精品解析：河南省周口市鹿邑县第二高级中学校2024-2025学年高二上学期第三次月考（12月）数学试题

2024-2025学年度鹿邑县第二高级中学高二上学期 第三次月考数学试卷及答案 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（共8题，每题5分，共40分） 1. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的左焦点与右顶点之间的距离等于 A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 3. 已知点， ，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线和椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，则此双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，已知在三棱锥中，M，N分别是，中点，点G在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 过点，且经过圆与圆的交点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知离心率为的椭圆的方程为，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 8. 已知点，，过点的直线与线段相交，则的斜率的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、多选题（共3题，共18分） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 已知点，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹是椭圆 B. 已知点，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C. 已知点，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆 D. 已知点，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆 10. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ） A. ，，若，则 B 若且，则 C. 若点G是的重心，则 D. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为 11. 已知正方体的棱长为2，点O为的中点，若以O为球心，为半径的球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 与EH所成的角的大小为45° C. 平面 D. 平面与平面OEF所成角夹角的余弦值为 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 已知直线平面，且直线的方向向量为，平面的法向量为，则_____. 13. 已知直线与圆相交于两点，则___________. 14. 设双曲线：的左、右焦点分别为，以为圆心的圆恰好与双曲线的两渐近线相切，且该圆过线段的中点，则双曲线的离心率是_____． 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知直线方程为. （1）证明：直线恒过定点，并求定点坐标； （2）为何值时，点到直线的距离最大，并求最大值. 16. 已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为4，直线被圆C截得的弦长为. （1）求圆C的方程； （2）已知直线l过点，且与圆C交于A，B两点.若A，B关于点P对称，求直线l的方程. 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点． （1）证明：//平面AEC （2）设三棱锥体积是，，求平面DAE与AEC的夹角． 18. 已知抛物线焦点为，过焦点垂直于的直线与抛物线交于，两点，. （1）求的方程； （2）点是准线上任一点，过作抛物线的两条切线，，切点分别为，.设，，的斜率分别为，，，证明：. 19. 已知双曲线的离心率为2，焦点到一条渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）若过双曲线的左焦点的直线交双曲线于，两点，交轴于，设，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度鹿邑县第二高级中学高二上学期 第三次月考数学试卷及答案 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（共8题，每题5分，共40分） 1. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】变形后得到的方向向量是，，求出答案. 【详解】变形为， 故的方向向量是，， 当时，一个方向向量为，其他选项均不合要求. 故选：D 2. 双曲线的左焦点与右顶点之间的距离等于 A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】直接由双曲线方程求解左焦点和右顶点坐标，进而可得解. 【详解】由已知得左焦点的坐标为，右顶点的坐标为， 所以左焦点与右顶点之间的距离等于8. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了由双曲线的方程求解焦点及顶点坐标，属于基础题. 3. 已知点， ，，则点的坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，表示出、，即可得到方程组，解得即可. 【详解】设，则，又， 因为，所以， 所以，解得，即. 故选：A 4. 双曲线和椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，则此双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出椭圆的焦点坐标，从而设双曲线的方程为，即，再由渐近线可得，求出即可求解. 【详解】椭圆方程为：，其焦点坐标为， 设双曲线的方程为 椭圆与双曲线共同的焦点，① 一条渐近线方程是，② 解①②组成方程组得， 所以双曲线方程为． 故选：C． 5. 如图所示，已知在三棱锥中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量线性运算求得答案. 【详解】依题意， . 故选：D. 6. 过点，且经过圆与圆的交点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设所求圆的方程为，再待定系数求解即可． 【详解】解：由圆系方程的性质可设所求圆的方程为， 因为所求圆过点， 所以，解得： 所以所求圆的方程为： 故选：A 7. 已知离心率为的椭圆的方程为，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由离心率公式先得，从而解决问题. 【详解】由题意，，即， 可得，则. 故选：C 8. 已知点，，过点的直线与线段相交，则的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得直线和直线的斜率，再利用数形结合法求解. 【详解】解：如图所示： ， 由图象知：当的斜率不存在时，直线与线段相交， 故的斜率的取值范围为. 故选：D 二、多选题（共3题，共18分） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 已知点，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹是椭圆 B. 已知点，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C. 已知点，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆 D. 已知点，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆 【答案】CD 【解析】 【分析】根据椭圆定义分别判断各个选项即可. 【详解】根据题意，点，，则， 对于A，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹不存在，错误； 对于B，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹为线段，错误； 对于C，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆，正确； 对于D，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆，正确； 故选：CD. 10. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ） A. ，，若，则 B. 若且，则 C. 若点G是的重心，则 D. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为 【答案】CD 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A选项；利用向量垂直的表示可判断B选项；利用三角形重心的向量性质可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 详解】对于A选项，已知，，若，则，解得，A错； 对于B选项，若且，则， 所以，或，B错； 对于C选项，若点G是的重心，则，C对； 对于D选项，若向量，， 则向量在向量上的投影向量为，D对. 故选：CD. 11. 已知正方体的棱长为2，点O为的中点，若以O为球心，为半径的球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 与EH所成的角的大小为45° C. 平面 D. 平面与平面OEF所成角夹角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先根据球的性质、勾股定理说明E，F，G，H分别是正方体棱的中点，再根据线面平行的判定定理、异面直线所成角的求法、线面垂直的性质以及二面角的定义、等腰三角形进行判断. 【详解】在正方体中，平面，又平面，所以，在中，，又正方体的棱长为2，点O为的中点，所以，又，设，所以，即H是正方体棱的中点，同理可证，E，F，G分别是棱，，的中点. 对于选项A，因为G，H分别是棱、的中点，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于选项B，因为，所以与EH所成的角即为，因为E，H分别是棱、的中点，大小为45°，故B正确； 对于选项C，因为E，H分别是棱、的中点，所以，因为G，H分别是棱、的中点，所以面，所以，又，所以平面，又，所以不垂直于平面，故C错误； 对于选项D，取EF、GH的中点I、Q，连接OI 、QI、QO，因为OF=OE，所以，同理可证，所以即为平面与平面OEF所成角的平面角，根据勾股定理有：，，，所以在等腰中有：. 所以平面与平面OEF所成角夹角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 已知直线平面，且直线的方向向量为，平面的法向量为，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用，可得的方向向量与平面的法向量垂直，结合空间向量垂直的坐标表示可求得的值. 【详解】因为直线平面，所以，直线的方向向量与平面的法向量垂直， 所以，解得. 故答案为：. 13. 已知直线与圆相交于两点，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，然后利用弦心距，弦和半径的关系可求出弦长 【详解】由，得， 所以圆心为，半径为2， 所以圆心到直线的距离为 ， 所以， 故答案为： 14. 设双曲线：的左、右焦点分别为，以为圆心的圆恰好与双曲线的两渐近线相切，且该圆过线段的中点，则双曲线的离心率是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段的中点得到，即可求出离心率, 【详解】 由题意知：渐近线方程为，由焦点，，则圆的半径为，又该圆过线段的中点， 故，离心率为. 故答案为：. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知直线方程为. （1）证明：直线恒过定点，并求定点坐标； （2）为何值时，点到直线的距离最大，并求最大值. 【答案】（1） （2），此时点到直线距离最大为 【解析】 【分析】（1）利用直线是直线系求出直线恒过定点即可； （2）点到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值，并求出垂直时即可． 【小问1详解】 由直线方程得 ， 因为，所以，解得， 所以直线恒过定点； 【小问2详解】 由（1）知，直线恒过定点， 则直线与已知直线垂直时，点到已知直线距离最大， 可知就是所求最大值， 直线的方程为，即， 因为直线与已知直线垂直， 所以，解得； 且； 16. 已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为4，直线被圆C截得的弦长为. （1）求圆C的方程； （2）已知直线l过点，且与圆C交于A，B两点.若A，B关于点P对称，求直线l的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设圆C的方程为，圆中的弦长公式建立方程，可得圆C的方程为； （2）分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在两种情况，设直线l的斜率为k，设，，由A，B关于点P对称，和点A，B在圆C上，可得直线l的斜率为，从而求得直线l的方程. 【详解】解：（1）设圆C的方程为，由题意可得，解得. 故：圆C的方程为. （2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为. 此时点A，B不关于点对称，所以1不符合题意. 当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k. 设，，因为A，B关于点P对称，所以，. 因为点A，B在圆C上，所以， 所以，整理得，即. 因为点A，B在直线l上，所以直线l的斜率为， 则直线l的方程为，即. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆的弦长的公式，圆的标准方程的求得，属于中档题. 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点． （1）证明：//平面AEC （2）设三棱锥的体积是，，求平面DAE与AEC的夹角． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运算公式进行计算证明即可； （2）根据空间向量夹角公式，结合棱锥体积公式进行求解即可. 【小问1详解】 以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设， 由几何关系有：， 则直线的方向向量为：，， 设平面的法向量，则：， 据此可得：平面的一个法向量为， 结合可知：，即 据此可得：平面. 【小问2详解】 因为平面ABCD，E为PD的中点．， 所以点E到平面ABCD的距离为， 因为三棱锥的体积是， 所以有， 结合（1）的结论可知：， 则平面的一个法向量为. 由平面可知平面的一个法向量为：， 据此可得：， 则， 观察可知二面角的平面角为锐角， 故二面角的余弦值为. 18. 已知抛物线的焦点为，过焦点垂直于的直线与抛物线交于，两点，. （1）求的方程； （2）点是准线上任一点，过作抛物线的两条切线，，切点分别为，.设，，的斜率分别为，，，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）通过，两点之间的距离，即可计算出，进而求出的方程. （2）设出过的切线方程，与抛物线联立，得出与的和，表达出，即可证明结论. 【小问1详解】 由题意， 在中， 焦点为，过焦点垂直于的直线与抛物线交于，两点，， ∴，解得：， ∴. 【小问2详解】 由题意及（1）得， 在中，准线方程为， 设, 过的切线方程为,即， 则, 消去得 , ∴, ∴, ∴, ∵, ∴. 19. 已知双曲线的离心率为2，焦点到一条渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）若过双曲线的左焦点的直线交双曲线于，两点，交轴于，设，证明：. 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）由双曲线的离心率，焦点到一条渐近线的距离建立等量关系，求解即可； （2）设出直线的方程，联立方程组，得到韦达定理，由，解得，证明即可. 【小问1详解】 因为已知双曲线的离心率为2， 所以，又因为焦点到一条渐近线的距离为，设焦点坐标为， 到渐近线的距离为：. 所以，又，解得：. 所以双曲线的方程为：. 【小问2详解】 证明：如图 由题意可知，由于过双曲线的左焦点的直线交双曲线于，两点，交轴于， 所以可知直线的斜率存在，故设直线方程为：.，，则. 联立得：. 恒成立. 所以，. ，，， 因为，所以， 所以，， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $