培优专题03函数的概念与性质二十类重难点题型（压轴题专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题03函数的概念与性质二十类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、函数概念的辨析与应用 题型二、求函数的定义域（具体函数、抽象函数） 题型三、求函数的解析式 题型四、函数单调性证明（判定） 题型五、已知函数单调性解不等式、比大小 题型六、已知函数单调性求参数范围（值） 题型七、已知分段函数数单调性解不等式或求参数范围（值） 题型八、函数奇偶性的证明（判定） 题型九、已知函数奇偶性求函数值或参数值 题型十、已知奇偶函数的一半解决整体函数问题 题型十一、函数单调性、奇偶性综合应用 题型十二、求函数的值域(最值） 题型十三、已知函数的值域求参数的范围（值） 题型十四、函数性质的综合应用 题型十五、幂函数的定义及性质应用题型 题型十六、一元二次函数在闭区间上的最值问题 题型十七、"对勾函数"、”飘带函数“性质及应用 题型十八、已知恒成立、有解求参数的范围（值） 题型十九、抽象函数性质分析及证明 题型二十、函数应用题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 函数的概念与性质是高中数学核心重难点，并是高中三年数学学习的主线。所有题型均围绕函数定义、定义域与值域、函数性质、函数解析式与图像特征四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是函数定义域优先原则，所有函数问题必须先确定定义域，所有变形、化简、求值、单调性奇偶性判断均在定义域内进行；二是函数恒成立与存在性问题必须紧扣值域边界. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、函数概念的辨析与应用 典例1 下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，但是没有意义，故A错误； 对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误； 对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误． 故选：B. 题型模版 理解函数的概念：集合(定义域）中的每一个元素在集合（可能比值域大）中都有唯一一个元素与之对应. 变式1-1若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数定义判断即可得. 【详解】由函数定义可排除C，由值域为可排除A、B， 只有D选项为定义域为，值域为的函数的图象. 故选：D. 变式1-2存在函数满足：对任意，都有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义，对于任一自变量有唯一的与之对应，对取特殊值，通过举反例排除即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，不合乎要求； 对于B选项，当时，则有，当时，则有，与函数的定义矛盾； 对于C选项，， 令，则，其中，合乎题意； 对于D选项，当时，则，当时，则，与函数的定义矛盾. 故选：C. 变式1-3给定，设函数满足：对于任意大于的正整数，. (1)设，则其中一个函数在处的函数值为____； (2)设，且当时，，则不同的函数的个数为_____． 【答案】 正整数 16 【分析】(1)，题中给出的条件“大于的正整数”不适合，但函数值必须是一个正整数，故(1)的值是一个正整数； (2)，且，与条件“大于的正整数”不适合，故的值在2、3中任选其一，求出所有可能的组合数即可得不同函数的个数． 【详解】(1)函数，∴其值域为正整数，故函数f在处的函数值为正整数； (2)函数，∴其值域为正整数， 又时，， 故n≤4时，f(n)∈{2，3}， 即f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的取值可能是2或3， 则共2×2×2×2＝种组合， ∴不同的函数的个数为16. 故答案为：正整数；16． 题型二、求函数的定义域（具体函数、抽象函数） 典例2 已知函数的定义域是，则函数的定义域是__________. 【答案】 【详解】函数的定义域是， 所以函数的定义域满足 题型模版 1.具体函数定义域主要涉及自变量的限制条件，目前主要考察以下几点：①根号下；②分母；③无意义. 2.抽象函数定义域重点理解两句话“定义域人恶化情况下都是指字母“”的范围”；“同一个后面括号内范围一致”. 变式2-1函数的定义域是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】函数有意义， 则需满足， 解得， 故函数的定义域为． 变式2-2已知函数的定义域是，则的定义域为______． 【答案】 【分析】由抽象函数定义域的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，则，即的定义域为. 变式2-3已知函数的定义域为，则函数的定义域为________． 【答案】 【详解】因为函数的定义域为，所以， 即的作用对象的取值范围为， 所以，解得， 即函数的定义域为. 题型三、求函数的解析式 典例3 求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）由配凑法求解即可； （2）由待定系数法求解即可； （3）通过构造方程组求解即可. 【详解】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 所以或； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 解法归纳 1. 已知具体形态（如一次函数、二次函数等）可选用待定系数法求解析式; 2. 已知复合函数表达式求解析式,一般用换元法先求可有效避免字目的混淆; 3. 已知抽象函数等式求解析式，题目条件需比较特殊，一般可考虑用“”或“”代替,再解方程组. 变式3-1求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)已知（且），求; (3)已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 【答案】(1) (2) . (3) 【分析】（1）用换元法，令，代入求出后即可得； （2）用替换已知式中的，然后解方程组可得； （3）设，代入已知条件求解. 【详解】（1）令，则， 所以，则． （2）因为①（且），所以②， 联立①②可得. （3）令， 因为，所以， ， 所以的解析式为. 变式3-2已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 题型四、函数单调性证明（判定） 典例4 已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 【答案】(1) 设任意； 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； (2) 【分析】（1）根据增函数的定义，作差证明即可； （2）根据第一问结论，列出不等式组证明即可. 【详解】（1）略 （2）是上的增函数且. 解得 所以不等式的解集为 题型模版 1.函数单调性定义域为先； 2.证明单调性基本步骤：①设;②化简变形，一般需将)看作整体，因式分解，分式一把先通分；③定因式分解之后的每一部分正负号确定与的大小关系;④下结论：在的前提下若则递增，若则递减，简单归纳为不等式方向“同增异减”. 3.对于分式型函数往往先分离常数，在辨析单调性会比较方便. 4.小题目可结合单调性性质来判定：增+增=增；减+减=减；在大于0的前提下，增增=增；减减=减. 变式4-1关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】通过分离常数+反比例函数平移的方法，结合初中已学的反比例函数单调性规律来分析. 【详解】将整理得： ， 该函数的定义域为， 其图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的. 当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减， 因此在上单调递减，A正确、B错误. 当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减， 因此在上单调递减，C正确、D错误. 变式4-2定义在上的函数，“存在，使得对于任意的都有”是“为上的减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】对于函数，取， 当时，，所以， 满足； 当时，， 满足； 当时，，满足； 综上，存在，使得对于任意的都有， 但在上不是减函数； 所以“存在，使得对于任意的都有”推不出“为上的减函数”； 反之，因为在上是减函数，且时，有，则有， 即“在上是减函数”能推出“存在，使得对于任意的都有”， 所以“存在，使得对于任意的都有”是“为上的减函数”的必要不充分条件. 变式4-3已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以， 故， 故， 所以在上单调递增. 【分析】（1）将已知两点坐标代入解析式后求解； （2）根据单调性的定义证明：任取，且，利用作差法证明. 【详解】（1）将点，的坐标代入解析式得， 解得，故. （2）略 题型五、已知函数单调性解不等式、比大小 典例5 已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增，，所以，解得，故B正确. 题型模版及易错点归纳 1. 解题依据：已知,有两种思路， 思路一：左右两侧代入解析式，解具体不等式; 思路二：若递增则;若递减则, 显然，若单调性已知（或可以判定），思路二往往更加简洁。 2. 难点：有时要根据题目结构重新构造新的函数，分析新函数的单调性 3. 易错点：若涉及函数定义域，则容易忽略定义域的限定. 变式5-1已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由条件对任意成立，可知是定义在上的单调递减函数， 则等价于两种情况： 情况1： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，得：； 情况2： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，解集为， 综上：不等式的解集为. 变式5-2定义在上的函数满足，且，，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BC 【分析】先得到的单调性，AB选项，变形得到，故，根据函数单调性得到不等式，求出解集；CD选项，由得，故，根据函数单调性得到不等式，求出解集. 【详解】，不妨设，故， 即，令，则， 故在上单调递减， AB选项，，不等式两边同除以得：， 因为，所以，即， 根据在上单调递减，故，综上：，A错误，B正确； CD选项，由得， 因为，所以，即， 因为在上单调递减，所以，C正确，D错误 故选：BC 变式5-3已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，根据其单调性，可得，解不等式即可. 【详解】因为对任意的，都有， 即对任意的，都有， 令，所以对任意的，都有， 所以为上的减函数， 又，即， 即，所以，解得， 即不等式的解集是． 题型六、已知函数单调性求参数范围（值） 典例6若函数与在区间上都单调递减，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】分别求出二次函数、分式函数在区间上单调递减的的取值范围，取交集即可得到结果. 【详解】由题意，函数的图象对应的抛物线开口向下，对称轴为直线， 故在上单调递减， 若在区间上单调递减，则，解得； 若函数在区间上单调递减， 则，且或，即或. 综上，实数的取值范围是. 题型模版及易错点归纳 1. 常见函数单调性特征如一元二次函数、一次分式结构、“对勾函数”、“飘带函数”等； 2. 单调区间首先要保证在定义域内，故常隐含单调区间含于定义域的限制； 变式6-1已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用韦达定理求解即可. 【详解】由题知，当时，或， 所以可得，即， 所以. 变式6-2函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 【答案】 【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围． 【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为， 令，其对称轴为，结合函数定义域可知， 在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减， 则函数也要在区间上单调递减，且， 所以，所以 变式6-3已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】AB 【分析】根据题意设，通过变形得到恒成立，进而构造，转化为在上单调递减进而分类讨论求解即可. 【详解】不妨设，则， 根据题意，可得恒成立， 即恒成立， 令， 则恒成立，所以函数在上单调递减. 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，要使在上单调递减， 则解得. 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：AB 题型七、已知分段函数数单调性解不等式或求参数范围（值） 典例7已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】先由给定不等式，判断出是整个实数域上的单调递减函数.分别让段的二次函数满足对称轴在区间右侧、段的反比例函数满足系数为正，保证两段各自单调递减.再验证分段点处左侧函数值不小于右侧极限值，衔接两段单调性，联立条件解得的取值范围. 【详解】题干中条件对任意不等实数恒成立，则函数在R上是严格单调递减函数， 故是开口向上的抛物线，其对称轴为，即： ; 在上递减的充要条件是系数， 且 整理得, 综合三个条件，得的取值范围是. 题型模版及易错点归纳 单调区间不能轻易合并，一般两个单调区间要用逗号隔开，分段函数题干中描述为上单调需要两个条件同时满足: 分段函数单调递增要求①两段分别递增；②两段接轨处“左低右高（可以相等）”； 分段函数单调递减要求①两段分别递减；②两段接轨处“左高右低（可以相等）”； 变式7-1已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【分析】根据题目条件得到函数在上单调递减，由分段函数的单调性得到不等式组，进而求得结论. 【详解】因为，所以在上单调递减， 则要满足，解得，故． 故选：BC． 变式7-2已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若在上单调递增，则的取值范围是 C．存在实数使得在上单调递减 D．若的值域为，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】结合一次函数、二次函数的性质，利用分段函数的单调性，值域逐项判断. 【详解】选项A：，. 由，得，解得，故选项A正确； 选项B：若在上单调递增，需满足： 当时，单调递增，则； 当时，单调递增（开口向上，对称轴），则； 分段点衔接：，则， 综上可，即，选项B正确. 选项C：若在上单调递减： 当时，单调递减，则； 当时，单调递减（开口向上），对称轴. 但与矛盾，故不存在这样的，故选项C错误； 选项D：若的值域为： 当时，时的值域无法覆盖全体实数（时为常数，时为），不满足； 当时，段单调递增，值域为； 若，段的最小值为，需，得； 若，段的最小值为，此时恒成立. 综上可得，故选项D正确. 故选：ABD 变式7-3已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为_______. 【答案】 【分析】由函数单调性的定义推出在上单调递增，再由分段函数单调性建立关于的不等式，求解即可. 【详解】不妨设，由，可得：，即， 则函数在上单调递增， 则，解得，即， 故实数a的取值范围为． 故答案为： 题型八、函数奇偶性的证明（判定） 典例8判断下列函数的奇偶性： (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数． (4)既不是奇函数也不是偶函数 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称，又， 所以是奇函数. （2）的定义域为，关于原点对称，又， 所以是偶函数. （3）的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数. （4）当时，； 当时，； 而当时，，所以既不是奇函数也不是偶函数. 题型模版及易错点归纳 1.奇偶函数的判定与证明步骤： ①定义域（若有奇偶性，定义域必须关于原点对称），若定义域不关于原点对称则直接下结论非奇非偶函数；若若定义域关于原点对称，则继续下一步; ②求并整理变形; ③若则为偶函数；若则为奇函数；若判断是非奇非偶函数需要举反例. 3. 小题目可充分利用奇偶性的性质来判断奇偶性：奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇+偶=非奇非偶（0函数除外）;奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. 变式8-1设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题. 变式8-2若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 【答案】D 【详解】因为定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数， 则，. 对于A：因为， 可知为奇函数，故A错误； 对于B：例如，，则为非奇非偶函数，故B错误； 对于C：因为， 可知为偶函数，故C错误； 对于D：因为， 可知为奇函数，故D正确. 变式8-3若分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到为偶函数，利用奇偶性定义判断各项对应函数的奇偶性，即可得. 【详解】由题意，在上且恒成立， 若为奇函数或非奇非偶函数，则任意奇函数不能保证即恒成立， 若为偶函数，则，此时对于任意奇函数都有，即恒成立， 所以为偶函数， A，且定义域为，为非奇非偶函数， B，且定义域为，为偶函数， C，且定义域为，为奇函数， D，且定义域为，为非奇非偶函数. 题型九、已知函数奇偶性求函数值或参数值 典例9若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． 题型模版及易错点归纳 1. 奇偶函数首先定义域必须关于原点对称； 2. 奇函数即;偶函数.已知奇偶性求参数时可充分利用“任意性”，借助系数对应相等求解，也可选择特殊值结合证明求解. 变式9-1已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 【答案】B 【分析】利用定义域为的奇函数性质求出参数，借助奇函数对称性算出，代入等式求得，结合时的函数解析式解方程并舍去负根得到. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则. 因为是增函数，且当时，， 则当时，， 由，得， 所以，由，解得或（舍去）. 变式9-2已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，，当时，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以，且，因为，所以①， 为偶函数，所以②， 当时，，由①②得，， 解得，. 变式9-3已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)，． (2) 【详解】（1）因为，则， 由函数为奇函数得，即，解得． 又，则， 即，． （2）由（1）知． ，且， ． 因为，所以，，． 又，，所以，即， 所以在区间上是增函数． 所以，即， 则有解得， 即不等式的解集为． 题型十、已知奇偶函数的一半解决整体函数问题 典例10已知函数是定义在上的偶函数，当时，则（   ） A．的最大值为4 B．在区间单调递增 C．的解集为 D．当时， 【答案】AC 【分析】根据给定的函数，利用偶函数的性质，结合二次函数性质逐项分析判断. 【详解】对于A，当时，，当且仅当时取等号， 由函数是上的偶函数，得当或时，取得最大值4，A正确； 对于B，函数在上单调递增，则在上单调递减，B错误； 对于C，当时，由，得， 由偶函数性质得时，的解为，因此的解集为，C正确； 对于D，当时，，，D错误. 故选：AC 题型模版及易错点归纳 1.奇函数的性质：①或无意义；②关于原点对称；③左右两侧单调性相同 偶函数的性质：①关于轴对称；②左右两侧单调性相同. 2.数形结合百般好，脱离之后万事休. 变式10-1若奇函数的定义域为，当时，，则_______． 【答案】． 【分析】设则，将代入已知正区间函数式求出，再利用奇函数化简，得到时的表达式． 【详解】当时，， ， 所以， 又因为为奇函数且,所以 综上，． 变式10-2已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意，,求出,再利用奇函数性质代值计算即可. 【详解】因是定义在上的奇函数，则, 即,解得, 则当时，， 故. 变式10-3已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】由奇偶性结合单调性求得函数解析式，然后解不等式. 【详解】因为是偶函数， 所以，即，所以， 因为，，所以，因此在上是减函数， 所以， 由，得，所以， 所以时，，解得， 即的解集为. 题型十一、函数单调性、奇偶性综合应用 典例11已知定义在上的函数满足，且，有，则（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在上单调递增 D．关于的不等式解集为 【答案】BC 【分析】根据题意可得在内单调递减，结合奇偶性的定义可知为偶函数，即可判断AB；再根据对称性判断C；根据偶函数和单调性可得，运算求解即可. 【详解】因为，有，即， 可知在内单调递减， 又因为定义在上的函数满足，即， 可知为偶函数，且不恒成立，可知不为奇函数，故A错误，B正确； 由偶函数的对称性可知在上单调递增，故C正确； 对于不等式，则， 整理可得，解得或， 所以不等式解集为，故D错误； 故选：BC. 题型模版及易错点归纳 利用奇偶性和单调性解不等式理论依据如下：以函数在轴右侧递增为例; ①若为奇函数，则; ②若为偶函数，则; 注意：若有具体的定义域限制，需要额外不等式限制，极其容易出错. 变式11-1(1)已知定义在上的偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为偶函数，且在上单调递增，所以，解得，故选B. (2)已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用奇偶性把不等式化为，再由单调性脱去函数符号转化为二次不等式，最后与定义域限定的区间取交集. 【详解】由为奇函数且在上单调递减知在上单调递减， 则化为， 由单调性得，即，解得或； 由定义域得且， 即且，故； 两式取交集得或. 变式11-2已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由以及函数奇偶性判断出函数在定义域上的单调性，再将不等式转化为或，结合即可求解． 【详解】已知是定义在上的偶函数，则， 因为对任意，且，都有， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 又因为，所以． 而等价为或， 根据函数的单调性，可知或， 解得或，即不等式的解集为． 变式11-3已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2) 在定义域上单调递增，证明如下： 设 ，易知 ，，，. 则 则 ，所以 在 上单调递增. (3) 【详解】（1）由已知 是定义在 上的奇函数，可得 . 又 ，所以 ，，.经检验，满足条件. （2）略 （3）因为 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增， 由 可得 所以解得 ，故原不等式的解集为 . 题型十二、求函数的值域(最值） 典例12 下列选项正确的是（    ） A．函数的最小值为4 B．函数的值域为 C．函数在的值域为 D．函数的值域为 【答案】ABC 【分析】求出抽象函数定义域判断A；配方并利用二次函数求出值域判断B；利用二次函数单调性求出值域判断C；利用分式函数值域判断D. 【详解】对于A，当时，， 当且仅当，即取等号，故A正确； 对于B，函数， 当且仅当时取等号，则函数的值域为，B正确； 对于C，在上递减，， 则函数在的值域为，C正确； 对于D，函数，函数的值域为，D错误. 题型模版及易错点归纳 1. 常见函数的值域求法：①分式型；②一元二次型；③单根号型；④双根号型；⑤绝对值型；⑥”对勾“及”飘带“型. 2. 数形结合是求值域必不可少思想方法. 变式12-1已知函数＋的最大值为M，最小值为m，则的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设可得，，即，也即，所以，则，应选C. 点睛：本题的求解过程体现了转化与化归的数学思想的巧妙运用.解答时，先运用两边平方这一变形手段，将问题转化为求二次函数的最大值和最小值的问题，最后再解不等式，求得，从而使得问题获解. 变式12-2已知表示，中的最小者，则函数的最大值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】C 【详解】令，整理得一元二次方程，解得或. 当或时，，因此； 当时，，因此. 求分段函数的最大值： 时，； 时，是递减函数，； 时，是递增函数，. 综上，当时的最大值为3. 变式12-3若函数在区间上的最大值是，最小值是，则的值（ ） A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 【答案】B 【详解】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B． 【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值． 题型十三、已知函数的值域求参数的范围（值） 典例13设若是的最小值，则的取值范围是　　　　　. 【答案】 【详解】由题意，当时，的极小值为，当时，极小值为，是的最小值，则. 题型模版 函数图像的讨论分析是此类题型的基本思想 变式13-1若函数的最小值3，则实数的值为 A．5或8 B．或5 C．或 D．或 【答案】D 【详解】试题分析：由题意，①当时，即，，则当时，，解得或（舍）；②当时，即，，则当时，，解得（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以或，故选D. 变式13-2已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____. 【答案】 【分析】从研究入手，令，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解. 【详解】使得， 令，则原不等式转化为存在， 要求实数的最大值，不妨令则，即，， 即的最大值是. 【点睛】关键点睛：对于恒成立，存在性问题，常利用整体代换，分离参数等方法将问题转化为最值问题，从而简化问题. 变式13-3已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是__________ 【答案】 【详解】，分类讨论： ①当时，， 函数的最大值，舍去； ②当时，，此时命题成立； ③当时，， 则：或，解得：或 综上可得，实数的取值范围是． 题型十四、函数性质的综合应用 典例14已知函数，则以下说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若在上单调递增，则 C．若，且关于x的方程有3个不等实数根，则实数m的范围为 D．若，且存在四个不等的实数使得，则的取值范围是 【答案】AD 【分析】根据解析式，代入计算，即可判断A的正误；分别讨论和两种情况，根据函数的单调性，分析判断，可求得a的范围，即可判断B的正误；将关于x的方程有3个不等实数根，转化为与图象有3个不同交点，作出图象，可得m的范围，即可判断C的正误；设，将条件转化为所以与图象有4个不同交点，作出图象，根据韦达定理，可得，的表达式，代入所求，根据t的范围，即可判断D的正误. 【详解】选项A：若，则， 所以，故A正确； 选项B：当时，在上单调递增，符合题意， 当时，由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增，所以，解得， 综上a的取值范围是，故B错误； 选项C：若，则，则， 当时，，所以当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 因为关于x的方程有3个不等实数根， 所以与图象有3个不同交点，作出与图象，如图所示： 由图象可得或，故C错误； 选项D：若时，设， 即有4个不同的实根， 所以与图象有4个不同交点，作出与图象，如图所示： 因为为方程，即的根，所以， 为方程，即的根，所以， 所以， 根据C中结论及图象可得， 所以，故D正确； 故选：AD 题型模版及通关策略 1. 考察函数单调性、奇偶性、对称性（以后还会有周期性）的综合应用. 2. 通关策略：学习中加强数形结合思想以及题目常见解法的积累 变式14-1已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．关于的方程有2个解 D．若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的范围是 【答案】AC 【分析】对 A，求出函数定义域，验证定义域关于原点对称，再判断与关系，依据定义判断函数奇偶性；对 B，在区间用作差法比较的大小得到该区间单调性，再依据奇函数性质判断区间单调性；对C，将分区间去绝对值求解，利用是偶函数的对称性判断方程解的情况；对 D，把原函数写成分段形式，转化不等式，结合整数解仅有 1 个的条件，结合图象求解参数范围. 【详解】对于A：函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以为奇函数，A正确； 对于B：任取，， ，，，所以，， 即函数在单调递减， 又因为函数为奇函数，所以在上单调递减，B错误； 对于C：时，， 当时，，令，解得， 当时，，令，无解； 令，则，所以函数为偶函数， 由对称性可知在上方程有解，C正确； 对于D：， 关于的不等式可得， 结合图象可知，当时，不等式有无数个整数解； 当时，在区间内无整数解， 因此只需在内包含一个即可. 因为， 因此若不等式恰好有1个整数解，只需， 解得，D错误． 变式14-2已知函数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递增区间为 D．若方程有三个不等实根，则实数t的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据函数解析式代值计算即可判断A；根据分段函数解析式，分别求得值域，求并集即可判断B；画出函数图象即可判断CD． 【详解】A选项，，A选项正确； B选项，当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 所以函数的值域为，B选项正确； C选项，由图象可知，函数的单调递增区间为，所以C选项错误； D选项，由图可知，若有三个不等实根，则直线与图象有三个不同交点，由数形结合得，当时符合，故D选项正确． 变式14-3设函数的定义域为，定义，．若为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解析式为 C．在区间上单调递增 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】结合已知条件利用函数的奇偶性求出函数的解析式，再根据二次函数的性质分析各项即可求解. 【详解】因为 为奇函数， 为偶函数， 所以 ①， ② ， 联立①②可得 ，选项 B 正确； 则 ，选项 A 错误； 结合二次函数性质可得 在上单调递增，在上单调递减， 故在区间在上不单调，选项C错误； 结合二次函数性质可得，当时，函数取得最大值 ，选项 D 正确． 题型十五、幂函数的定义及性质应用 典例15 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______ 【答案】 【分析】由幂函数在上递减得，又由幂函数为奇函数，验证即可求解. 【详解】因为幂函数在上递减，所以， 又幂函数为奇函数，所以. 故答案为： 题型模版及易错点归纳 高考对幂函数的考察要求不高： 1. 熟知时的函数性质. 2. 基本结论应用：在第一象限中的性质，时递增，时递减，以及增减的快慢. 变式15-1在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的只有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析题目要求选择满足：“对于区间上的任意实数，，恒成立”的函数．故可以把4个选项中的函数分别代入不等式分别验证是否成立即可得到答案． 【详解】解：在区间上的任意实数，，分别验证下列4个函数． 对于A，，（因为，在区间上，故大于故成立． 对于B，，（因为故和大于故对于等于号不满足题意，故不成立． 对于C，，．不成立． 对于D，，不成立． 故选：A． 变式15-2已知，，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把各个数化成指数相同的形式，然后再根据幂函数的单调性比较大小. 【详解】因为，，， 且幂函数在 上单调递增， 又，所以. 【点睛】本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个： 一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间，， ）； 二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小. 变式15-3已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____. 【答案】 【分析】先求，再根据奇函数求 【详解】，因为为奇函数，所以 故答案为： 【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 题型十六、一元二次函数在闭区间上的最值问题 典例16已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据计算； （2）分、、三种情况讨论； （3）根据分段函数的单调性求最值. 【详解】（1）由题意得，对恒成立， 则，得， 故的取值范围为； （2）对称轴为，且开口朝上， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，， 则； （3）由（2）可知，当时，； 当时，； 当时，， 故的最大值为. 题型模版及难点易错点分析 一元二次不等式在闭区间上的最值问题，在开口确定的情况下（开口不确定时先讨论开口方向）主要是按对称轴在区间的左中右原则讨论。以开后向上为例： 若求最小值，则讨论三种情形①对称轴在区间的左侧；②对称轴在区间的内部；③对称轴在区间的右侧. 若求最大值，则需讨论两种情形①对称轴在区间中点的左侧；②对称轴在区间中点的右侧. 若同时求最大值和最小值，则需讨论四种情形①对称轴在区间的左侧；②对称轴在区间的内部中点左侧；③对称轴在区间的内部中点右侧；④对称轴在区间的右侧. 变式16-1函数在区间上的最小值为，则的表达式为____. 【答案】 【分析】根据二次函数的性质可知的最小值为. 【详解】由题意可知，二次函数的开口向下，对称轴方程为 ∵，， 令，即时，， 令，即时，， ∴，即. 变式16-2已知二次函数，当时，y的最小值为0，求a的值. 【答案】或或或 【分析】根据给定条件，按二次函数图象的对称轴与区间的关系分类求解. 【详解】二次函数图象的对称轴为， 当时，则当时，，因此，而，则； 当时，则当时，，因此，而，则； 当时，则当时，，因此，解得或， 所以a的值为或或或. 题型十七、"对勾函数"、”飘带函数“性质及应用 典例17下列叙述正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是5 C．函数的最大值是0 D．函数在区间上单调递增，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式求最值判断ABC，利用单调性的定义和性质求解参数范围判断D. 【详解】对于A，当时，， 当且仅当，即时，等号成立，正确； 对于B，因为，则，所以， 当且仅当即时，等号成立，但是，所以等号取不到， 即，错误； 对于C，当时，， 当且仅当，即时，等号成立，正确； 对于D，当时，函数在单调递增，函数在上单调递增， 由单调性的性质知，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，任取，， 当时，，则有， 当时，，则有， 所以函数在单调递减，单调递增， 所以要使函数在区间上单调递增，则，所以. 综上，，正确. 故选：ACD 题型模版及易错点归纳 对勾函数;飘带函数;可作为基本初等函数的补充，解题时往往直接应用其性质. 变式17-1已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由对勾函数的单调性得到在和的单调性上，讨论与情况下，的最大值和最小值，再根据的值域为，列出的方程或不等式，求解即得. 【详解】， 由对勾函数的单调性知， 时，单调递减；时，单调递增； ∴在处取得极小值 若，则在上单调递减，，， 因为的值域为，所以，解得； 若，则在上单调递减，在上单调递增， ，， 因为的值域为，所以，解得， 又，所以. 综上， 故答案为：. 变式17-2若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】分、和三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可. 【详解】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，不符合题意； 综上所述，. 故选：D 变式17-3已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数在上单调递增的性质，需满足各分段区间内函数分别单调递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值，分类讨论段函数的单调性求解的取值范围. 【详解】分段函数在上单调递增，需同时满足以下条件： 当时，一次函数单调递增，故斜率，解得； 当时，函数单调递增，分两类讨论： ① 当即时，函数在上单调递增， 满足在上单调递增的要求； ② 当即时，对勾函数的单调递增区间为， 故需，平方得，解得，结合得， 分段点处，需满足左段函数极限值不大于右段函数值，即， 化简得，解得。 将上述条件取交集，得的取值范围为. 题型十八、已知恒成立、有解求参数的范围（值） 典例18．设函数，若恒成立，求的取值范围． 【答案】. 法一：【分析】将不等式化为，由参变分离得恒成立，再求函数在上的最小值，进而得到取值范围即可. 【详解】由恒成立，得， 即在上恒成立， 因为，所以恒成立， 设，， 由二次函数性质得在上单调递增，所以， 于是，当时取得等号， 可得，即的取值范围为. 法二：【分析】函数 当符合恒成立 当时，函数对称轴为， 若，则函数在递增，故，解得，故. 若，则函数在递减，故，解得，故. 综上的取值范围为. 题型模版 不等式恒成立；可用基本的转化思想： ;; ;; 故而针对形如多变量的不等式恒成立或有解问题，将有两种方向： ①分离变量法，求具体函数的最值；②定主元，直接讨论动态函数的最值 变式18-1已知，函数，若，成立，则实数m的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】二次函数的图象抛物线开口向上，对称轴方程为， 由，有，又，若，成立， 则有，解得， 所以实数m的最小值为. 变式18-2若存在使得不等式成立，则取值范围是 . 【答案】. 【分析】转化问题为在上有解，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得在上有解，， 而，当且仅当时等号成立， 所以. 变式18-3已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据的范围分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解． 【详解】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 题型十九、抽象函数性质分析、证明及应用 典例19已知函数的定义域是，且，都有，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．函数在上是减函数 D． 【答案】ABC 【分析】采用赋值法计算判断AB；利用单调性定义确定函数的单调性判断C；求出的值，进而计算判断D. 【详解】对于A，令，得，A正确； 对于B，依题意，，B正确； 对于C，，则， 而当时，，于是， 因此 ， 即，则函数在上是减函数，C正确； 对于D，由，得，D错误. 题型模版及易错点归纳 1.抽象函数问题,第一步往往是赋值法求出某个或某几个特殊值，如等，赋值时要敢于尝试，其中注意特殊情况，比如可以赋予相等的值. 2.抽象函数证明单调性往往为了用上题目的结构，需要配凑分解，如加一个建一个或者乘一个除以一个. 变式19-1定义在R上的函数满足，当时，，则满足（ ） A． B．是奇函数 C．在上有最大值 D．的解集为 【答案】ABD 【分析】利用赋值法可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C选项的正误；利用函数的单调性解不等式，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，令，可得，解得，A对； 对于B选项，函数的定义域为R， 令，可得，则， 故函数是奇函数，B对； 对于C选项，任取、且，则， 即 ，所以， 所以，函数为R上的减函数， 所以，在上有最大值，C错； 对于D选项，由于为R上的减函数，由，可得，解得，D对. 变式19-2已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当1时，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．函数为偶函数 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】对于A：赋值令，代入运算即可；对于B：根据题意赋值分析即可；对于C：构造，结合奇偶性的定义分析判断；对于D：分析可知函数在上为增函数，结合单调性分析求解. 【详解】对任意的实数、满足， 对于选项A： 令，可得，解得，故A正确； 对于选项B：令，可得， 则，故B错误； 对于选项C：令， 由，可得， 即，且， 令，则， 即，所以， 所以函数为偶函数，故C正确； 对于选项D：对于， 令，可得， 即，解得， 由题意可知，当时，， 则，， 可知当时，， 任取，且， 则， 可知函数在上为增函数， 因为， 则， 可得，解得， 所以不等式的解集为，故D正确 变式19-3定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数． (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式 【答案】(1)1 (2)因为的定义域为，， 令，得， 即，所以函数为偶函数． (3) 【分析】（1）令，求得，再令，求得； （2）令，根据偶函数定义证明； （3）利用偶函数性质将不等式变形为，再根据单调性求解． 【详解】（1）由，令，得，得， 令，得，解得. （2）略. （3）不等式， 即， ， 由（2）知为偶函数，得， 又是区间上的递增函数， ，解得或， 所以不等式的解集为 题型二十、函数应用题 典例20现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】先求出的报价，根据的报价低于的报价列式，分离参数，可得，再设，利用函数的单调性求其最小值，进而可得的取值范围. 【详解】若有窗墙体的长为米，则左右宽度为， 则A的报价为（元）， B给出的总价为元. 由 . 因为，所以函数在上单调递增， 且当时，， 故， 由，所以实数的取值范围是. 故答案为： 题型模版及易错点归纳 应用题重在理解题意，将题意转化为代数语言，注意解题时需结合实际意义考虑定义域. 变式20-1第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在我国哈尔滨举办，此次亚冬会上中国体育代表团获得32枚金牌、85枚奖牌，名列金牌榜和奖牌榜首位．亚冬会结束后，人们对冰雪的热爱不减，亚冬会周边纪念品依然十分畅销．某商家以每套30元的价格购进一批纪念品套件．若该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套；若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套． (1)设纪念品每套降价元，求该纪念品的销售量与之间的函数解析式． (2)求每套纪念品的售价定为多少元时，每天销售纪念品套件所获的利润W最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1). (2)每套售价定为38元时，每天利润最大，最大利润是640元． 【分析】（1）根据题意，用含有的式子将销售量表示出来，得到函数的解析式，即可求解． （2）根据总利润等于单件利润乘以销售量，可得到函数关系式，再利用二次函数的性质，求得的最值，即可求解， 【详解】（1）解：该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套， 若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套， 根据题意，可知当纪念品每套降价元时，每天可以多卖套， 因为商家以每套30元的价格购进，所以且，即， 则销售量与之间的函数解析式为. （2）解：根据题意，可知当纪念品每套降价元时，售价为元， 由（1）可知每天销售量为套， 则， 所以当时，取最大值为，故售价为元， 即每套售价为元时，每天的利润最大，最大利润为元. 变式20-2为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元） 【分析】（1）直接根据题中所给的利润关系及相应成本可得函数解析式； （2）根据分段函数的性质，分别求出函数在两段上的最大值，再比较可得最大利润. 【详解】（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. （2）分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 变式20-3国产电影《哪吒2之魔童闹海》斩获2025年全球票房榜第一名.某企业借此契机推出一款“哪吒纪念玩偶”，前期研发与模具等固定成本为80（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算，若该款玩偶年产量为万个每个售价50元且全部售完. (1)求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式； (2)当产量至少为多少个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本； (3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当产量至少为16162个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本 (3)当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为545万元 【分析】（1）根据利润等于销售收入减去固定成本再减去生产成本，分段求出的解析式即可得解； （2）由题意可知要收回成本，须满足，求解不等式，比较得到使不等式成立的的最小值即可得解； （3）分、和三种情况，结合函数单调性和基本不等式求出的最大值，再比较即可得解. 【详解】（1）由题意可知：总销售额为万元，总成本为万元，利润， 故当时，； 当时，； 当时，. 综上所述：利润G（万元）关于年产量x万个的函数解析式为. （2）由题意可知：要收回成本，须满足， 当时，则，解得， 且，所以当产量至少为16162个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本. （3）当时，则在内单调递增， 所以在内的最大值为； 当时，则， 因为的图象开口向下，对称轴为， 可知在内单调递增，所以在内的最大值为； 当时，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在内的最大值为； 且，所以当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为545万元. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数周期性得到函数周期为6，然后利用周期性对已知条件进行化简，找到不等式关系，最后得到，再判断选项即可. 【详解】∵， ∴①，将换成可得 ②，将②式代入到①式， 化简得，将换成，则， 再将换成可得， 即函数的周期为6，∴，， ，∵，， ∴，⑴，又∵， ，⑵，依次回代可以得到 ，同理可得， ∵，⑶，联立⑴⑵⑶得到 ，解得， 又∵，故C正确，D错误， ，∴可能大于0， 也可能不大于0，AB错误. 2．已知函数的定义域为，且满足：，，；，，.则下列说法中一定正确的是（    ） A．在区间上有最小值 B．在区间上单调递增 C．在区间上有最小值 D．在区间上单调递增 【答案】C 【分析】由，，得，即，，再根据，，，求出的范围,再逐一验证即可. 【详解】因为，，得， 令， 则上式变为对所有非零实数成立， 说明是常数，设(为常数）， 因此得 , 原式时，可得，该式也满足，因此对全体实数成立. 因为，，， 故，整理得， 因为,故，故，所以. 即对称轴. 当时，单调递减，没有最小值，故A错误； 当时，单调递减，故B错误； 当时，因为对称轴，所以有最小值，故C正确； 当时，因为对称轴，当时在单调递减，在单调递增，故D错误. 3．函数在上有定义，若对任意，，有，则称在上具有性质．设在上具有性质，现给出如下命题： ①在上是增函数； ②在上具有性质； ③若在处取得最大值1，则，； ④对任意，，，，有． 其中真命题的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【分析】根据题设条件，分别举出反例，说明①和②都是错误的；同时证明③和④是正确的． 【详解】对于①，函数，它在上满足，具有性质，但在上不是增函数，①不正确； 对于②，取，它在上满足，具有性质， 但，取，则 左边， 右边，此时左边，不满足性质的不等式，②不正确； 对于③，， 又在上的最大值为1，即，，故， 从而，所以，③正确； 对于④，， ，④正确． 故命题③④正确，即选项D正确. 4．已知定义在正整数集上的函数满足，且有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数定义，利用赋值法求出解析式，进而判断选项． 【详解】取，得， 又，故； 取，得，即， 对正整数x，， 累加，得，故． 5（多选）．定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（     ） A． B．当时， C． D．当时， 【答案】ACD 【分析】选项A，取求解；选项C，令得到，取得解；选项B，当时， ，则有，从而得到；选项D，令 ，通过计算整理得到，利用基本不等式得到，从而得到，结合得到结论. 【详解】选项A，因为，所以取，得到， 解得，选项A正确； 选项C，令，则，即， 取，得到，选项C正确； 选项B，因为当时，， 所以当时， ，则有， 又 ，即，选项B错误； 选项D，令 ，则，即， 两边除以得到，即， 因为，所以，所以， 又因为，所以，即， 则， 选项D正确. 6（多选）．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．关于的方程有2个解 D．若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的范围是 【答案】AC 【分析】对 A，求出函数定义域，验证定义域关于原点对称，再判断与关系，依据定义判断函数奇偶性；对 B，在区间用作差法比较的大小得到该区间单调性，再依据奇函数性质判断区间单调性；对C，将分区间去绝对值求解，利用是偶函数的对称性判断方程解的情况；对 D，把原函数写成分段形式，转化不等式，结合整数解仅有 1 个的条件，结合图象求解参数范围. 【详解】对于A：函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以为奇函数，A正确； 对于B：任取，， ，，，所以，， 即函数在单调递减， 又因为函数为奇函数，所以在上单调递减，B错误； 对于C：时，， 当时，，令，解得， 当时，，令，无解； 令，则，所以函数为偶函数， 由对称性可知在上方程有解，C正确； 对于D：， 关于的不等式可得， 结合图象可知，当时，不等式有无数个整数解； 当时，在区间内无整数解， 因此只需在内包含一个即可. 因为， 因此若不等式恰好有1个整数解，只需， 解得，D错误． 7（多选）．定义若函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若直线与的图象有3个交点，则 D．在区间上的值域为，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】通过分段定义明确的解析式，验证选项A的函数值；求选项B的函数解析式；结合函数图象判断C、D的正误. 【详解】，其中， ， 当 时，，若，由 ， 解得 ，与的交点坐标为 . 其中时，时， 当 时，，若，由 , 解得，与的交点坐标为 . 其中时，时， 所以，函数图象如图所示， 选项A： ，A选项正确； 选项B： 由， 则， 选项B正确. 选项C：结合函数图象可知，直线与图象有3个交点， 则或，因此C错误. 选项D：要让在上的值域为，需要覆盖到函数值和，同时不能出现大于0的部分， 函数值为的唯一位置是； 由，函数值为的最左点是，最右点是， 要使值域为，区间需包含最小值点，最大区间为， 长度为，因此D正确. 8（多选）．已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（     ） A．为偶函数 B．2是的一个周期 C．图象关于对称 D． 【答案】ACD 【分析】选项A，由与，得，是偶函数，A正确.选项B，由，推出，周期为，不是，B错误.选项C，有对称中心，周期为，半个周期平移后得到对称中心，C 正确.选项D，每项函数值之和为，前项和为，剩余两项得；除以余，故，D正确. 【详解】令， 因为为奇函数，所以， 即， 令，解得，即， 得到，即， 所以关于点中心对称. 因为为偶函数，所以， 即，关于直线轴对称. 由轴对称得， 由中心对称得， 联立得， 把换成得到， 则，所以的周期，故B错误. 因为的对称中心为，所以， 又周期， ，， 由， 令得到，即， 即， 所以图象关于对称，C正确. 由，则， 又，则， 则，对比， 得到 ，即， 所以是偶函数，A正确. 周期，先看一个周期内， 由， 令得到， 由为奇函数，令得到， 又都是对称中心，故， 一个周期：， 中，有项，包含个完整周期加上， 个周期的和为， 又，，故， 所以每项之和为，前项和为， 余下两项， 因为，所以，解得， 则，D正确. 9．已知函数是定义在上的奇函数，且．若对，，且，都有，则关于x的不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】构建函数，易得函数为奇函数，分析的单调性，由此可解不等式. 【详解】因为对，，且，都有，即， 即. 令， 所以对，，且， 所以，所以函数在上单调递增. 因为函数是定义在上的奇函数，所以. 所以对，， 且， 所以函数为定义在上的奇函数. 所以函数在上单调递增. 又，所以，所以. 所以当时，； 当时，. 因此不等式的解集为. 10．设函数，若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】或或 【分析】由恒成立求出，只需成立，记，，看成关于的函数，最后转化为，得到关于的不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为，所以，所以，当时，，所以， ，，不等式恒成立，等价于时，，对恒成立， 即在上恒成立， 记， 所以只需，即，解得或或． 11．已知定义在上的偶函数满足，则的值为__________. 【答案】/ 【分析】由题意得到，；根据已知条件得到的周期，结合函数的周期性及奇偶性求解即可. 【详解】， 令，因为，所以，所以，，即以，. 由，得， 即，整理得. 令，则，且，. 所以，作差得. 因为，，所以，即的周期， 于是的周期. 因为为偶函数，则也为偶函数，所以. 令，则，即，解得或（舍去）. 所以， 故. 12．已知，当时，设的最大值为，则最小值为________. 【答案】/ 【分析】根据上的对勾函数的单调性，再由平口单峰函数的结论求解即可. 【详解】令，， 设，，由对勾函数 的单调性可知，在上单调递减， 在上单调递增，， ∴是平口单峰函数（如图）， 由平口单峰函数的结论可知， 对于， 的 最小值等于， 即. 四、解答题 13．设二次函数，且的两个实根满足. (1)若函数的图象关于对称，求的解集； (2)若. （i）求证：； （ii）设函数在区间上的最大值为，求的表达式. 【答案】(1)当时，的解集为； 当时，的解集为； (2)（i）由得，则， 得，则； （ii）. 【分析】（1）求出两根，再分类讨论解不等式； （2）（i）根据韦达定理化简； （ii）化简，求出对称轴，分、、三种情况讨论即可. 【详解】（1）由题意得，则，则， 当时，的解集为； 当时，的解集为； （2）（i）略 （ii）由，得或. 设， 则 的零点分别为和，对称轴为 ①当时，， 则在上递增，在上递减， 所以； ②当时，， 则在上递减， 则； ③当时，， 则在上递减，在上递增， 则； 综上. 14．对定义域为的函数，定义阶稳区间如下：若区间，满足：函数在上单调，且对任意，，恒有，则称区间为函数的一个阶稳区间．现已知分段函数（其中为常数）． (1)当时，判断区间是否为的阶稳区间，并说明理由； (2)若，求所有长度最大的有限阶稳区间； (3)若存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，求实数的取值范围． 【答案】(1)区间是的阶稳区间，理由如下： 当时，，故， 二次函数开口向上，对称轴为，因此在上单调递增， 因为，，所以， 所以，所以， 综上，是的阶稳区间； (2) (3) 【分析】（1）当时，函数单调递增，且，则是的阶稳区间； （2）对区间，分别讨论，可得时，的所有有限长度的阶稳区间； （3）先证明内不存在任何长度大于 0 的阶稳区间，再对，对作分类讨论. 【详解】（1）略 （2）当，，在上单调递减，在上单调递增， 对于区间，在上单调递减，且 因为，，所以，所以， 所以，所以， 所以是的阶稳区间； 对于区间，在上单调递增， ， 所以，不是的阶稳区间； 综上，若，所有长度最大的有限阶稳区间； （3）（其中为常数）， 当，， 所以内不存在任何长度大于 0 的阶稳区间； 当，，二次函数开口向上，对称轴为， 所以上单调递减，上单调递增， ， 当时，在上单调递减， 因为，，所以， 所以，所以， 所以区间符合； 当时，在上单调递增， 因为，，所以， 所以，所以， 所以区间符合； 当时，对任意包含的区间， 取，足够接近（如，极小），则， 由知， 当足够小时，，即， 对应，不满足阶稳条件，因此不存在包含的阶稳区间， 所以存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，则 ， 所以实数的取值范围是. 15．已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． (1)若当时，，求； (2)若是奇函数，，且，证明：； (3)设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增． 【答案】(1) (2)由题意证明如下： 在中，是奇函数，当时，． ∴，当时，， ∴ 在集合中， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴且，即，， ∵， ∴①当时，解得， ，， 此时， ②当时，解得， ，， 此时， ③当时，解得， ，， 此时， 综上，. (3)（i）由题意证明如下， 法一： 若，则存在，使得， 条件①：若，则， ∴，则， 取，则，此时， ∵，则，即， 但，相矛盾， ∴ 法二： 假设，则存在，使得， 从而，这导致， 但， ∵根据条件又有，矛盾， ∴假设不成立，. （ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下， 在集合中， 要证在上单调递增， 即需证，，都有， 即需证，，都有， ①先证明：当时，， 假设，使得， ∵当时，， ∴，使得， ∴， 而当时，， 否则，使得，，与矛盾， ∴， ∴， ∴， 由（3）（i）得，， 则， 由条件②：当时，， 则， 否则时，与矛盾， ∴若，使得，则，，（*） ∴，使得， 则， 令，， 此时，则，则， ∴， ∵， ∴易取，满足，使得， 根据（*）可得，此时，与矛盾， ∴当时，， ②证明：对，，都有， ∵，，都有， ∴， 对任意给定的，取，则， ∴对，，都有， ∴在上单调递增. 【分析】（1）求出，写出表达式，即可求出； （2）求出表达式，化简集合并得出表达式，利用得出与，对的三种情况进行分类讨论，即可证明结论； （3）（i）法一：假设，则存在，使得，取，求出，与矛盾，进而证明结论； 法二：假设，则存在，使得，取，求出，与时矛盾，进而证明结论； （ii）将证明转化为证，，都有，先证明：当时，，再证明对，，都有，进而证明出在上单调递增. 【详解】（1）由题意， 在中，，， 在中， ， ∴， 当时，，，解得， 当时，，解得， ∴， ∴. （2）略 （3）（i）略 （ii）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03函数的概念与性质二十类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、函数概念的辨析与应用 题型二、求函数的定义域（具体函数、抽象函数） 题型三、求函数的解析式 题型四、函数单调性证明（判定） 题型五、已知函数单调性解不等式、比大小 题型六、已知函数单调性求参数范围（值） 题型七、已知分段函数数单调性解不等式或求参数范围（值） 题型八、函数奇偶性的证明（判定） 题型九、已知函数奇偶性求函数值或参数值 题型十、已知奇偶函数的一半解决整体函数问题 题型十一、函数单调性、奇偶性综合应用 题型十二、求函数的值域(最值） 题型十三、已知函数的值域求参数的范围（值） 题型十四、函数性质的综合应用 题型十五、幂函数的定义及性质应用题型 题型十六、一元二次函数在闭区间上的最值问题 题型十七、"对勾函数"、”飘带函数“性质及应用 题型十八、已知恒成立、有解求参数的范围（值） 题型十九、抽象函数性质分析及证明 题型二十、函数应用题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 函数的概念与性质是高中数学核心重难点，并是高中三年数学学习的主线。所有题型均围绕函数定义、定义域与值域、函数性质、函数解析式与图像特征四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是函数定义域优先原则，所有函数问题必须先确定定义域，所有变形、化简、求值、单调性奇偶性判断均在定义域内进行；二是函数恒成立与存在性问题必须紧扣值域边界. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、函数概念的辨析与应用 典例1 下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 题型模版 理解函数的概念：集合(定义域）中的每一个元素在集合（可能比值域大）中都有唯一一个元素与之对应. 变式1-1若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式1-2存在函数满足：对任意，都有（    ） A． B． C． D． 变式1-3给定，设函数满足：对于任意大于的正整数，. (1)设，则其中一个函数在处的函数值为____； (2)设，且当时，，则不同的函数的个数为_____． 题型二、求函数的定义域（具体函数、抽象函数） 典例2 已知函数的定义域是，则函数的定义域是__________. 题型模版 1.具体函数定义域主要涉及自变量的限制条件，目前主要考察以下几点：①根号下；②分母；③无意义. 2.抽象函数定义域重点理解两句话“定义域人恶化情况下都是指字母“”的范围”；“同一个后面括号内范围一致”. 变式2-1函数的定义域是（    ） A． B． C． D．或 变式2-2已知函数的定义域是，则的定义域为______． 变式2-3已知函数的定义域为，则函数的定义域为________． 题型三、求函数的解析式 典例3 求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 解法归纳 1. 已知具体形态（如一次函数、二次函数等）可选用待定系数法求解析式; 2. 已知复合函数表达式求解析式,一般用换元法先求可有效避免字目的混淆; 3. 已知抽象函数等式求解析式，题目条件需比较特殊，一般可考虑用“”或“”代替,再解方程组. 变式3-1求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)已知（且），求; (3)已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 变式3-2已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 题型四、函数单调性证明（判定） 典例4 已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 题型模版 1.函数单调性定义域为先； 2.证明单调性基本步骤：①设;②化简变形，一般需将)看作整体，因式分解，分式一把先通分；③定因式分解之后的每一部分正负号确定与的大小关系;④下结论：在的前提下若则递增，若则递减，简单归纳为不等式方向“同增异减”. 3.对于分式型函数往往先分离常数，在辨析单调性会比较方便. 4.小题目可结合单调性性质来判定：增+增=增；减+减=减；在大于0的前提下，增增=增；减减=减. 变式4-1关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 变式4-2定义在上的函数，“存在，使得对于任意的都有”是“为上的减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式4-3已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 题型五、已知函数单调性解不等式、比大小 典例5 已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型模版及易错点归纳 1. 解题依据：已知,有两种思路， 思路一：左右两侧代入解析式，解具体不等式; 思路二：若递增则;若递减则, 显然，若单调性已知（或可以判定），思路二往往更加简洁。 2. 难点：有时要根据题目结构重新构造新的函数，分析新函数的单调性 3. 易错点：若涉及函数定义域，则容易忽略定义域的限定. 变式5-1已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式5-2定义在上的函数满足，且，，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 变式5-3已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题型六、已知函数单调性求参数范围（值） 典例6若函数与在区间上都单调递减，则实数的取值范围是______ 题型模版及易错点归纳 1. 常见函数单调性特征如一元二次函数、一次分式结构、“对勾函数”、“飘带函数”等； 2. 单调区间首先要保证在定义域内，故常隐含单调区间含于定义域的限制； 变式6-1已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 变式6-2函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 变式6-3已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 题型七、已知分段函数数单调性解不等式或求参数范围（值） 典例7已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是_____. 题型模版及易错点归纳 单调区间不能轻易合并，一般两个单调区间要用逗号隔开，分段函数题干中描述为上单调需要两个条件同时满足: 分段函数单调递增要求①两段分别递增；②两段接轨处“左低右高（可以相等）”； 分段函数单调递减要求①两段分别递减；②两段接轨处“左高右低（可以相等）”； 变式7-1已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式7-2已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若在上单调递增，则的取值范围是 C．存在实数使得在上单调递减 D．若的值域为，则的取值范围为 变式7-3已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为_______. 题型八、函数奇偶性的证明（判定） 典例8判断下列函数的奇偶性： (1) (2)； (3) (4) 题型模版及易错点归纳 1.奇偶函数的判定与证明步骤： ①定义域（若有奇偶性，定义域必须关于原点对称），若定义域不关于原点对称则直接下结论非奇非偶函数；若若定义域关于原点对称，则继续下一步; ②求并整理变形; ③若则为偶函数；若则为奇函数；若判断是非奇非偶函数需要举反例. 3. 小题目可充分利用奇偶性的性质来判断奇偶性：奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇+偶=非奇非偶（0函数除外）;奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. 变式8-1设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 变式8-2若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 变式8-3若分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 题型九、已知函数奇偶性求函数值或参数值 典例9若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 题型模版及易错点归纳 1. 奇偶函数首先定义域必须关于原点对称； 2. 奇函数即;偶函数.已知奇偶性求参数时可充分利用“任意性”，借助系数对应相等求解，也可选择特殊值结合证明求解. 变式9-1已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 【答案】B 【分析】利用定义域为的奇函数性质求出参数，借助奇函数对称性算出，代入等式求得，结合时的函数解析式解方程并舍去负根得到. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则. 因为是增函数，且当时，， 则当时，， 由，得， 所以，由，解得或（舍去）. 变式9-2已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，，当时，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以，且，因为，所以①， 为偶函数，所以②， 当时，，由①②得，， 解得，. 变式9-3已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 题型十、已知奇偶函数的一半解决整体函数问题 典例10已知函数是定义在上的偶函数，当时，则（   ） A．的最大值为4 B．在区间单调递增 C．的解集为 D．当时， 题型模版及易错点归纳 1.奇函数的性质：①或无意义；②关于原点对称；③左右两侧单调性相同 偶函数的性质：①关于轴对称；②左右两侧单调性相同. 2.数形结合百般好，脱离之后万事休. 变式10-1若奇函数的定义域为，当时，，则_______． 变式10-2已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 变式10-3已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 题型十一、函数单调性、奇偶性综合应用 典例11已知定义在上的函数满足，且，有，则（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在上单调递增 D．关于的不等式解集为 题型模版及易错点归纳 利用奇偶性和单调性解不等式理论依据如下：以函数在轴右侧递增为例; ①若为奇函数，则; ②若为偶函数，则; 注意：若有具体的定义域限制，需要额外不等式限制，极其容易出错. 变式11-1(1)已知定义在上的偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． (2)已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式11-2已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 变式11-3已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 题型十二、求函数的值域(最值） 典例12 下列选项正确的是（    ） A．函数的最小值为4 B．函数的值域为 C．函数在的值域为 D．函数的值域为 题型模版及易错点归纳 1. 常见函数的值域求法：①分式型；②一元二次型；③单根号型；④双根号型；⑤绝对值型；⑥”对勾“及”飘带“型. 2. 数形结合是求值域必不可少思想方法. 变式12-1已知函数＋的最大值为M，最小值为m，则的值为 A． B． C． D． 变式12-2已知表示，中的最小者，则函数的最大值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 变式12-3若函数在区间上的最大值是，最小值是，则的值（ ） A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 题型十三、已知函数的值域求参数的范围（值） 典例13设若是的最小值，则的取值范围是　　　　　. 题型模版 函数图像的讨论分析是此类题型的基本思想 变式13-1若函数的最小值3，则实数的值为 A．5或8 B．或5 C．或 D．或 变式13-2已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____. 变式13-3已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是__________ 题型十四、函数性质的综合应用 典例14已知函数，则以下说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若在上单调递增，则 C．若，且关于x的方程有3个不等实数根，则实数m的范围为 D．若，且存在四个不等的实数使得，则的取值范围是 题型模版及通关策略 1. 考察函数单调性、奇偶性、对称性（以后还会有周期性）的综合应用. 2. 通关策略：学习中加强数形结合思想以及题目常见解法的积累 变式14-1已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．关于的方程有2个解 D．若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的范围是 变式14-2已知函数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递增区间为 D．若方程有三个不等实根，则实数t的取值范围是 变式14-3设函数的定义域为，定义，．若为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解析式为 C．在区间上单调递增 D．的最大值为 题型十五、幂函数的定义及性质应用 典例15 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______ 题型模版及易错点归纳 高考对幂函数的考察要求不高： 1. 熟知时的函数性质. 2. 基本结论应用：在第一象限中的性质，时递增，时递减，以及增减的快慢. 变式15-1在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的只有（    ） A． B． C． D． 变式15-2已知，，，则 A． B． C． D． 变式15-3已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____. 题型十六、一元二次函数在闭区间上的最值问题 典例16已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 题型模版及难点易错点分析 一元二次不等式在闭区间上的最值问题，在开口确定的情况下（开口不确定时先讨论开口方向）主要是按对称轴在区间的左中右原则讨论。以开后向上为例： 若求最小值，则讨论三种情形①对称轴在区间的左侧；②对称轴在区间的内部；③对称轴在区间的右侧. 若求最大值，则需讨论两种情形①对称轴在区间中点的左侧；②对称轴在区间中点的右侧. 若同时求最大值和最小值，则需讨论四种情形①对称轴在区间的左侧；②对称轴在区间的内部中点左侧；③对称轴在区间的内部中点右侧；④对称轴在区间的右侧. 变式16-1函数在区间上的最小值为，则的表达式为____. 变式16-2已知二次函数，当时，y的最小值为0，求a的值. 题型十七、"对勾函数"、”飘带函数“性质及应用 典例17下列叙述正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是5 C．函数的最大值是0 D．函数在区间上单调递增，则的取值范围是 题型模版及易错点归纳 对勾函数;飘带函数;可作为基本初等函数的补充，解题时往往直接应用其性质. 变式17-1已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为______. 变式17-2若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 变式17-3已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型十八、已知恒成立、有解求参数的范围（值） 典例18．设函数，若恒成立，求的取值范围． 题型模版 不等式恒成立；可用基本的转化思想： ;; ;; 故而针对形如多变量的不等式恒成立或有解问题，将有两种方向： ①分离变量法，求具体函数的最值；②定主元，直接讨论动态函数的最值 变式18-1已知，函数，若，成立，则实数m的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式18-2若存在使得不等式成立，则取值范围是 . 变式18-3已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 题型十九、抽象函数性质分析、证明及应用 典例19已知函数的定义域是，且，都有，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．函数在上是减函数 D． 题型模版及易错点归纳 1.抽象函数问题,第一步往往是赋值法求出某个或某几个特殊值，如等，赋值时要敢于尝试，其中注意特殊情况，比如可以赋予相等的值. 2.抽象函数证明单调性往往为了用上题目的结构，需要配凑分解，如加一个建一个或者乘一个除以一个. 变式19-1定义在R上的函数满足，当时，，则满足（ ） A． B．是奇函数 C．在上有最大值 D．的解集为 变式19-2已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当1时，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．函数为偶函数 D．不等式的解集为 变式19-3定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数． (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式 题型二十、函数应用题 典例20现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 题型模版及易错点归纳 应用题重在理解题意，将题意转化为代数语言，注意解题时需结合实际意义考虑定义域. 变式20-1第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在我国哈尔滨举办，此次亚冬会上中国体育代表团获得32枚金牌、85枚奖牌，名列金牌榜和奖牌榜首位．亚冬会结束后，人们对冰雪的热爱不减，亚冬会周边纪念品依然十分畅销．某商家以每套30元的价格购进一批纪念品套件．若该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套；若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套． (1)设纪念品每套降价元，求该纪念品的销售量与之间的函数解析式． (2)求每套纪念品的售价定为多少元时，每天销售纪念品套件所获的利润W最大？最大利润是多少元？ 变式20-2为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 变式20-3国产电影《哪吒2之魔童闹海》斩获2025年全球票房榜第一名.某企业借此契机推出一款“哪吒纪念玩偶”，前期研发与模具等固定成本为80（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算，若该款玩偶年产量为万个每个售价50元且全部售完. (1)求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式； (2)当产量至少为多少个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本； (3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，且满足：，，；，，.则下列说法中一定正确的是（    ） A．在区间上有最小值 B．在区间上单调递增 C．在区间上有最小值 D．在区间上单调递增 3．函数在上有定义，若对任意，，有，则称在上具有性质．设在上具有性质，现给出如下命题： ①在上是增函数； ②在上具有性质； ③若在处取得最大值1，则，； ④对任意，，，，有． 其中真命题的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 4．已知定义在正整数集上的函数满足，且有，则（    ） A． B． C． D． 5（多选）．定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（     ） A． B．当时， C． D．当时， 6（多选）．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．关于的方程有2个解 D．若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的范围是 7（多选）．定义若函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若直线与的图象有3个交点，则 D．在区间上的值域为，则的最大值为 8（多选）．已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（     ） A．为偶函数 B．2是的一个周期 C．图象关于对称 D． 9．已知函数是定义在上的奇函数，且．若对，，且，都有，则关于x的不等式的解集为__________． 10．设函数，若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 11．已知定义在上的偶函数满足，则的值为__________. 12．已知，当时，设的最大值为，则最小值为________. 四、解答题 13．设二次函数，且的两个实根满足. (1)若函数的图象关于对称，求的解集； (2)若. （i）求证：； （ii）设函数在区间上的最大值为，求的表达式. 14．对定义域为的函数，定义阶稳区间如下：若区间，满足：函数在上单调，且对任意，，恒有，则称区间为函数的一个阶稳区间．现已知分段函数（其中为常数）． (1)当时，判断区间是否为的阶稳区间，并说明理由； (2)若，求所有长度最大的有限阶稳区间； (3)若存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，求实数的取值范围． 15．已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． (1)若当时，，求； (2)若是奇函数，，且，证明：； (3)设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $