福建莆田第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

莆田一中2025-2026学年度上学期期末考试试卷 高二数学选必一、选必二（导数、圆锥曲线、空间向量与立体几何、数列） 命题人：陈椒琼林毓琴审核人：吴天然曾献峰吴晓明 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题意。 1.若{a,,}构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是 A.{仍+，，方- B.{d,d+B,a-B} C.{a+,-d, D.{a+b,a+i+,} 2.已知数列{an}为等比数列，若a2十4a4=4a3,则数列{an}的公比为 A-号 B号 C.-2 D.2 3.已知精圆芹+寸-10m>1)和双曲线号--1m>0)焦点相同，则m-% A.2 B.1 C.-1 D.-2 4.已知数列{an}满足a1=4,(n+1)an+1=(n+2)an,则a4= A.6 B.8 C.10 D.12 5.函数f(x)=ax-ber+1在x=0处取最大值-1，则a+b= A.-5 B.-4 C.3 D.4 6已知双曲线C:2-号-1的行焦点为风，过5的直线与C的两条新近线的交点分别为A ,B.若△OAB为直角三角形，则|AB= A.3 B多 C.2w5 D.3 7.在正方体ABCD-ABCD1中，分别过A1,D1作直线AC的垂线，垂足分别为M,N,则 MN- A子AC B.号Ad C.AC D.号Ad …1 8.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.下图是某古建筑物的剖面 图，DD,CC1,BB,AA1是举，OD,DC,CB,BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别 为8品-05，瓷-么，8器-，会-k:若，，k是公若为01的等若数列， 且直线OA的斜率为0.725，则3= D A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分。 9.数列{am}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a1=2,S5=-30,则 A.a7>0 B.{an}为单调递增数列 C.使Sn>0的n的最小值为18 D.当且仅当n=8时，Sm最小 10.在平行六面体ABCD-ABC1D1中，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，AB=AD=AA1 =1,E,F分别为DD,BB1的中点，则 A.A,E,F,C四点共面 B.DA与BD1所成的角为30° C.四边形BDDB1为矩形 D.四边形A1ACC的面积为√2 11.已知M(2,1)在抛物线E:c2=2py上，F为E的焦点，A(xo,yo)为E上异于原点O的动 点，E在点A处的切线l分别与c轴，y轴交于B,C两点，过B作AF的垂线，垂足为H, 过O作1的垂线与AF延长线交于点P,则 A.AF=FC B.3xo,使得△ABF为锐角三角形 C.OH∥L D.PM的最大值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知正四面体ABCD的棱长为2，F,G分别为AD,DC的中点，则FG.BA= 3.已知椭圆土多=1(Q>b>0)的左右焦点分别为F,B,P是椭圆上一点，且P ,P成等比数列，则椭圆离心率的最大值为 ·2… 14.下表中数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每一行和每一列都分别是等差数列.记第i行第方 列的数为a人其中i,j∈N*),则a6.6= ,数字2026在表中总计出现 次 3 4 5 6 3 5 7 9 11 7 10 13 16 5 13 17 21 6 11 16 21 26 … 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.如图，棱长为1的正方体ABCD-ABCD1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中 点 (1)求点A到直线BE的距离： (2)证明：直线CF∥平面ABE,并求直线CF到平面ABE的距离. D B A E D B 16.设函数f(x)=x+ln(x+1)(k≠0)，直线l是曲线y=f(x)在点(t,f(t)(t>0)处的切线： (1)讨论f(x)的单调性： (2)若k=1,是否存在t>0,使得直线1经过原点？若存在，求出t的值，若不存在，说明理 由 17.已知数列{an+1-an}是首项为4，公差为2的等差数列，且a1=2. (1)求数列{anm}的通项公式： ②设久.2n,R,若，是等差数列，求的值， ·3 18.如图，已知四棱锥M-ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面MAD是等边三角形， AB=MB=2BC=2,AD⊥BD,N为侧棱MC上一点 (1)证明：平面MAD⊥平面ABCD; (2)求MC与平面BMD所成角的正弦值： (3)过A,N两点的平面分别交线段MD,MB于E,F两点，且BD∥平面AENF,是否存在点 N,使得平面ADNF与平面ABCD夹角为吾？若存在，求然的值：若不存在，说明理由. CM B 19.在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,∠ACB的平分线交AB于点D,AD=2DB.平面（过 直线AB,且与△ABC所在的平面垂直. (1)求直线CD与平面α所成角的大小； (2)设点E∈α，且∠ECD=30°，记E的轨迹为曲线T.以AB中点O为原点，建立适当的坐标 系 (⑦)判断工是什么曲线，并求出工的轨迹方程； ()不与直线AB重合的直线l过点D且交T于P,Q两点，试问：在平面α内是否存在定点T, 使得无论l绕点D如何转动，总有∠PTC=∠QTC？若存在，指出点T的位置：若不存在，说明 理由 D …4 莆田一中2025-2026学年度上学期高二期末数学考试 参考答案 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 参考 B D D BC ACD ACD 答案 填空；一1 13.714.37,15 三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.以D为原点，DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，---1分 则A(1,0,1),B(1,1,1),E0,0,号)，F(1,1,号)，C(0,1,1),A(1,0,0) 1)因为6=(1,1，)，46=(0,1,0)，则AE丽 2 EB 3 ，3分 所以点A到直线B,E的距离为1 AB- AB·EB 5分 EB (2)AE=(-1,0,2),FC=（-1,0,号)=AE,又A,E,F,C四点不共线，所以 AE∥FC, 又AE丈平面ABE,FCC平面ABE,所以FC∥平面ABE,可知直线FC到平面ABE的距离等于 C到平面ABE的距离，.7分 因为AB=(0,1,1),A正=(（-1,0，)，设元=(x,,z)是平面ABE的法向量，则元⊥AB,元⊥AE, 所以 i·AB=y十z=0 y=-2 运=+0所以 {2=2取z=2,则y=-2,=1,于是方=(1，-2,2)是是平面 ABE的法向量， 10分 CB 又因为CB1=(1,0,0)所以，点C到平面ABE的距离为 12分 3 即直线FC到平面AB,E的距离为 3 13 16.(1由题可得f四=1+云车>-1，k≠0， 2分 当k<0时，令f(x)>0,得x>-k-1,即f(x)在(-k-1,十∞)上单调递增，4分 令f(x)<0,得-1<x<-k-1,即f(x)在(-1，-k-1)上单调递减，5分 当k>0时，e=1+=,当>-1，f到>0恒成立 x+1 即f(x)在(-1，+∞)上单调递增：… 6分 综上，当k<0时，f(x)在(-1，-k-1)上单调递减，在(-k-1,+∞)上单调递增 >0时，f(x)在(-1，十00)上单调递增。7分 ②)由f(@=1+1切线1的斜率为1++ 则切线1方程为y-f)=(1+十)e-tt>0), 9分 假设直线1过点(（0,0)，将(0,0)代入切线方程得-f)=-1+十)小则f()=1+十d): 即t+n(1+)=1+十)，整理得n(1+)=千ln(1+)-千=0， .11分 令F=lh1+t)-年则F()在(0，+0)上存在零点， .12分 =计a时之0， 1 1 所以F()在(0，十0）上单调递增，则F(t)>F(0）=0,14分 ·1 所以函数F(t)在(0，+∞)上无零点，这与假设矛盾， 所以不存在t>0,使得直线l经过原点. 15分 17.(1)因为{an+1-an}是首项为4，公差为2的等差数列， 所以an+1-an=4十2(n-1)）=2n+2.2分 由a2-a1=4,a3-a2=6,…,an-an-1=2m(n≥2)， 相加，得an-a1=4+6十…+2,5分 又a=2,所以当m≥2时，a,=2+4+6+…+2m=n(2+2m 2 =n2十n,.7分 又a1=2符合上式，所以am=n2十n.9分 2)(方法一）由(1)知，b.=2a-n-1-2m2+n-1 n+入 n+A 10分 因为{bn}是等差数列，所以可设bn=b1十(n-1)d=kn十b,… .11分 则2m2+n-1=m十b,即2m2十n-1=m2+(+b)n十b对任意nEN恒成立，12分 n+入 (k=2 k=2 k=2 所以{+b=1,解得 8=1或A=号，即入的值为1或-号 15分 6=-1 b=-1b=2 (方法二)由(1)知，b。=2an-1=2m2+1.因为{b.}是等差数列，所以6+b6=2b2, m+入 n+A 即2+3-2：2化简得2--1-0解得1=1或-号 12分 当1=1时，6.=n+20-1=2n-1,此时b1-b.=2,符合题意；… n+1 …13分 当X=号时，b,-a十=2+1.此时a-A=2,符合匙意所以入的值为1或-号 n- 18.(1)连接BD,因AD⊥BD,BD2=AB2-AD2=22-12=3,所以BD=V5,1分 侧面MAD是等边三角形，所以MD=1,又MB=2,MD2+BD=MB2,故MD⊥BD,2分 由已知AD⊥BD,AD∩MD=D,ADC平面MAD,MDC平面MAD,可得BD⊥平面MAD, 又因BDC平面ABCD,所以平面MADL平面ABCD;4分 (2)取AD的中点O,连接PO,OM,因为侧面MAD是等边三角形，所以MO⊥AD, 由(1)知平面MAD⊥平面ABCD,平面MAD∩平面ABCD=AD,则MO⊥平面ABCD, 在平面ABCD内，由AD⊥BD,得PO⊥AD, 以AD中点O为坐标原点，分别以OA,OP,OM所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直 角坐标系，则A号，0,0B(-,0C(-5,0), D3,0.0)M0.0,5) Dm=号，0,9)，-（号，-5， 6分 11 -V B 设平面BMD的一个法向量为元=(x,y,z),则 22=0 iB丽=分-g+9=0 令z=1,则x=-√5，y=0,所以元=(-√3,0,1)为平面BD的一个 法向量， 8分 又C=(-多，5，-)），设MC与平面BMD所成角为，6∈[0，号] ·2… 则sin0=cos<MC,> MC.元 √5 √2 MC 2√9+3+3 所以MC与平面AMD所成角的正弦值为2 .10分 (3)因为BD∥平面AENF,平面AENF∩平面MBD=EF,BDC平面MBD, 所以BD∥F,假设存在点N,使得平面ABNF与平面ABCD夹角为看， 设0=GC风0≤≤则不=ac+=AC+C-(2+号V5(1-刘.号刘，…1分 设平面AENF的一个法向量为元，=(a,b,c),由BD∥EF, 则 元~a-(-2+多4a+1-b+9c=0 成·DB=√5b=0 令a=√31，则b=0,c=4-3A,所以元1=(3A,0,4-3)为平面AENF的一个法向量，13分 因为z轴⊥平面ABCD,所以平面AMD的一个法向量元2=(0,0,1)，.14分 设平面AENF与平面AMD夹角为&，a∈[O,号] 7元172 4-3入 可得cosa=cos<i1,i2> 杭杭 1√32+(4-3 =cos=9， 化简得：16-2少以=0，又因0≤≤1解得=号，l16分 所以存在点N,使得平面A5NT与平面ABCD夹角为看，此时器=号…7分 另一种建系： 因AD⊥BD,故以点D为坐标原点，分别以DA,DB所在直线为x轴和y 轴，以过D垂直于底面的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1,0,0),B(0,√5,0)，C(-1,√5,0)，D(0,0,0) 因平面MADL平面A5CD,点M在平面z0z上，故M(分：0,9) Dd=(号，0，)，B-(号，-V3,),其他同上。 19.(1)因为平面ABC⊥Q,平面ABC∩a=AB,BCC平面ABC,BC⊥AB,所以BC⊥a.1分 所以直线CD在a内的射影为直线AB,所以直线CD与a所成角为∠CDB. .2分 过D作DF⊥AC,垂足为F.因为CD平分∠ACB,DB⊥BC,所以DF=DB.又AD=2DB, 所以DF=3AD,所以∠DAF=30. 3分 又AB=6,∠ABC-90,所以BC=2W5.因为DB=3AB=2,所以∠CDB=60, 所以直线CD与平面Q所成角为60°.4分 (2)()曲线厂是椭圆，… 5分 理由如下：由(1)可知，DF⊥AC,DA=DC, 所以F是AC的中点，设AB的中点为O,所以OF∥BC 又BC⊥a,所以OF⊥a.在a内过O作OG⊥AB,所以OF⊥OB,OF⊥OG 以O为原点，OG,OB,OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系.6分 因为OB=3,DB=2,所以OD=1, 设E(,y,0),又D(0,1,0),C(0,3,2W),则C币=(，y-3,-2W3),C⑦=(0，-2，-2W3) ·3 因为cOs∠ECD= C元.C ODCE 7分 又∠ECD=30°，所以 -2y+18 √5 21 8分 OD B 4Vx2+(y-3)2+12 E 化简得32+2对=18，即若+号-1，所以曲线r是椭风.9分 ()方法一：设P(m1,,0),Q(x2,,0). 在平面a内，因为l与AB不重合，可设l:y=kx+1, 由得21g得2+32ke-16=0.前十=2兰g4=g<010分 4k 16 由对称性知，若存在定点T满足条件， 则T必在平面ABC与α的交线AB上，故可设T(0,t,0). 11分 若∠PTC=∠QTC,则cos/PTC=cos∠QTC, 即元=C,因为元-(-t.0,顶-（助-t.0,7元-0.3-23）. TPTCTQTC 所以(3-t)(劲-t)W+(-t=(3-t)(-t)√+(-t,12分 当t=3时，上式恒成立，所以t=3符合题意；…13分 当t≠3时，有(-t)W喝+(-t=(-t)V好+(-t护， 所以(-t[x喝+(h-t2]=(h-t[好+(y-t2], 所以l2(-t=l(2-t儿. .14分 因为c2<0,(y1-t)(2-t)≥0， 所以匹(-t)+x2(-t)=0, 所以2kc12+(1-t)(0十x2)=0, 所以到2年g+1--#3)=0,即(a-k=0 因为上式对于任意的k∈R恒成立，所以t=9. 16分 综上，存在点T满足A7=AB,或A7=2AB时，符合题意. .17分 方法二：设P(c1,1,0),Q(2,,0) 在平面a内，因为1与AB不重合，可设1：y=x+1,由三t 3x2+2y2=18, 得(2k2+3)x2+4kac-16=0,所 4 以0+2+3购=23<0. 10分 由对称性知，若存在定点T满足条件，则T必在平面ABC与α的交线AB上，故可设T(0,t,0).11分 当T与B重合时，因为CT⊥&，又PT,QTca,所以∠PTC=∠QTC= 2 所以当t=3时，符合题意. .12分 当T与B不重合时，过B作BR⊥PT,BQ1⊥QT,垂足分别为B,Q1.连接CR,CQ1, 则因为BC⊥Q,BTc&,所以PT⊥BC.又RT⊥BR,BR∩BC=B,所以RT⊥平面BCR, 所以BT⊥CP,同理QT⊥CQ1… 又∠BTC=∠QTC,所以△RTC≈△QTC,所以RT=QT, 所以Rt△BRT≈Rt△BQ1T,所以直线BT平分∠PTQ 又BT在y轴上，所以在平面《内直线PT,QT的倾斜角互补14分 在平面a内，设直线PT,QT的斜率分别为，2，则十=二t+-t=2k+(1-t)四+ 01 C1T2 =2k+(1-利车-空(9-)=0，对于任意的kcR恒成立，所以t=0.16分 综上，存在点T满足A7=AB,或A7=2AB时，符合题意. .17分 ·4…