第一章 特殊平行四边形（单元自测卷·深圳专用）数学新教材北师大版九年级上册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（深圳专用） 第一章特殊平行四边形（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分) 题号 1 2 4 6 7 8 答案 B D B B A B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.40 10.96 11.45 12.(30W2+10 13. 45 三、解答题（共7小题，共61分） 14.(6分) 【详解】解：，四边形ABCD是菱形， .AB=AD,1分 ∠A=60°， ∴.△ABD是等边三角形， BD=AB=30(cm) 2分 ∴.校门打开了5m时， 0×20=600(cm)=6(m) 而伸缩门的宽度为 ,3分 +5=11(m) ∴校门的总宽度为 :当每个菱形的内角度数为90°时，BD=√AB+AD=V5AB=30V2≈42.42(cm) 2.42×20=848.4(cm)=8.484(m) ∴.此时伸缩门的宽度为 5分 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11-8.484=2.516(m) .校门打开了 6分 15.(6分) 【详解】解：(1) 如图所示，正方形ABDC即为所求： D 2分 B 图① (2) 如图所示，中线AE即为所求； -D E .4分 B 图② (3) 如图③所示即为所求作. 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 6分 B 图③ 16.(7分)【详解】解：(1)证明：：四边形ABCD是矩形， ADI‖BC,∠A=90, ∴.∠MDO=∠NBO,∠DMO=∠BNO, 在△DMO和△BNO中， ∠MDO=∠NBO BO=DO ∠MOD=∠NOB' .△DMO≌BNO(ASA),2分 ..OM=ON, .OB=OD, .四边形BMDN是平行四边形，3分 .·MN⊥BD .平行四边形BMDN是菱形..4分 (2)解：四边形BMDN是菱形， .MB=MD,5分 设MD长为x,则MB=DM=x, 在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2 即x=(8-x)}+6 6分 解得：x25 4· 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25 答：MD长为4.7分 17.(8分)【详解】解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， AB CD,AB=CD,∠BAD=∠C, .AB II DE, .∠BDC=90° .∠BDE=90°， .∠DBA=90°， 在RtAABD中，O为线段AD的中点， B0=A0=D0=54D, ∴.∠OAB=∠OBA,则∠OBA=∠C, .∠OBA+∠OBD=90°，∠C+∠CBD=90° .∠OBD=∠CBD,1分 在△CBD,△EBD中， I∠CBD=∠EBD BD=BD ∠CDB=∠EDB' △CBD≌△EBD(ASA) 2分 .'CD=ED, .AB=DE,且AB‖DE,∠BDE=90° .四边形ABDE是矩形：3分 (2)根据折叠得到，折痕平分∠ADE,则尺规作∠ADE的角平分线即可，如图所示， 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 o o 5分 /M 或根据折叠得到，DE=DF，,以点D为圆心，以DE为半径画弧交于点F,过点F作AD的垂线即可， 如图所示， C B D 5分 (3)解：·∠ABD=90°，AB=3,BD=4 4D=VAB2+BD=5 点O是AD中点， 01=0040-3 2,6分 如图所示，连接BF,过点B作BN⊥AD于点N, 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D E 24B-BD 2AD-BN BN=4BBD_3x4_12 AD 55 5,7分 ,折叠， .DE DF=AB=3. 31 :.NF=AD-AN-DF=5-9- 5, BF=BN+NF3 5.8分 18.(10分)【详解】(1)平行四边形：1分 (2)解：如图1，连接GH, G D 图1 由(1)得AG=BH,AGBH,∠B=90°， ∴.四边形ABHG是矩形， 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .GH=AB=6、 ①如图1，当四边形EGFH是矩形时， .∴.EF=GH=6, .AE=CF=t, .EF=10-2t=6, t=2;3分 ②如图2，当四边形EGFH是矩形时， G H 图2 EF=GH=6,AE=CF=1, ∴.EF=t+t-10=2t-10=6, ∴.t=8; 综上，四边形EGFH为矩形时，t=2或t=8;5分 (3)解：如图3，M和N分别是AD和BC的中点，连接AH,CG,GH,AC与GH交于O, M E H N 图3 ,四边形EGFH为菱形 ∴.GH⊥EF,OG=OH,OE=OF, ..OA=OC,AG=AH, 四边形AGCH为菱形，7分 ..AG=CG, 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设AG=CG=x,则DG=8-x, 由勾股定理可得：CD+DG2=CG2, 即：6+(8-x}= ,8分 解得：x=25 4, :MG=25-4-9 9 4 ,即19 4 9 当=4时，四边形EGFH为菱形.10分 19.(12分）【详解】(1)(0,6)，(8,0)；2分 (2)证明：设1C y=x+6(k≠0)，C(3,0) 0=3k+6 的解析式为 ，把 代入得： 解得k=-2 直线AC为y=-2x+6 当x=8时，y=-2×8+6=-10 D(8,-10) B(8,0) BD=103分 在RaA0B中，AB=V0A+0B2=V36+64=10. ∴.AB=BD, .∠BAD=∠BDA .BDy轴， .∠BDA=∠OAD. .LOAD=∠BAD即AD平分∠BAO:4分 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3解：设Px-4c+6连接PC如下图 由题意得：△PAC与△PBC同高 S.APC= 解得：=6，名=12 ÷P6,分或P12,-3)；6分 (4)解：存在；若AB为矩形的一边， 直线1的解析式为x=3 设M(3以N(m) 当以BM为对角线时，如下图： ,四边形ABNM是矩形， :.∠MAB=90,AN与BM互相平分， .∴.AM2+AB2=BM2 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·M(3,y),A(0,6),B(8,0),N(m,n). ,3+8=m+0,y+0=6+n,32+y-6)2+82+62=y2+(8-3)2 解得y=10,m=11, .n=10-6=4. .N(11,4) ,8分 当以4M为对角线时，月屋时得M89。M-5争，-一10分 若AB为对角线时，设M(3,a),N(m,m, A(0,6).B(8,0). AB的中点坐标为(4,3)，0+8=3+m,6+0=Q+n, .m=5,n=6-a 2+82=32+(6-a)2+52+a2 则 解得：a=3±2V6 :1=3-26或”=3+26 ·N6,3-26或5,3+26 综Lt.L家5-号引成53-2版342一2分 20.(12分)【详解】(1)解：如下图， 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在菱形ABCD中，AB=4,∠B=60°，AE⊥BC, AB=BC=AD=CD=4,∠D=∠B=60°， .△ABC,△ACD均为等边三角形， .∠BAC=∠DAC=60°，1分 ,AE⊥BC, ABE=CE-BC=2,∠BAB=∠CE=30° 4E-V4B-BE=23 ,2分 取CD的中点F,连接AF, 则1F1CD,同理，4=25=4B,∠CF=∠D1r=30 .∠AEC=∠AFC=90°，∠EAF=60°， ∴四边形AECF是“对直四边形”，△AEF为等边三角形， .EF=AE=23 ,3分 (2)证明：如图3， A D B F 图3 延长EH,交CD于R, 四边形ABCD是正方形， .∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC, HE⊥AB,HF⊥BC .∠HEB=∠HFB=∠B=90° 四边形EBFH是矩形，4分 CG=2BE =2BF, .四边形EBFH是正方形， .BE BF=EH 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.AE=CF, 同理可得：四边形CFHR是矩形，5分 .BE=CR,CF=HR, ..AE=HR,GR=EH, :∠AEH=∠HRG=90° ∴.△AEH≌△HRG(SAS) .∠RHG=∠EAH, .∠RHG+∠AHE=∠EAH+∠AHE=90°、 ∴.∠AHG=90°. ∠D=90°， .四边形AHGD为“对直四边形”；6分 (3)解：①如下图， E 作AE⊥CD于E,作EF⊥AD于F, ∴∠AEC=∠B=∠C=90°. ∴四边形ABCE是矩形， AB=4,BC=12, ∴.CE=AB=4,AE=BC=12, ∠D=45°， .∠DAE=45°， .AE=DE=12, EF⊥AD AF=DFAD=V√AE2+DE2=12√2 12/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF-AF-DF-AD-62 ∴四边形ABCE是“对直四边形”，△AEF和△DEF是腰长相等的等腰三角形， 此时等腰三角形的腰长6√5米」 2米；8分 ②如下图， B 作CX⊥AD于X,作XW⊥CD于V, 由①可知，CD=l6,四边形ABCX是“对直四边形”，△CXW和△XWD是腰长相等的等腰三角形， 此时等腰三角形的腰长DP=CV=)CD=8米；9分 2 ③如下图， D A B R 作∠DAR=90°，交BC于R,作BT⊥AR于T,则四边形ADCR是“对直四边形”， 由①可知，∠BAD=135°， ∠BAR=45°， ∠ABR=90°， ∴△ABR是等腰直角三角形， .AB=BR=4, AR=VAB2+BR=4 .BT⊥AR, 13/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :67=AT=7R-)4R=22米，即。ABr和。BRr是腰长相等的等腰三角形， 2V2 此时等腰三角形的腰长米；10分 ④如下图， D 以AC为底边作等腰直角三角形AXC,连接DX,作XY⊥AB,交BA的延长线于点Y,YZ交CD于Z, :∠Y=∠CZX=∠AXC=90°，AX=CX,四边形ABCX是“对直四边形”， .∠AXY+∠CXZ=90°，∠AXY+∠YAX=90°， ∴.∠YAX=∠CXZ. ∴.△AXY≌△XCZ(AAS) .AY=XZ,XY=CZ. .AB+AY=CZ.XY+XZ=BC. :.4+AY=XY,XY+AY=12, XY=8,AY=4, .CZ=8, ∴DZ=CZ=8、 ..CX =DX=AX, :△AXD和△CXD是腰长相等的等腰三角形， AC=4B2+BC2=+122=410 X2+CX2=AC2 X=CX=Y2AC=45米 2 或46 综上所达：等题三角形的层长为65米或米或25米 米.12分 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15/15………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(深圳专用) 第一章 特殊平行四边形 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．如图，菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1的大小是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 2．如图，矩形的对角线交于点O，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．4 3．下列判断错误的是（   ） A．四个角都相等的四边形是矩形 B．四条边都相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．正方形有矩形和菱形的一切性质 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 5．如图，在中，，点D是斜边的中点，以为边作正方形．若正方形的面积为16，则的周长为（    ） A． B． C．12 D．24 6．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 7．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（　　） A． B． C． D． 8．如图①，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动．设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于（    ） A．8 B．3 C．6 D．12 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝_____°． 10．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 11．如图，在正方形的外侧，作等边，则__________度． 12．福田外国语学校的长方形体育馆长40米、宽20米，A是场馆西北入口，E是边中点的器材存放处，D是场馆东北角的舞台．要在边的观众区预留10米长的通道，规划一条从器材存放处E经通道到入口A的最短搬运路线，则的最小值__________米． 13．如图，在中，，，过点作，连接，，过点作于点，若，的面积为6，则的长为_____． 三、解答题（共7小题，共61分） 14．（6分）某学校的校门是伸缩电动门（如图1），伸缩电动门中的每一行有20个菱形，每个菱形的边长为．当每个菱形的某一内角度数为（如图2）时，校门打开了，当每个菱形的内角度数为时，校门打开了多少米？（参考数据：） 15．（6分）图①、图②均是7×7的正方形网格、每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作出以为边的正方形； (2)在图②中，作出的中线； (3)在图①中画出正方形的一条对称轴，使它与平行． 16．（7分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于N，连接 (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 17．（8分）如图，在中，为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)在边上有一点，沿翻折，使得点的对应点落在上，用无刻度尺子和圆规作出折痕，保留作图痕迹，不写作图过程， (3)在（2）的基础上，若，连接，求的长度，直接写出答案． 18．（10分）在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答： ；（直接填空，不用说理） (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； (3)在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 19．（12分）如图，已知直线：交y轴于点A，交x轴于点B，直线交x轴于点，请解答下列问题： (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)如图1，作射线轴，交直线于点D，请说明：平分； (3)点P为直线上的一个动点，连接，若，求点P的坐标； (4)过C作直线l垂直于x轴，若M是直线l上的一个动点，在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（12分）定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”． 问题提出 （1）如图1，在菱形中，，于点E，请在边上找一点F，使得以点A，E，C，F组成的四边形为“对直四边形”，求的长． 问题探究 （2）如图2，在正方形中，点E，F，G分别是边上的点，分别过点E，F作的垂线交于点H，连接，且．试说明四边形为“对直四边形”； 问题解决 （3）某加工厂有一批四边形板材，如图3所示，其中米，米，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长的长度． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试卷 第1页（共6页） 试卷 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(深圳专用) 第一章 特殊平行四边形 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．如图，菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1的大小是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 2．如图，矩形的对角线交于点O，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．4 3．下列判断错误的是（   ） A．四个角都相等的四边形是矩形 B．四条边都相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．正方形有矩形和菱形的一切性质 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 5．如图，在中，，点D是斜边的中点，以为边作正方形．若正方形的面积为16，则的周长为（    ） A． B． C．12 D．24 6．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 7．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（　　） A． B． C． D． 8．如图①，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动．设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于（    ） A．8 B．3 C．6 D．12 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝_____°． 10．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 11．如图，在正方形的外侧，作等边，则__________度． 12．福田外国语学校的长方形体育馆长40米、宽20米，A是场馆西北入口，E是边中点的器材存放处，D是场馆东北角的舞台．要在边的观众区预留10米长的通道，规划一条从器材存放处E经通道到入口A的最短搬运路线，则的最小值__________米． 13．如图，在中，，，过点作，连接，，过点作于点，若，的面积为6，则的长为_____． 三、解答题（共7小题，共61分） 14．（6分）某学校的校门是伸缩电动门（如图1），伸缩电动门中的每一行有20个菱形，每个菱形的边长为．当每个菱形的某一内角度数为（如图2）时，校门打开了，当每个菱形的内角度数为时，校门打开了多少米？（参考数据：） 15．（6分）图①、图②均是7×7的正方形网格、每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作出以为边的正方形； (2)在图②中，作出的中线； (3)在图①中画出正方形的一条对称轴，使它与平行． 16．（7分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于N，连接 (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 17．（8分）如图，在中，为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)在边上有一点，沿翻折，使得点的对应点落在上，用无刻度尺子和圆规作出折痕，保留作图痕迹，不写作图过程， (3)在（2）的基础上，若，连接，求的长度，直接写出答案． 18．（10分）在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答： ；（直接填空，不用说理） (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； (3)在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 19．（12分）如图，已知直线：交y轴于点A，交x轴于点B，直线交x轴于点，请解答下列问题： (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)如图1，作射线轴，交直线于点D，请说明：平分； (3)点P为直线上的一个动点，连接，若，求点P的坐标； (4)过C作直线l垂直于x轴，若M是直线l上的一个动点，在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（12分）定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”． 问题提出 （1）如图1，在菱形中，，于点E，请在边上找一点F，使得以点A，E，C，F组成的四边形为“对直四边形”，求的长． 问题探究 （2）如图2，在正方形中，点E，F，G分别是边上的点，分别过点E，F作的垂线交于点H，连接，且．试说明四边形为“对直四边形”； 问题解决 （3）某加工厂有一批四边形板材，如图3所示，其中米，米，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长的长度． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(深圳专用) 第一章 特殊平行四边形 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．如图，菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1的大小是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝DC，∠DAC＝∠1， ∴∠DAC＝∠DCA＝∠1， 在△ABD中， ∵∠D＝140°，∠D+∠DAC+∠DCA＝180°， ∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝×（180°﹣140°）＝20°， ∴∠1＝20°， 故选：B． 2．如图，矩形的对角线交于点O，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选D． 3．下列判断错误的是（   ） A．四个角都相等的四边形是矩形 B．四条边都相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．正方形有矩形和菱形的一切性质 【详解】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，故正确， B、四条边都相等的四边形是菱形，故原说法错误， C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故正确， D、矩形和菱形的性质一定符合正方形的性质，故正确， 故选：B． 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴BO=DO，AB=BC=CD=DA， ∵OE=3，且点E为CD的中点， 是的中位线， ∴BC=2OE=6． ∴菱形ABCD的周长为:4BC=4×6=24． 故选：C． 5．如图，在中，，点D是斜边的中点，以为边作正方形．若正方形的面积为16，则的周长为（    ） A． B． C．12 D．24 【详解】解：∵四边形是面积为16的正方形， ∴，且， ∴， ∵中，，点D是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：B． 6．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【详解】解：作于，交于， 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， ， ， 故选：C． 7．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（　　） A． B． C． D． 【详解】解：如图，连接PO， ∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12， ∴S矩形ABCD＝AB•BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， AC＝， ∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝， ∴S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA•PE＋OD•PF＝OA（PE＋PF）＝××（PE＋PF）＝15， ∴PE＋PF＝， 故选：A． 8．如图①，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动．设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于（    ） A．8 B．3 C．6 D．12 【详解】解：如图，连接AC交BD于O， 由图②可知，BC＝CD＝4，BD＝14－8＝6， ∴BO＝BD＝×6＝3， 在Rt△BOC中，CO＝， ∴AC＝2CO＝2 ， ∴菱形的面积＝AC•BD＝×2×6＝6， 当点P在CD上运动时，△ABP的面积不变，为b， ∴b＝×6＝3． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝_____°． 【详解】解：∵MN是AC的垂直平分线， ∴EC=EA， ∴∠ECA=∠EAC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠D=90°， ∴∠DCA=∠EAC=90°-70°=20°， ∴∠DCE=∠DCA+∠ECA=20°+20°=40°， 故答案为：40． 10．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴该菱形的面积为． 11．如图，在正方形的外侧，作等边，则__________度． 【详解】解：∵正方形，等边， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：45． 12．福田外国语学校的长方形体育馆长40米、宽20米，A是场馆西北入口，E是边中点的器材存放处，D是场馆东北角的舞台．要在边的观众区预留10米长的通道，规划一条从器材存放处E经通道到入口A的最短搬运路线，则的最小值__________米． 【详解】解：根据题意，四边形为矩形， ∴米，米，，， ∵E是边的中点， ∴米， 如下图，在线段上取点，使得米，连接， 则（米）， ∵，即，且米， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵为定值米， ∴当取最小值时，的值最小， 如图，作点关于直线的对称点， 则，米，此时米， ∴， 当点在同一直线上时，取最小值， 此时（米）， 即的最小值为米， ∴米， ∴的最小值为米． 13．如图，在中，，，过点作，连接，，过点作于点，若，的面积为6，则的长为_____． 【详解】解：过作交的延长线于点，作于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为正方形， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共61分） 14．（6分）某学校的校门是伸缩电动门（如图1），伸缩电动门中的每一行有20个菱形，每个菱形的边长为．当每个菱形的某一内角度数为（如图2）时，校门打开了，当每个菱形的内角度数为时，校门打开了多少米？（参考数据：） 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴校门打开了时， 而伸缩门的宽度为， ∴校门的总宽度为． ∴当每个菱形的内角度数为时，， ∴此时伸缩门的宽度为， ∴校门打开了． 15．（6分）图①、图②均是7×7的正方形网格、每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作出以为边的正方形； (2)在图②中，作出的中线； (3)在图①中画出正方形的一条对称轴，使它与平行． 【详解】解：(1) 如图所示，正方形即为所求； (2) 如图所示，中线即为所求； (3) 如图③所示即为所求作． 16．（7分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于N，连接 (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【详解】解：（1）证明：∵四边形是矩形， ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴MB=MD， 设长为x，则， 在中， 即 解得：． 答：长为． 17．（8分）如图，在中，为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)在边上有一点，沿翻折，使得点的对应点落在上，用无刻度尺子和圆规作出折痕，保留作图痕迹，不写作图过程， (3)在（2）的基础上，若，连接，求的长度，直接写出答案． 【详解】解：(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，为线段的中点， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴，且， ∴四边形是矩形； (2)根据折叠得到，折痕平分，则尺规作的角平分线即可，如图所示， 或根据折叠得到，，以点D为圆心，以为半径画弧交于点，过点F作的垂线即可，如图所示， （3）解：∵， ∴， ∵点O是中点， ∴， 如图所示，连接，过点B作于点， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴． 18．（10分）在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答： ；（直接填空，不用说理） (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； (3)在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵G，H分别是，中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：四边形是平行四边形； （2）解∶如图1，连接， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， ①如图1，当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2，当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴； 综上，四边形EGFH为矩形时，或； （3）解∶如图3，M和N分别是和的中点，连接，，，与交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴，即， ∴当时，四边形为菱形． 19．（12分）如图，已知直线：交y轴于点A，交x轴于点B，直线交x轴于点，请解答下列问题： (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)如图1，作射线轴，交直线于点D，请说明：平分； (3)点P为直线上的一个动点，连接，若，求点P的坐标； (4)过C作直线l垂直于x轴，若M是直线l上的一个动点，在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：当时， 当时，，解得， ∴， 故答案为：； （2）证明：设的解析式为，把代入得：， 解得 直线为 当时， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴， ∴ ∴轴， ∴， ∴即平分； （3）解：设，连接如下图： 由题意得：与同高 ∴即 解得： 或； （4）解：存在；若为矩形的一边， 直线的解析式为 设 当以为对角线时，如下图∶ ∵四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 当以为对角线时，同理可得， 若为对角线时，设，， ∵，， ∴的中点坐标为，，， ∴， 则 解得：， ∴或 ∴或， 综上所述；N或或或. 20．（12分）定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”． 问题提出 （1）如图1，在菱形中，，于点E，请在边上找一点F，使得以点A，E，C，F组成的四边形为“对直四边形”，求的长． 问题探究 （2）如图2，在正方形中，点E，F，G分别是边上的点，分别过点E，F作的垂线交于点H，连接，且．试说明四边形为“对直四边形”； 问题解决 （3）某加工厂有一批四边形板材，如图3所示，其中米，米，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长的长度． 【详解】（1）解：如下图， 在菱形中，，，， ∴，， ∴均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接， 则，同理：， ∴， ∴四边形是“对直四边形”，为等边三角形， ∴， （2）证明：如图3， 延长，交于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形 是正方形， ， ， 同理可得：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ∵, 四边形为“对直四边形”； （3）解：①如下图， 作于，作于， ， 四边形是矩形， ∵，， ，， ， ， ， ∵ ，， ， 四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， 此时等腰三角形的腰长米； ②如下图， 作于，作于， 由①可知，，四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， 此时等腰三角形的腰长米； ③如下图， 作，交于，作于，则四边形是“对直四边形”， 由①可知，， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴米，即和是腰长相等的等腰三角形， 此时等腰三角形的腰长米； ④如下图， 以为底边作等腰直角三角形，连接，作，交的延长线于点，交于， ，，四边形是“对直四边形”， ，， ， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 和是腰长相等的等腰三角形， ，， 米， 综上所述：等腰三角形的腰长为米或米或米或米． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $