福建莆田一中2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

莆田一中2025-2026学年上学期期末考试试卷 高一 数学必修一、必修二 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A={xx<1},B={-1,1},则AUB= A.（-o,] B.（-o0,1) C.{} D.{-l, 2.已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x2-2x+1,则(2)+f(0)= A.2 B.1 C.-8 D.-9 3.以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线y=2x上，则 2W5 √5 A.sina = B.cosa= C.tana=2 5 5 D.si2a-- 4.已知向量a=(n,1),b=(n,-1),则a1五”是“n=1的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知a=lh(sinl),b=em1,c=cosl,则a,b,c的大小关系为 A.b>cza B.c>a>b C.c>b>a D.b>a>c 6.已知单位向量a,b满足a.b=0,若向量c=√7a+√2五，则sin(a,c= A分 BV C分 D.V 3 3 9 9 7.若sin0+sin20+sin30=0且cos0+cos20+cos38=0,则cos20= 0 x 1 A. 2 B.1 D.、3 2 -1P 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，质点M,N间隔3分钟先后从点P(0,一1)出发，绕原点按逆时针方 向作角速度为严弧度/分钟的匀速圆周运动，则M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，V运动的 时间为 A.37.5分钟 B.40.5分钟 C.49.5分钟 D.52.5分钟 第1页共8页 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数f(x)=sinxcosx,则 B.f(x)的最大值为1 cf)在0 上单调递增D.将函数f(x)图象向右平移兀个单位长度后与f(x)的图象重合 10.函数x)=sin+acosx(a0)在一个周期内的图象可以是 A B D 11.己知函数f(x)图象上存在三个不同的点A(x,),B(x2,2),C(x,)满足x2-x1=x,-x2且 y2:乃=3y2,则f(x)可以是 A.f(x)=tanx B.f(x)=e+1 C.f(x)=x+x D.f(x)=1nx 第IⅡ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知正六边形ABCDEF的边长为1，则AC.AD= 13.将函数8)-sm+@>0的图象上所有点的横坐标变为原来的)，得到函数f(y的图象， 若f(y在0上有最大值无最小值，则@的取值范围是 14.已知△18C满足4B=AC,∠B1C=40°，点P在线段AB上，且∠ACP=20,则B AP 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 在平面四边形ABCD中，AB=2m-2,D=-m+3n,AC=2n,其中m,n为不共线的向量. (1)判断四边形ABCD的形状并证明： (2)若园=2，园=1，m与n的夹角为，F为BC中点，求∠AB. 第2页共8页 16.(本小题15分) 已知两点（53)、（径是函数f)=m(@x+网+A4>00>00<分图象上相邻的最高点 和最低点 (1)求f(x)的解析式： (2)填写表格并画出f()在[0，π]上的简图： 3 0 25元 元 …6 63 36 y (3)若方程f)在[0，上的解为5，x化≠x),求cos5-x） 17.(本小题15分) (1)证明：cos4a+4cos2a+3=8cosa; ②)若AABC满足in4-cosA=血4B,证明：△ABC是直角三角形 sinC 第3页共8页 18.(本小题17分) 在2025莆田银河左岸音乐节上，主会场中央有一块边长为米的正方形地面全彩LED显示屏如 图所示，点E、F分别为BC、CD边上异于点C的动点，现在顶点A处有视角∠EAF设置为45°的摄 像机，正录制形如△ECF的移动区域内表演的某个节目，设DF=x米，BE=y米. (I)请将y表示为x的函数， (2)证明：△ECF周长p为定值； (3)求△ECF面积S的最大值 19.(本小题17分) 已知函数f(x)=sin o-V3cosr+V3 (0>0)的最小正周期为2元. 2 22 (1)求f(x)图象的对称中心： (2)证明：函数g(x)=f(x)+8nx有且只有一个零点x; 《3)设函数Mf2x+,在Q的条件下证明：1-4m(3x-2)三()10- 第4页共8页 2025-2026学年上学期朗末考试高一数学 【参考答案】1-4ADCB5-8ABCA9AD10Ac1AcD1231B.兮145 第11题解析：问题等价于(f(x》2=f(x-d)f(x+d),d>0关于x,d有解. 选项A,作水平线与正切函数图象易知正确：选项B,由(e+1)2=(e-d+1)(e+d+1)化简得 2e=e-d+e+d,又e-d+e+d>2We-de=2e,所以矛盾，选项B错误， 选项C,由x2(x+1)2=(x-d(x-d+1)(x+d(x+d+1)=(x2-d2)(x+1)2-d2)得 d=(x+1)2+x2,所以任给一个x,均有d0符合. 选项D,令f(x)=ln(x-d)n(x+d)-ln2x,当x>d+1时，ln(x-d),ln(x+d),nx均为正， ()<(Gx-d)+l(x+-x-@-)-Inx<0. 当x-→d时，h(-0→-n,ln(x+0→ln(2d0,取d=,则nx+d0→-lf9→+o, 则f(x)存在零点，符合题意 15.解：(1)因为AD=-m+3n,AC=2i, 所以DC=AC-AD=27-(（-m+3i)=i-i,… 3分 又因为AB=2m-2,所以AB=2DC, .4分 又因为A,B,C,D四点不共线，所以AB∥DC且AB≠DC,.....5分 所以四边形ABCD为梯形. ...6分 (2)因为B=2m-2,所以AB=√2m-2)}=√4mi2-8i-i+4=25,7分 因为F为BC中点，所以正=A+AC)=m, .8分 所以AF==2, .9分 所以AF.AB=i.(2i-2i)=2m2-2m·i=8-2=6 10分 所以COS∠FAB=, AF·AB 65 AF.A 2×2W52' .12分 因为∠FAB∈[O,刀]，所以∠PAB= 61 .13分 第5页共8页 =A+B=3 16.【详解】(1)由已知有 ,解得A=2,B=1,..1分 f 7π =-A+B=-1 12 由题意可知， 函数f的最小E闲期为7=2沿），放@票-2,2分 T 因为点后是函数图象上的最高点，则2×音 =匹+2m(keZ),.3分 2 所以0=骨+2kez,因为09子，所以p-晋 4分 故f(x)=2sim2x+ +] 3 .5分 y (2)令X-2x+ 3 列表如下 X -3 元-2 3元 2 2元 3 0 7π 5π 12 几-3 1 π 6 2π 5π 2 1+V3 1 -1 1+5 3 ...10分 ⊙油0ssx餐等s2x+号答且2+骨-a2-骨-月 3 3 .11分 则2x争-(+=2受即-名 7π 6913分 则co化-）=com2-（6G+》=co22=m(2+9=号15分 17.【详解】(1)i证明：由cos4a+4cos2a+3=2cos22a-1+4cos2a+33分 =2(c0s22a+2c0s2a+1260s2a+1)2=2(2cos2c2=8cosa..6分 所以cos4a+4cos2a+3=8cosa... .7分 (2)由已知得sinAsinC-cosAsinC=sinA-sinB=sinA-sin(A+C).. 9分 =sinA-sinAcosc-cosAsinc,............. .10分 所以sinAsinC=sinA-sinAcosC, ....11分 由于sinA≠0，所以sinC+cosC=1,.12分 两边平方得sinC cosC=0, 又sinC≠0，所以c0sC=0,.14分 又Ce(0,所以C-子即A48C是直角三角形.15分 第6页共8页 18.解：(1)由已知得an∠BAE=y,tan∠DAF= 1分 tam(∠BAE+∠DAF)=tan(90°-∠EAF)=1. .2分 v x 仅ta∠BME+∠DAF)=tan∠BAE+tan∠☑DAP三aa=ax+2,3分 1-tan∠BAE ta∠DAF1-y a2-xy a" 则y=aa-0<x<a. a+x 5分 (2)解法一p=卫C+CF+EF=(a-x)+(a-)+√(a-)2+(a-)26分 aa-+(a-x) .7分 a+x =2a-x'+a 4a2x2 十 Va+x)+(a-x) .9分 x+a =2a- x2+a2 十 (a2+x2)2 =2011分 x+a V(a+x)2 解法二：由已知及(1)得EC=a-x,CF=a-y,a(x+y)=a2-y.6分 则EF2=EC2+CF2=(a-x)2+(a-y)2=2a2-2a(x+y)+x2+y2.7分 =2a2-2a(x+)+(x+y)2-2xy=(x+)2,即EF=x+y..9分 所以p=EC+CF+EF=(a-)+(a-)+x+y=2a定值.11分 (3)由(1)得a(x+)=a2-xy,则a2-y≥2aVy, ……13分 解得Vy≤(2-1)a ...14分 求么5号2c.Cr-a-a-0-a-e+加叨=w≤6-2a15分 当且仅当x=y=(2-1)a等号成立.16分 所以△ECF面积S的最大值为(3-2W2)a2(cm2).... 17分 19【解】af)-nom-V5x21上ao+ 2 2 .1分 1 5 =-S11n0X- cosox=sin Ox- .2分 因为f(x)的最小正周期为2π， 第7页共8页 所以2m=2元，解得m=1,所以f)=simx- 0 3 3分 令-亚=元，k∈Z得x=k+,则函数的对称中心为（元+买0，kEZ4分 +8lnx,定义域(0，+o).①当x∈0， 5π 6 时，g()单调递增，.5分 =8n>0, 3 3 6分 @当x中0时，由>228，所以8n8h6=4:7分 8分 综上，存在唯一的)，使得g()=0,且x∈1与 .9分 同)=n2- 10分 ①下证不等式右边：M)≤号16nx(因为g(化)=n怎写到+8n=0,代入上式 要证(*)式成立，只要证si (im ...11分 》则m2引m232）12骨引-12.12分 上式化为12<2，即证：2-2r+分之0.由2+2}4之0，县然成立.5分 22 ②下证不等式左边：因为61写=12)，所以(6-，-2)≤0， 所以3x。-2≥x,所以n(3x。-2)≥nx=2nx, …15分 所以1-4h(3x,-2)s1-8nx=1+m飞哥=1+7. 下证1+t≤1-2，即证2r+t≤0，即 ≤t≤0. 2 16分 得证.....17分 第8页共8页