专题02 确定二次函数的表达式、二次函数与一元二次方程（期中真题汇编，上海专用）九年级数学上学期

专题02 确定二次函数的表达式、二次函数与一元二次方程 7大高频考点概览 考点01 待定系数法求二次函数解析式 考点02 求抛物线与 x 轴、y 轴交点坐标 考点03 利用图像求解不等式（期中高频） 考点04 已知交点个数，求参数取值范围（期中热点含参） 考点05 二次函数、方程根、代数式求值 考点06 函数图像平移后与 x 轴交点问题 考点07 数形结合综合（期中大题最后一题高频） 地 城 考点01 待定系数法求二次函数解析式 1．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，它的顶点坐标为，那么它的解析式为_________． 2．（2024·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象关于y轴对称，其顶点在原点O，且过点，则该二次函数的表达式是________． 3．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知一元二次方程的两个根分别为1、，请写出一个二次函数的函数解析式为__________________． 4．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，抛物线与抛物线关于x轴对称． (1)求的值以及抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线，如果新拋物线恰好经过，求的值． 5．（2024-2025.九年级.期末）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后的二次函数的解析式及图象与轴的另一个交点的坐标． 6．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知点在二次函数的图像上． (1)求二次函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t个单位后图像经过点，求的值． 7．（2025·上海嘉定·期中）已知抛物线经过点，顶点为点B． (1)求抛物线的表达式及顶点B的坐标； (2)将抛物线向上平移1个单位再向左平移1个单位，平移后抛物线顶点记为C点，求． 8．（2025·上海·期中）已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），它的顶点为M，对称轴是直线x＝﹣1． (1)求此抛物线的表达式及点M的坐标； (2)将上述抛物线向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过原点O，设新抛物线的顶点为N，请判断△MON的形状，并说明理由． 9．（24-25九年级上·上海浦东·期中）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，且在对称轴右侧，若点的纵坐标为，求点到轴的距离． 10．（25-26九年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为． (1)求：抛物线所对应的函数表达式． (2)当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值． (3)当抛物线在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 地 城 考点02 求抛物线与 x 轴、y 轴交点坐标 11．（24-25九年级上·上海·期中）抛物线与y轴的交点坐标为 ___________． 12．（25-26九年级上·上海宝山·期中）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 13．（2025九年级上·上海·期末）将抛物线先向下平移3个单位，再向右平移m（）个单位，所得新抛物线经过点，求： (1)新抛物线的表达式． (2)新抛物线与坐标轴交点的坐标． 14．（25-26九年级上·上海虹口·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图像与轴交于A、B两点（点在点的左侧），顶点为． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与轴交于另一点，点在线段上（与点、不重合）． 求的取值范围； 求的最大值； 15．（25-26九年级·上海·期中）已知二次函数 (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (2)求该函数图象的顶点坐标，并指出函数的最大值或最小值； (3)若点在该函数图象上，且P到x轴的距离为2，求t的值． 地 城 考点03 利用图像求解不等式（期中高频） 16．（25-26九年级上·上海·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 17．（2025九年级上·上海·期末）二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．， B． C． D．时，不等式一定成立 18．（24-25九年级上·上海浦东·期中）如图，二次函数的图象，则不等式的解集是________． 19．（24-25九年级上·上海浦东·期中）如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是______． 20．（25-26九年级上·上海·期末）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)与y轴的交点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ． (3)在坐标系中利用描点法画出此抛物线． (4)不等式 的解集是 ． (5)当时，y的取值范围是 ． 地 城 考点04 已知交点个数，求参数取值范围（期中热点含参） 21．（2024·上海宝山·期末）定义：在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记．若抛物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知抛物线，若点，点，且线段与该抛物线图像有交点，则t的取值范围是______． 23．（2025·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）及点、．如果线段与抛物线有交点，那么的取值范围是__________． 24．（2025·上海虹口·期末）我们定义：在平面直角坐标系中，如果一点的横、纵坐标都为整数，则称这个点为“整点”． 在平面直角坐标系中，点，，点在线段上运动，过点作与轴平行的直线，与抛物线始终有交点． 设直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，若满足，则的取值范围为______． 25．（24-25九年级上·上海·期中）已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是______． 26．（2025·上海浦东·期中）在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上． (1)判断此抛物线与x轴的交点个数，并说明理由； (2)已知对于，，，总有，求的取值范围． 地 城 考点05 二次函数、方程根、代数式求值 27．（26-27九年级·上海·期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（     ） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 28．（2024·上海浦东·期中）已知抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点．给出下列结论：①；②；③,是关于的一元二次方程的两个实数根．其中正确的结论是________（填写序号）． 29．（2024·上海虹口·期中）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为________ ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式 30．（24-25九年级上·上海浦东·期中）如图，已知二次函数的图象经过点．利用图象解答： (1)方程的解是______； (2)方程的解是______； (3)方程的解是______； (4)方程的解的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根        B．有两个相等的实数根        C．无实数根        D．无法确定 31．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知二次函数的图象如图所示，顶点为A，抛物线与y轴交于点，与x轴交于和D两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)结合图象填空： ①关于的一元二次方程的解是________； ②不等式的解集为______． 32．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知某二次函数的图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； (3)若关于x的方程（t为实数），在时无解，直接写出t的取值范围； (4)已知点，，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出m的取值范围． 地 城 考点06 函数图像平移后与 x 轴交点问题 33．（24-25九年级上·上海崇明·期中）已知抛物线（m、n是常数，）的对称轴为直线，将抛物线L向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（    ） A．向上平移1个单位长度 B．向上平移2个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向上平移4个单位长度 34．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）抛物线与x轴相交于、两点．将此抛物线向下平移，平移后的抛物线与x轴相交于、两点，下列式子正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 35．（24-25九年级上·上海浦东·期中）已知二次函数的图象向下平移m个单位与x轴只有一个交点，则______． 36．（24-25九年级·上海宝山·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 37．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）已知二次函数的图像经过点， (1)求二次函数解析式； (2)将此抛物线向右平移个单位，顶点移到点位置，函数图像与轴交于点，连接，，求的面积． 38．（2025·上海普陀·期末）已知二次函数，回答下列问题： (1)若该函数图象经过点 求该函数图象与轴的交点坐标； 点向上平移个单位长度，向右平移个单位长度后，落在二次函数图象上，求的值． (2)若该函数图象经过点与点，且与轴的两个交点到点的距离均小于，求证：． 39．（24-25九年级上·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，其对称轴与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)如果．当时，二次函数的最大值为，求的值； (3)直线经过点，将点向右平移7个单位长度，得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围． 地 城 考点07 数形结合综合（期中大题最后一题高频） 40．（24-25九年级·上海·期中）利用数形结合解决问题． (1)已知函数 若对任意 恒成立，求：实数 a 的取值范围． (2)设 若存在定义域为 R 的函数 f(x)同时满足①、②两个条件，求a 的取值范围． ①对于任意 的值为 或 ； ②关于 x 的方程 无实数解． (3)已知函数 若方程 有实根，求：集合 的元素的可能个数． 41．（2024·上海浦东·期末）我们定义：把叫做函数的伴随函数．比如：就是的伴随函数．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数（的常数），若点在函数的图象上，则点也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于轴对称．解答下列问题： (1)的图象关于 轴对称； (2)直接写出函数的伴随函数的表达式 ； 在如图所示的平面直角坐标系中画出的伴随函数的大致图象； (3) 若直线与的伴随函数图象交于、两点（点在点的上方），连接、，且的面积为12，求的值； 42．（2025·上海松江·期中）请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：． 解：设，解得：，， 则抛物线与轴的交点坐标为和． 画出二次函数的大致图象（如图所示）． 由图象可知：当时函数图象位于轴下方， 此时，即． 所以一元二次不等式的解集为：．    通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的_________和_________（只填序号） ①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想． (2)用类似的方法解一元二次不等式：． (3)某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： ①自变量的取值范围是___________；与的几组对应值如表，其中___________． … 4 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 1 0 … ②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整． ③结合函数图象，解决下列问题： 解不等式：    试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 确定二次函数的表达式、二次函数与一元二次方程 7大高频考点概览 考点01 待定系数法求二次函数解析式 考点02 求抛物线与 x 轴、y 轴交点坐标 考点03 利用图像求解不等式（期中高频） 考点04 已知交点个数，求参数取值范围（期中热点含参） 考点05 二次函数、方程根、代数式求值 考点06 函数图像平移后与 x 轴交点问题 考点07 数形结合综合（期中大题最后一题高频） 地 城 考点01 待定系数法求二次函数解析式 1．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，它的顶点坐标为，那么它的解析式为_________． 【答案】或 【知识点】求点到坐标轴的距离、待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数的顶点坐标设出顶点式，然后根据二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，得出二次函数经过或，分别代入求解即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴设二次函数解析式为， ∵二次函数与y轴的交点到原点的距离为8， ∴二次函数经过或， ∴或， 解得：或， ∴二次函数的解析式为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的几种形式是解本题的关键． 2．（2024·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象关于y轴对称，其顶点在原点O，且过点，则该二次函数的表达式是________． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²的图象和性质 【分析】根据题意可设该二次函数的解析式为，利用待定系数法即可求解． 【详解】解：设该二次函数的解析式为， 将带入得：， 解得：， 该二次函数的表达式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 3．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知一元二次方程的两个根分别为1、，请写出一个二次函数的函数解析式为__________________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．根据方程的两个根得到抛物线与轴的两个交点坐标，利用交点式，写出二次函数的解析式即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为1、， ∴的图象与轴的两个交点坐标为，， ∴函数解析式可以为：． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，抛物线与抛物线关于x轴对称． (1)求的值以及抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线，如果新拋物线恰好经过，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数图象的平移． （1）把原点代入抛物线，即可求出m的值，根据轴对称的性质即可求出抛物线的解析式； （2）根据二次函数图象的平移规律得到新抛物线的解析式为，将点代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点是原点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线与抛物线关于x轴对称， ∴抛物线的解析式为． （2）解：将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线的解析式为， ∵新拋物线恰好经过， ∴， 解得或． 5．（2024-2025.九年级.期末）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后的二次函数的解析式及图象与轴的另一个交点的坐标． 【答案】(1) (2)3个，， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数图象的平移，掌握二次函数图形的性质是解题的关键． （1）根据题意，设二次函数的解析式为，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意，可得二次函数图象与轴的两个交点分别为和，根据二次函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”进行计算即可求解． 【详解】（1）解：二次函数图象的顶点为， 设二次函数的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：令得：， 解得：，， 二次函数图象与轴的两个交点分别为和， 二次函数图象上的点向右平移3个单位后经过坐标原点， 平移后的二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为， 平移后的二次函数的解析式为． 6．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知点在二次函数的图像上． (1)求二次函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t个单位后图像经过点，求的值． 【答案】(1)对称轴为直线；顶点的坐标为 (2)8 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】主要考查了二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． （1）将点代入函数解析式求出，即可得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求解； （2）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图像上， ∴把，代入，得． 解得：． ∴二次函数的解析式为． ∴对称轴为直线． 顶点的坐标为． （2）解：二次函数的解析式化为． ∵将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t个单位， ∴平移后新二次函数的解析式为． ∵平移后图像经过点， ∴把，代入，得． 解得：． 7．（2025·上海嘉定·期中）已知抛物线经过点，顶点为点B． (1)求抛物线的表达式及顶点B的坐标； (2)将抛物线向上平移1个单位再向左平移1个单位，平移后抛物线顶点记为C点，求． 【答案】(1)， (2)3 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、已知两点坐标求两点距离、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先根据二次函数图象平移的规律求出点C的坐标，再利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点B的坐标为； （2）解：∵将抛物线向上平移1个单位再向左平移1个单位，平移后抛物线顶点记为C点， ∴点C的坐标为， ∴,,， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数顶点坐标，二次函数图象的平移，勾股定理和勾股定理的逆定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 8．（2025·上海·期中）已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），它的顶点为M，对称轴是直线x＝﹣1． (1)求此抛物线的表达式及点M的坐标； (2)将上述抛物线向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过原点O，设新抛物线的顶点为N，请判断△MON的形状，并说明理由． 【答案】(1)y=x2+2x+2，顶点M（﹣1，1） (2)等腰直角三角形； 理由：∵抛物线向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过原点O， ∴设新抛物线的解析式为y=（x+1）2+1-m， 把（0，0）代入得，0=1+1-m， ∴m=2， ∴顶点N为（-1，-1）， ∵M（-1，1）， ∴OM2=（-1）2+12=2，ON2=（-1）2+（-1）2=2，MN2=22=4， ∴OM=ON，OM2+ON2=MN2， ∴△MON是等腰直角三角形． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化成顶点式求得顶点M的坐标； （2）设新抛物线的解析式为y=（x+1）2+1-m，把（0，0）代入求得m的值，即可根据平移的原则得到顶点N的坐标，根据勾股定理求得OM2=ON2=2，MN2=4，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），对称轴是直线x=﹣1． ∴，解得， ∴抛物线的表达式为y=x2+2x+2， ∵y=x2+2x+2=（x+1）2+1， ∴顶点M（﹣1，1）； （2）略 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求得顶点M、和顶点N的坐标是解题的关键． 9．（24-25九年级上·上海浦东·期中）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，且在对称轴右侧，若点的纵坐标为，求点到轴的距离． 【答案】(1) (2)2 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）把代入（1）中解析式求出x的值，然后求出抛物线的对称轴，最后结合已知写出点C的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点的纵坐标为，点在抛物线上， ∴， 解得，， ∵， ∴对称轴为直线， ∵点C在对称轴右侧， ∴ ∴点C 到 y 轴的距离2．． 10．（25-26九年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为． (1)求：抛物线所对应的函数表达式． (2)当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值． (3)当抛物线在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或2 (3)，， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与几何、解一元二次方程，理解题意，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）当时，求得、，利用待定系数法求得直线的解析式，根据矩形被x轴分成面积相等的两部分，可得点D和点C关于x轴对称，再根据当时，，当时，，进行分类计算即可； （3）求特殊情况m的值，利用图象法判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得． ∴； （2）解：当时，，，， ∴，， 设直线的解析式为：， 把、代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，点D和点C关于x轴对称， ∴， ∵，， ①当时，， ∴， 解得：，（舍去）， ②当时，， ∴， 解得，（舍去）； （3）解：(4) 由（2）知，， ， ①当在抛物线上，，如图： ， 解得或（舍去）， 由图可知此时满足，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小； ②当在抛物线上，，如图： 在中，令得， ，而， ， 解得（舍去）或， 而与重合时：， 解得或， 又， 结合图形可得，或时，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小． 综上所述，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小，的范围是或或． 地 城 考点02 求抛物线与 x 轴、y 轴交点坐标 11．（24-25九年级上·上海·期中）抛物线与y轴的交点坐标为 ___________． 【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据轴上点的坐标特征，求自变量为0时的函数值即可． 【详解】把代入得， 所以抛物线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·上海宝山·期中）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 【答案】28 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】先求出抛物线与轴、轴的交点坐标，得到的长度和点到轴的距离，再代入三角形面积公式计算． 【详解】解：当时，， 整理得， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，， ∴， 当时，， ∴，即点到轴的距离， ∴． 13．（2025九年级上·上海·期末）将抛物线先向下平移3个单位，再向右平移m（）个单位，所得新抛物线经过点，求： (1)新抛物线的表达式． (2)新抛物线与坐标轴交点的坐标． 【答案】(1) (2)与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的平移的规律是解题的关键． （1）设平移后新抛物线的表达式为，把点代入，即可确定函数关系式， （2）将和代入函数关系式求解，即可． 【详解】（1）解：设平移后新抛物线的表达式为， ∵新抛物线经过点， ， 解得：， ， ， ∴新抛物线的表达式为； （2）解：将代入得：， ∴与轴的交点坐标为． 将代入得：或， ∴与轴的交点坐标为或． 14．（25-26九年级上·上海虹口·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图像与轴交于A、B两点（点在点的左侧），顶点为． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与轴交于另一点，点在线段上（与点、不重合）． 求的取值范围； 求的最大值； 【答案】(1)，， (2)①且；②当时，有最大值，最大值为4． 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、求抛物线与x轴的交点坐标、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解题基础． （1）根据顶点式可直接得出点的坐标；令，解方程，可得出点，的坐标； （2）①由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，再由对称性可知，，由点在线段上，且与端点不重合，可得，即，而当时，过点，，三点的二次函数不存在，由此可得且； ②，根据二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：二次函数的图象的顶点为， ； 令，解得或， ，； （2）解：①设二次函数的解析式为：， 将，，两点代入，得， ， ， ， 二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，， ，两点关于对称轴对称，点， ， 点在线段上，且与端点不重合， ，即， 时，过点，，三点的二次函数不存在， 且； ②，， ． ， 且， 时，有最大值，最大值为4． 15．（25-26九年级·上海·期中）已知二次函数 (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (2)求该函数图象的顶点坐标，并指出函数的最大值或最小值； (3)若点在该函数图象上，且P到x轴的距离为2，求t的值． 【答案】(1)； (2)顶点坐标为，最小值 (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）分别令和即可求出答案； （2）把抛物线解析式化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）根据P到x轴的距离为2得到解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴该函数图象与y轴的交点坐标为； 当时，，解得， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， ∴抛物线开口向上， ∴函数有最小值． （3）∵P到x轴的距离为2， 即 或 解得或 地 城 考点03 利用图像求解不等式（期中高频） 16．（25-26九年级上·上海·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 17．（2025九年级上·上海·期末）二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．， B． C． D．时，不等式一定成立 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、抛物线与x轴的交点问题、图象法解一元二次不等式 【分析】根据抛物线开口方向和抛物线的对称轴位置对A进行判断；根据抛物线与轴的交点个数对B进行判断；根据抛物线对称轴对C进行判断；根据抛物线与轴的交点的坐标对D进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在轴右侧， ， ，所以不符合题意； 抛物线与轴有个交点， ，所以B不符合题意； 由图可知：抛物线的对称轴是直线， ， ，所以C不符合题意； 由对称可知：抛物线与轴的交点为：，，又由图象可知：当时，抛物线位于轴的上方， 当时，不等式一定成立，所以D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左侧；当与异号时即，对称轴在轴右侧．简称：左同右异；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点． 18．（24-25九年级上·上海浦东·期中）如图，二次函数的图象，则不等式的解集是________． 【答案】 【知识点】图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，由二次函数的图象的对称性得抛物线与轴的一个交点为，由轴的上方的图象对应的函数值大于，即可求解；会利用二次函数图象解不等式是解题的关键． 【详解】解：由图像得，对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点为， 抛物线与轴的一个交点为， 轴的上方的图象对应的函数值大于， 当时，； 不等式的解集为， 故答案：． 19．（24-25九年级上·上海浦东·期中）如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【知识点】图象法解一元二次不等式 【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】由图象可知，当时，抛物线在直线的上方， 关于的不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围． 20．（25-26九年级上·上海·期末）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)与y轴的交点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ． (3)在坐标系中利用描点法画出此抛物线． (4)不等式 的解集是 ． (5)当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)；， (3) 解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 0 -4 0 … 作图象如下： (4)或 (5) 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、画y=ax²+bx+c的图象、求抛物线与x轴的交点坐标、图象法解一元二次不等式 【分析】（1）配方化成顶点式即可； （2）令，则，即该抛物线与y轴的交点坐标是 ，，可求，，进而可得该抛物线与x轴的交点坐标是，． （3）列表，描点，作图即可； （4）数形结合即可； （5）数形结合即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴； （2）解：令，则，即该抛物线与y轴的交点坐标是 ， 令， 解得，，， ∴该抛物线与x轴的交点坐标是，． 故答案为：；，； （3）略 （4）解：由图象可知，不等式的解集是或， 故答案为：或； （5）解：由图象可知，当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数与不等式等知识．熟练掌握二次函数的顶点式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数与不等式是解题的关键． 地 城 考点04 已知交点个数，求参数取值范围（期中热点含参） 21．（2024·上海宝山·期末）定义：在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记．若抛物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、y=ax²+bx+c的最值、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数综合题，解题的关键是理解题意，学会把问题转化为方程或方程组解决，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题． 先联立并转化为一元二次方程，利用根的判别式得到，再表示交点的坐标，利用确定，最后把转化为，求解即可． 【详解】由题意得方程组只有一组实数解， 消去y得， 由题意， ∴， ∴， ∴用方程可以化为， ∴， ∴， ∵且， ∴或， 解得：或， ∵点C在第一象限， ∴， ∵ ∵ ∴． 故选：D． 22．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知抛物线，若点，点，且线段与该抛物线图像有交点，则t的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数点的坐标特征，一元二次方程，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键． 根据题意，利用待定系数法得出的解析式为，再分、、三种情况，结合图像求解即可． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为，与轴交于点， 设的解析式为， ，解得， 的解析式为， ①当时，，即， ，即， 解得或， 又， ， ②时，在抛物线上，符合题意； ③当时，令，即， ，解得， 的对称轴为， 与轴交于点，且， 当时，在上，方程有一个解， 又， 时，线段与该抛物线图像有交点， 综上，． 故答案为：． 23．（2025·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）及点、．如果线段与抛物线有交点，那么的取值范围是__________． 【答案】或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知二次函数的函数值求自变量的值、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数点的坐标特征，一元二次方程，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键．由，那么该抛物线开口向上，对称轴为，交轴负半轴，当该抛物线过点时，可算得，，那么当时，；当时，，由线段与抛物线有交点，那么点在的右侧，或者点在的左侧时均满足条件，然后列出不等式，即可得到答案． 【详解】解： 该抛物线开口向上，对称轴为，交轴负半轴， 当该抛物线过点时， ， ，， 当时，；当时，，如图所示， 线段与抛物线有交点， 点在的右侧，或者点在的左侧时均满足条件， 或， 或， ， 或． 故答案为：或． 24．（2025·上海虹口·期末）我们定义：在平面直角坐标系中，如果一点的横、纵坐标都为整数，则称这个点为“整点”． 在平面直角坐标系中，点，，点在线段上运动，过点作与轴平行的直线，与抛物线始终有交点． 设直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，若满足，则的取值范围为______． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式组，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先由抛物线得出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，画出图形，然后根据与抛物线始终有交点，直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，满足，可得不等式组，然后解不等式组即可得． 【详解】解：由抛物线， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 画出图形如下： ∵与抛物线始终有交点， ∴， ∵如图，直线与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为，满足， ∴， 联立：， 解得， ∴的取值范围为， 故答案为：． 25．（24-25九年级上·上海·期中）已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是______． 【答案】或 【知识点】图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，求出二次函数的顶点坐标，图象法确定不等式的解集即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴翻折后顶点坐标的对应点的坐标为， 由图象可知当时，直线与新图象有2个交点，当时，直线与新图象有2个交点； 故答案为：或． 26．（2025·上海浦东·期中）在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上． (1)判断此抛物线与x轴的交点个数，并说明理由； (2)已知对于，，，总有，求的取值范围． 【答案】(1) 此抛物线与x轴的交点个数为两个，理由如下： ∵抛物线， ∴， ∴此抛物线与x轴的交点个数为两个； (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据抛物线解析式并结合一元二次方程根的判别式可得，由此判断即可得解； （2）求出抛物线的对称轴为直线，，再分两种情况：当时；当时；求出的取值范围，再结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， 当时， ∵对于，，总有， ∴如图所示： ∴由图可得：， 解得， 当时，可以取到，此时，与题意矛盾，舍去； ∵， ∴为关于的二次函数，开口向下，对称轴为直线， ∴当时，． 地 城 考点05 二次函数、方程根、代数式求值 27．（26-27九年级·上海·期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（     ） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：该函数的对称轴为， ， 当时，，故A正确，不符合题意； 由题意，当时，该函数取得最大值，故为任意实数）， 即为任意实数），故B错误，符合题意； 对称轴是直线， 当时的函数值与当时的函数值相等， 当时，， 当时，，故C正确，不符合题意； 的函数图象即为的轴下侧图象翻转到轴上方， 的根个数即为图象和直线的交点个数，根据图象可得为4个，故D正确，不符合题意． 28．（2024·上海浦东·期中）已知抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点．给出下列结论：①；②；③,是关于的一元二次方程的两个实数根．其中正确的结论是________（填写序号）． 【答案】①③ 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、反比例函数、二次函数图象综合判断、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点, 可以得到a>0,a,b．c的关系,然后对a,b、c进行讨论,从而可以判断①②③是否正确,从而得出答案． 【详解】解：∵抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点, ∴ , ∴ ,故①正确． 当a > 1时,则b、c均小于0,此时b+c<0, 当a= 1时，b+c=0，不符合题意， 当0 <a< 1时,则b、c均大于0,此时b+c>0,故②错误． ∴关于的一元二次方程可以转化为：,则 或 ,故③正确． 故答案为：①③ 【点睛】本题考查二次函数与图象的关系,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答问题． 29．（2024·上海虹口·期中）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为________ ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式 【答案】①②③④ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标，由对称轴为，得则可判断①；利用待定系数法求得函数解析式为，故求得函数的最小值为，可判断②；将变形为：，利用根的判别式可判断③；将，代入可判断④，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图象可知，图象开口向上，， 对称轴为，故，即，则，故①正确； 由图象可知当时，函数取最小值， 将，代入，中得：， 由图象可知函数与x轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与x轴的另一交点为， 设函数解析式为：， 故化简得：， 将，代入可得：，故函数的最小值为，故②正确； 变形为：， 要使方程无实数根，则， 将，，代入得：， 因为，则，则， 综上所述，故③正确； 因为，， 所以 ， 因为， 所以，即，故④正确； 故答案为：①②③④． 30．（24-25九年级上·上海浦东·期中）如图，已知二次函数的图象经过点．利用图象解答： (1)方程的解是______； (2)方程的解是______； (3)方程的解是______； (4)方程的解的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根        B．有两个相等的实数根        C．无实数根        D．无法确定 【答案】(1) (2) (3) (4)C 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】（1）根据二次函数的图象经过点，结合图象可得答案； （2）根据二次函数的图象得出当时，的值，再检验即可； （3）根据二次函数的图象经过点，结合对称性可得答案； （4）根据二次函数的图象与直线没有交点可得答案. 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴方程的解是. （2）解：由图象可得：当时，， 则的解是. 检验：二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线为， 当时， 解得：. （3）解：∵二次函数的图象经过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， ∴方程的解是. （4）解：∵二次函数的图象与直线没有交点， ∴方程没有实数根. 31．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知二次函数的图象如图所示，顶点为A，抛物线与y轴交于点，与x轴交于和D两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)结合图象填空： ①关于的一元二次方程的解是________； ②不等式的解集为______． 【答案】(1) (2)①；②或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与方程、二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． （1）由图象可知抛物线顶点为，故设抛物线解析式为，代入点即可求得的值； （2）根据抛物线的对称性求得点的对称点，然后根据图象即可求得． 【详解】（1）解：由图象可知抛物线顶点为， ∴设抛物线解析式为， ∵抛物线与轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵抛物线对称轴为直线， ∴关于直线的对称点是， ∴关于的一元二次方程的解是； 故答案为：； ②∵抛物线对称轴为直线， ∴的对称点是， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 32．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知某二次函数的图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； (3)若关于x的方程（t为实数），在时无解，直接写出t的取值范围； (4)已知点，，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)6 (3)或 (4)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，将代入可求，进而可得二次函数的解析式； （2）由，可知对称轴为直线，图象开口向上，当时，；当时，；当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，则，当时函数值最小，当时函数值最大，，计算求出满足要求的解即可； （3）当时，二次函数的函数值，由关于x的方程（t为实数），在时无解，可知，在时无解，然后求解作答即可； （4）当时，可求，顶点坐标为，如图，当时，，即；由图可知，当时，交点只有一个，当时，轴，交点只有顶点一个，然后作答即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线，图象开口向上， 当时，； 当时，； ∵当时，该二次函数最大值与最小值的差是9， ∴， 当时函数值最小，当时函数值最大， ∴， 解得，，（舍去）， ∴t的值为6； （3）解：当时，二次函数的函数值， ∵关于x的方程（t为实数），在时无解， ∴，在时无解， ∴或； （4）解：当时， 解得，， 顶点坐标为， 如图， 当时，，即； 由图可知，当时，交点只有一个， 当时，轴，交点只有顶点一个， 综上所述，当该函数图象与线段只有一个公共点时，或． 地 城 考点06 函数图像平移后与 x 轴交点问题 33．（24-25九年级上·上海崇明·期中）已知抛物线（m、n是常数，）的对称轴为直线，将抛物线L向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（    ） A．向上平移1个单位长度 B．向上平移2个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向上平移4个单位长度 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象与平移，利用对称轴求得，可得抛物线解析式为，得到抛物线的顶点坐标为，根据平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点可得平移后的抛物线顶点在轴上，据此即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点， 平移后的抛物线顶点在轴上， 抛物线应向上平移2个单位长度， 故选：B． 34．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）抛物线与x轴相交于、两点．将此抛物线向下平移，平移后的抛物线与x轴相交于、两点，下列式子正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查抛物线与轴交点问题，解答涉及交点与对称轴的关系，会用数形结合思想是解题的关键．因为抛物线开口向下，所以抛物线向下平移，对称轴不变，与轴的两交点距离变短解答即可． 【详解】解：抛物线与轴相交于、两点， 抛物线的对称轴为直线， 将此抛物线向下平移，平移后的抛物线与轴相交于、两点， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线上下平移对称轴不变， ，即， 抛物线开口向下， 将此抛物线向下平移，平移后的抛物线与轴两交点间距离会变短， ， 故选：A 35．（24-25九年级上·上海浦东·期中）已知二次函数的图象向下平移m个单位与x轴只有一个交点，则______． 【答案】4 【知识点】二次函数图象的平移、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，二次函数的图象与x轴的交点问题．根据二次函数的平移规律得，结合函数图象与x轴只有一个交点，可得，即可求解． 即可求解． 【详解】解：二次函数整理得，， 向下平移m个单位后，函数解析式为， ∵二次函数的图象与x轴只有一个交点， ∴， 解得：． 故答案为：4． 36．（24-25九年级·上海宝山·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 【答案】或 【知识点】二次函数图象的平移、抛物线与x轴的交点问题 【分析】当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点，当抛物线向下平移个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，即可求解． 【详解】解：如图，当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点， 如图，当抛物线向下平移3到4个单位（不含3和4个单位）时，抛物线与有两个交点， 当抛物线向下平移4个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点， 综上所述，t的取值范围是或． 37．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）已知二次函数的图像经过点， (1)求二次函数解析式； (2)将此抛物线向右平移个单位，顶点移到点位置，函数图像与轴交于点，连接，，求的面积． 【答案】(1)二次函数解析式为； (2)的面积为． 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的平移等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）延长交轴于点，将此抛物线向右平移个单位，则平移后解析式为，求出，，再根据待定系数法求出直线解析式为，从而可得，所以，最后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为； （2）解：如图，延长交轴于点， 由（）得，二次函数解析式为， ∵将此抛物线向右平移个单位， ∴平移后解析式为， ∴， 当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为． 38．（2025·上海普陀·期末）已知二次函数，回答下列问题： (1)若该函数图象经过点 求该函数图象与轴的交点坐标； 点向上平移个单位长度，向右平移个单位长度后，落在二次函数图象上，求的值． (2)若该函数图象经过点与点，且与轴的两个交点到点的距离均小于，求证：． 【答案】(1)和；，； (2) 证明：把、代入得： ，， ∴ ， ∵图象与轴的交点和之间的距离为， ∴到和的距离均小于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】一元一次不等式组的定义、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与轴交点问题，解题的关键是掌握以上知识点． （）首先利用待定系数法求出表达式，然后令求解即可； 首先表示出平移后的点的坐标，然后代入表达式求解即可； （）首先将与点，代入表达式得到，，然后表示出，然后根据与轴的两个交点到点的距离均小于得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：把代入得， ∴， ∴， 当时，， ∴，， ∴与轴的交点坐标为和； ∵点向上平移个单位长度，向右平移个单位长度后得， 代入得：， ∴，； （2）略 39．（24-25九年级上·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，其对称轴与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)如果．当时，二次函数的最大值为，求的值； (3)直线经过点，将点向右平移7个单位长度，得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)的值为或 (3)或或 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与坐标轴交点问题，平移的性质等，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键． （1）取，求得的值，即可求得点的坐标，求得抛物线的对称轴，则可以得到点的横坐标，得点的纵坐标为，即可求得点的坐标； （2）把二次函数整理为顶点式，可得二次函数本身的最大值为，那么分类探讨所给的取值范围都在对称轴的左侧或右侧时的最高点即可得到的值； （3）得出点和点的坐标，分类探讨抛物线的开口向上，顶点在线段上；抛物线的开口向上，点在抛物线的内部；抛物线的开口向下，点在抛物线的外部，三种情况下的值即可． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为； 由题意得：抛物线的对称轴为：直线， 抛物线的对称轴与轴交于点， 点的坐标为； （2）解：时，二次函数为：， 二次函数的开口方向向下，最大值为， ①时，对应的最高点为：， ， 解得：， 不合题意，舍去， ②时，对应的最高点为：， ， 解得： 不合题意，舍去，， 综上：的值为或； （3）解：直线经过点， 点的坐标为， 点的坐标为， ①抛物线的顶点在线段上，此时，抛物线与线段只有一个公共点，则抛物线的顶点坐标为， ， ， 解得：； ②如图，抛物线的开口向上，点在抛物线的内部， 当时，， ， 解得：； ③如图，抛物线的开口向下，点在抛物线的外部， 当时，， ， 解得：． 综上：抛物线与线段只有一个公共点，则或或． 地 城 考点07 数形结合综合（期中大题最后一题高频） 40．（24-25九年级·上海·期中）利用数形结合解决问题． (1)已知函数 若对任意 恒成立，求：实数 a 的取值范围． (2)设 若存在定义域为 R 的函数 f(x)同时满足①、②两个条件，求a 的取值范围． ①对于任意 的值为 或 ； ②关于 x 的方程 无实数解． (3)已知函数 若方程 有实根，求：集合 的元素的可能个数． 【答案】(1) (2) (3)2或4 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查绝对值函数的恒成立问题、函数的定义与方程无解的条件、二次函数与复合方程根的个数问题，解题关键是运用分类讨论思想，结合函数单调性、方程解的分析及换元法进行求解． （1）根据绝对值的定义化简函数，再根据函数恒成立，分离参数进行讨论即可； （2）根据函数的定义，在函数中给定的自变量，只有唯一确定的与之对应，即可解答； （3）根据一元二次方程的根与判别式的关系，即可解答． 【详解】（1）①当时，，则， 此时恒成立，故； ②当时，，则， 若，即 令为对勾函数，在上单调递减，所以， 故； ③当时，若，则，同②符合题意成立； 若，则，同①符合题意成立． 综上所述，的取值范围为． （2）由条件①得，当时，， 即， 当时，， 即， 又因为关于的方程无实数解， 且， ． （3）①若函数有两个相等的实数根， 则，得，实数根， 令，则， 当时，，此时，有2个解； ②若函数有两个不相等的实数根， 则，得，此时两个实数根分别是， 而， 即在时成立， 此时，有4个解； 综上所述，集合有2个或4个元素． 41．（2024·上海浦东·期末）我们定义：把叫做函数的伴随函数．比如：就是的伴随函数．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数（的常数），若点在函数的图象上，则点也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于轴对称．解答下列问题： (1)的图象关于 轴对称； (2)直接写出函数的伴随函数的表达式 ； 在如图所示的平面直角坐标系中画出的伴随函数的大致图象； (3)若直线与的伴随函数图象交于、两点（点在点的上方），连接、，且的面积为12，求的值； 【答案】(1) (2)①； ②描点连线绘制函数图象如下： (3) 【知识点】y=ax²的图象和性质、画y=ax²+bx+c的图象、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据点和点都在的图象上即可得解； （2）①由伴随函数的定义即可得出答案；②描点连线画出函数图象即可； （3）由，消去得到，由一元二次方程根与系数的关系，，推出，求出，再由，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点和点都在的图象上， ∴的图象关于轴对称； （2）解：①由伴随函数的定义可得：函数的伴随函数的表达式； ②在中， 当时，； 当时，， 当时，， （3）解：如图： 由，消去得到， ∴，， ∴， 在中，令，则， 解得， ∴， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质、一次函数的性质、伴随函数的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 42．（2025·上海松江·期中）请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：． 解：设，解得：，， 则抛物线与轴的交点坐标为和． 画出二次函数的大致图象（如图所示）． 由图象可知：当时函数图象位于轴下方， 此时，即． 所以一元二次不等式的解集为：．    通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的_________和_________（只填序号） ①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想． (2)用类似的方法解一元二次不等式：． (3)某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： ①自变量的取值范围是___________；与的几组对应值如表，其中___________． … 4 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 1 0 … ②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整． ③结合函数图象，解决下列问题： 解不等式：    【答案】(1)①，③ (2) (3)①全体实数；； ②描点，连线，函数图象如图：    ③或或 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、根据交点确定不等式的解集 【分析】（1）根据转化思想和数形结合思想解答，即可； （2）依照例题，先求得的解，再画出的草图，观察图象即可求解； （3）①当时，代入数据求解即可；②描点，连线，即可画出函数图象；③观察图象即可求解． 【详解】（1）解：上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的转化思想和数形结合思想； 故答案为：①，③ （2）解：， 设，解得：，， 则抛物线与轴的交点坐标为和． 画出二次函数的大致图象（如图所示）．    由图象可知：当时函数图象位于轴上方， 此时，即． 所以一元二次不等式的解集为：； （3）解：①自变量的取值范围是全体实数； 当时，，即 列表； … 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 1 0 … 故答案为：全体实数；； ②略 ③由图象可知；由图象可知：当或或时函数的图象位于与0之间，此时，即． 一元二次不等式的解集为：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次不等式的解法，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $