福建省莆田第一中学2026-2027学年高二上学期数学周练（8.31—9.6）

2026-2027学年莆田一中高二上数学周练(8.31一9.6) 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 a :设a,b为非零向量，则a 是“a-i的{) 6 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知等腰直角三角形的斜边长为2，以该三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋 转一周形成的面围成的几何体的体积为() B.2W2 C.兀 D.2√2π 3 3.下列求导运算正确的是() A.(sinπ)=cos元 B.(e）=e(x-l) c.(3)= 3 n回 4.在△ABC中，点M,N满足AM=2MB,BN=NC,若MN=xAB+yAC,则x+y= () A.、1 B.、1 D.3 1 3 4 5.已知m,n是两条不同直线，x,B是两个不同平面，则下列命题中正确的个数是() ①若ml∥o且m⊥B,则a⊥B;②若m⊥B且a⊥B,则m∥o: ③若ml/n,m⊥o,n⊥B,则xllB;④若mlln,nlla,则m∥c A.1 B.2 C.3 D.4 6.己知直线y=kx+b与曲线y=e1和y=1nx+1均相切，则k+b=() 1 A.1 B.2 C.e D. e 试卷第1页（共4页） 二、多选题 7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,b=8,c=2√13，则() A.C=交 B.△ABC为钝角三角形 C.△ABC的面积为4 D.△1BC外接圆的面积为S2 8.如图，在正四棱台ABCD-A4B,CD,中，AB=24B=2W2,A4=2,BE=BB(∈[0,1])， 则() A.三棱锥D-ACE的体积是定值 D B.当九=1时，平面ACE//平面ACD D C.当入=二时，直线AE与平面BCCB所成的角最大 D.存在入，使得平面ACE⊥平面ACC,A 三、填空题 9.已知向量a=(-2,4),万=(2，x),若a⊥(a+2b),则x=一 0,将二设子抛两次，质得向上的点数分别为m,函数y子成一心+1在，+ 上为增函数的概率是 11.某地区新建农田灌溉系统，水渠横断面（垂直于水渠长度方向的截面）采用抛物线型设 计（如图所示）：其中的曲线段AOB是顶点为O、开口向上的抛物线弧，曲线段AO与曲线 段BO关于抛物线的对称轴对称，渠宽AB为2米，渠深(O到直线AB的距离)为1米.现 要将该水渠向外扩建（只挖土不填土）变成横断面为等腰梯形的水渠，使得水渠底面与地面 平行，不考虑其他因素的条件下，当扩建后水渠的底部宽度为 米时，所挖的土方量 最少.（精确到0.01米） 挖去 试卷第2页（共4页） 四、解答题 12. 已知d=4,同=2，且a与6夹角为120. (I)求a在6上的投影向量： (2)求a与a+b的夹角， 13.已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC⌒BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC 折起得三棱锥B-ACD,如图，点M是棱BC的中点，DM=3√2 (1)求证：平面ABC⊥平面ACD: (2)求点M到平面ABD的距离. B B M A C A∈ D D 试卷第3页（共4页） 14.在△4BC中，已知cosB=3, cos(4+C)+sin4sinC=1. 4 (I)证明：△ABC为钝角三角形： (②若a-1BC的面积为V5, ,求△ABC的周长. 15.已知函数f(x)=lnx+2a-2(a∈R. x+1 (I)讨论函数f(x)的单调性： (2)当a=2时，求证：f(x)>0在(1，+o)上恒成立； (3)求证：当x>0时，1n(x+1)> x ex-1 试卷第4页（共4页） 《2026-2027学年莆田一中高二上数学周练(8.31一9.6)》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B ⊙ D D B A ABD ACD 3 5 9. 10. 11.0.71 2 6 兀 12.(1)-6 (2) 丰a的路会义nc在81有尚小奇+（片5-5 (2)因为a-(a+6)=a+a.万=d+48cos120°=4+4x2×cos120°=12， a+利-Va+j=V后+2a--B-d+2d同c120月 个+222-25. a.a+b 12 所以cosa,a+b= 3 ,a+6 4×2V52 又因为0≤(a.a+}≤x,所以a,ā+5)石即后与a,5格突角为行 13.证明：四边形ABCD是菱形，且∠DAB=60°，边长为6， D :OD=OB=-BD=3,ODL AC,OBL AC 又M为BC的中点，连接OM,则OM=BC=3. :DM=3√2，.DM2=OD2+OM2, .∠DOM=90°，∴.OD⊥OM.又OD⊥AC,OM∩AC=O,AC,OMC平面ABC, 答案第1页（共4页） .∴.OD⊥平面ABC .ODc平面ACD,∴.平面ABC⊥平面ACD (2)解：由(1)知OD⊥平面ABC,.OD为三棱锥D-ABM的高，OD⊥OB, a=8-分4c0m=65x8=9 4 >,BD=3V2 %w号-}y53-6 1 32 2 设点M到平面ABD的距离为h, 1 - 2 ,且Vg-AD=VD-A h=3-y-3V2 S△ABD 7 14.()i证明：由A+B+C=x,则cs(4+C)=-cosB=3 又cas(A+C+sm4smC-l,得号g+sin4sinC=l,则sn4snC-7 16 16 由两角和的余弦公式，cos(A+C)=cos4coC-sin4smC=3 4 7 5 结合sin AsinC= -可知cos 4cos C= <0, 16 16 则CosA,cosC异号，必然一个为负，一个为正. 又A,C∈(0，)，即A,C中必有一个是钝角： (2)方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， Sabsin CRsin AY(2Rsin BsinC=2R sin Asin BsinC (R是△ABC外接圆半径) 又sin AsinC= 16’ sinB= 4 5,则5-215,解得R2 4 4 64 7 答案第2页（共4页） 又snA-5,则b-2RnB-5, 4 由余弦定理b=a2+c2-2 aecosB,即a2+c2_3。 ac=2, 2 acm8=e:5 则ac=2, 8 4 于是a2+c2-3。 ac=2,即a2+c2=5, (a+c)2=a2+2ac+c2=9,解得a+c=3, 故△ABC周长为(a+c)+b=3+√ 方法二：由cos(A+C)+sinAsinC=1,则cos2B+sinAsinC=l, sin AsinC=1-cos2 B=sin B, 由正弦定理可得，ac=b2, 由三角形积公式S4csnB=马ae, 2 44 得到ac=2,则b=√2，其余同上. 15.(1)若a≤2，f(x)在(0，+o)单调递增： 若a>2,f(r)在(0，a-1-√a2-2a),(a-1+√a2-2a,+o)上单调递增， 在(a-1-V-2a,a-1+Va2-2a)上单调递减. ②证明：由0)河知当a=2时，函数-nx千2在+m)上单调递掉。 即f(x)>f(1)=0,所以f(x)>0在(1，+o)上恒成立. 包)证明：出Q可知nx42>0分hx x+1 2c-1）在(1，+w)恒成立， x+1 所以n(x+1)>2x在(0，+0)恒成立， x+2 下面证x0时，2xx ,即证2e-x2-2x-2>0, x+2e"-1 设p(x)=2e*-x2-2x-2(x>0),p'(x)=2e*-2x-2, 答案第3页（共4页） 设u(x)=2e-2x-2,'(x)=2e-2, 易知d(x)=2e-2>0在(0，+0)恒成立，u(x)=2e-2x-2在(0，+o)单调递增， 所以(x)=2e-2x-2>u(0)=0,p(x)=2e-x2-2x-2在(0，+o)单调递增， 从而有p(x)=2e-x2-2x-2>p(0)=0, 所以2x、x +2>e即当x>0时，x+Dt ex-1 答案第4页（共4页）