专题13.3 分式方程（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级上册

专题13.3 分式方程 教学目标 1.理解分式方程的概念，能区分整式方程与分式方程； 2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，会正确去分母转化为整式方程； 3.理解分式方程无解的原因，掌握分式方程必须检验的方法； 4.会列分式方程解决简单的实际问题。 教学重难点 1.重点 (1)分式方程的解法（去分母，转化为整式方程求解）； (2)列分式方程解简单应用题。 2.难点 (1)分式方程无解的原因（去分母时，两边同乘可能为 0 的最简公分母）； (2)应用题中寻找等量关系，准确设元、列分式方程； 知识点01 分式方程 1.分式方程 分母里含有未知数的方程叫分式方程. 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 2.分式方程的根 分式方程的解也叫作分式方程的根. 3.分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程. （2）增根产生的原因：去分母时，方程两边都乘以最简公分母。在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 4.分式方程的一般步骤 (1)方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程(注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母); (2)解这个整式方程，求出整式方程的解； (3)检验： 5.分式方程验根的方法 将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0,则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【即学即练】 1．解方程： (1)； (2)． 2．已知分式方程有增根，则的值为（    ） A．4 B． C．0 D．2 知识点02 分式方程的应用 1. 列分式方程解应用解题步骤 列分式方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答 (1)审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； (2)设未知数； (3)找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； (4)解这个分式方程； (5)验根，检验是否是增根； (6)写出答案. 2. 要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等。 【即学即练】 3．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．随着我国人工智能的高速发展，智能机器人一跃成为学生最喜爱的研究对象．某中学计划购进A型和B型两款智能机器人供社团使用．学校第一次购买了A型机器人5台、B型机器人3台，一共花费41000元．已知每台A型机器人比每台B型机器人多1000元． (1)求每台A型、B型机器人的单价分别是多少元？ (2)学校第二次准备分别用72000元再次采购A、B型机器人．商家推出优惠活动，降低了两种机器人的售价．已知降价后，每台A型机器人的售价是每台B型机器人售价的1.2倍．此次采购中，用72000元购买的B型机器人数量，比相同金额购买A型机器人的数量多3台．求优惠后每台B型机器人的单价． 题型01 分式方程的辨析 【典例1】下列方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】请你利用代数式3，，，组成一个分式方程：__________． 题型02 分式方程的解法 【典例1】解分式方程． 【变式1】解方程： (1)； (2)． 【变式2】解分式方程： (1)． (2)． 【变式3】若关于的方程有增根，则的值为________． 题型03 用换元法解分式方程 【典例1】已知：，则等于（     ） A．2 B．1 C． D． 【变式1】解方程：． 【变式2】解方程：． 【变式3】解方程：． 题型04 根据分式方程的解求参数 【典例1】若关于的分式方程有正整数解，且为正整数，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】______时，关于的方程的解为． 【变式2】若关于的分式方程有增根，求的值． 【变式3】已知关于x的方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程无解，求m的值． 题型05 分式方程无解的情况 【典例1】若关于x的分式方程无解，求m的值． 【变式1】已知分式方程，请在下列三个条件中任意选择一个，求m的值． ①若方程有增根； ②若方程无解； ③若方程的解为1． 【变式2】若分式方程无解，则a的值是（     ） A．1或0 B．或0 C．或2 D．1或 【变式3】已知关于的分式方程的增根是，则的值为（   ） A． B． C．16 D．18 题型06 分式方程行程应用题 【典例1】宇树科技公司对A，B两款四足机器人在相同的环境下开展行走速度的测试，B机器人每小时行走的路程比A机器人多，B机器人行走所用的时间与A机器人行所用的时间相等．设A机器人每小时行走，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】北京至石家庄的铁路长392千米，为适应经济发展，自2001年10月21日起，某客运列车的行车速度每小时比原来增加40千米，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1小时．如果设该列车提速前的速度为每小时x千米，那么为求x所列出的方程为______ ． 【变式2】某地铁线路全长约，若选择地上交通，私家车行驶同样的路线比乘坐地铁多耗时约分钟，地铁的平均速度是私家车平均速度的倍，问地铁和私家车的平均速度分别是多少？ 【变式3】近年来，我国低空经济发展迅速．某外卖订单若采用传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式少．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的倍，求传统方式配送速度是多少？ 题型07 分式方程工程问题 【典例1】甲、乙两人搬运货物，甲每小时比乙多搬运20件，甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同．设乙每小时搬运件货物，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】我国自主研发的新型道路养护车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成城市沥青路面的摊铺任务．一辆该型号养护车每小时摊铺路面的公里数是人工修补组的倍，人工修补组摊铺公里路面的时间比养护车摊铺公里路面的时间多小时．这辆新型养护车每小时摊铺路面_______公里． 【变式2】随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用小时，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 【变式3】某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，每人每小时可采摘． (1)周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，请问每人每小时运送、包装各多少？ (2)得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？ 题型08 分式方程经济问题 【典例1】某班准备用42元钱到商场去购买笔记本，经过还价，每本便宜0.5元，结果比价多买了2本，求原价每本多少元？设原价每本元，则可列出方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1】习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】2026年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中A、B两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知B款手表的进价比A款手表每块多40元．该商店用7800元购进A款手表的数量，与用9000元购进B款手表的数量相等．求A款、B款手表每块的进价分别为多少元？ 【变式3】某超市用2000元购进某种水果销售，由于销售状况良好，很快售完．超市又调拨6000元资金购进该种水果，但这次的进价比第一次提高了，购进的数量比第一次的2倍还多200千克，超市此时按每千克10元的价格出售，当大部分售出后，余下的100千克按售价的8折售完． (1)该种水果的第一次的进价是每千克多少元？ (2)超市第二次销售该种水果盈利了多少元？ 题型09 分式方程新定义题 【典例1】若一个方程（组）的解为整数，我们称它为“诚意”方程（组）． (1)下列哪个方程（组）不是“诚意”方程（组）（   ） A．　B．　C．　D． (2)已知关于，的方程组为“诚意”方程组，求正整数的值． (3)为正整数，，当关于的方程是“诚意”方程时，求的最小值． 【变式1】对于两个分式，如果，那么我们称分式与分式互为“友好分式”．结合以上信息，完成下列各题． (1)下列互为“友好分式”的是_____；（填序号） ①与；②与． (2)若与互为“友好分式”，求的值； (3)若与互为“友好分式”，且为正整数，求整数的值． 【变式2】如果两个分式M与N的和为k（k为正整数），则称M与N互为“和整分式”，其中k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，求出k的值； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且． ①求G所代表的代数式； ②若x为整数，分式D的值为正整数，直接写出x的值． 【变式3】材料：已知a、b均为不为0的常数，A是含x的一次整式，若分式的值为0，则或，因为，即，所以分式方程的两个解为、，我们把这样的方程称为“孪生分式方程”． 示例1：分式方程可写成，故此方程是“孪生分式方程”，所以该方程的两个解为：，，即，； 示例2：方程可写成，故此方程是“孪生分式方程”，所以该方程的两个解为：，，即，； 阅读以上材料，解答下列问题： (1)分式方程是“孪生分式方程”吗？请说明理由． (2)已知分式方程的两个解为，，求代数式的值； (3)已知关于x的分式方程，其中，该分式方程的两个解记为、，且满足，若的值为整数，求t的整数值． 1．下列方程中不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．分式方程的解为（  ） A． B． C． D．无解 3．已知关于的分式方程的解为，则的值为（   ） A．4 B．3 C．0 D． 4．从传统的“镐锄镰犁"到如今的"金戈铁马”毕节市农技机械服务公司向威宁县观凤海镇果化村马铃薯种薯扩繁基地提供了农机社会化服务，实现工从昔日的“人畜劳作”到今天的“机器换人”．已知一台播种机一天播种的面积是十人一天播种的面积的2.5倍，一台播种机播种500亩所需的天数比用十人播种的天数少5天，十人一天能播种多少亩？若设十人一天能播种x亩，则可列出方程为（     ） A． B． C． D． 5．若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m＝___． 6．关于x的方程的解为非负数，则a的取值范围是______． 7．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程化为关于的整式方程是__________． 8．解分式方程：． 9．（1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中，． 10．某工程在进行招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：①甲队单独做这项工程，刚好如期完成；②乙队单独完成这项工程比规定日期多6天；③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)设甲队单独做这项工程需要天，请将下表补充完整． 工程总量 所用时间/天 工程效率 甲队 1 乙队 1 (2)根据题意及表中所得到的信息列出关于方案③的分式方程． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段检测）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若x为实数，且，则的值为(     ) A．－4 B．4 C．－4或1 D．4或－1 3．已知关于x的方程的解为．则关于y的方程的解为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．设走路线一的平均车速为千米/小时，那么根据题意得（    ） A． B． C． D． 5．（2025·北京·中考真题）方程的解为_______． 6．（24-25七年级上·上海·期末）已知关于的方程的解不小于1，那么的取值范围是_________． 7．（23-24八年级下·上海宝山·期末）随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程______． 8．解方程：． 9．解方程：． 10．（25-26七年级上·上海·阶段检测）解方程组 11．（25-26七年级上·上海·期中）今年新型“和谐号”高速列车正式投入沪宁线运行，已知上海到南京全程约为300公里，如果新型“和谐号”高速列车行驶的平均速度比原来“和谐号”动车行驶的平均速度每分钟快2公里，那么从上海到南京比原来“和谐号”动车少用40分钟，问新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要多少分钟？ 12．（25-26七年级上·上海·阶段检测）甲、乙两同学的家与学校的距离为3000米，甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车上学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的一半，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两人同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟． (1)求乙骑自行车的速度； (2)出发几分钟后，两人与学校的距离相等？ 13．（25-26七年级上·上海·阶段检测）聪聪在长为180米的跑道上训练机器人． (1)若A机器人匀速行走1分钟后，提速到原速的1.5倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点．求A机器人走完全程所花的时间．（用一元分式方程求解） (2)若B机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；C机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．已知，，，试比较B、C两机器人行走的时间，大小，并说明理由． 14．（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）某服装店购进一批甲、乙两种款型T恤衫，甲种款型共用了7000元，乙种款型共用了5000元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元． (1)甲、乙两种款型的T恤衫分别购进多少件？ (2)甲、乙两种款型T恤衫均按照进价提高标价出售，要使销售完后利润总和等于4800元，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.3 分式方程 教学目标 1.理解分式方程的概念，能区分整式方程与分式方程； 2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，会正确去分母转化为整式方程； 3.理解分式方程无解的原因，掌握分式方程必须检验的方法； 4.会列分式方程解决简单的实际问题。 教学重难点 1.重点 (1)分式方程的解法（去分母，转化为整式方程求解）； (2)列分式方程解简单应用题。 2.难点 (1)分式方程无解的原因（去分母时，两边同乘可能为 0 的最简公分母）； (2)应用题中寻找等量关系，准确设元、列分式方程； 知识点01 分式方程 1.分式方程 分母里含有未知数的方程叫分式方程. 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 2.分式方程的根 分式方程的解也叫作分式方程的根. 3.分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程. （2）增根产生的原因：去分母时，方程两边都乘以最简公分母。在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 4.分式方程的一般步骤 (1)方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程(注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母); (2)解这个整式方程，求出整式方程的解； (3)检验： 5.分式方程验根的方法 将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0,则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【即学即练】 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程．去分母，将分式方程化为一元一次方程，解一元一次方程，再检验即可． 【详解】（1）解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解； （2）解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 2．已知分式方程有增根，则的值为（    ） A．4 B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴， 解得：， 原分式方程去分母得， 代入得． 知识点02 分式方程的应用 1. 列分式方程解应用解题步骤 列分式方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答 (1)审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； (2)设未知数； (3)找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； (4)解这个分式方程； (5)验根，检验是否是增根； (6)写出答案. 2. 要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等。 【即学即练】 3．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，再利用速度＝路程÷时间，结合快马的速度是慢马的倍，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵规定时间为天， ∴慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天， 根据题意，得． 4．随着我国人工智能的高速发展，智能机器人一跃成为学生最喜爱的研究对象．某中学计划购进A型和B型两款智能机器人供社团使用．学校第一次购买了A型机器人5台、B型机器人3台，一共花费41000元．已知每台A型机器人比每台B型机器人多1000元． (1)求每台A型、B型机器人的单价分别是多少元？ (2)学校第二次准备分别用72000元再次采购A、B型机器人．商家推出优惠活动，降低了两种机器人的售价．已知降价后，每台A型机器人的售价是每台B型机器人售价的1.2倍．此次采购中，用72000元购买的B型机器人数量，比相同金额购买A型机器人的数量多3台．求优惠后每台B型机器人的单价． 【答案】(1)每台A型机器人的单价是5500元，每台B型机器人的单价是4500元 (2)优惠后每台B型机器人的单价是4000元 【分析】（1）设每台A型机器人的单价是x元，每台B型机器人的单价是y元，根据题意列方程组并求解即可； （2）设优惠后每台B型机器人的单价是m元，则优惠后每台A型机器人的单价是元，根据题意列分式方程并求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型机器人的单价是x元，每台B型机器人的单价是y元， 根据题意，得 解得 答：每台A型机器人的单价是5500元，每台B型机器人的单价是4500元； （2）解：设优惠后每台B型机器人的单价是m元，则优惠后每台A型机器人的单价是元， 根据题意，得 解得 经检验，是所列方程的解且符合题意， 答：优惠后每台B型机器人的单价是 4000元． 题型01 分式方程的辨析 【典例1】下列方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义判断即可，分式方程定义为分母中含有未知数的方程，据此可得出正确结果． 【详解】解：选项A：的分母是常数，不含未知数，是整式方程，不符合题意； 选项B：的分母为未知数，符合分式方程的定义，符合题意； 选项C：中所有分母都不含未知数，是整式方程，不符合题意； 选项D： 中，分母和都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合题意． 【变式1】下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 【变式2】下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐一判断选项． 【详解】解：A选项：分母含未知数t，是分式方程； B选项：分母含未知数x，是分式方程； C选项：分母含未知数x，是分式方程； D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程； 【变式3】请你利用代数式3，，，组成一个分式方程：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】明确分式方程的分母必须含有未知数，通过合理组合给定代数式构造等式即可求解． 【详解】解：根据题意可得到，或或． 题型02 分式方程的解法 【典例1】解分式方程． 【答案】 【分析】先去分母化为整式方程，再解整式方程，然后检验结果写出答案即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得； 检验：将代入中，得； ∴原分式方程的解为． 【变式1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解； （2）解：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 【变式2】解分式方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先在方程两边同乘以最简公分母，将原方程转化为整式方程，求解后再检验即可得出答案． （2）首先在方程两边同乘以最简公分母，将原方程转化为整式方程，求解后再检验即可得出答案． 【详解】（1）解：在方程两边同乘以，得：， 整理得：， 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是原方程的解． （2）解：在方程两边同乘以，得：， 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是原方程的解． 【变式3】若关于的方程有增根，则的值为________． 【答案】 【分析】分式方程有增根，说明增根使原方程分母为，先确定增根，再代入去分母后的整式方程即可求出． 【详解】解：， 方程两边同乘得：， 整理得， ∵原方程有增根， ∴分母，解得， 把代入，得， 解得． 题型03 用换元法解分式方程 【典例1】已知：，则等于（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式因式分解求解即可． 【详解】解：令，则原方程为 ， ∴， ∴， 解得，即． 【变式1】解方程：． 【答案】，，， 【分析】利用换元法，把原方程转化为，解该分式方程后，再得到原方程的解． 【详解】解：， 设，则， ∴原方程可变形为：， 即， 解得， 当时，， 解得，； 当时，， 解得，， 经检验，所有解均是方程的根， ∴，，，． 【变式2】解方程：． 【答案】 【分析】设，则原方程可化为，把方程化为整式方程求出的值，进而得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则原方程可化为， ∴， ∴， 解得， 经检验，，都是方程的解， 当时，则， ∴， 此时，方程无实数根； 当时，则， ∴， ∴， 解得或， 经检验，和都是原方程的解； 综上所述，原方程的解为，． 【变式3】解方程：． 【答案】；；； 【分析】设，将原方程化为，解得或，再分别代入解分式方程即可． 【详解】解：设，则原方程化为， ，解得或， 当时，，解得：或， 经检验，或是方程的解； 当时， ，解得或， 经检验，或是方程的解． ∴原方程的解为： ；；；． 题型04 根据分式方程的解求参数 【典例1】若关于的分式方程有正整数解，且为正整数，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于a的表达式，再根据x为正整数解，a为正整数，结合分式方程分母不为0的条件，确定a的值． 【详解】解：原方程为 ， 变形得 ， ∵分式分母不为0， ∴， 方程两边同乘 得： ， 整理得 ， ∴， ∵x为正整数，a为正整数， ∴是2的正约数，且 ， 可得 ，解得 ， 此时 ，符合分式方程要求， 故a的值为1． 【变式1】______时，关于的方程的解为． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再将代入整式方程得到关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 把代入，得， 解得． 【变式2】若关于的分式方程有增根，求的值． 【答案】的值为4 【分析】确定出方程的最简公分母与增根，把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程中即可求解． 【详解】解：最简公分母为，增根为 ； 方程两边乘以最简公分母，得 ， 将 代入整式方程，得 ， 解得 ． 【变式3】已知关于x的方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2)4或或 【分析】（1）利用分式方程增根的意义解答即可； （2）分式方程无解包括两种情况：一是化为整式方程后，整式方程的解是原方程的增根；二是化为整式方程后，该整式方程本身无解，据此分情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ， 把代入中可得： ， ∴， ∴m的值为； （2）解：当方程有增根时，， ∴或， 把代入中可得： ， ∴， 把代入中可得： ， ∴， 当时，该方程无解，即； ∴综上所述：m的值为4或或． 题型05 分式方程无解的情况 【典例1】若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】或 【分析】解分式方程，然后根据分式方程无解，进行求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得： ， ∵关于x的分式方程无解， ∴或， ∴或， ∴或， 解得：或． 【变式1】已知分式方程，请在下列三个条件中任意选择一个，求m的值． ①若方程有增根； ②若方程无解； ③若方程的解为1． 【答案】①；②或2；③12 【分析】①根据方程增根的情况求解即可；②根据题意得出，再由方程无解求解即可；③将代入原方程求解即可． 【详解】解：①去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：； ②方程两边同时乘以，得， ， 方程无解， 或， 或， 或2； ③将代入原方程得， 解得：， m的值为12． 【变式2】若分式方程无解，则a的值是（     ） A．1或0 B．或0 C．或2 D．1或 【答案】D 【分析】先将分式方程转化为整式方程，再从整式方程无解和整式方程有解，但该解让原分式方程的最简公分母为零两种情况讨论． 【详解】解：对于方程， 两边同乘，得， 整理得． 当，即时，整式方程无解，故原分式方程无解． 当时，． ∵原分式方程无解， ∴当时，，即，解得． 综上，的值为或． 【变式3】已知关于的分式方程的增根是，则的值为（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程计算的值． 【详解】解：方程两边同乘，得， ∵分式方程的增根为， ∴将代入整式方程，得， 计算得． 题型06 分式方程行程应用题 【典例1】宇树科技公司对A，B两款四足机器人在相同的环境下开展行走速度的测试，B机器人每小时行走的路程比A机器人多，B机器人行走所用的时间与A机器人行所用的时间相等．设A机器人每小时行走，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A机器人的行走速度，表示出B机器人的行走速度，再根据B机器人行走与A机器人行走的时间，用“时间路程速度”即可列出方程． 【详解】解：∵A机器人每小时行走，B机器人每小时比A多走， ∴B机器人每小时行走， ∵B机器人行走的时间与A机器人行走的时间相等， ∴． 【变式1】北京至石家庄的铁路长392千米，为适应经济发展，自2001年10月21日起，某客运列车的行车速度每小时比原来增加40千米，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1小时．如果设该列车提速前的速度为每小时x千米，那么为求x所列出的方程为______ ． 【答案】 【分析】根据路程、速度、时间的关系，分别表示出提速前后的行车时间，利用时间差为1小时列方程． 【详解】解：设该列车提速前的速度为每小时千米，根据题意，列出方程为 ． 【变式2】某地铁线路全长约，若选择地上交通，私家车行驶同样的路线比乘坐地铁多耗时约分钟，地铁的平均速度是私家车平均速度的倍，问地铁和私家车的平均速度分别是多少？ 【答案】地铁的平均速度为，私家车的平均速度为 【分析】根据速度=路程时间，设未知数，找等量关系，列分式方程求解． 【详解】解：设私家车速度为． . 解得.                                                    经检验是原方程的解，且符合题意． 地铁速度为． 答：地铁的平均速度为，私家车的平均速度为． 【点睛】分式方程的解要注意检验，要符合实际意义． 【变式3】近年来，我国低空经济发展迅速．某外卖订单若采用传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式少．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的倍，求传统方式配送速度是多少？ 【答案】传统方式配送速度为 【分析】以两种配送方式的时间差为等量关系，设未知数列分式方程求解． 【详解】解：设传统方式配送速度为，则无人机配送速度为，根据题意得： ， ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义． 答：传统方式配送速度是． 题型07 分式方程工程问题 【典例1】甲、乙两人搬运货物，甲每小时比乙多搬运20件，甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同．设乙每小时搬运件货物，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设乙每小时搬运件货物，则甲每小时搬运件货物，根据甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同，建立方程即可． 【详解】解：设乙每小时搬运件货物，则甲每小时搬运件货物， 根据甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同，得． 【变式1】我国自主研发的新型道路养护车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成城市沥青路面的摊铺任务．一辆该型号养护车每小时摊铺路面的公里数是人工修补组的倍，人工修补组摊铺公里路面的时间比养护车摊铺公里路面的时间多小时．这辆新型养护车每小时摊铺路面_______公里． 【答案】 【分析】设这辆新型养护车每小时摊铺路面公里，则人工修补组每小时摊铺路面的公里数是公里，列分式方程求解即可． 【详解】解：设这辆新型养护车每小时摊铺路面公里，则人工修补组每小时摊铺路面的公里数是公里， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 答：新型养护车每小时摊铺路面公里． 【变式2】随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用小时，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 【答案】9吨货物 【分析】设普通机器人每小时可以装载吨货物，则智能机器人每小时可以装载吨货物，根据“两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用小时”列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设普通机器人每小时可以装载吨货物，则智能机器人每小时可以装载吨货物， 由题意可得， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：智能机器人每小时可以装载9吨货物． 【变式3】某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘脐橙，任务都是完成脐橙的采摘、运送、包装三项工作，已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，每人每小时可采摘． (1)周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，请问每人每小时运送、包装各多少？ (2)得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？ 【答案】(1)每人每小时运送，包装 (2)运送的第一组有12人，包装的第二组有8人 【分析】（1）先求出工作时间，根据每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，且每人每小时可采摘，6人采摘，8人运送，6人包装，刚好各项工作完成的时间相等，列式计算即可； （2）设负责包装的人数为y人，则负责运送人数为人，根据当第一组完成了任务时，第二组在相同的时间内还有的脐橙没有包装，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知采摘、运送、包装的人数为6、8、6. 设采摘了x小时，根据题意得： ， 解得：， 每人每小时包装：； 每人每小时运送：； （2）解：设负责包装的人数为y人，则负责运送的人数为人， 依题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的根， （人）， 答：运送的第一组有12人，包装的第二组有8人． 题型08 分式方程经济问题 【典例1】某班准备用42元钱到商场去购买笔记本，经过还价，每本便宜0.5元，结果比价多买了2本，求原价每本多少元？设原价每本元，则可列出方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以还价后比原价多买2本为等量关系，分别表示两种单价下的购买数量列方程 【详解】解：设原价每本元，则还价后每本元，原价购买数量为本，还价后购买数量为本， ∵还价后比原价多买2本， ∴． 【变式1】习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“套数总价单价”，结合“第二批购买的套数比第一批少4套”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，第二批八折销售， ∴第二批每套的价格为元， ∴第一批购买的套数为，第二批购买的套数为， 又∵第二批购买的套数比第一批少4套， ∴，因此正确选项为B． 【变式2】2026年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中A、B两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知B款手表的进价比A款手表每块多40元．该商店用7800元购进A款手表的数量，与用9000元购进B款手表的数量相等．求A款、B款手表每块的进价分别为多少元？ 【答案】A款手表每块进价260元，B款手表每块进价300元 【分析】设A款手表每块进价x元，B款手表每块进价元，根据等量关系：用7800元购进A款手表的数量，与用9000元购进B款手表的数量相等，列出分式方程并求解即可，注意检验． 【详解】解：设A款手表每块进价x元，B款手表每块进价元， 依题意，得：， 整理得，， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴A款手表每块进价260元，B款手表每块进价300元； 【变式3】某超市用2000元购进某种水果销售，由于销售状况良好，很快售完．超市又调拨6000元资金购进该种水果，但这次的进价比第一次提高了，购进的数量比第一次的2倍还多200千克，超市此时按每千克10元的价格出售，当大部分售出后，余下的100千克按售价的8折售完． (1)该种水果的第一次的进价是每千克多少元？ (2)超市第二次销售该种水果盈利了多少元？ 【答案】(1)该种水果第一次进价是每千克5元 (2)超市第二次销售该种水果盈利了3800元 【分析】（1）设该种水果第一次的进价是每千克x元，则第二次的进价是每千克元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）利用（1）的结论求解即可． 【详解】（1）解：设该种水果第一次的进价是每千克x元，则第二次的进价是每千克元， 依题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该种水果第一次进价是每千克5元； （2）解：（千克）， （元）． 答：超市第二次销售该种水果盈利了3800元． 题型09 分式方程新定义题 【典例1】若一个方程（组）的解为整数，我们称它为“诚意”方程（组）． (1)下列哪个方程（组）不是“诚意”方程（组）（   ） A．　B．　C．　D． (2)已知关于，的方程组为“诚意”方程组，求正整数的值． (3)为正整数，，当关于的方程是“诚意”方程时，求的最小值． 【答案】(1)D (2)2 (3)1 【分析】本题考查“诚意”方程（组）的定义、解二元一次方程组、解分式方程，熟练掌握二元一次方程组及分式方程的解法，正确理解“诚意”方程（组）的定义是解题的关键． （1）分别解各方程（组），判断解是否为整数； （2）解方程组得，根据x为整数，则是10和15的正公约数，且，据此解答即可； （3）将代入分式方程，解得，由于为正整数，方程是“诚意”方程，则是63的正约数，且， 满足的63的正约数有有7，9，21，63，据此解答即可． 【详解】（1）解：选项A、方程的解为，是整数， 选项B、方程组解为，是整数， 选项C、方程解为，是整数， 选项D、方程的解为，不是整数， 则选项D不是“诚意”方程， 故选：D； （2）解：根据题意得 ， 解得， 由于方程组为“诚意”方程组，是正整数， 则是10和15的正公约数，且， ∴， 当，即时，方程组的解为， 因此，正整数的值为2； （3）解：将代入方程得 ， 解得， 由于为正整数，方程是“诚意”方程， 则是63的正约数，且， 63的正约数有1，3，7，9，21，63， 满足的有7，9，21，63， 当，即时，，且分母、； 当，即时，，分母，故舍去； 当，即时，，且分母、； 当，即时，，且分母、， 因此，的最小值为1． 【变式1】对于两个分式，如果，那么我们称分式与分式互为“友好分式”．结合以上信息，完成下列各题． (1)下列互为“友好分式”的是_____；（填序号） ①与；②与． (2)若与互为“友好分式”，求的值； (3)若与互为“友好分式”，且为正整数，求整数的值． 【答案】(1)① (2)或 (3)或或或 【分析】（1）根据“友好分式”的定义，计算各选项中两个分式的差值，判断其绝对值是否等于，进而选出符合条件的选项； （2）依据定义列出含的方程，合并同分母分式后去分母转化为整式方程，求解后验证分式有意义； （3）根据“两分式差的绝对值为”分两种情况列方程，整理后结合为正整数、为整数的条件，分析方程中未知数的约数情况，求解并筛选出符合要求的值． 【详解】（1）解：①， ； ①的两个分式互为“友好分式”． ②， ②的两个分式不互为“友好分式”． （2）解：由题意得或， 解得， 经检验，是原方程的解； 解得， 经检验，是原方程的解； 综上，或； （3）解：与互为友好分式， 或， ①由， 解得， 为正整数， 是的正约数， 或， 当时，，； 当时，，； 经检验：或是原方程的解； ②由， 解得， 为正整数， 是的正约数， 或， 当时，，； 当时，，； 经检验：或是原方程的解； 综上所述，或或或． 【变式2】如果两个分式M与N的和为k（k为正整数），则称M与N互为“和整分式”，其中k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，求出k的值； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且． ①求G所代表的代数式； ②若x为整数，分式D的值为正整数，直接写出x的值． 【答案】(1)是， (2)①②或0 【分析】本题考查分式的加减法，分式方程，分式的值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据分式的加减法的运算法则求出，即可得出结论． （2）①由题意可得，再去分母、整理求出的值即可． ②将①所求的值代入，再化简得到最简结果，根据为整数，分式的值也为正整数可得出的值． 【详解】（1）解：， 与互为“和整分式”，“和整值” ； （2）解：①，，与互为“和整分式”，且“和整值” ， ， ， ； ②， ． 分式的值为正整数， 或， 当时，， 当时，， 值为或0． 【变式3】材料：已知a、b均为不为0的常数，A是含x的一次整式，若分式的值为0，则或，因为，即，所以分式方程的两个解为、，我们把这样的方程称为“孪生分式方程”． 示例1：分式方程可写成，故此方程是“孪生分式方程”，所以该方程的两个解为：，，即，； 示例2：方程可写成，故此方程是“孪生分式方程”，所以该方程的两个解为：，，即，； 阅读以上材料，解答下列问题： (1)分式方程是“孪生分式方程”吗？请说明理由． (2)已知分式方程的两个解为，，求代数式的值； (3)已知关于x的分式方程，其中，该分式方程的两个解记为、，且满足，若的值为整数，求t的整数值． 【答案】(1)是“孪生分式方程”，理由见解析 (2)20或13 (3)或 【分析】（1）将方程转化为即可判断； （2）将方程转化为，可根据“孪生分式方程”的定义求得，，进一步可得，或，，即可求得答案； （3）将方程转化为，可根据“孪生分式方程”的定义求得，，所以，即可根据整除的性质求得答案． 【详解】（1）解：是“孪生分式方程”；理由如下： 方程可写成，故此方程是“孪生分式方程”，所以该方程的两个解为：，，即，； （2）解：分式方程可写成，即， 故此方程是“孪生分式方程”， 所以该方程的两个解为：，，即，； 所以，或， 所以或； （3）解：分式方程可写成， 故此方程是“孪生分式方程”， ， 所以该方程的两个解为：，，即，； ， 该式的值为整数，t为整数，且， ， 或， 或． 1．下列方程中不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式方程的概念逐项判断即可找出正确答案． 【详解】解：分式方程需同时满足3个条件，即是方程，有分母，分母中含有未知量， 观察可知，选项A B D均满足上述三个条件，故都是分式方程， 选项C分母中没有未知量，不属于分式方程， 故答案为：C． 【点睛】本题考查分式方程的概念，熟练掌握分式方程的判定方法是解题的关键． 2．分式方程的解为（  ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】化为整式方程为：1＝x−2−2 解得：x＝5， 经检验x＝5是原方程的解， 故选：C． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 3．已知关于的分式方程的解为，则的值为（   ） A．4 B．3 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解，通过已知分式方程的解求未知数的知识．解题的关键是将x的值回代到原方程．将回代到方程中即可求出a值． 【详解】解：将代入方程， 得：， 解得， 故选：D． 4．从传统的“镐锄镰犁"到如今的"金戈铁马”毕节市农技机械服务公司向威宁县观凤海镇果化村马铃薯种薯扩繁基地提供了农机社会化服务，实现工从昔日的“人畜劳作”到今天的“机器换人”．已知一台播种机一天播种的面积是十人一天播种的面积的2.5倍，一台播种机播种500亩所需的天数比用十人播种的天数少5天，十人一天能播种多少亩？若设十人一天能播种x亩，则可列出方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了从实际问题抽象出分式方程，找出等量关系是解答本题的关键．根据一台播种机播种500亩所需的天数比用十人播种的天数少5天列方程即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故选A． 5．若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m＝___． 【答案】2 【分析】去分母，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根时无解求m的值． 【详解】解：﹣1＝， 方程两边同时乘以x﹣1，得2x﹣（x﹣1）＝m， 去括号，得2x﹣x＋1＝m， 移项、合并同类项，得x＝m﹣1， ∵方程无解， ∴x＝1， ∴m﹣1＝1， ∴m＝2， 故答案为2． 【点睛】本题考查分式方程无解计算，解题时需注意，分式方程无解要根据方程的特点进行判断，既要考虑分式方程有增根的情况，又要考虑整式方程无解的情况. 6．关于x的方程的解为非负数，则a的取值范围是______． 【答案】且 【分析】先解关于x的方程，用含a的式子表示出x的值，再根据解是非负数，得出关于a的不等式，然后结合分式有意义的条件得出a的取值范围即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵方程的解为非负数， ∴，且，解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了解分式方程及解一元一次不等式，属于基础计算能力的考查，难度不大，但要注意分式有意义的条件的运用． 7．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程化为关于的整式方程是__________． 【答案】 【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，可根据方程特点设，将原方程化简为关于y的方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：； 两边同乘以y可得2y2＋y−1＝0， 故答案为2y2＋y−1＝0． 【点睛】本题主要考查换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，属于基础题． 8．解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 9．（1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）无解（2）， 【分析】（1）方程两边乘去分母，然后按照去括号、移项、合并同类项的步骤求解，并进行检验即可； （2）按照多项式乘多项式法则、完全平方公式以及多项式除以单项式法则进行化简，然后代入求值即可． 【详解】解：（1）， 方程两边乘，得， 去括号，得， ， 解得， 检验：当时，， 因此不是原分式方程的解，所以原分式方程无解； （2）原式 ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了解分式方程和整式化简求值，熟练掌握解分式方程的步骤和整式的运算法则是解题关键． 10．某工程在进行招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：①甲队单独做这项工程，刚好如期完成；②乙队单独完成这项工程比规定日期多6天；③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)设甲队单独做这项工程需要天，请将下表补充完整． 工程总量 所用时间/天 工程效率 甲队 1 乙队 1 (2)根据题意及表中所得到的信息列出关于方案③的分式方程． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，熟练掌握根据题干找出等量关系是解题的关键； （1）根据题干设出的未知数，列式子表示出表格中的量； （2）根据（1）中的信息列出方程． 【详解】（1）解：已知甲队单独做这项工程需要x天， 则甲队的工程效率为总量与时间的比值：， 由信息②可知，乙队所用时间为：天， 乙队工程效率为：； ∴表格为： 工程总量 所用时间/天 工程效率 甲队 1 x 乙队 1 （2）解：根据题干中的条件③可得:合作3天的工作量再加上乙队单独完成的工作量等于整个工作量“1”， ∴方程为： 1．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段检测）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的识别，解题的关键是掌握分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程，注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母．据此解答即可 【详解】解：A．是一元一次方程，故此选项不符合题意； B．是分式方程，故此选项符合题意； C．是一元一次方程，故此选项不符合题意； D．是代数式，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．若x为实数，且，则的值为(     ) A．－4 B．4 C．－4或1 D．4或－1 【答案】A 【分析】先将原方程变形为，进一步即可得到，可得或，再检验即得答案. 【详解】由题意得， 所以， 所以， 所以或， 当时，，此时方程无实数根，需舍去； 故选A. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和简单的分式方程的求解，灵活应用整体思想、掌握求解的方法是关键. 3．已知关于x的方程的解为．则关于y的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入关于x的方程中，求出，再将，代入关于y的方程中，求出，再进行检验即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解为， ∴， ， ∴， 当时，关于y的方程是：， ∴， ∴， ∴， 经检验：是关于y的方程的解． 故选：D． 【点睛】本题考查了解分式方程，把分式方程化为整式方程解题的关键，分式方程一定要进行检验． 4．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．设走路线一的平均车速为千米/小时，那么根据题意得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程，注意单位变换． 【详解】解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，走路线二时的平均速度为千米/小时， 故选D． 5．（2025·北京·中考真题）方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·上海·期末）已知关于的方程的解不小于1，那么的取值范围是_________． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解，先解分式方程可得，由题意得，再由，得，求出m的取值范围即可． 【详解】解：， 去分母得， ， 解得， ∵方程的解不小于1， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴m的取值范围为：且， 故答案为：且． 7．（23-24八年级下·上海宝山·期末）随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据“10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等”列方程即可． 【详解】解：设A型充电桩的单价是x万元，则B型充电桩的单价为万元， 根据题意得， 故答案为：． 8．解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母得，再计算得，最后检验，即可作答． 【详解】解：， 去分母，方程两边同时乘以得：， 解得， 检验：把代入得， ∴是原方程的增根， ∴原分式方程无解． 9．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键．先方程两边同乘以可得，再利用因式分解法解一元二次方程，然后进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 经检验，不是分式方程的解；是分式方程的解， 所以方程的解为． 10．（25-26七年级上·上海·阶段检测）解方程组 【答案】 【分析】本题考查的是解分式方程组，设，则原方程组化为，解出，进而求出，再求出结论即可． 【详解】解：设，则原方程组化为： ， 解得：， ， ， 解得：． 11．（25-26七年级上·上海·期中）今年新型“和谐号”高速列车正式投入沪宁线运行，已知上海到南京全程约为300公里，如果新型“和谐号”高速列车行驶的平均速度比原来“和谐号”动车行驶的平均速度每分钟快2公里，那么从上海到南京比原来“和谐号”动车少用40分钟，问新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要多少分钟？ 【答案】60分钟 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要x分钟，根据已知上海到南京全程约300公里，如果新型“和谐号”高速列车行驶的平均速度比原来的“和谐号”动车行驶的平均速度每分钟快2公里，那么从上海到南京比原来“和谐号”动车少用40分钟，可列方程求解． 【详解】解：设新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要x分钟，则原来“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要60分钟． 12．（25-26七年级上·上海·阶段检测）甲、乙两同学的家与学校的距离为3000米，甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车上学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的一半，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两人同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟． (1)求乙骑自行车的速度； (2)出发几分钟后，两人与学校的距离相等？ 【答案】(1)乙骑自行车的速度为300米/分钟 (2)出发6分钟后，两人与学校的距离相等 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． （1）设乙骑自行车的速度为x（米/分钟），则甲步行速度是（米/分钟），公交车的速度是2x（米/分钟），根据题意列方程即可得到结论； （2）乙骑自行车的速度300米/分钟，甲步行速度150米/分钟，公交车速度600米/分钟，甲步行600米所需时间（分钟）设出发t分钟后，两人与学校的距离相等，乙与学校的距离为米，然后分类讨论列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙骑自行车的速度为x（米/分钟），则甲步行速度是（米/分钟），公交车的速度是2x（米/分钟）， 根据题意得 解得：， 经检验是方程的根，且符合题意 答：乙骑自行车的速度为300米/分钟； （2）解：由（1）可得，乙骑自行车的速度300米/分钟，甲步行速度150米/分钟，公交车速度600米/分钟 甲步行600米所需时间（分钟） 设出发t分钟后，两人与学校的距离相等，乙与学校的距离为米， 当时，甲与学校的距离为米， 设 解得（不合题意，舍去） 当时，甲与学校的距离为（米） 设 解得 ∴出发6分钟后，两人与学校的距离相等． 13．（25-26七年级上·上海·阶段检测）聪聪在长为180米的跑道上训练机器人． (1)若A机器人匀速行走1分钟后，提速到原速的1.5倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点．求A机器人走完全程所花的时间．（用一元分式方程求解） (2)若B机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；C机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．已知，，，试比较B、C两机器人行走的时间，大小，并说明理由． 【答案】(1)分钟 (2)，理由： B机器人所需时间， C机器人所需时间， ， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 【分析】本题考查分式方程的应用、分式的加减运算的应用，理解题意，正确列出方程和代数式是解答的关键． （1）设原行走的速度为分，根据“结果比原计划提前40秒到达终点”列分式方程求解即可； （2）先根据题意求得两个机器人所需时间，然后作差，利用分式加减法计算后比较大小，进而可得结论． 【详解】（1）解：设原行走的速度为分， 根据题意得：， 解得， 经检验，为原方程的解， ， 机器人走完全程所花的时间分钟； （2）略 14．（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）某服装店购进一批甲、乙两种款型T恤衫，甲种款型共用了7000元，乙种款型共用了5000元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元． (1)甲、乙两种款型的T恤衫分别购进多少件？ (2)甲、乙两种款型T恤衫均按照进价提高标价出售，要使销售完后利润总和等于4800元，求的值． 【答案】(1) 甲种款型的T恤衫购进100件，乙种款型的T恤衫购进50件 (2) 40 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程求解． （1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种购进件，根据甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，列出方程即可求解； （2）先计算出甲乙两种款型的进价，根据利润公式列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种购进件， 根据题意，得， 解得， 经检验：是原分式方程的解， （件）， 答：甲种款型的T恤衫购进100件，乙种款型的T恤衫购进50件； （2）解：甲种款型的进价为元，乙种款型的进价为元， 根据题意，得， 解得， 答：要使销售完后利润总和等于4800元，m的值为40． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $