专题12.1 因式分解的意义与提取公因式（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级上册

专题12.1 因式分解的意义与提公因式法 教学目标 1.理解因式分解的定义，能准确区分因式分解与整式乘法，判断式子变形是否为因式分解。 2.掌握公因式判定“三定法”:定系数(最大公约数)、定相同字母、定最低指数；会识别单项式、多项式整体两类公因式。 3.熟练掌握提公因式法完整步骤，规范完成各类多项式因式分解。 4.理解首项为负时提负公因式的符号变化规则，掌握含多项式整体公因式的分解技巧。 教学重难点 重点： 因式分解概念辨析；找公因式；基础提公因式分解。 难点： 首项负号提取变号；公因式提取后漏常数1；多项式整体公因式变形。 知识点01 因式分解的意义 1、因式分解： 将多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解。 2、因式分解与整式乘法互为逆变形： 【即学即练】 1．下列由左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．已知多项式能分解因式为，则的值为（     ） A． B． C． D． 知识点02 提公因式法 1、公因式： 一个多个项的整式中每一项都含有的因式叫做这个整式的公因式. 2、提取公因式法： 3. 怎样确定公因式(五看): 4、提取公因式的步骤： (1)找出整式各项的公因式. (2)提出公因式. (3)写成m与a+b+c的乘积形式. 【即学即练】 3．对多项式进行因式分解，应提取的公因式是（     ） A．4 B． C． D． 4．下列多项式的分解因式，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型01 因式分解的辨析 【典例1】下面各式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解 【变式3】下列变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 题型02 根据因式分解结果求参数 【典例1】若多项式因式分解的结果为，则常数的值为______． 【变式1】将因式分解的结果为，那么“”表示的数是_______． 【变式2】已知整式分解因式的结果为，则______． 【变式3】若多项式可分解为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 【变式4】分解因式时，嘉嘉看错了a的值，分解的结果是，琪琪看错了b的值，分解的结果是，求的值． 题型03 公因式的辨析 【典例1】多项式的公因式是（     ） A． B． C． D． 【变式1】多项式与的公因式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】运用提公因式法将分解因式，应提取的最大公因式是（     ） A． B． C． D． 【变式3】已知下列各组多项式：①和；②和；③和；④和．上述各组中有相同公因式的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式4】多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 题型04 公因式是单项式 【典例1】因式分解：______． 【变式1】因式分解：____________． 【变式2】因式分解：____________________． 【变式3】分解因式：____________． 【变式4】先因式分解，再求值：，其中． 题型05 公因式是多项式 【典例1】因式分解：____． 【典例2】已知，，则的值为_____． 【变式2】把多项式提取公因式后，余下的部分是 _____． 【变式3】分解因式： (1) (2) 1．下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是 A．a（x+y）=ax+ay B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4 C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1） D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x 2．下列式子，从左边到右边的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 4．把分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．单项式，，的公因式是（   ） A． B． C． D． 6．与的公因式是_______． 7．分解因式：x2+3x=____________ 8．因式分解：______ 9．已知多项式分解因式为，________，________． 10．分解因式： (1)； (2)． 11．分解因式： （1）；                （2）； （3）；                   （4）． 12．已知，，求多项式的值． 1．下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．多项式（，均为大于1的整数）各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 3．若，，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 4．已知，则的值是（） A．6 B．7 C．4 D．2 5．小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C． D．3 6．单项式－12x12y3与8x10y6的公因式是________． 7．因式分解：_________. 8．已知，则的值是______． 9．因式分解：_______． 10．因式分解： (1)； (2)． 11．因式分解： 12．分解因式： 13．求证：能被15整除． 14．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.1 因式分解的意义与提公因式法 教学目标 1.理解因式分解的定义，能准确区分因式分解与整式乘法，判断式子变形是否为因式分解。 2.掌握公因式判定“三定法”:定系数(最大公约数)、定相同字母、定最低指数；会识别单项式、多项式整体两类公因式。 3.熟练掌握提公因式法完整步骤，规范完成各类多项式因式分解。 4.理解首项为负时提负公因式的符号变化规则，掌握含多项式整体公因式的分解技巧。 教学重难点 重点： 因式分解概念辨析；找公因式；基础提公因式分解。 难点： 首项负号提取变号；公因式提取后漏常数1;多项式整体公因式变形。 知识点01 因式分解的意义 1、因式分解： 将多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解。 2、因式分解与整式乘法互为逆变形： 整式的乘积 因式分解 其中m可以代表单项式，也可以代表多个项的整式，它是整式中各项都含有的因式，称为公因式. 【即学即练】 1．下列由左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项， ，右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； B选项，，左边是几个整式的积，右边是多项式，这是整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； C选项，，原运算错误，不是因式分解，故该选项不符合题意； D选项，，右边是几个整式的积的形式，是因式分解，故该选项符合题意． 2．已知多项式能分解因式为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】展开因式乘积，根据多项式对应项系数相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ，， 解得， ∴． 知识点02 提公因式法 1、公因式： 一个多个项的整式中每一项都含有的因式叫做这个整式的公因式. 2、提取公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 3. 怎样确定公因式(五看): 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号：若多项式中首项符号是“”,则公因式的符号一般为负. 4、提取公因式的步骤： (1)找出整式各项的公因式. (2)提出公因式. (3)写成m与a+b+c的乘积形式. 【即学即练】 3．对多项式进行因式分解，应提取的公因式是（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 多项式中，系数2与8的最大公约数为2，两项共有的字母为，的最低次数为1，仅在第二项出现，不属于共有字母， ∴应提取的公因式是． 4．下列多项式的分解因式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的分解因式，解题的关键是掌握因式分解的方法．根据提公因式法因式分解即可逐一判断． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项正确； C、，故该选项错误； D、，故该选项错误； 故选：B． 题型01 因式分解的辨析 【典例1】下面各式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A中，等式右边为，不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合要求； 选项B中，变形是整式乘法，是从整式乘积化为多项式，不是因式分解，不符合要求； 选项C中，左边是多项式，右边是整式乘积，且，变形正确，属于正确的因式分解，符合要求； 选项D中，，变形错误，不符合要求. 【变式1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的概念：因式分解要求等式左边是多项式，右边是几个整式的乘积的形式，据此逐项判断即可． 【详解】A选项属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； B选项右边不是整式乘积的形式，不符合要求； C选项右边的不是整式，不符合要求； D选项左边是多项式，右边是两个整式的乘积，变形正确，属于因式分解，符合要求． 【变式2】对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解 【答案】C 【分析】根据因式分解和整式乘法的定义进行判断即可． 【详解】解：①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解； ②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法． 综上，①是因式分解，②是整式乘法． 【变式3】下列变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解，把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式分解为几个整式的乘积形式． 【详解】解：选项A：右边括号内出现分式，不符合因式分解要求整式乘积的条件，排除． 选项B：右边为，是多项式相加而非乘积形式，未完成因式分解，排除． 选项C：左边分解为两个一次整式的乘积，且展开后与原式相等，符合因式分解的定义． 选项D：左边是乘积形式，右边为展开后的多项式，属于整式乘法而非因式分解，排除． 故选：C． 【变式4】下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】③④ 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的对象是多项式，结果是几个整式的积，与整式乘法互为逆运算是解题的关键． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各等式变形是否符合定义． 【详解】解：等式①左边为积的形式，右边为多项式，属于整式乘法，不是因式分解； 等式②左边为单项式，不是多项式，不符合因式分解对象要求； 等式③左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式④左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式⑤右边不是积的形式，因此不是因式分解． 故答案为：③④． 题型02 根据因式分解结果求参数 【典例1】若多项式因式分解的结果为，则常数的值为______． 【答案】 【分析】因式分解与整式乘法互为逆运算，展开因式分解后的多项式，对比对应项的系数即可求出的值． 【详解】解：， ， 对比多项式同类项的系数可得． 【变式1】将因式分解的结果为，那么“”表示的数是_______． 【答案】 【分析】设方框表示的数为，将因式分解的结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解：设“”表示的数是， 根据题意得 ， ， , ． 【变式2】已知整式分解因式的结果为，则______． 【答案】16 【分析】本题考查了因式分解，将已知分解后的结果展开，对比原式对应项系数即可求得． 【详解】解：， 则， 即． 【变式3】若多项式可分解为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先展开因式分解后的式子，利用多项式相等对应项系数相等求出和的值，再计算即可． 【详解】首先展开因式分解后的式子 又原多项式为，两个多项式相等对应系数相等 ∴， 将代入得 ∴ 故选：C． 【变式4】分解因式时，嘉嘉看错了a的值，分解的结果是，琪琪看错了b的值，分解的结果是，求的值． 【答案】 【分析】根据因式分解及整式的乘法进行求解即可． 【详解】解：∵嘉嘉看错了a的值，分解的结果是，且， ∴， ∵琪琪看错了b的值，分解的结果是，且， ∴， ∴． 题型03 公因式的辨析 【典例1】多项式的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一个多项式各项的公因式是这个多项式各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积，据此即可获得答案． 【详解】解：多项式的各项系数为，最大公约数是2， 各项均含字母x与y，x的最低次数为1，y的最低次数为1， ∴该多项式的公因式为． 【变式1】多项式与的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ∵ ， ， ∴ 两个多项式的公因式是． 【变式2】运用提公因式法将分解因式，应提取的最大公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求系数的最大公约数，再找各项相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到最大公因式； 【详解】解：∵ 多项式中，系数4和12的最大公约数为4，各项共有的字母是a和b，a的最低次幂为，b的最低次幂为，c仅在第二项出现，不参与公因式构成， ∴ 最大公因式为； 【变式3】已知下列各组多项式：①和；②和；③和；④和．上述各组中有相同公因式的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】本题考查公因式的判断，解题思路为对每组中两个多项式分别因式分解，再判断是否有相同公因式，统计符合要求的组数即可． 【详解】解：① ，有相同公因式，； ② ，有相同公因式； ③ ∵，本组有相同公因式； ④ ，另一多项式为，本组无相同公因式； 综上，共有3组有相同公因式． 【变式4】多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式——提取公因式，掌握公因式的提取技巧是解题关键．通过提取多项式中各项系数的最大公约数与各变量最小指数的乘积即可． 【详解】解：∵系数18、9、3的最大公约数为3，变量的最小指数为2，的最小指数为1，的最小指数为1， ∴此多项式的公因式为． 故选C． 题型04 公因式是单项式 【典例1】因式分解：______． 【答案】 【详解】解：． 【变式1】因式分解：____________． 【答案】 【分析】观察多项式的两项，找到公因式，用提公因式法完成因式分解． 【详解】解：． 【变式2】因式分解：____________________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成因式分解． 【详解】解： ． 【变式3】分解因式：____________． 【答案】 【分析】先提取原式的公因式，再用平方差公式分解，直至不能再分解． 【详解】解：． 【变式4】先因式分解，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先提公因式，然后用完全平方公式分解因式，最后将数据代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 题型05 公因式是多项式 【典例1】因式分解：____． 【答案】 【分析】找出原式的公因式，利用提取公因式法即可完成因式分解． 【详解】解： ． 【典例2】已知，，则的值为_____． 【答案】 【分析】当已知和的值时，无需单独求解、，只需将代数式因式分解为含和的形式，即可快速求值． 【详解】解：原式 ， 代入，原式． 【变式2】把多项式提取公因式后，余下的部分是 _____． 【答案】 【详解】解： 把多项式提取公因式后，余下的部分是． 【变式3】分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察多项式，找到各项的公因式，直接提取公因式完成因式分解． （2）先对变形，构造出相同的公因式，提取公因式后，再利用平方差公式继续分解到不能再分解为止． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4】 1．下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是 A．a（x+y）=ax+ay B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4 C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1） D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x 【答案】C 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解． 【详解】A、是多项式乘法，故选项错误； B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故选项错误； C、提公因式法，故选项正确； D、右边不是积的形式，故选项错误． 故选：C． 2．下列式子，从左边到右边的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； 、，是因式分解，符合题意； 、，不是因式分解，不符合题意； 、，不是因式分解，不符合题意； 故选：． 3．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查找公因式，根据系数找最大公因数，字母找相同字母最低指数即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 的公式为：， 故选：A． 4．把分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，掌握先提取公因式，再检查剩余多项式是否能继续分解，分解要彻底是解题的关键． 通过提取公因式，将多项式分解为与二次式的乘积，并验证其他选项是否等价． 【详解】解：A、 ，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：A． 5．单项式，，的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将，，写成，，即可． 【详解】解：∵，， ∴，，的公因式为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了公因式的知识，将，，写成，，的形式是正确解题的关键． 6．与的公因式是_______． 【答案】 【分析】本题考查的是确定几个单项式的公因式，先确定公因式的系数：取两个单项式的系数的最大公约数，再取相同因式的最低次幂的积，从而可得答案． 【详解】解：与的公因式是， 故答案为：． 7．分解因式：x2+3x=____________ 【答案】x（x+3） 【详解】考点：因式分解-提公因式法． 分析：观察原式，发现公因式为x；提出后，即可得出答案． 解答：解：x2+3x=x（x+3）． 故答案为x（x+3） 点评：主要考查提公因式法分解因式，此题属于基础题． 8．因式分解：______ 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 提取公因式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为 ． 9．已知多项式分解因式为，________，________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，通过展开给定的因式分解形式，与原多项式比较系数，即可求出和的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∵多项式分解因式为， ∴，， 故答案为：，． 10．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查提公因式分解因式． （1）提公因式即可求解； （2）提公因式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．分解因式： （1）；                （2）； （3）；                   （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】直接提取公因式法逐一分解即可． 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法是解决本题的关键． 12．已知，，求多项式的值． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用及代数式求值问题；对要求的式子进行转化，用与表示是正确解答本题的关键． 对要求的式子进行转化，用与表示，代入数值可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 1．下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，判断每个选项是否将多项式化为几个整式的积的形式．本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键． 【详解】解：选项A，，是对单项式的拆分，不是因式分解，故该选项不符合题意； 选项B，，是整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； 选项C，，是因式分解，故该选项符合题意； 选项D，，不是整式，原变形不是因式分解，故该选项不符合题意． 故选：C． 2．多项式（，均为大于1的整数）各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了公因式，直接利用公因式的定义进而得出各项的公因式． 【详解】解：， ∴各项的公因式是， 故选B． 3．若，，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键． 先将所求式子进行因式分解，再将已知条件代入求值． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：D． 4．已知，则的值是（） A．6 B．7 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值、因式分解，根据题意，，把代入即可求出结果，解题的关键是要能将看成一个整体代入代数式求值． 【详解】解：， ∵， ∴原式， 故选：D． 5．小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由题意易得，然后可得a、b的值，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 6．单项式－12x12y3与8x10y6的公因式是________． 【答案】4x10y3 【详解】运用公因式的概念，系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是x10y3，可得公因式为4x10y3． 故答案为4x10y3. 点睛：此题主要考查了找公因式的方法，系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可求解. 7．因式分解：_________. 【答案】 【分析】根据提公因式因式分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 8．已知，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子中括号内的式子提出公因式得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9．因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的因式分解，灵活选择因式分解的方法是解题的关键．首先观察式子中的，利用的关系，将其转化为的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据题意，运用提公因式法即可分解因式得解； （2）依据题意，根据提公因式法进行分解可以得解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 11．因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 先凑出公因式，然后再提取公因式即可解答． 【详解】解： ． 12．分解因式： 【答案】(2m+3x)(3m-2y) 【分析】先把多项式分组，再分别提取公因式后，在确定公因式提取进行分解. 【详解】解： =(6m2+9mx)-(4my+6xy) =3m(2m+3x)-2y(2m+3x) =(2m+3x)(3m-2y) 【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解，正确分组是因式分解的关键. 13．求证：能被15整除． 【答案】 证明：原式 ， 能被15整除． 【分析】本题考查了因式分解，整除的性质，掌握提取公因式简化代数式是解题的关键． 提取公因式，化简后证明式子含有因数，从而说明原式能被整除． 【详解】略 14．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3)； 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，读懂题意得出分解因式的规律是解题的关键． （1）已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案； （3）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2） ； （3） ， 故需应用上述方法次，结果是． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $