福建省莆田第一中学2026-2027学年高一上学期数学周练（9.7-9.13）

2026-2027学年莆田一中高一（上）数学周练（9.7-9.13） 一、单选题 1．下列写法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 3．若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 4．设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（   ） A．1 B．3 C．7 D．8 5．设集合，集合，则（     ） A．⫋ B． C．⫋ D． 6．已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．设，，为非零实数，则的所有值所组成的集合为（    ） A． B． C． D． 8．若数集具有性质：对任意的，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 二、多选题 9．已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 10．设集合，，如果，则可能的取值是（    ） A． B． C．0 D． 11．设集合，其中是从小到大排序的正整数.已知且元素和是的元素和是224.则（    ） A．集合中有7个元素 B． C．的值不可能是3 D．符合条件的集合不唯一 三、填空题 12．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________．    13．已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 14．已知满足“如果，则”的自然数构成集合．” （1）若是一个单元素集合，则______． （2）满足条件的共有______个． 四、解答题 15．已知集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围. 16．已知集合，． （1）若，求a的取值范围； （2）若，求a的取值范围． 17．已知集合，，其中，中至少有两个元素，若集合，满足：①对于任意两个不同元素，都有；②对于任意两个不同元素且，都有；则称集合是的“友好集”． (1)已知，与，，分别判断是否为的“友好集”，是否为的“友好集”，并说明理由； (2)若集合，其中，若存在集合是的“友好集”，证明：； (3)若集合中有四个元素，且集合是的“友好集”，求集合中元素的个数． 试卷第4页（共4页） 试卷第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年莆田一中高一（上）数学周练（9.7-9.13）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C B D C B BC AB 题号 11 答案 BC 1．B 【详解】对于AB，因为集合中只有一个元素， 所以，，故A错误，B正确； 对于CD，是不含任何元素的集合， 所以，，故CD错误. 2．A 【分析】由题意先求出的充要条件，然后结合是的充分条件可得实数的范围，从而对比选项即可得解. 【详解】由题意， 若是的充分条件，则当且仅当， 对比选项可知实数可以是3. 故选：A. 3．D 【分析】根据交并补集的运算结果，结合选项依次验证即可判断. 【详解】A：若，则，所以， 与矛盾，故A错误； B：若，则，所以， 与矛盾，故B错误； C：若，则， 由，得，所以， 与矛盾，故C错误； D：若，则， 由，得， 所以，故D正确. 故选：D 4．C 【分析】分和两种情况讨论求出，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数. 【详解】由题意有：当时，，满足题意， 当时，，所以， 由，所以或， 解得或， 所以数取值集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C. 5．B 【详解】因为，，所以是任意奇数，所以集合是所有奇数构成的集合. 同理，当，时，表示的是所有比4的整数倍多1的数，即①， 当时，表示的是所有比4的整数倍少1的数，即②， 所以①②合起来也是全部奇数，所以集合也是所有奇数构成的集合， 所以，故A，C错误，B正确； 因为集合是所有奇数构成的集合，所以是所有偶数构成的集合， 所以，故D错误. 6．D 【分析】由，可知，依次讨论为时，集合中的元素个数即可得到结论. 【详解】由，且，可知， 所以依次讨论为时，集合中的元素个数． 对于A选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故A错误， 对于B选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故B错误， 对于C选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故C错误， 对于D选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素，故D正确. 故选：D 7．C 【分析】分、、是大于还是小于进行讨论，去掉代数式中的绝对值，化简即得结果． 【详解】解：，，为非零实数， 当，，时，； 当，，中有一个小于时，不妨设，，， ； 当，，中有两个小于时，不妨设，，， ； 当，，时，； 的所有值组成的集合为． 故选：C． 8．B 【分析】根据集合的新定义，验证选项A、B，集合“权集”中不能有0，判定C错误，举例验证，判定D错误. 【详解】因为与均不属于数集，所以A错误； 因为都属于数集，所以B正确； 由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误； 易知是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误. 故选：B. 9．BC 【分析】根据集合是否为空集分类讨论，结合列不等式，求得的取值范围逐一判断即可. 【详解】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以，所以或， 解得或， 因为，所以 综上，的取值范围为或， 故选：BC 10．AB 【分析】根据题意，由条件可得，然后分类讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】∵，∴， ∵，∴， ①当，即时，得，，无解. ②当，即， ③当，即，，无解， ④当，即，. 所以的取值范围为. 故选：AB 11．BC 【分析】根据题设有得，根据已知有，进而，再应用分类讨论确定其它元素的值，即可判断各项的正误. 【详解】由题意，且都是整数，则， 由，则，得，B对， 又，又的元素和是224， 所以 ， 所以， 当，则，此时，且， 若，则，显然，满足； 若，则，显然，不存在这样的，同理均不满足； 此时； 当，则，此时，且，， 所以，而时，时，不存在这样的，C对， 综上，，A、D错. 故选：BC 12． 【分析】利用Venn图得出阴影部分表示的集合为，再利用交集、补集的概念和运算规则求解． 【详解】由Venn图可知，图中阴影部分区域表示为， ，， 或， ， 或， 故答案为：． 13． 【分析】根据题意，先求或，再结合题意，分和讨论求解即可． 【详解】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 14． 15 【分析】（1）如果，则,若是一个单元素集合，则得解 （2）讨论集合元素个数得解 【详解】（1）是一个单元素集合，则， （2）当集合元素个数为1个时 当集合元素个数为2个时 当集合元素个数为3个时 当集合元素个数为4个时 当集合元素个数为5个时 当集合元素个数为6个时 当集合元素个数为7个时 综上满足条件的共有15个 故答案为；15 【点睛】本题考查集合元素的构成，属于基础题. 15．(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）是方程的根，代入即可求a； （2）分、和三种情况进行讨论即可； （3）由题意可得，分，，，四种情况讨论即可． 【详解】（1）因为，可知是方程的根， 则，解得． （2）因为， 若，且，可知， 当，则，满足题设； 当，则，解得； 当，则，解得； 综上所述：或或． （3）因为，且，则，可得， 当时，则无实数根， 可得，解得； 当时，有两相等实数根， 则，无解，不合题意； 当时，有两相等实数根， 则，无解，不合题意； 当时，有两个实数根， 则，无解，不合题意； 综上所述：的取值范围为． 16．（1）或 （2）或 【解析】（1）先求出时，a的取值范围，继而得解； （2）先求出时，转化为，a的取值范围，继而得解. 【详解】（1）∵，∴或 若，则且，即， ∴满足的实数a的取值范围是或 （2）若，则．又， 则得即． ∴当时，a的取值范围为的补集， 即或 【点睛】本题考查了集合的交、并、补综合，考查了学生转化与化归，数学运算的能力，属于中档题. 17．(1)不是的“友好集”，是的“友好集”，理由如下： 在中：，所以不是的“友好集”； 在中：，满足要求， 在中：，满足要求， 所以是的“友好集”. (2)证明：由题意可知，， 所以， 因为，所以，解得， 因为，所以，所以， 所以，即成立. (3) 【分析】（1）根据“友好集”的定义分别判断各集合的元素是否满足要求即可； （2）先根据定义确定出集合中的元素，然后根据范围分析出的取值，由此可完成证明； （3）先确定出集合中的元素，然后分类讨论的情况，根据范围确定出的取值，然后可求得集合，由此可计算出中元素的个数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）设，其中且， 则， 所以， 若，则， 因为，所以，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 此时有，此式显然不成立，所以不符合条件，所以； 当时，因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， 所以集合中元素的个数为个. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是理解“友好集”的定义，通过定义完成判断证明；另一方面在解答第三问题时，注意对和分类讨论，通过推出矛盾判断出，再结合不等式性质进行分析. 答案第8页（共8页） 答案第7页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $