第1章 特殊平行四边形（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 新教材北师大版八年级下册特殊平行四边形单元拔尖卷，120分钟120分，23题覆盖菱形、矩形、正方形性质与判定，适配单元复习，可量化学生综合应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|菱形面积计算、矩形折叠、正方形动态问题|结合几何直观，如第3题正方形滑动求最值，培养空间观念| |填空题|6/18|菱形挂钩距离、矩形运动形成菱形、折叠问题|注重推理能力，如第12题动点运动构建菱形，强化逻辑思维| |解答题|7/72|平行四边形证明、菱形面积计算、新定义“准菱形”|突出创新应用，如21题“准菱形”定义探究，发展创新意识，融合折叠与旋转，贴合中考命题趋势|

第1章 特殊平行四边形·拔尖卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在中，点E，D，F分别在边上，且，．下列四个判断中，不正确的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．若且，则四边形是正方形 C．若，则四边形是菱形 D．如果，则四边形是矩形 【答案】B 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，故A选项正确，不符合题意； 若，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得四边形是菱形，故C选项正确，不符合题意； 如果，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得四边形是矩形，故D选项正确，不符合题意； 若且，根据等腰三角形三线合一性质可知平分， 平行四边形是菱形，但不能判定是正方形（除非），故B选项错误，符合题意． 2．（25-26八年级下·山东日照·期中）如图，菱形的对角线长分别为和，是对角线上任意一点（点不与点重合），且交于点，交于点，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是平行四边形，得到，即得，再根据菱形的性质求出即可求解． 【详解】解：如图，设与相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵菱形的对角线长分别为和， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，已知，线段长为4，两端分别在，上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，． ∵四边形是正方形，，点是的中点， ∴，，， 在中，， ∵，点是的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵， ∴当，，三点共线时，有最大值， 的最大值． 4．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在平行四边形中，平分，，若，，平行四边形的面积为144，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点A作于点G，证明四边形为菱形，得出，，，，根据勾股定理求出，根据，求出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点G，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（   ） A． B．9或6 C．9或 D．3或 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，分两种情况讨论：当或，再结合图形进一步求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， 当落在对角线上时， ，，， 设，则，， ∴， 解得：，即， 如图，当时， ∴， 同理可得：，， ∴四边形为正方形， ∴． 综上：当为直角三角形，则的长为或． 故选：C 6．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知正方形边长为8，E为中点，将沿翻折得到，P，Q分别为边，上一点，将沿翻折使点对应点落在边上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，作．由正方形的性质可得， ， 由折叠的性质可得， ， ， 进而可得，，，从而可得四边形是矩形．设，则，，根据勾股定理列方程求出x的值即可得解． 本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，作． ∵四边形是正方形， ∴， ， ∵E为中点， ∴ ∵将沿翻折得到， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， 设，则 ∵将沿翻折使点对应点落在边上， ∴， 在中， ， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 7．（25-26八年级上·重庆·月考）若菱形中有一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，使得．连接．取分别为的中点，连接，延长交于点，交于点，令为，则的角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据得到，根据旋转的性质得到，根据菱形的性质得到，证明，得到，根据三角形中位线定理得到，，，进而求出，根据三角形内角和定理得到，根据等边对等角计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴，，，， ∴，，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形内角和定理，等边对等角，理清各角之间的关系是解题的关键． 8．（24-25九年级上·重庆江津·阶段检测）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，的平分线交的延长线于点F，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点G，由旋转性质和角平分线的定义证明，得到，设，证明四边形是正方形，得到，得到，得到，根据，得到，即得求解． 【详解】解：延长交于点G， 由旋转知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 9．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，，，过点作于点，且．点是边上的一动点，连接，过点作所在直线的垂线，垂足为点，当点在边上运动时，则的最大值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】过点作于点，连接，先根据平行四边形的性质和三角形的面积公式可得，进而转化为的最小值问题，再得出当点与点重合时，的值最小，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵在中，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴要使得的值最大，则需的值最小， 又∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点在的延长线上， ∴点在边上运动的过程中，当点与点重合时，的值最小，最小值为， ∴的最大值为． 10．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在一张矩形纸片中，，点E，F分别在上，将纸片沿直线折叠，点C落在上的点H处，点D落在点G处，连接，．有以下四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点H与点A重合时，．以上结论中，其中正确结论的个数有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】先根据翻折的性质可得可证是等腰三角形，可得，判断出四边形是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；根据菱形的对角线平分一组对角线可得，然后求出只有时，平分，判断出②错误；过点F作于M，点H与点A重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得到的最小值，点G与点D重合时，，求出，然后写出的取值范围，判断出③正确；求出，再利用勾股定理列式求解得到，判断出④正确． 【详解】解：∵将纸片沿直线折叠， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵与都是矩形的对边的一部分， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故①正确； ∵为菱形的对角线， ∴， ∴只有时，平分，故②错误； 点H与点A重合时，最小，如图所示，过点F作于M，则， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 点G与点D重合时，点H与点M重合，最大，如图所示， ∵四边形是菱形， ∴当点G与点D重合时，，即菱形是正方形， ∴， ∴， ∴线段的取值范围为，故③正确； 当点H与点A重合时，由③中， ∴， 则， 由勾股定理得，，故④错误； 综上所述，结论正确的有①③共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形折叠性质，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握矩形折叠性质，菱形的判定与性质，勾股定理是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，木制活动衣帽架由三个完全相同的菱形构成，已知菱形的边长为，上、下两排挂钩间的距离为，则挂钩A，E之间的距离是_____． 【答案】30 【分析】连接、交于点O，由题意可知挂钩A，E之间的距离，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理求出，即可求出挂钩A，E之间的距离． 【详解】解：如图，连接、交于点O， ∵木制活动衣帽架由三个完全相同的菱形构成， ∴挂钩A，E之间的距离， ∵菱形， ∴，，， ∵菱形的边长为， ∴， ∴， ∴挂钩A，E之间的距离． 12．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 【答案】 【分析】先得到四边形是平行四边形，则当时，四边形是菱形，然后表示出，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：由题意得，，则， ∵四边形是矩形 ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∵ ∴， 解得 ∴四边形是菱形，则的值为． 13．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知矩形，E为的中点，F为上一点．若，，，则_____． 【答案】或 【分析】本题分两种情况讨论，即点F分别靠近点A和靠近点B两种情况，作辅助线构造直角三角形，利用矩形的性质得到对应边的长度，再结合勾股定理逐步计算即可得到答案． 【详解】解：分两种情况： ①点F靠近点A时，过点F作于G， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ， 在中，， 是的中点， ， ， 在中，； ②点F靠近点B时，过点F作于G， 同理可得，，， ， 在中，； 综上所述，的长为或． 14．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，且．点是上任意一点，点是上任意一点，若，，设点的横坐标为，则的值为___________ 【答案】96 【分析】根据算术平方根和完全平方的非负性得到，，根据矩形的性质得到，，；设和的垂直平分线交于点，连接、、，利用垂直平分线和等腰三角形的性质得到，，进而得到，通过证明四边形是正方形，得到，得出点的坐标，再利用勾股定理列出关于的方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点的横坐标为， ∴，， ∵， ∴； 如图，设和的垂直平分线交于点，连接、、， 则， ∴，， ∴ ， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴的值为96． 故答案为：96． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系、算术平方根的非负性、矩形的性质、正方形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 15．（25-26九年级下·广东广州·月考）如图，有一张矩形纸片，将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，再将纸片沿折叠，使点落在的中点处，则_____． 【答案】 【分析】由折叠性质得四边形为正方形，设，则，为中点，则．过点作于点，由等腰直角得，在中得，故，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由题意得，，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设， 在中， ， ∵是的中点， ∴， 如图，过点作于点， 在正方形中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ， ， 解得， 由题意得，， 在中， ， ∵，且， ∴， ∴． 【点睛】本题以矩形两次折叠为背景，融合正方形、等腰直角三角形与勾股定理，通过设参数转化线段关系，体现了数形结合与转化化归的核心数学思想． 16．（2024·上海·模拟预测）如图1两张等宽的矩形纸片，矩形纸片不动，将矩形纸片按如图2方式缠绕：先将点与点重合，再依次沿、对折，点A、C所在的相邻两边不重叠、无空隙，最后边刚好经过点G．   若，，则长为______ 【答案】1 【分析】根据矩形的性质，得出，，证明四边形是平行四边形，利用证明，得出，即可证明四边形是菱形；标记点，根据矩形的性质，得出，，，，证明四边形和四边形是平行四边形，根据菱形的性质、全等三角形的性质，得出，，，证明四边形是菱形，根据含角的直角三角形的性质，得出，证明、、、是边长相等的等边三角形，求出，，根据，得出答案即可． 【详解】解：∵两张纸片是等宽的矩形纸片， ∴，，，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 如图，标记点，    ∵两张纸片是等宽的矩形纸片， ∴，，，， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴ ∵由（1）得，，四边形是菱形， ∴，，， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴、是等边三角形， ∵、、、依次有公共边， ∴、、、是边长相等的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·山东聊城·期中）在中，交于点O，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：点A为的中点； (2)若，连接，判断与满足什么数量关系时，四边形是矩形，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 【分析】（1）证明，得出，从而证明，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵点E为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即A为的中点; （2）解：； 理由如下：由（1）得，且， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 18．（8分）（25-26八年级下·重庆·期中）如图所示，点是菱形对角线的交点，，连接，交于． (1)求证：； (2)如果，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明四边形是矩形即可求证； （）由（）可得，设，，利用勾股定理可得，即得，，得到，，再根据菱形的面积公式计算即可求解； 本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴可设，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴，， ∴，， ∴． 19．（10分）（25-26八年级下·重庆潼南·期中）如图，在Rt中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接． (1)求证：； (2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，直接写出相应的值；如果不能，说明理由． (3)当为何值时，四边形为矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)能， (3)，见解析 【分析】本题考查菱形的判定与性质，矩形的性质，含角的直角三角形的性质，能够利用代数式表示相关边的长度是解题的关键． （1）根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得； （2）由（1）易证四边形为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形，即可求解； （3）根据矩形的性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ． 又， ； （2）解：能，时，四边形能够成为菱形．理由如下： ， ． 由勾股定理得，， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 若使四边形为菱形，则需， 即， 解得：． 即当时，四边形为菱形； （3）当秒时，四边形为矩形．理由如下： 当时， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形， 由（1）可知，，, 则此时，解得． 20．（10分）（25-26八年级下·山东菏泽·期中）在菱形中，对角线与相交于点． (1)如图1，若，求菱形的面积． (2)如图2，在上取点，连接，将沿折叠，点的对应点为．若点落在的延长线上，求证：． (3)如图3，将沿折叠，点的对应点落在上，连接，若，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3) 【分析】（1）根据菱形的性质可知，，，，利用勾股定理得到，再结合菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可； （2）由菱形的性质得出，由折叠的性质可知，，从而得到，再根据等角与等边求解即可； （3）过点作于点，过点作于点，由已知条件可得，，根据菱形和折叠的性质得到，再结合等腰三角形三线合一的性质，求出，进而得出，证明四边形是矩形，得到，，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在菱形中，，， ，，， ， ， 菱形的面积； （2）证明：四边形是菱形， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 由折叠的性质可知，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ． 21．（12分）（25-26八年级下·江苏无锡·期中）定义：有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．如图1，在四边形中，若，，则四边形是“准菱形”． (1)如图2，在正方形网格中（每个小正方形的边长为1），A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在图2中画出“准菱形”；（要求：D在格点上）； (2)如图3，在中，，以为一边向外作“准菱形”，且，，、交于点D． ①若，求证：“准菱形”是菱形； ②在①的条件下，连接，若 ，，，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）①根据线段垂直平分线的性质和菱形的判定定理即可得到结论； ②取的中点， 连接、、，再根据然后求出，即可判断出是等腰直角三角形；最后根据勾股定理，分别求出、的值，再根据三角形的面积的求法，求出菱形的面积即可. 【详解】（1）解：如图2所示，四边形即为所求； （2）证明：①∵，， ∴垂直平分 ∴，， ∵， ∴“准菱形”是平行四边形， ∵， ∴“准菱形”是菱形； ②如图，取的中点，连接、、， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∵， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴菱形中，， ∴菱形的面积为：． 22．（12分）（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，四边形是正方形，是边上一动点（不与点重合），连接． (1)如图，以为直角边，构造等腰直角三角形，连接，求证：； (2)在（）的条件下，当点运动时，的大小会不会发生变化？如果会变化，请说明理由；如果不会变化，请求出的度数； (3)如图，以为斜边，构造等腰直角三角形，连接，当点运动时，试探究，的数量关系并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)的大小不会发生变化， (3)，证明见解析 【分析】（）利用余角性质即可求证； （）如图，过点作，交的延长线于点，可证 ，得到，，进而可得，得到是等腰直角三角形，即得到，即可求解； （）如图，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，可证四边形 、、 、、都是矩形，得到，，，，，即得，同理（）可证，，进而得到，得 ，得到四边形是正方形，即得到，即得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，为直角边， ∴， ∴， ∴； （2）解：的大小不会发生变化，，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点，则， 由（）知，， ∴ ， ∵是等腰直角三角形，为直角边， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的大小不会发生变化，为； （3）解： ，证明如下： 如图，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴四边形 、、 、、都是矩形， ∴，，，，， ∴， 同理（）可证， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴四边形是正方形， ∴ ，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 23．（14分）（25-26八年级下·江苏常州·月考）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____． 【答案】(1) (2)存在，， (3)或或或 【分析】（1）根据平行四边形的性质就可以知道，可以求出，从而可以求出的值． （2）要使为菱形，可以得出，由三角形的勾股定理就可以求出的值而求出的值． （3）分三种情况①当为菱形的边时，②当为菱形的边时，③当为菱形的边时，分别画图求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，，点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ， ． （2）解：∵四边形为菱形，点是线段上一点， ， ， ， ∴，． （3）解：①当为菱形的边时，， 则，， ∴， ∴； ②当为菱形的边时，， ∵， ∴，解得或， ∴或， ∴或， ∴或； ③当为菱形的边时，，点P与点M关于对称， 过点P作， ∴， ∴， ∴， 综上，或或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 特殊平行四边形·拔尖卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在中，点E，D，F分别在边上，且，．下列四个判断中，不正确的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．若且，则四边形是正方形 C．若，则四边形是菱形 D．如果，则四边形是矩形 2．（25-26八年级下·山东日照·期中）如图，菱形的对角线长分别为和，是对角线上任意一点（点不与点重合），且交于点，交于点，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，已知，线段长为4，两端分别在，上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D．8 4．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在平行四边形中，平分，，若，，平行四边形的面积为144，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 5．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（   ） A． B．9或6 C．9或 D．3或 6．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知正方形边长为8，E为中点，将沿翻折得到，P，Q分别为边，上一点，将沿翻折使点对应点落在边上，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·重庆·月考）若菱形中有一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，使得．连接．取分别为的中点，连接，延长交于点，交于点，令为，则的角度为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·重庆江津·阶段检测）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，的平分线交的延长线于点F，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，，，过点作于点，且．点是边上的一动点，连接，过点作所在直线的垂线，垂足为点，当点在边上运动时，则的最大值为（   ） A．4 B． C．5 D． 10．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在一张矩形纸片中，，点E，F分别在上，将纸片沿直线折叠，点C落在上的点H处，点D落在点G处，连接，．有以下四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点H与点A重合时，．以上结论中，其中正确结论的个数有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，木制活动衣帽架由三个完全相同的菱形构成，已知菱形的边长为，上、下两排挂钩间的距离为，则挂钩A，E之间的距离是_____． 12．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 13．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知矩形，E为的中点，F为上一点．若，，，则_____． 14．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，且．点是上任意一点，点是上任意一点，若，，设点的横坐标为，则的值为___________ 15．（25-26九年级下·广东广州·月考）如图，有一张矩形纸片，将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，再将纸片沿折叠，使点落在的中点处，则_____． 16．（2024·上海·模拟预测）如图1两张等宽的矩形纸片，矩形纸片不动，将矩形纸片按如图2方式缠绕：先将点与点重合，再依次沿、对折，点A、C所在的相邻两边不重叠、无空隙，最后边刚好经过点G．   若，，则长为______ 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·山东聊城·期中）在中，交于点O，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：点A为的中点； (2)若，连接，判断与满足什么数量关系时，四边形是矩形，说明理由． 18．（8分）（25-26八年级下·重庆·期中）如图所示，点是菱形对角线的交点，，连接，交于． (1)求证：； (2)如果，，求菱形的面积． 19．（10分）（25-26八年级下·重庆潼南·期中）如图，在Rt中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接． (1)求证：； (2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，直接写出相应的值；如果不能，说明理由． (3)当为何值时，四边形为矩形？请说明理由． 20．（10分）（25-26八年级下·山东菏泽·期中）在菱形中，对角线与相交于点． (1)如图1，若，求菱形的面积． (2)如图2，在上取点，连接，将沿折叠，点的对应点为．若点落在的延长线上，求证：． (3)如图3，将沿折叠，点的对应点落在上，连接，若，求的长． 21．（12分）（25-26八年级下·江苏无锡·期中）定义：有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．如图1，在四边形中，若，，则四边形是“准菱形”． (1)如图2，在正方形网格中（每个小正方形的边长为1），A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在图2中画出“准菱形”；（要求：D在格点上）； (2)如图3，在中，，以为一边向外作“准菱形”，且，，、交于点D． ①若，求证：“准菱形”是菱形； ②在①的条件下，连接，若 ，，，请直接写出四边形的面积． 22．（12分）（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，四边形是正方形，是边上一动点（不与点重合），连接． (1)如图，以为直角边，构造等腰直角三角形，连接，求证：； (2)在（）的条件下，当点运动时，的大小会不会发生变化？如果会变化，请说明理由；如果不会变化，请求出的度数； (3)如图，以为斜边，构造等腰直角三角形，连接，当点运动时，试探究，的数量关系并证明． 23．（14分）（25-26八年级下·江苏常州·月考）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $