐标为， ∴点的坐标为， ∵ ∴点的坐标为， 22．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又叫做位似比，这个点叫做位似中心．如图，已知点A、B、C的坐标分别为，，，点P坐标为．以点P为位似中心，与△ABC位似，且位似比为，那么点B的对应点的坐标为________． 【答案】或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】他两种情况：①当与△ABC，在点P同侧时，②当与△ABC，在点P两 侧时，分别求解即可． 【详解】解：分两种情况：如图，①当与△ABC，在点P同侧时，连接过点，在上取点使， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ②当与△ABC，在点P两 侧时，连接过点，在延长线上取点使， ∵，， ∴，， ∴， ∴点横坐标为1-2=-1， ∴； 综上，的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查求位似变换点的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 地 城 考点05 相似多边形 + 相似三角形综合计算题（期中解答大题） 23．（24-25九年级上·上海·期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形． (1)分别写出和的顶点的坐标． (2)以D为位似中心，把缩小一半，得到，请画出 (只画出一个即可)，并写出M、N两点的坐标． (3)试说明和的面积的关系． 【答案】(1) (2) 如图，由图知，M、N两点的坐标分别为． (3)与的面积比为 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、勾股定理与网格问题、相似三角形的判定与性质综合、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】（1）根据图形写出坐标即可； （2）取 DE的中点 M，DF的中点 N，连结 MN，则就是以 D 为位似中心，的位似图形，且 与 的相似比为 ； （3）证明即可得出结论． 【详解】（1）解：； （2）略 （3）解：∵，， ∴． 同理可求：，， ∴， ∴， ∴与的面积比为． 【点睛】本题考查了写出平面直角坐标系中点的坐标，位似作图，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握，相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 24．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的 的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图 1 中，画，使点E在格点上，且与相似，且相似比为2；（只需画出一个即可） (2)在图 2 中，线段上找一点P，使（保留作图痕迹）． 【答案】(1) 作图如图，点即为所求作的点， (2) 作图如图，点P即为所求作的点， 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可； (2)取格点，，连接，，令的交点为F，连接与的交点即为P，即可解答． 【详解】（1）解：，， ，且相似比为2． （2）由图可知，四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴， 即． 25．（25-26九年级上·上海宝山·期中）在6×6的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请用无刻度的直尺按要求完成下列作图． (1)在图1网格中画出一个，使，面积比为，且各顶点都在格点上． (2)在图2中画一条线段，使点D在上，点E在上， ，且． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】本题考查作图—相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）结合相似三角形的判定与性质画图即可； （2）取格点，连接，交于点D，取格点H，K，连接，交于点E，即可． 【详解】（1）略 （2）略 26．（25-26九年级上·上海嘉定·期中）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”） (1)①三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题） ②两个大小不同的正方形相似．（ 命题） (2)如图，在凸四边形和凸四边形中，，=， = = ， 求证：四边形和四边形相似． 【答案】(1)假，真 (2) 证明：连接， ∵，， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，，，，， ∴四边形和四边形相似． 【知识点】相似多边形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识． （1）根据相似多边形的定义即可判断； （2）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可． 【详解】（1）解：根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，可得： ①三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例； ②两个大小不同的正方形四个角分别相等，四条边对应成比例，所以两个大小不同的正方形相似，是真命题； 故答案为：假，真； （2）略 27．（25-26九年级上·上海浦东·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)请以原点为位似中心，画出，使它与的相似比为，变换后点、的对应点分别为点、，点在第一象限； (2)若三角形面积是，则三角形的面积是 （用含有的式子表示） (3)若为线段上的任一点，则变换后点的对应点的坐标为 ． 【答案】(1) 如图所示： (2)； (3)． 【知识点】利用相似三角形的性质求解、利用相似求坐标、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题主要考查三角形面积计算、位似图形的性质及坐标变换．涉及三角形面积公式、位似图形对应点坐标的确定等知识点． （1）根据位似图形的性质，对应点坐标的变化规律为横、纵坐标都乘以相似比，可求出对应的，，的坐标，依次相连即可得到； （2）根据位似图形的面积比为相似比的平方，即可求解； （3）因为以原点为位似中心，相似比为，根据位似图形对应点坐标的确定方法，点的对应点的横、纵坐标都为原坐标的． 【详解】（1） 以原点为位似中心，相似比为，且知的顶点坐标分别为，，， ，，， 将点顺次相连即可得到； （2）解：相似比为，， 则位似图形的面积比为， , , 解得：， 故答案为． （3）解：以原点为位似中心，相似比为，， ． 故答案为． 28．（25-26九年级上·上海宝山·期末）综合实践： 九年级第一学期教材第2页 结合教材图形给出新定义 对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形ABCD，得到四边形；放大四边形ABCD，得到四边形．   图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形ABCD形状相同，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心． (1)填空：在上图中位似中心是点_____． (2)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是第一象限内的一个点且点P的纵坐标是．联结、，如果把沿翻折，所得四边形恰为菱形，若在直线上存在点Q，使与相似，求出点Q的坐标．    (3)若（2）中点Q位于x轴上方，指出与是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标． 【答案】(1)P； (2)或， (3)是位似三角形，位似中心为点 【知识点】利用菱形的性质证明、坐标与图形变化——轴对称、相似三角形的判定与性质综合、求位似图形的对应坐标 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，位似图形的定义．理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）根据位似图形的定义，即可求解； （2）根据菱形性质可得，垂直平分线，由此求出点，再根据与相似可得对应关系为，由此得出对应相等比，继而求出，得出点Q的坐标， （3）根据定义判断它们的对应边平行（或共线）且对应顶点所在的直线相交于一点，即可得出结论． 【详解】（1）解：在上图中位似中心是点P． 故答案为：P； （2）解：连接交轴于点，交轴于点； ∵ 四边形恰为菱形， ∴，垂直平分线， ∵点B的坐标为，， ∴点、的横坐标为， 又∵点P是第一象限内的一个点且点P的纵坐标是． ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴直线垂直平分， ∴， 如图，当在第一象限时，与相似，即， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 当在第四象限时，即点为关于轴对称点， 综上所述：点为或， （3）和为位似三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵、、在同一直线上，、、在同一直线上， ∴与是位似三角形，位似中心的坐标为点． 地 城 考点06 位似作图题（期中简答 / 画图） 29．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为．与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中找出点P并写出点P的坐标； (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形，使与相似比为； (3)若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为______． 【答案】(1) 如图，点P即为所求，； (2) 如图，即为所求； (3) 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查坐标与图形变换—位似，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键： （1）根据位似图形的性质，得到对应点连线的交点即为位似中心，画图后，确定点的坐标即可； （2）根据位似图形的性质，画出即可； （3）根据位似图形的性质，求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意，点M在内的对应点的坐标为． 30．（24-25九年级上·上海浦东·期中）如图在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，相似比是． (1)请画出； (2)请直接写出各顶点的坐标； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是 ． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2) (3) 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题主要考查坐标与图形变换—位似，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键； （1）找到点A，B，C的对应点，即可求解； （2）直接根据（1）中图形解答即可； （3）根据位似图形的性质解答，即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得， （3）解：∵内部一点M的坐标为，在y轴右侧，且与位似，相似比是， ∴点M的对应点的坐标是． 故答案为： 31．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．将点的横坐标、纵坐标都乘，得到点． (1)请写出点的坐标，并在所给的坐标系中画出； (2)与位似吗？如果位似，直接写出位似中心的坐标和相似比；否则，说明理由． 【答案】(1)； 如图，即为所求． (2)位似；位似中心的坐标为原点；相似比为 【知识点】坐标系中描点、写出直角坐标系中点的坐标、位似图形的识别、求两个位似图形的相似比 【分析】本题主要考查的知识点是平面直角坐标系中图形的位似变换(包括坐标变换、位似中心与位似比的确定)． （）先根据“横坐标、纵坐标都乘”的规则，分别计算出点的坐标，再在坐标系中描出这三个点并依次连线，即可得到； （）根据位似的定义：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行(或在同一直线上)，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比；判断与是相似，再观察对应顶点连线的交点确定位似中心，最后通过坐标的比例关系求出位似比，从而得出结论． 【详解】（1）解：∵点， ∴点的横坐标、纵坐标都乘，得 的坐标，即； 的坐标，即； 的坐标，即； 在坐标系中画出，再依次连接这三个点， 即可得到； （2）解：位似；位似中心的坐标为原点；相似比为。 如图：连接与、与、与，三条连线都经过原点， 各对应顶点的横、纵坐标的绝对值的比都是，所以相似比(位似比)为， 因此，与位似，位似中心的坐标为，位似比为． 32．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 【答案】(1) (2)①一定是，不一定是；②C (3) 如图，矩形即为所求 【知识点】位似图形的识别、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的定义，是解题的关键： （1）根据位似图形的定义，进行判断即可； （2）①根据位似图形和相似图形之间的关系作答即可；②根据位似图形和位似比的定义进行判断即可； （3）连接，交于点，作线段的中垂线，交于点，以为圆心，的长为半径，画弧，分别交于点，则矩形即为所求． 【详解】（1）解：由题意，可知：为位似图形，③的对应点的连线没有交于一点，不是位似图形， 故答案为：； （2）①由（1）可知：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形； 故答案为：一定是，不一定是； ②∵， ∴， 又∵对应点和对应点的连线交于点， ∴两个三角形是位似图形，点为位似中心，点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点，位似比为； 综上，只有选项C的说法不正确，符合题意， 故选：C； （3）由作图可知：， ∴矩形与矩形位似，位似中心为，且相似比为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相似多边形与位似多边形 6大高频考点概览 考点01 概念辨析选择题（期中必考） 考点02 相似多边形边长、周长、面积计算（填空 / 选择） 考点03 位似图形识别、找位似中心（作图 + 选择） 考点04平面直角坐标系位似坐标变换（期中高频填空） 考点05相似多边形 + 相似三角形综合计算题（期中解答大题） 考点06 位似作图题（期中简答 / 画图） 地 城 考点01 概念辨析选择题（期中必考） 1．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）下列图形一定相似的为（    ） A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 2．（24-25九年级上·上海青浦·期末）下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 3．（25-26九年级上·上海·期中）用放大镜观察三角形时，一定不发生变化的是（   ） A．三角形的周长 B．三角形的内角大小 C．三角形的面积 D．三角形各边的长度 4．（24-25九年级·上海浦东·期中）如图，线段、相交于点，请你补充一个条件：______，使与是以点为位似中心的位似图形． 5．（2024九年级上·上海奉贤·期中）如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是_______．（用a的代数式表示）． 地 城 考点02 相似多边形边长、周长、面积计算（填空 /选择） 6．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）上海人民广场占地面积约为，若按比例尺缩小后，其面积大约相当于( ) A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积 C．《中学生报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积 7．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知两个矩形相似，其中一个矩形相邻两边的长分别为1和2，另一矩形相邻两边的长分别为3和，那么的值可能是：①4；②6；③；④．这四个结论中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25九年级上·上海金山·期末）将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是(   ) A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·上海·期中）已知，如果它们的面积比为，那么对应高的比为_________． 10．（24-25九年级上·上海静安·期中）甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是______． 11．（24-25九年级上·上海·期中）矩形中，E、F分别为中点，如果矩形与矩形相似，那么它们的相似比为______． 地 城 考点03 位似图形识别、找位似中心（作图 + 选择） 12．（25-26九年级上·全国·期末）下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 14．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 15．（25-26九年级上·全国·期末）图中的与位似，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 16．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 17．（2024九年级上·全国·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点_____．    地 城 考点04 平面直角坐标系位似坐标变换（期中高频选择/填空） 18．（2026·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 19．（2026·上海浦东·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·全国·期中）已知在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．若以点为位似中心，在平面直角坐标系内画出，使得与位似，且位似比为，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 21．（25-26九年级上·上海松江·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段轴，的长为2，点A的坐标为，以点O为位似中心，在第一象限内画线段，使它与线段位似（点A，B的对应点分别为点，）．若，则点的坐标为______． 22．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又叫做位似比，这个点叫做位似中心．如图，已知点A、B、C的坐标分别为，，，点P坐标为．以点P为位似中心，与△ABC位似，且位似比为，那么点B的对应点的坐标为________． 地 城 考点05 相似多边形 + 相似三角形综合计算题（期中解答大题） 23．（24-25九年级上·上海·期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形． (1)分别写出和的顶点的坐标． (2)以D为位似中心，把缩小一半，得到，请画出 (只画出一个即可)，并写出M、N两点的坐标． (3)试说明和的面积的关系． 24．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的 的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图 1 中，画，使点E在格点上，且与相似，且相似比为2；（只需画出一个即可） (2)在图 2 中，线段上找一点P，使（保留作图痕迹）． 25．（25-26九年级上·上海宝山·期中）在6×6的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请用无刻度的直尺按要求完成下列作图． (1)在图1网格中画出一个，使，面积比为，且各顶点都在格点上． (2)在图2中画一条线段，使点D在上，点E在上， ，且． 26．（25-26九年级上·上海嘉定·期中）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”） (1)①三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题） ②两个大小不同的正方形相似．（ 命题） (2)如图，在凸四边形和凸四边形中，，=， = = ， 求证：四边形和四边形相似． 27．（25-26九年级上·上海浦东·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)请以原点为位似中心，画出，使它与的相似比为，变换后点、的对应点分别为点、，点在第一象限； (2)若三角形面积是，则三角形的面积是 （用含有的式子表示） (3)若为线段上的任一点，则变换后点的对应点的坐标为 ． 28．（25-26九年级上·上海宝山·期末）综合实践： 九年级第一学期教材第2页 结合教材图形给出新定义 对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形ABCD，得到四边形；放大四边形ABCD，得到四边形．   图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形ABCD形状相同，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心． (1)填空：在上图中位似中心是点_____． (2)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是第一象限内的一个点且点P的纵坐标是．联结、，如果把沿翻折，所得四边形恰为菱形，若在直线上存在点Q，使与相似，求出点Q的坐标．    (3)若（2）中点Q位于x轴上方，指出与是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标． 地 城 考点06 位似作图题（期中简答 / 画图） 29．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为．与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中找出点P并写出点P的坐标； (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形，使与相似比为； (3)若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为______． 30．（24-25九年级上·上海浦东·期中）如图在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，相似比是． (1)请画出； (2)请直接写出各顶点的坐标； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是 ． 31．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．将点的横坐标、纵坐标都乘，得到点． (1)请写出点的坐标，并在所给的坐标系中画出； (2)与位似吗？如果位似，直接写出位似中心的坐标和相似比；否则，说明理由． 32．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $