第一章 特殊平行四边形 单元测试 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级数学上册 第一章《特殊平行四边形》单元测试卷 （满分100分　考试时间90分钟） 班级：___________　姓名：___________　学号：___________　得分：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1．下列命题中，正确的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是菱形　　B．对角线相等的四边形是矩形 C．四个角都相等的四边形是矩形　　　D．一组邻边相等的四边形是菱形 2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．若∠ABC＝60°，AB＝4，则BD的长为（　　） A．2　　B．4　　C．2√3　　D．4√3 3．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．若∠AOB＝60°，AB＝4，则AC的长为（　　） A．4　　B．6　　C．8　　D．4√3 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．若∠A＝35°，则∠BCD的度数为（　　） A．35°　　B．45°　　C．55°　　D．70° 5．若菱形的周长为20，一条对角线的长为6，则另一条对角线的长为（　　） A．6　　B．8　　C．10　　D．12 6．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，连接AE，则AE的长为（　　） A．4　　B．2√5　　C．2√3　　D．5 7．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O．添加下列一个条件，不能使它成为菱形的是（　　） A．AB＝BC　　B．AC⊥BD　　C．AC＝BD　　D．∠BAC＝∠BCA 8．如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边AB上，且AE＝2，点P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值为（　　） A．6　　B．2√10　　C．2√13　　D．8 9．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF相交于点G，则∠AGF的度数为（　　） A．45°　　B．60°　　C．90°　　D．120° 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为（　　） A．3　　B．5　　C．2.4　　D．2.5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若菱形的两条对角线的长分别为4和6，则它的面积为________． 12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．若AB＝4，BC＝6，则BD的长为________． 13．若直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边上的中线长为________． 14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD一边上的高为________． 15．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°．若BE＝2，DF＝3，则EF的长为________． 16．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，且BE＝BC，连接AE、CE，则∠DAE的度数为________． 三、解答题（本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(8分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠OAB＝∠OBA．求证：四边形ABCD是矩形． 18．(8分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于点F．求证：四边形DECF是矩形． 19．(8分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形． 20．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E．求证：四边形ADCE是矩形． 21．(10分)如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，连接EF． （1）求证：AE＝AF； （2）若AB＝4，DE＝1，求AF的长． 22．(10分)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8． （1）求对角线AC的长； （2）点P是边AD上一点，将△ABP沿BP折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，求AP的长． 参考答案及解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．C　A中需先保证是平行四边形；B中对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形）；D中一组邻边相等的四边形不一定是菱形．四个角都相等的四边形，每个内角都是90°，是矩形． 2．D　菱形中AB＝BC，又∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4．菱形对角线互相垂直平分，∴AO＝2．在Rt△AOB中，BO＝√(AB²－AO²)＝√(16－4)＝2√3，∴BD＝2BO＝4√3． 3．C　矩形对角线相等且互相平分，∴OA＝OB．又∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝4，∴AC＝2OA＝8． 4．C　CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD＝½AB，∴∠BCD＝∠B．∵∠ACB＝90°，∠A＝35°，∴∠B＝55°，∴∠BCD＝55°． 5．B　菱形周长为20，∴边长为5．对角线互相垂直平分，一条对角线的一半为3，则另一条对角线的一半为√(5²－3²)＝4，∴另一条对角线长为8． 6．B　E为BC的中点，∴BE＝2．∵∠B＝90°，∴AE＝√(AB²＋BE²)＝√(16＋4)＝2√5． 7．C　A是邻边相等，B是对角线互相垂直，D中∠BAC＝∠BCA可得AB＝BC，都能判定菱形；C中AC＝BD是对角线相等，判定的是矩形，不能判定菱形． 8．B　点B关于AC的对称点为D，∴PB＝PD，∴PE＋PB＝PE＋PD≥DE．∵AD＝6，AE＝2，∴DE＝√(AD²＋AE²)＝√(36＋4)＝2√10． 9．C　∵AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，BE＝CF，∴△ABE≌△BCF，∴∠BAE＝∠CBF．∵∠ABC＝90°，∴∠ABF＝90°－∠CBF＝90°－∠BAE．在△ABG中，∠AGB＝180°－(∠BAE＋∠ABF)＝180°－(∠BAE＋90°－∠BAE)＝90°，即AE⊥BF，∴∠AGF＝90°． 10．B　∵O是AC的中点且EF⊥AC，∴EF垂直平分AC，∴AE＝CE．设AE＝x，则CE＝x，BE＝BC－CE＝8－x．在Rt△ABE中，AB²＋BE²＝AE²，即16＋(8－x)²＝x²，解得x＝5，∴AE＝5． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．12　菱形的面积＝½×4×6＝12． 12．2√13　∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝√(AB²＋BC²)＝√(4²＋6²)＝√52＝2√13．又矩形对角线相等，∴BD＝AC＝2√13． 13．5　斜边＝√(6²＋8²)＝10，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴中线长为½×10＝5． 14．4.8　菱形面积＝½×AC×BD＝½×6×8＝24；边长＝√(3²＋4²)＝5；一边上的高＝24÷5＝4.8． 15．5　延长CD到点G，使DG＝BE＝2，连接AG．∵AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝90°，BE＝DG，∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．∵∠EAF＝45°，∴∠FAG＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝90°－∠EAF＝45°＝∠EAF．又AF＝AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝FG＝DG＋DF＝2＋3＝5． 16．22.5°　∵BD是正方形的对角线，∴∠CBD＝45°．∵BE＝BC，∴△BEC中∠BEC＝∠BCE＝½(180°－45°)＝67.5°，∴∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝90°－67.5°＝22.5°．∵点A、C关于BD对称，∴∠BAE＝∠BCE＝67.5°，∴∠DAE＝90°－∠BAE＝22.5°． 三、解答题（共52分） 17．（8分） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝½AC，OB＝½BD． ∵∠OAB＝∠OBA，∴OA＝OB，∴AC＝BD． ∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 18．（8分） 证明：∵DE∥BC，DF∥AC，∴DE∥CF，DF∥CE． ∴四边形DECF是平行四边形． 又∵∠ACB＝90°，∴平行四边形DECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 19．（8分） 证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴DE∥AF，DF∥AE，∴四边形AEDF是平行四边形． ∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD． ∵DE∥AF，∴∠ADE＝∠FAD，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝ED． ∴平行四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 20．（8分） 证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，即∠DAC＝½∠BAC，且∠ADC＝90°． ∵AN平分∠CAM，∴∠CAN＝½∠CAM＝½(180°－∠BAC)＝90°－½∠BAC． ∴∠DAN＝∠DAC＋∠CAN＝½∠BAC＋90°－½∠BAC＝90°，即AD⊥AN． 又∵CE⊥AN，E在AN上，∴∠AEC＝90°． ∴∠DAE＝∠ADC＝∠AEC＝90°，∴四边形ADCE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）． 21．（10分） （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝90°， ∴∠ABF＝180°－∠ABC＝90°＝∠D． ∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°， ∴∠DAE＝∠DAB－∠EAB＝90°－∠EAB，∠BAF＝∠EAF－∠EAB＝90°－∠EAB，∴∠DAE＝∠BAF． 在△ADE和△ABF中，∠D＝∠ABF，AD＝AB，∠DAE＝∠BAF，∴△ADE≌△ABF（ASA），∴AE＝AF． （2）解：在Rt△ADE中，∠D＝90°，AD＝AB＝4，DE＝1， ∴AE＝√(AD²＋DE²)＝√(4²＋1²)＝√17．由（1）知AE＝AF，∴AF＝√17． 22．（10分） （1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝√(AB²＋BC²)＝√(6²＋8²)＝10． （2）解：∵矩形的对角线相等，∴BD＝AC＝10． 由折叠可知BA′＝BA＝6，∠BA′P＝∠A＝90°，∴DA′＝BD－BA′＝10－6＝4，且A′P⊥BD． 设AP＝x，则A′P＝AP＝x，DP＝AD－AP＝8－x． 在Rt△DA′P中，A′P²＋A′D²＝DP²，即x²＋4²＝(8－x)²，解得x＝3． ∴AP的长为3． 第 8 页　共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $