九年级数学上学期期中学情自测·培优卷（新教材苏科版，举一反三，测试范围：第1章 一元二次方程～第3章 圆）

九年级数学上学期期中学情自测·培优卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 一元二次方程~第3章 圆 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．0或4 B．－4 C．4 D．0 2．（2026·湖北十堰·模拟预测）反比例函数（，）的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河北邯郸·三模）关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 5．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，垂直于轴，为垂足，反比例函数与的两边，分别交于，两点．，若三角形的面积为3，则三角形的面积是（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 6．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏扬州·三模）若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 9．（2026·山西长治·三模）如图，在扇形中，，点，分别为， 的中点，连接，交于点．若 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 10．如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO=BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（　　） A．DC=DT B．AD=DT C．BD=BO D．2OC=5AC 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2026九年级上·全国·专题练习）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则______． 12．（2026·湖北·二模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，则的值为______． 13．（2026·河南驻马店·三模）如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为2，则圆心的坐标是______ 14．（2026·陕西安康·模拟预测）已知关于的一元二次方程的两根分别为，．若满足，则的值为________． 15．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过点，过A作轴于点B，连接，直线，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为 _____ 16．（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，，，以为直径作半圆O，分别交，于点D，E．若D是的中点，则的长为___________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（2026九年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 18．（6分）（2026·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数与反比例函数的图像交于，B两点，x轴上的点C的坐标为． (1)求点A，B的坐标以及反比例函数的表达式． (2)点D在x轴上，当四边形为平行四边形时，点D的坐标为__________． 19．（8分）（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 20．（8分）（2026九年级上·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 21．（10分）（2025·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 22．（10分）（2025·江苏扬州·三模）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）． (1)猪肉粽每盒的进价为__________元； (2)若每盒利润率不超过，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350元？ (3)若满足，求商家每天的最大利润． 23．（12分）（2026·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是和3． (1)当时，自变量的取值范围为________； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向上平移m个单位长度后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若，求m的值． 24．（12分）（2026·河北邯郸·三模）如图，在中，，，，以为直径作半圆．将半圆以点为中心顺时针旋转，旋转角为，半圆弧与交于点． (1)如图2，当时， ①求的长； ②求半圆被所截的弓形面积． (2)当的长与的长相等时，求的度数． (3)若半圆与重合的弧长恰好为半圆弧的一半时，请直接写出的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期中学情自测·培优卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．0或4 B．－4 C．4 D．0 【答案】A 【分析】利用方程的根的定义，将代入原方程得到关于的方程，求解后结合一元二次方程二次项系数不为的要求，确定的取值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入原方程得：， 整理化简得， 解得或． ∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数，即 ∵和都满足条件， ∴的值为或． 2．（2026·湖北十堰·模拟预测）反比例函数（，）的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形得出，根据的取值判断即可． 【详解】解：由题图可知，当时，，即， 当时，， 即， ． 选项中只有4在此范围内， ∴的值可能为4． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据弧，弦，圆心角的关系，易得，再根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点B是的中点， ， ， ， ， ． 4．（2026·河北邯郸·三模）关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】分为和两类讨论，结合根的判别式求出的取值范围． 【详解】解：①当时，该方程为关于的一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∴且； ②当时，该方程为关于的一元一次方程， 原方程为，有实数根，符合题意； 综上所述，的取值范围为． 5．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，垂直于轴，为垂足，反比例函数与的两边，分别交于，两点．，若三角形的面积为3，则三角形的面积是（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】连接，设，则得点D的坐标，根据三角形的面积为3求得k的值，再由得点C的坐标，由点C在反比例函数的图象上，求得的值，即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵垂直于轴，为垂足，点D在的图象上， ∴， ∴， ∵三角形的面积为3， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴点C是的中点， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 7．（2025·江苏扬州·三模）若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先要判断A、B两点是否在同一象限，然后根据得，从而得出a的取值范围． 【详解】解：∵，，且， ∴点A在第二象限，点B在第四象限， ∴反比例函数的比例系数， 解得. 8．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据方程有两个实数根，利用判别式求出参数的取值范围；再通过韦达定理得到两根之和与两根之积，将所求式子展开并转化为关于的代数式并配方，最后在的取值范围内求出最小值． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，解得， 且． ∴． ∵，， ∴， ∴的最小值是，故选D． 9．（2026·山西长治·三模）如图，在扇形中，，点，分别为， 的中点，连接，交于点．若 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，过点作于点，于点，连接 ，则，求出 ，求出，根据即可得到答案． 【详解】解：如图1，， 分别为 ， 的中点， ， ，， ， 又，， ， 过点作于点，于点，连接 ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 10．如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO=BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（　　） A．DC=DT B．AD=DT C．BD=BO D．2OC=5AC 【答案】D 【分析】根据切线的判定知DT是⊙O的切线，根据切线长定理可判断选项A正确；可证得△ADC是等腰直角三角形，可计算判断选项B正确；根据切线的性质得到CD=CT，根据全等三角形的性质得到∠DOC=∠TOC，根据三角形的外角的性质可判断选项C正确； 【详解】解：如图，连接OD． ∵OT是半径，OT⊥AB， ∴DT是⊙O的切线， ∵DC是⊙O的切线， ∴DC=DT，故选项A正确； ∵OA=OB，∠AOB=90°， ∴∠A=∠B=45°， ∵DC是切线， ∴CD⊥OC， ∴∠ACD=90°， ∴∠A=∠ADC=45°， ∴AC=CD=DT， ∴AD=CD=DT，故选项B正确； ∵OD=OD，OC=OT，DC=DT， ∴△DOC≌△DOT（SSS）， ∴∠DOC=∠DOT， ∵OA=OB，OT⊥AB，∠AOB=90°， ∴∠AOT=∠BOT=45°， ∴∠DOT=∠DOC=22.5°， ∴∠BOD=∠ODB=67.5°， ∴BO=BD，故选项C正确； ∵OA=OB，∠AOB=90°，OT⊥AB， 设⊙O的半径为2， ∴OT=OC=AT=BT=2， ∴OA=OB=2， ∴， 2OC5AC故选项D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形、灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2026九年级上·全国·专题练习）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则______． 【答案】 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ∴，， 则． 12．（2026·湖北·二模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，则的值为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象和性质求出，的值，得到点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解． 【详解】解：过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴点与点关于原点对称， ∴点和点的横纵坐标互为相反数， ， ， 解得，， ， 把 代入， 得， 解得． 13．（2026·河南驻马店·三模）如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为2，则圆心的坐标是______ 【答案】 【分析】如图，连接，证明为的直径，可得，，，可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为的直径， ∵的半径为2， ∴，，， ∴，， ∵为的中点， ∴． 14．（2026·陕西安康·模拟预测）已知关于的一元二次方程的两根分别为，．若满足，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，结合根与系数的关系得到，将其代入已知等式变形求解，即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，， ，， ， ， ， 整理得：， ，解得． 15．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过点，过A作轴于点B，连接，直线，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为 _____ 【答案】 【分析】连接，，求出线的解析式为，直线的解析式为，联立，求出，设，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵直线经过，过作轴于点， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， ∵点B与点关于直线对称， ∴，． ∵， ∴ ∴设直线的解析式为， 把代入得到，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或（不合题意，舍去） ∴， 则点纵坐标为． 设， ∵， ∴， 解得， ∴D点纵坐标为． 16．（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，，，以为直径作半圆O，分别交，于点D，E．若D是的中点，则的长为___________． 【答案】 【分析】连接，，由圆周角定理得，求出，再由题意得出，从而可得，求出，最后由弧长公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，． 为直径， ， ． D是的中点， ， ， ． ， ， ， 的长为． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（2026九年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ，； （2）解：， 整理得， 由题意得，，，， ， ， 即，． 18．（6分）（2026·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数与反比例函数的图像交于，B两点，x轴上的点C的坐标为． (1)求点A，B的坐标以及反比例函数的表达式． (2)点D在x轴上，当四边形为平行四边形时，点D的坐标为__________． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 ，反比例函数的表达式为 (2) 【分析】（1）将点 的横坐标代入正比例函数求出，从而得到点的坐标．利用对称性求出点的坐标，再将点坐标代入反比例函数求出 ． （2） 利用平行四边形的对角线互相平分的性质，结合点的坐标，推导出点的坐标即可． 【详解】（1）解：点在正比例函数的图象上， ， 点的坐标为， 正比例函数与反比例函数的图象交于 两点， 点与点关于原点对称， 点的坐标为 ， 将点 代入反比例函数 ， 可得，解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：∵点，点，点， 点在轴上，设点的坐标为 ． 线段的中点坐标为，即， 线段的中点坐标为，即， 当四边形为平行四边形时， 可得，，解得， 点D的坐标为． 19．（8分）（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 20．（8分）（2026九年级上·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1) 即恒成立 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）通过根的判别式的恒正性证明方程有两个不相等的实数根； （2）由根与系数关系得到的含的代数式，代入求解的值． 【详解】（1）略 （2）解：由根与系数的关系： ，， ， ， ， 解得． 21．（10分）（2025·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，过点作于点， ，是的中点， 为的平分线， 与相切于点，是的直径， 为的半径， ， 又， ， 即为的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，过点作于点，根据等腰三角形的性质得为的平分线，再根据与相切于点，是的直径得，进而根据切线的判定可得到结论； （2）过点作于点，先证得到，进而得到，再证得到，然而在中利用三角函数可求出，进而得为等边三角形，据此得，，则，最后得到弧长公式即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， 点为的圆心， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，是的中点， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算公式，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答此题的关键． 22．（10分）（2025·江苏扬州·三模）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）． (1)猪肉粽每盒的进价为__________元； (2)若每盒利润率不超过，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350元？ (3)若满足，求商家每天的最大利润． 【答案】(1)40 (2)55元 (3)1750元 【分析】（1）设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可； （2）根据利润率得到x的取值范围，再根据每盒利润销乘以销售量列出方程，解方程即可； （3）列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值． 【详解】（1）解：设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元， ，解得， 检验：当时，分式方程分母， ，所以是方程的解， 答猪肉粽每盒的进价为40元． （2）解：每盒利润率不超过，即， 解得， 由题意，得 ， 解得：（舍去），， 答：猪肉粽价格为55元时，商家每天获利1350元． （3）解：设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润， 则：， 配方得：， ∴当时， 随着的增大而增大， ∴当时， （元）， 答：商家每天的最大利润是1750元． 23．（12分）（2026·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是和3． (1)当时，自变量的取值范围为________； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向上平移m个单位长度后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若，求m的值． 【答案】(1)或 (2)一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为 (3) 【分析】（1）直接由图象法求解即可； （2）把点、代入一次函数得：，解得：，即可求解； （3）根据直线，得，设直线与y轴交于点G，再由，即，求得，则，把代入，得即可确定平移后的函数解析式，再由一次函数的平移即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A、点B的横坐标分别是和3． ∴由图象可得：当时，自变量x的取值范围为或； （2）解：∵点 、点的横坐标分别是和3， ∴点、， 将点、代入一次函数得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为； （3）解：∵直线， ， 设直线与y轴交于点G， 令，则， ∴， 又， ， 即， 解得， ∴， ∴ 设平移后的函数解析式为： 把代入，得， 直线的表达式为， ∵直线向上平移m个单位长度， ∴平移后的函数解析式为：， ∴， 解得：． 24．（12分）（2026·河北邯郸·三模）如图，在中，，，，以为直径作半圆．将半圆以点为中心顺时针旋转，旋转角为，半圆弧与交于点． (1)如图2，当时， ①求的长； ②求半圆被所截的弓形面积． (2)当的长与的长相等时，求的度数． (3)若半圆与重合的弧长恰好为半圆弧的一半时，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）①连接，由旋转的性质可得，，由圆周角定理可得，使用三角函数计算出，进而得到； ②由勾股定理可得，计算得，则．由直角三角形的性质可得，则，用扇形面积减去三角形的面积即可； （2）连接，同理（1）可得，则，利用长度相等构造方程，求解即可； （3）分两类讨论，当半圆弧与相交时，连接，容易证明是等腰直角三角形，则；当半圆弧与相交时，设交点为，连接，同理，则． 【详解】（1）解：①如图，连接， 由旋转的性质可得，，， ∵是半圆的直径， ∴， 在中，， ∴； ②如图，连接， 在中，点是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 同理（1）可得，， ∴， ∵的长与的长相等， ∴， 解得； （3）解： ①当半圆弧与相交时，如图，连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②当半圆弧与相交时，如图，设交点为，连接， 同理①可得，是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴； 综上所述，的度数为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $