3.4 圆周角 -同步练-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练以“基础提质-能力提升-素养提优”分层设计，覆盖圆周角概念、定理及推论、圆内接四边形性质，从概念辨析到综合应用，梯度进阶培养推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础提质|圆周角概念、定理及推论基础应用|以选择、填空为主，如识别圆周角、直接应用定理求角度，巩固核心概念| |能力提升|多角关系综合、圆内接四边形性质拓展|结合网格、实际情境（如监视器安装），需多步推理，如第7题利用直径所对圆周角性质求和| |素养提优|跨情境创新探究|设计“相望角”等新定义问题，需构造辅助线证明与计算，发展推理能力和创新意识|

3.4 圆周角 第1课时 圆周角的概念及圆周角定理 基础提质 知识点 圆周角 1.下列圆中，既有圆心角又有圆周角的是 ( ) 2.如图，将量角器放在英语作业纸上(横线之间互相平行)，其中两条线与量角器外圈的交点分别为A,D,B,C,连接BC,AC.若A，B 两点分别在量角器外圈的60°与30°的刻度处，则∠ACB的度数为( ) A.30° B.25° C.20° D.15° 3.如图,CD 是⊙O 的直径,点A,B 在⊙O上.若 ∠AOC=36°,则∠D=( ) A.9° B.18° C.36° D.45° 4.如图,点A,B,C在⊙O 上,∠BAC=50°,则∠OBC= °. 5.如图，AB 是⊙O 的直径,CD是⊙O 的一条弦,且 CD⊥AB 于点 E,连接AD,BC,CO. (1)当∠BCO=30°时,求∠A的度数. (2)若 ,BE=6,求⊙O的半径. 能力提升 6.如图，⊙O 中两条弦AB与CD的延长线交于点 P,AD 与 BC 交于点E，下列关系式一定成立的是( ) A.∠AEC+∠P=90° B.∠AEC+∠P=2∠ADC C.∠AEC-∠P=45° D.∠AEC-∠P=∠ADC 7.如图，AB是圆的直径,∠1,∠2,∠3,∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A,B,则∠1+∠2+∠3+∠4= °. 8.如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点 P 处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上安装 台这样的监视器. 9.如图，点A，B，O是边长为1的正方形组成的网格上的三个格点，OA 为⊙O的半径，点P 是优弧 的中点，则△APB 的面积为 . 10.如图,扇形OAB 的圆心角为260°,若点 P 在该扇形内,则∠APB 的度数的范围是 .第3章 11.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB=AC,P是⊙O上一点.请你只用无刻度的直尺，分别画出图1 和图2中∠BPC 的平分线.(不写作法，保留作图痕迹) 素养提优 12.如图1,C,D 是半圆ACB上的两点，点 P 是直径AB上一点，且满足∠APC=∠BPD,则称∠CPD是(CD的“相望角”. (1)如图2,若弦CE⊥AB,D 是弧 BC 上的一点,连接 DE 交AB 于点 P,连接 CP.求证:∠CPD 是CD的的“相望角”. (2)如图3,若直径AB=6,弦CE⊥AB,CD的“相望角”为90°,求 CD 的长. 学科网（北京）股份有限公司 第2课时 圆周角定理的推论 基础提质 知识点1 圆周角定理的推论 1.如图,AB是⊙O 的直径,∠CAB=40°,则∠ADC的度数是( ) A.80° B.50° C.40° D.25° 2.如图，四边形ABCD 内接于⊙O,BD为⊙O的直径.若AB=AC,∠ACB=70°,则∠CBD=( ) A.40° B.50° C.60° D.70° 3.如图，木工师傅常用一种带有直角的角尺来测量圆的半径，他将角尺的直角顶点A放在圆周上，角尺的两条直角边分别与圆相交,交点分别为B,C,经测量AB=8,AC=6,则圆的半径是 . 4.如图,AB是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的 弦.若 ∠DCB = 45°,AD = 1,则 AB = . 5.如图，AB是⊙O 的直径，弦CD⊥AB,点E在AD上.若 则CD的度数为 °. 知识点 2 圆内接四边形的性质 6.如图,四边形ABCD 内接于⊙O, 连接BD,若∠ABC=70°,则∠BDC 的度数为( ) A.20° B.35° C.55° D.70° 7.如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,BE是⊙O 的直径,连接AE 和OD,若∠BCD=2∠BAD,则∠DOE的度数是 ( ) A.30° B.45° C.60° D.70° 8.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,∠A=110°,连接OB,OD,则∠BOD= °. 9.四边形 ABCD 是⊙O的内接四边形,若∠A:∠B:∠C=3:5:6,则∠D= °. 10.如图,点A,B,C,D 在⊙O 上,若∠1+∠2=100°,则∠B的度数为 . 学科网（北京）股份有限公司 能力提升 11.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O,连接AC,记∠BAC 的度数为α,∠CAD 的度数为β.若AB=AC,AB∥CD,则有( ) A.2α+3β=180° B.3α+4β=360° C.3α+2β=180° D.4α+3β=360° 12.如图,正方形ABCD的边长为1,E,F 分别在AD,CD 上,且AE=CF,EG⊥BF于点G,则CG的最小值为 . 13.如图,四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC=180°. (1)求证:OC∥AD. (2)若AD=2, 求AB的长. 14.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点 F 是CD延长线上的一点,且 DA平分∠BDF,AE⊥CD 于点 E. (1)求证:AB=AC. (2)若BD=11,ED=2,求CD的长. 素养提优 15.核心素养推理能力已知△ABC内接于⊙O,∠BAC 的平分线交⊙O于点 D,连接DB,DC. (1)如图①,当∠BAC=120°时,请直接写出线段 AB,AC,AD 之间满足的等量关系: . (2)如图②,当∠BAC=90°时,试探究线段AB,AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论. 3.4 圆周角 第1课时 圆周角的概念及圆周角定理 基础提质 1. C 2. D 记量角器中心为点O，连接AO，BO，如图， ∵A，B 两点分别在量角器外圈的60°与30°的刻度处， ∴∠AOB=60°-30°=30°, 故选 D. 3. B【解法一】等弧圆周角法：连接AD(图略)， 故选 B. 【解法二】等弧圆心角法：连接OB(图略)， ∴∠BOC=∠AOC=36°,∴ 18°.故选 B. 4.答案 40 解析 ∵ ∠BAC=50°,∴ ∠BOC=2∠BAC =100°,∵OB=OC,∴ 5.解析 (1)∵OB=OC,∠BCO=30°, ∴∠OBC=∠BCO=30°,∴∠ADC=∠OBC=30°, ∵CD⊥AB,∴∠AED=90°,∴∠A=90°-∠ADC=60°. (2)∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB, 设OB=OC=r,则OE=BE-OB=6-r, 在 Rt△OCE中, 即 解得r=4.5,∴⊙O的半径为4.5. 能力提升 6. B ∵∠AEC=∠ADC+∠C,∴∠AEC+∠P=(∠ADC+∠C)+∠P.∵BD=BD,∴∠A=∠C, ∴∠AEC+∠P=∠ADC+∠A+∠P,∵∠ADC=∠A+∠P,∴∠AEC+∠P=2∠ADC. 故选B. 7.答案 90 解析 ∵AB 是圆的直径，∴AB 所对应的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°,∵∠1,∠2,∠3,∠4 所对的弧的和为半圆，∴ 8.答案 4 解析 ∵∠P=55°，∴∠P 所对弧所对应的圆心角是110°,∵ ∴最少需要在圆形边缘上安装4台这样的监视器. 9.答案 解析 如图,过点 B作 BC⊥PA 于点 C, ∵点P是优弧AMB的中点,∴PA=PB,∵∠AOB=90°, ∴△PBC 是等腰直角三角形,∴PC=BC,设PC=BC=x,则. 10.答案 50°<∠APB<140° 解析 如图1，当点 P在AO 的延长线上时，延长AP交圆O于点 C,连接BC, ∵扇形 OAB 的圆心角为260°, ∴ ∠AOB=360°-260°=100°, ∴∠APB>∠C=50°; 当点 P在线段AO上时，如图2，连接AB， ∵OA=OB, ∴ ∠OAB=∠OBA=(180°-100°)÷2=40°, ∴∠OBP<∠OBA=40°, ∵∠APB=∠AOB+∠OBP=100°+∠OBP, ∴ ∠APB<140°. 综上,∠APB的度数的范围是50°<∠APB<140°. 11.解析 如图1，PA 即为所求作的角平分线； 如图2，PD即为所求作的角平分线. 素养提优 12.解析 (1)证明:∵弦CE⊥直径AB, ∴AB 垂直平分弦CE,∴∠APC=∠APE, ∵∠APE=∠BPD,∴∠APC=∠BPD, ∴∠CPD是CD的“相望角”. (2)∵ CD的“相望角”为 90°,∴ ∠CPD = 90°,∴∠APC=∠BPD=45°, ∵弦CE⊥AB,∴PC=PE,∠APE=∠APC=45°, ∴∠PEC=∠PCE,∠CPE=90°, ∴∠PEC=∠PCE=45°, 如图,连接OC,OD,则OC=OD=AB=3, 即CD的长为3 第2课时 圆周角定理的推论 基础提质 1. B ∵AB 是⊙O 的直径,∴ ∠ACB=90°,∴ ∠CAB+∠B=90°,∵∠CAB=40°,∴ ∠B=50°,∴ ∠ADC=∠B=50°.故选 B. 2. B ∵AB=AC,∠ACB=70°,∴ ∠ABC=∠ACB=70°,∴∠BAC=180°-70°×2=40°,∴ ∠BDC=∠BAC=40°,∵BD为⊙O 的直径,∴∠BCD=90°,∴∠CBD=90°-40°=50°.故选 B. 3.答案 5 解析 如图，连接BC， ∵∠BAC=90°,∴ BC 为圆的直径, 10,∴圆的半径是5. 4.答案 解析 ∵AB是⊙O 的直径,∴∠ADB=90°, ∵∠DCB=45°,∴∠DAB=45°, ∴∠ABD=90°-∠DAB=45°,∴BD=AD=1, 5.答案 144 解析 如图,连接AC,OC,OD,∵AB是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∴ ∠CAB+∠ABC=90°,∵ ∠ABC=∠E,∠CAB=∠E,∴ ∴ ∠CAB+∠CAB=90°,∴∠CAB=36°,∴∠COB=2∠CAB=72°,∵CD⊥AB, ∴ ∠COB=∠BOD=72°,∴ ∠COD = ∠COB +∠BOD = 144°, ∴ CD的度数为144°. 6. C 由题意得,∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°= 故选 C. 7. C ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,∴ ∠BCD+∠BAD=180°,∵∠BCD=2∠BAD,∴∠BCD=120°,∠BAD=60°,∵ BE 是⊙O 的直径,∴ ∠BAE = 90°,∴∠DAE=90°-∠BAD=90°-60°=30°,∴ ∠DOE=2∠DAE=60°.故选 C. 8.答案 140 解析 ∵四边形ABCD 内接于⊙O,∴∠A+∠BCD=180°,∵ ∠A = 110°,∴ ∠BCD =180°-∠A =180°-110°=70°,由圆周角定理得∠BOD=2∠BCD=2×70°=140°. 9.答案 80 解析 ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°,∵ ∠A : ∠B:∠C=3:5:6,∴设 则∠B=5x,∠C=6x,∴3x+6x=180°,解得x=20°,∴ ∠B=5x=100°,∴ ∠D=80°. 10.答案 80° 解析 ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠D=180°,∴∠D=180°-∠B,∵∠1+∠2=100°,∴ ∠AOC+∠D=360°-100°=260°,∵ 2∠B=∠AOC,∴2∠B+180°-∠B=260°,∴∠B=80°. 能力提升 11. C ∵ ∠BAC 的度数为 α,∠CAD 的度数为β,∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=α+β,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°,∴2∠ACB+α=180°,∴∠ACB=90°-α,∵AB∥CD,∴ ∠ACD=∠BAC=α,∴ ∵四边形 ABCD 内接于⊙O,∴ ∠BAD+∠BCD=180°,∴ 整理得3α+2β=180°.故选 C. 12.答案-1 解析 如图,连接BE,AG,∵四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠BCF =∠BAD =90°,AB =BC,∵EG⊥BF,∴∠EGB=90°,∴∠EAB+∠EGB=180°,∴A,B,G,E四点在以BE 为直径的圆上. ∵AE=CF,BC=AB,∠BCF=∠BAE=90°, ∴△BAE≌△BCF(SAS),∴∠EBA=∠CBF, ∵A,B,G,E四点共圆,∴∠EGA=∠EBA, ∵∠BGA=90°-∠EGA,∠GBA=90°-∠CBF=90°-∠EBA,∴∠BGA=∠GBA,∴AG=AB=1, 连接AC,则CG≥AC-AG,当G,A,C三点共线时,CG取得最小值，为AC-AG的值， 在Rt△ABC中,AB=BC=1,. ∴ CG的最小值为 知识拓展 隐圆——四点共圆型 如图,在由点A,B,C,D构成的四边形中,∠ABD=∠ACD=90°,则点A,B,C,D在以AD为直径的圆上. 13.解析 (1)证明:∵ ∠AOC = 2∠ABC,∠DAB+2∠ABC=180°, ∴∠DAB+∠AOC=180°,∴ OC∥AD. (2)如图,连接BD交OC于点 E, ∵AB是半圆O 的直径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BD,∵OC∥AD,∴OC⊥BD,∴点E为BD 的中点,又∵O是AB的中点,∴ OE 是△ABD 的中位线,∴ OE= 设半圆的半径为r，则CE=r-1.由勾股定理知，OB²-OE²=BE²=BC²-CE²,即r²-1=(2)²-(r-1)²,解得 (舍去),∴AB=2r=6. 14.解析 (1)证明:∵ DA 平分∠BDF,∴ ∠ADF=∠ADB,∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,∴∠ABC+∠ADC=180°,∵ ∠ADC+∠ADF = 180°,∴ ∠ADF =∠ABC,∵∠ACB =∠ADB,∴ ∠ABC=∠ACB,∴AB=AC. (2)如图,过点 A 作 AG⊥BD 于点 G.∵ DA 平分∠BDF,AE⊥CF,AG⊥BD,∴ AG= AE,∠AGB =∠AEC = 90°, 在 Rt △AED 和 Rt △AGD 中,(AD=ADAC,∴Rt△AED≌Rt△AGD(HL),∴CD=ED=2,在 Rt△AEC 和 Rt△AGB 中, ∴ Rt△AEC≌Rt△AGB(HL),∴BG=CE,∵BD=11,∴BG=BD-GD=11-2=9,∴CE=BG=9,∴CD=CE-DE=9-2=7. 素养提优 15.解析 (1)AB+AC=AD. 详解:如图,在AD上截取AE=AB,连接BE, ∵∠BAC=120°,AD平分∠BAC,∴∠DBC=∠DAC=∠DCB=∠DAB=60°,∴ △ABE 和△BCD 都是等边三角形,∴AB=BE,BC=BD,∠ABE=60°,∴∠CBD-∠EBC=∠ABE-∠EBC,即∠DBE=∠ABC,∴△BED≌△BAC(SAS),∴DE=AC,∴AD=AE+DE=AB+AC. 证明如下： 如图,延长AB 至点M,使BM=AC,连接DM, ∵四边形 ABDC 内接于⊙O,∴ ∠ABD+∠ACD=180°,∵∠ABD+∠MBD=180°,∴ ∠MBD=∠ACD,∵AD平分∠BAC,∠BAC=90°,∴ ∠BAD=∠CAD=45°,∴ BD=CD,又∵ BM=AC,∴ △MBD≌△ACD(SAS),∴ MD=AD,∠M=∠CAD=45°,∴ ∠ADM=180°-∠M-∠DAM=180°-45°-45°=90°,∴ △AMD是等腰直角三角形，∴AM=AD,即 AB+BM= 学科网（北京）股份有限公司 $