专题13.1 分式及其性质（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级上册

专题13.1分式及其性质 教学目标 1.知道分式的概念及有意义的条件; 2.学会分式的求值； 3.掌握分式的基本性质、最简分式、约分等。 教学重难点 1.重点 (1)学会判断分式，根据分式有意义的条件求参数范围； (2)掌握分式的基本性质及其应用； (3)了解约分的过程，利用约分将分式化为最简分式。 2.难点 (1)利用分式的基本性质求解有关化简、变形、求值问题等； (2)分式的基本性质的综合应用。 知识点01 分式的概念 1. 概念 一般地，对于两个整式A、B(B是非零整式)，A÷B可以表示为 的形式， 叫作分式，也称为有理式，其中，A称为分子，B称为分母. 本章主要讨论分母中含有字母的分式. 要点： (1)分式和分数的区别：分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母。分数属于有理数，属于整式，不属于分式。 (2)分式与整式的区别：分式的分母要含有字母，整式可以有分母，当分母中不能含有字母。如， 虽有分母，但属于整式不属于分式， 是整式的系数。 2. 分式有意义无意义的条件 (1)分式有意义的条件：分母不等于零。 (2)分式无意义的条件：分母等于零。 3. 分式的值为零的条件 分子等于零且分母不等于零。 4. 分式的值为0,为1，为正（负）数，为整数的条件 (1)分式值为0的条件是：A=0，且B. 如若分式 的值为0，则x2-1=0,且x+1 , 所以，x=1； (2)分式值为-1的条件是：A=-B，且B. (3)分式值为负数的条件是：A、B异号，且B. (4)分式值为整数的条件是：A能被B整除，且B. 【即学即练】 1．下列代数式中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式定义，分母含有字母的代数式是分式，依次判断各选项，、、分母不含字母为整式，分母含有字母，是分式． 【详解】解：：分母是常数3，属于整式（单项式），不是分式． ：分子分母都是整式，分母含有字母，是分式． ：分母是常数2，属于整式（多项式），不是分式． ：是常数，整个式子是多项式，属于整式，不是分式． 2．若分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，得， 解得． 3．若分式的值为零，则_______． 【答案】 【分析】分式值为零需同时满足分子为零、分母不为零两个条件，先求出分子为零的，再排除使分母为零的解即可． 【详解】解：∵ 分式的值为零， ∴ ，且， 解，得， ∴ 或， 解得或， 又∵ ， ∴ ． 知识点02 分式的基本性质 1. 基本性质： 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. 用字母表示为： （C≠0），其中A、B、C是整式． 作用：将分式恒等变形. 2. 将分式的分子分母的最高次项化为正数，系数化为整数 例如：(1)不改变分式的值，使下列分式的分子和分母的首项都不含“－”号: ；= (2)利用基本性质将分式的系数化为整系数 3. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. 4.约分 约分就是利用分式的基本性质，分子分母同时除以分子分母的公因式，将分式化成最简分式. 约分的步骤： （1）找——公因式 （2）约——分子分母同时除以公因式 约分的类型：（1）分子分母是单项式——直接约分 （2）分子分母是多项式——先因式分解再约分 【即学即练】 4．根据分式的基本性质，分式可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 故选：A． 5．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_________． 【答案】 【分析】利用分式的基本性质让分子分母同扩大10倍即可． 【详解】解：． 6．下列分式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是最简分式的为______．（填序号） 【答案】①⑤ 【详解】解：①是最简分式； ②，不是最简分式； ③，不是最简分式； ④，不是最简分式； ⑤是最简分式； ⑥，不是最简分式； 综上，是最简分式的有①⑤． 7．化简的结果等于（     ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原式． 题型01 分式的辨析 【典例1】下列式子是分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是单项式，是整式，不是分式，故该选项不正确，不符合题意； B、是单项式，是整式，不是分式，故该选项不正确，不符合题意； C、是分式，故该选项正确，符合题意； D、是多项式，是整式，不是分式，故该选项不正确，不符合题意． 【变式1】代数式有意义的条件是________． 【答案】 【分析】分式有意义的条件是分母不为． 【详解】解：∵分式有意义时，分母不能为， ∴，即． 【变式2】已知当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值是________． 【答案】 【分析】根据分式无意义时分母为0，分式值为0时分子为0且分母不为0，分别求出和的值，再计算． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴，解得 ． ∵时，分式的值为， ∴， 解得 ． ∴． 【变式3】当______ 时，分式无意义；当 ______ 时，分式的值是． 【答案】 【分析】本题根据分式无意义的条件和分式值为的条件求解．分式无意义时，分母为；分式值为时，需满足分子为且分母不为，分别列方程求解即可得到结果． 【详解】解：分式无意义， 解得； 分式的值为， 且， 又 得或，得， 所以． 【变式4】根据下列表格中的信息，代表的分式可以是（     ） … … … 无意义 * * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式无意义的条件（分母为时分式无意义）和分式值为的条件（分子为且分母不为时分式值为），结合表格信息判断选项即可． 【详解】解：根据表格信息可得三个条件：① 当时，无意义，可知时，分式分母为；② 当时，，可知时，分式分子为且分母不为；③ 当时，，代入验证即可； A、中，当时，分母，有意义，不符合条件①，排除； B、中，当时，分母，无意义，符合条件①；当时，分子，分母，符合条件②；当时，，符合条件③，故该选项符合题意； C、中，当时，分母，有意义，不符合条件①，排除； D、中，当时，分子，，不符合条件②，排除． 题型02 分式的值为0 【典例1】若分式的值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：分式的值为， 且， ． 【变式1】若分式的值为，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式的值为的条件，可求得结果． 【详解】解：由题意得：且， 解得， ∵， ． 【变式2】若分式的值为0，则x的值为 __ ． 【答案】 【分析】根据分式的值为零的条件解答，即分式的分子等于零，分母不等于零． 【详解】解：由题意可得，且， 解得． 【变式3】若分式的值为0，则___________． 【答案】 【分析】分式值为0的条件是分子为0，且分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得． 【变式4】若分式的值为0，则x的值为（     ） A． B． C． D．任意实数 【答案】A 【分析】本题根据分式值为的条件求解，分式值为需要满足分子为，同时分母不为，结合两个条件即可得到的取值． 【详解】解：∵分式的值为， ∴满足条件， 解方程，得或， 由不等式，得， ∴． 题型03 分式的值为正数、负数 【典例1】若分式的值为负数，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据分式的值为负数的条件，结合分子为正数，得到分母小于零，列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 解得． 【变式1】若分式的值为正数，则实数x的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：分式的值为正数， 分子与分母同号， 对于任意实数，都有， ，即分母恒为正数， ． 【变式2】已知分式． (1)若分式的值为0，则的值为_____． (2)若分式的值为正数，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2)且 【分析】（1）根据分式为0，得出分母不为0，分子为0进行列式计算，即可作答． （2）根据分式的值为正数，得出，，再解得且，即可作答． 【详解】（1）解：∵分式的值为0， ∴， ∴，， 即若分式的值为0，则的值为2； （2）解：∵由题得分式有意义， ， ， 分式的值为正数， ， ， 且． 【变式3】当________时，分式有意义；当________时，分式的值为0；当________时，分式的值为正数． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义、值为0及值为正数的条件，解题关键是掌握分式相关条件的判定规则：分式有意义要求分母不为0；分式值为0要求分子为0且分母不为0；分式值为正数要求分子分母同号（同时不为0）． 【详解】解：①分式有意义时，分母不能为0， ， 解得：； ②分式值为0时，分子为0且分母不为0， ， 由，解得或； 又，即， ； ③分式值为正数时，分子分母同号且均不为0， 分子为， ，解得． 故答案为：，，． 【变式4】分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 题型04 分式的值为整数 【典例1】已知x为整数，则能使代数式的值为整数的所有x的和为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】先对分式变形分离常数，再根据代数式的值为整数得到是的约数，求出所有符合条件的后求和即可． 【详解】解：对分式变形得， ∵代数式的值为整数，为整数，分式有意义要求， ∴是的整数约数， 即或或或， 解得， 解得， 解得， 解得， ∴所有符合条件的的和为． 【变式1】已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先对分式分离常数变形，根据分式值为整数，得到是的因数，结合是正整数的条件找出所有符合要求的，再计算它们的和即可。 【详解】解：∵ ， ∵分式的值为整数，为正整数，分式有意义要求， ∴为整数，即是的因数，若为负因数，则对应为非正整数，不符合要求，舍去， ∴的可取值为， 对应得 所有符合条件的的值的和为 ． 【变式2】下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论为何值，的值不可能为整数 D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式的值为零、分式值为整数的情况以及分式的符号判断．分式有意义的条件是分母不等于0，分式值是0的条件是分子是0，分母不是0． 【详解】A. 当时，分母，分式无意义，故A错误； B. 分式有意义需分母，与无关，故B错误； C. 只有当时，，此时值为整数，故C错误； D. 分母，分子为3，分式的值总为正数，故D正确； 故答案选：D． 【变式3】若分式的值为整数，满足条件的整数x的个数为 _______ ． 【答案】3 【分析】先化简，再根据分式的值为整数得出分母或求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数，x为整数， ∴或， 当时，； 当时，； 当时，，此时，使分式无意义，故舍去； 当时，； 综上，满足条件的整数x的个数共3个． 【变式4】一个四位自然数，各数位上的数字均不为0，若满足，则称数M为“六合数”．按照这个规定，最小的“六合数”是________；将“六合数”M的千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置得到一个新的四位数，记．若为完全平方数，且为整数，则满足条件的M的值之和是________． 【答案】 【分析】求最小“六合数”时，根据四位数大小比较规则，高位数字越小则数越小，结合各数位非零得到最小数；再用a，表示，根据完全平方数性质得到的可能取值，结合分式为整数的条件筛选出符合要求的，最后计算得到所有的和． 【详解】解：四位数最小，， ，， ，， 最小的“六合数”是1515； 由题意得，， ， ， ， ， 代入得：， ， 是完全平方数，9是完全平方数， 是完全平方数， 又，， ，该范围内的完全平方数为4，9， ①当时，，得， 此时，分式无意义，舍去， ②当时，，所有可能的正整数解为，，，， 又为整数， ， 当时，，不是整数，舍去， 当时，，是整数，符合条件， ， 当时，，是整数，符合条件， ， 当时，，不是整数，舍去， 符合条件的和为． 题型05 分式的基本性质 【典例1】根据分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入：_________； （2）；括号内应填入：_________． 【答案】 b 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变是解题的关键，根据分式的变化，利用分式基本性质即可求解． 【详解】解：（1）已知等式右边分母 ，且，根据分式的基本性质，给分子分母同乘，得 因此括号内应填入． （2）对等式左边分子因式分解得，变形后分子为，即分子除以，且，根据分式的基本性质，给分子分母同除以，得 因此括号内应填入． 【变式1】把分式中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______． 【答案】缩小为原来的 【分析】直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解：把分式中的m和n都扩大为原来的2倍， 则原式可变为：， 故分式的值缩小为原来的． 【变式2】若把分式中的都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大9倍 【答案】C 【分析】设，根据分式的性质，得，解答即可． 【详解】解：设， 根据分式的性质，得， 故分式的值不变． 【变式3】运用分式基本性质，等式中的A为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式基本性质，观察分母的变化，给分子做相同的变形即可求出A 【详解】解：∵ 原等式左边分母为，右边分母为， ∴分母乘了， ∴ 分子也需要同乘， ∴ 【变式4】如果，那么为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的性质可将左边的等式分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 题型06 分式的变形 【典例1】下列从左到右变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，a必定不为0，故B符合题意； C．，故C不符合题意； D．当时，此时无意义，故D不符合题意． 【变式1】下列各式从左到右变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以一个不为的整式，分式的值不变，然后举反例逐项判断． 【详解】解：A．当，时，，，故该选项不一定正确，不符合题意， B．变形一定正确，故该选项符合题意， C．当，时，，，故该选项不一定正确，不符合题意， D．当，时，，，故该选项不一定正确，不符合题意． 【变式2】在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【答案】②④ 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可. 【详解】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 【变式3】不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数化为整数，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质将分子分母同乘适当的数，即可在不改变分式值的前提下把系数化为整数． 【详解】解：分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘一个不等于的整式，分式的值不变， 将原分式的分子分母同时乘以，可得：． 【变式4】不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 题型07 最简分式 【典例1】下列分式中是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，有公因式，不是最简分式． B、，有公因式，不是最简分式． C、的分子分母有公因数，不是最简分式． D、分子无法因式分解，与分母无公因式，是最简分式． 【变式1】下列分式中，属于最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简分式的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：选项，分子分母有公因式，不是最简分式． 选项，分子与分母无公因式，是最简分式． 选项，分子因式分解为，与分母有公因式，不是最简分式． 选项，分子可变形为，与分母有公因式，不是最简分式． 【变式2】下列分式是最简分式的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简分式的定义，即分子分母没有公因式的分式，对各选项逐一判断即可． 【详解】∵ 最简分式的定义为分子分母不含公因式的分式． 选项A：，分母无法分解因式，分子分母没有公因式，是最简分式； 选项B：，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； 选项C：，分子分母有公因式，不是最简分式； 选项D：，分子分母有公因式，不是最简分式． 题型08 约分 【典例1】下列约分正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式约分需先确定分子与分母的公因式，多项式形式的分子或分母需先因式分解，再约去公因式． 【详解】解：对选项A：，错误； 对选项B：无法分解出因式，无公因式可约，错误； 对选项C：，错误； 对选项D：，正确． 【变式1】化简：_________． 【答案】/ 【详解】解：． 【变式2】约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 1．若分式的值为0，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵分式的值为， ∴可得且， 解得，且，符合条件 因此的值为． 2．使代数式有意义的x的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】根据分式有意义的条件及分式的除法法则可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴且， 解得：且且． 故选D． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件及分式的除法运算，熟练掌握分式有意义的条件及分式的除法运算是解题的关键． 3．分式的值为零，则m取值为（    ） A．m＝±1 B．m＝－1 C．m＝1 D．m的值不存在 【答案】B 【分析】分式的值为零的条件是分母不为0，分子为0． 【详解】解：由题意得，，， 解得m=-1， 故选B. 4．若为整数，则能使也为整数的的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先把原分式进行变形，分离出一个常数，结合原分式的值为整数，n为整数，即可得到答案． 【详解】∵为整数，也为整数， 又∵=， ∴n-1=±1，±2，即：n=0，2，3，-1． ∴能使也为整数的的个数有4个． 故选D． 【点睛】本题主要考查分式的值和分式的加法运算法则，掌握分式的加法运算法则，把原分式化为一个整数和一个分式的和，是解题的关键． 5．约分：_____ 【答案】 【分析】先对分子因式分解，找出分子分母的公因式，再约去公因式得到约分结果. 【详解】解：= =. 6．函数中自变量的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查了自变量的取值范围，分式和二次根式有意义的条件； 根据分式的分母不能为零，二次根式的被开方数非负，求解自变量x的取值范围． 【详解】解：对于函数，要使函数有意义， 需满足以下条件：分式的分母，二次根式的被开方数， 解得， 因此，自变量x的取值范围是且， 故答案为：且． 7．若分式有意义，则的取值范围是________ 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． 8．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）分子与分母都乘以10即可； （2）分子与分母都乘以12即可． 【详解】解：（1） 故答案为： （2） 故答案为： 9．当分式与分式的值相等时，需满足__________． 【答案】x≠±1 【分析】先化简，可知两式相等的条件是两个分式都有意义据此可求． 【详解】解: 因而两式相等的条件是两个分式都有意义． ∴x2-1≠0， ∴x≠±1． 故答案是: x≠±1． 【点睛】本题主要考查分式的化简，以及分式有意义的条件：分母不等于0． 10．约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了约分，完全平方公式分解因式，平方差公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用分式的基本性质约分； （2）先将分子、分母分别分解因式，再约分． 【详解】（1）解：． （2）解：． 11．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项的系数化为整数． （1）；                                 （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把分子与分母同时乘以6即可得出结论； （2）把分子与分母同时乘以100即可得出结论 【详解】解：（1）；                                 （2） 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的数（或整式），分式的值不变． 12．运输一批物资，原计划每天运，n天运完．实际每天比原计划多运，则实际运输了多少天？ 【答案】天 【分析】此题考查了列分式，首先求出物资总量，然后除以每天运送的吨数即可求解． 【详解】∵运输一批物资，原计划每天运，n天运完 ∴物资总量为， ∵实际每天比原计划多运， ∴实际每天运送， ∴实际运输了天． 1．下列各式，，，中，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了分式的定义，熟记分式的定义是解题的关键． 形如，A、B都是整式，B中有字母的式子叫分式，根据定义判断． 【详解】解：是整式，是分式，是分式，是分式，共3个， 故选：C． 2．分式无意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式无意义的条件，分母为0，即可判断． 【详解】解：由题意得，解得． 故选：A 【点睛】此题主要考查分式无意义的条件，若分式无意义，则分母等于，掌握分式无意义的条件是解题的关键． 3．关于分式，下列说法不正确的是（　　） A．当x=0时，分式没有意义 B．当x＞5时，分式的值为正数 C．当x＜5时，分式的值为负数 D．当x=5时，分式的值为0 【答案】C 【分析】此题可化转化为分别求当分式等于0、大于0、小于0、无意义时的x的取值范围，分别计算即可求得解． 【详解】A．当x=0时，分母为0，分式没有意义；正确，但不符合题意． B．当x>5时，分式的值为正数；正确，但不符合题意 C．当0＜x＜5时，分式的值为负数；当x=0是分式没有意义，当x＜0时，分式的值为负数，原说法错误，符合题意． D．当x=5时，分式的值为0；正确，但不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式的性质的运用，注意分式中分母不为0的隐性条件． 4．下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时, 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①根据，得到有意义; ②当时, ，无意义；③若的值为负，则，； ④若有意义，则有意义，三个分母不等于0，,且，． 本题主要考查了分式有意义的条件和分式为0的条件．熟练掌握分式有意义的条件：分母不为0；分式为0的条件：分子为0，分母不为0．是解决问题的关键． 【详解】①∵， ∴， ∴不论a为何值都有意义， 故此结论正确； ②当时，，此时分式无意义， 故此结论不正确； ③若的值为负， ∵， ∴， ∴， 故此结论正确； ④∵有意义， ∴有意义， ∴， 解得，且， 故此结论不正确． 综上所述，其中正确的个数是2． 故选：B． 5．约分___________． 【答案】 【分析】根据分式的性质,分子分母同时扩大或缩小相同倍数时分式的值不变即可解题. 【详解】=,（分子分母同时除以6abc）. 【点睛】本题考查了分式的变形和化简,属于简单题,熟悉分式的性质是解题关键. 6．分式的值恒为正，则x的取值范围是________________． 【答案】且 【分析】根据分式的值恒为正，可得，，求解即可． 【详解】解：∵分式的值恒为正， ∴，， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是正确列出不等式，本题属于基础题型． 7．下列式子：① ；② ；③ ；④ ，正确的有______（填上序号）. 【答案】③④/④③ 【分析】根据分式的基本性质：“在分式的分子、分母中同时乘以（或除以）一个不为0的数（或整式），分式的值不变”分析可即可求解． 【详解】解：① ，分子分母加相同的整式，分式的值发生变化，故①不符合题意； ② 分子分母减相同的整式，分式的值发生变化，故②不符合题意； ③，分子分母都乘2，分式的值不变，故③符合题意； ④ 分子分母都乘（a+1），分式的值不变，必须a≠-1，故④符合题意； 故答案为：③④． 【点睛】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键． 8．（1）已知函数，求自变量的取值范围． （2）运动员在一圈的跑道上训练，请直接写出他跑一圈所用的时间（单位：s）与跑步速度（单位：）之间的关系，并指出其中的变量和常量． 【答案】（1）；（2），，是变量，400是常量 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于，分式有意义的条件是分母不为；分析原函数式可得关系式，解可得答案； （2）根据常量是变化过程中保持不变的量，变化过程中变化的量是变量，可得答案． 【详解】解：（1）根据题意，得解得． （2），其中，是变量，400是常量． 【点睛】本题考查了函数中自变量有意义的条件，常量与变量，解决本题的关键是熟练掌握这些概念． 9．用水清洗蔬菜上残留的农药，设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为．现有单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成2份后分两次清洗．试问哪种方法清洗后，蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由． 【答案】第二种 【分析】本题主要考查了分式的应用，解题的关键是根据题意列出算式．先根据题意列出两种情况下农药残留量，然后比较大小即可． 【详解】解：设最先的农药量为1，第一种方案残留的农药量为， 第二种方案残留的农药量为， ∵， ∴， 第二种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少． 10．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2) 第个等式为， 证明：等式左边：， 等式右边：， ∴左边右边， ∴原等式成立． 【分析】本题考查分式的混合运算和分式的规律探究问题，熟练的根据题意找出规律是解题的关键， （1）根据前4个等式找出规律即可得到第5个等式； （2）根据（1）中的等式猜想第个等式，等式两边分别进行通分化简，即可得证． 【详解】（1）解：由前4个等式可得规律：左边第一个分数：分子为，分母为，即； 左边第二个分数：分母为，即； 右边第一个分数：分子为，分母为，即； 右边第二个分数：分母为，即； ∴第5个等式为：； （2）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.1分式及其性质 教学目标 1.知道分式的概念及有意义的条件; 2.学会分式的求值； 3.掌握分式的基本性质、最简分式、约分等。 教学重难点 1.重点 (1)学会判断分式，根据分式有意义的条件求参数范围； (2)掌握分式的基本性质及其应用； (3)了解约分的过程，利用约分将分式化为最简分式。 2.难点 (1)利用分式的基本性质求解有关化简、变形、求值问题等； (2)分式的基本性质的综合应用。 知识点01 分式的概念 1. 概念 要点： (1)分式和分数的区别：分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母。分数属于有理数，属于整式，不属于分式。 (2)分式与整式的区别：分式的分母要含有字母，整式可以有分母，当分母中不能含有字母。如， 虽有分母，但属于整式不属于分式， 是整式的系数。 2. 分式有意义无意义的条件 (1)分式有意义的条件：分母不等于零。 (2)分式无意义的条件：分母等于零。 3. 分式的值为零的条件 分子等于零且分母不等于零。 4. 分式的值为0,为1，为正（负）数，为整数的条件 (1)分式值为0的条件是：A=0，且B. 如若分式 的值为0，则x2-1=0,且x+1 , 所以，x=1； (2)分式值为-1的条件是：A=-B，且B. (3)分式值为负数的条件是：A、B异号，且B. (4)分式值为整数的条件是：A能被B整除，且B. 【即学即练】 1．下列代数式中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 2．若分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．若分式的值为零，则_______． ∴ ． 知识点02 分式的基本性质 1. 基本性质： 2. 将分式的分子分母的最高次项化为正数，系数化为整数 例如：(1)不改变分式的值，使下列分式的分子和分母的首项都不含“－”号: ；= (2)利用基本性质将分式的系数化为整系数 3. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. 4.约分 约分就是利用分式的基本性质，分子分母同时除以分子分母的公因式，将分式化成最简分式. 约分的步骤： （1）找——公因式 （2）约——分子分母同时除以公因式 约分的类型：（1）分子分母是单项式——直接约分 （2）分子分母是多项式——先因式分解再约分 【即学即练】 4．根据分式的基本性质，分式可变形为（     ） A． B． C． D． 5．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_________． 6．下列分式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是最简分式的为______．（填序号） 7．化简的结果等于（     ） A．3 B． C． D． 题型01 分式的辨析 【典例1】下列式子是分式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】代数式有意义的条件是________． 【变式2】已知当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值是________． 【变式3】当______ 时，分式无意义；当 ______ 时，分式的值是． 【变式4】根据下列表格中的信息，代表的分式可以是（     ） … … … 无意义 * * … A． B． C． D． 题型02 分式的值为0 【典例1】若分式的值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】若分式的值为，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】若分式的值为0，则x的值为 __ ． 【变式3】若分式的值为0，则___________． 【变式4】若分式的值为0，则x的值为（     ） A． B． C． D．任意实数 题型03 分式的值为正数、负数 【典例1】若分式的值为负数，则x的取值范围是_________． 【变式1】若分式的值为正数，则实数x的取值范围是_____． 【变式2】已知分式． (1)若分式的值为0，则的值为_____． (2)若分式的值为正数，求的取值范围． 【变式3】当________时，分式有意义；当________时，分式的值为0；当________时，分式的值为正数． 【变式4】分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 题型04 分式的值为整数 【典例1】已知x为整数，则能使代数式的值为整数的所有x的和为（     ） A．2 B． C．4 D． 【变式1】已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论为何值，的值不可能为整数 D．无论为何值，的值总为正数 【变式3】若分式的值为整数，满足条件的整数x的个数为 _______ ． 【变式4】一个四位自然数，各数位上的数字均不为0，若满足，则称数M为“六合数”．按照这个规定，最小的“六合数”是________；将“六合数”M的千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置得到一个新的四位数，记．若为完全平方数，且为整数，则满足条件的M的值之和是________． 题型05 分式的基本性质 【典例1】根据分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入：_________； （2）；括号内应填入：_________． 【变式1】把分式中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______． 【变式2】若把分式中的都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大9倍 【变式3】运用分式基本性质，等式中的A为（     ） A． B． C． D． 【变式4】如果，那么为（   ） A． B． C． D． 题型06 分式的变形 【典例1】下列从左到右变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】下列各式从左到右变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【变式3】不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数化为整数，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4】不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 题型07 最简分式 【典例1】下列分式中是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】下列分式中，属于最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】下列分式是最简分式的是（     ）． A． B． C． D． 题型08 约分 【典例1】下列约分正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】化简：_________． 【变式2】约分： (1)； (2)． 1．若分式的值为0，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．使代数式有意义的x的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且且 3．分式的值为零，则m取值为（    ） A．m＝±1 B．m＝－1 C．m＝1 D．m的值不存在 4．若为整数，则能使也为整数的的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．约分：_____ 6．函数中自变量的取值范围是__________． 7．若分式有意义，则的取值范围是________ 8．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 9．当分式与分式的值相等时，需满足__________． 10．约分： (1)； (2)． 11．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项的系数化为整数． （1）；                                 （2）． 12．运输一批物资，原计划每天运，n天运完．实际每天比原计划多运，则实际运输了多少天？ 1．下列各式，，，中，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．分式无意义的条件是（    ） A． B． C． D． 3．关于分式，下列说法不正确的是（　　） A．当x=0时，分式没有意义 B．当x＞5时，分式的值为正数 C．当x＜5时，分式的值为负数 D．当x=5时，分式的值为0 4．下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时, 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 5．约分___________． 6．分式的值恒为正，则x的取值范围是________________． 7．下列式子：① ；② ；③ ；④ ，正确的有______（填上序号）. 8．（1）已知函数，求自变量的取值范围． （2）运动员在一圈的跑道上训练，请直接写出他跑一圈所用的时间（单位：s）与跑步速度（单位：）之间的关系，并指出其中的变量和常量． 9．用水清洗蔬菜上残留的农药，设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为．现有单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成2份后分两次清洗．试问哪种方法清洗后，蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由． 10．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $