专题03 函数的周期性、对称性六类综合题型（压轴题专项训练）高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 以“通法归纳-题型精讲-压轴挑战”为框架，系统整合函数周期性、对称性六类综合题型，提炼“内同表周期，内反表对称”等可迁移方法，构建从概念到应用的递进式训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1模块|“内同表周期，内反表对称”口诀，平移变换分析对称|以奇偶性为基础，关联周期性与对称性，构建性质应用逻辑链| |题型精讲|6类（每类1典例+3变式）|求值用性质口诀，对称中心结合平移，求和算周期内和，解析式分段转化，比较大小用单调性，解不等式用f(|x|)|从基础求值到复杂不等式，覆盖性质应用全场景，典例精选高频考法| |压轴挑战|12题（含多选）|综合性质判断、抽象函数不等式等高阶方法|深化跨性质综合应用，突破思维上限，对接高考压轴命题趋势|

学科网（北京）股份有限公司 专题03函数的周期性、对称性六类综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一 奇偶性、周期性、对称性求值问题 题型二 对称中心问题 题型三 函数值求和问题 题型四 解析式问题 题型五 周期性对称性比较大小问题 题型六 周期性对称性解不等式 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 函数的奇偶性、周期性对称性问题是函数中的核心重难点，题型涵盖求值、求解析式、比较大小、解不等式封，解题需要注意：一基本初等函数考虑函数的奇偶性与对称性，二利用函数的平移变换考虑函数的奇偶性与对称性，三内同表周期，内反表对称的使用，解函数不等式需要注意使用f(x)=f(-x)=f(|x|). 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、奇偶性、周期性、对称性求值问题 典例精讲1(25-26高一下·湖南多校·期末)已知是周期为4的函数，对任意，恒成立，则______． 【答案】0 【详解】当时，，解得， 由是周期为4的函数，可得. 题型归纳 奇偶性对称性求值的口诀为： 内同表周期，内反表对称。 变式训练1-1(25-26高一下·湖南师范大学附属中学·)已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据已知条件及为偶函数，结合周期函数的定义，可得函数是周期为4的周期函数，利用周期性及求解即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以，则， 又因为，所以，则， 所以函数是周期为4的周期函数， 由中，令，得到， 所以，， 故. 变式训练1-2(25-26高一下·浙江强基联盟·)若函数的定义域为，且满足为偶函数，为奇函数，，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数与奇函数性质可推导出为周期函数并可得到周期，再利用代入计算即可得. 【详解】由为偶函数可得，即 由为奇函数可得， 即， 即有，则， 则，故， 即有，故为周期函数且， 由，则， 即，则. 变式训练1-3 (25-26高一·浙江杭州学军中学·期中)已知函数，的定义域均为，为偶函数，为奇函数，，，则（    ） A． B．0 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由是偶函数，所以可推出的对称轴，进而得到的对称性关系式；由是奇函数，所以可推出的对称中心，进而得到的奇偶性与周期性相关关系式.利用已知等式，结合、的对称性，推导与之间的转换关系,再分别找出和的周期，利用周期性将、转化为已知条件对应的函数值，再代入计算. 【详解】因为为偶函数，故，则， 即关于直线对称. 因为为奇函数，故，定义域为， 令得：，即关于点中心对称. 已知，则， 则，，结合， 得：，即得， 即关于点中心对称. 由和，得，即， 可得：， 故的周期为，同理可得周期也为. 由，可得， 由，令，得. 由，可得， 所以. 题型二、对称中心问题 典例精讲2. (25-26高一上·浙江杭州师范大学附属中学·期中)研究表明，函数为奇函数时，函数图象关于点成中心对称．试分析函数图象的对称中心为______． 【答案】 【分析】利用题中的定义和奇函数的定义求解. 【详解】函数为奇函数， ， ， ， 设图象的对称中心为， ，，， ， ， 当时，， 当时，， 解得， 检验，成立， 即， 故图象的对称中心为. 题型归纳 求解对称中心对称轴习题： 1.求出基本函数的对称中心 2.利用函数的平移变换得出对称中心 变式训练2-1(25-26高一上·安徽江南十校·)已知函数，其图象的对称中心在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】化简函数得到其对称中心为 ，在直线上得到，换元之后，利用配方法得到. 【详解】函数，其对称中心为 ，该点在直线上，于是由，. 当时，取得最小值. 故选：B 变式训练2-2(25-26高一上·湖北武汉东湖高新区·期中)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意设函数的对称中心为，再根据函数为奇函数，求出参数即可得解. 【详解】设函数的对称中心为， 则函数为奇函数， 则， 得， 整理得， 所以，解得， 所以函数图象的对称中心是. 故选：A. 变式训练2-3(23-24高一上·广东佛山南海区石门中学·期中)函数与函数的图象关于x轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数和中心对称的性质求解即可. 【详解】因为是奇函数， ，即， 所以是关于对称. 由于函数与函数的图象关于x轴对称 所以的中心对称点为. 故选：B 题型三、函数值求和问题 典例精讲3 (25-26高一下·云南文山州·)已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】先根据对称性和奇偶性得出周期，再计算一个周期内的函数值之和即可. 【详解】因为，，所以， 则，则，则， 则是的一个周期， 因为当时，，所以，， 则，， 则，则 则 题型归纳 含有对称性求和问题 1.利用周期性对称性的口诀求出函数的对称轴与对称中心 2.求出一个周期内的函数值的和。 变式训练3-1(25-26高一下·广西钦州共美学校·月考)已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（   ） A．50 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】先利用奇函数性质和给定的对称关系推导出周期为4的结论；再计算一个周期内各整数点的函数值，并得出周期和为零的结果；最后利用周期性和余项求和得出所求总和. 【详解】由题意，是定义在上的奇函数， 有 又，令替换得： 则所以是周期为的周期函数， 计算一个周期内的值：， ，， 一个周期和， 因为， 所以. 变式训练3-2(25-26高一·广东广州荔湾区·)已知是定义域为的偶函数，且是奇函数，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据奇偶函数的性质找到函数的周期，再根据求和的表达式找出数列的周期，从而求出数列前2026项的和. 【详解】设，因为是奇函数， 所以，即， 因为是偶函数， 所以，即， 令，则，所以， 即， 因此以4为周期， 因为是奇函数，所以，即， 因为，是偶函数， 所以， 因此，， ，， 设，则，， 因为以4为周期， 所以，即数列每8项重复一次， 当时，前8项之和为，即每8项的和都是0， 因为， 所以前2024项正好是253个完整周期，和为0，剩下两项的和为， 所以，故选项D正确. 变式训练3-3(25-26高一下·湖北随州曾都区第一高级中·)已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数的性质及函数对称性，结合已知抽象函数推出函数周期，求出一个周期内的和，再利用函数周期性求解． 【详解】已知是定义域为的奇函数，则，且， ，可知图象关于直线对称，即， ，故， 把替换为，则， 把替换为，则， 函数周期， ，，， ， ， ， 由函数周期性知：， ，故C正确． 故选：C． 题型四、解析式问题 典例精讲4 (24-25高一上·贵州遵义第一中学·月考)已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式为_____． 【答案】 【分析】由偶函数的性质求解. 【详解】对，则， 所以， 又由为偶函数，得， 所以. 故答案为：. 题型归纳 求解函数解析式需要注意的问题 1.注意给出部分函数的自变量的范围 2.注意问题要求是整个函数的解析式还是部分函数的解析式 变式训练4-1(25-26高一上·福建泉州剑影实验学校·期中)已知函数为奇函数，且当时，，则的解析式是_________. 【答案】 【分析】本题考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，解题的关键思路是根据奇函数的性质，分别求出和时函数的表达式. 【详解】因为函数为奇函数，所以，且； 因为当时，； 所以当时，，所以； 因为； 所以的解析式是. 故答案为： 变式训练4-2(25-26高一上·四川射洪中学校·期末)已知是定义在上的奇函数，且当时，；当时，的解析式为____________ 【答案】 【分析】先利用奇函数的定义和性质，结合已知区间的解析式，代入化简即可推出未知区间的解析式. 【详解】设，则， 所以， 根据奇函数性质得：， 所以当时，的解析式为：. 故答案为： 变式训练4-3(24-25高一上·四川宜宾第一中学校·期中)已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； (3)若在上有最小值，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合已知条件求出函数在上的解析式； （2）利用函数单调性分情况讨论求出相应最小值，进而求出的解析式； （3）结合的解析式并作出相关图象，结合已知条件求出实数的取值范围． 【详解】（1）已知是定义在上的奇函数，则， 若，则，则， 又 为奇函数，则， 综合可得，． （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间单调递增， 故当时，函数取得最小值，最小值是， ②当时，函数在单调递减，在单调递增， 故当时，函数取最小值，最小值是， ③当时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 函数的最小值． （3）由（1）的结论，，作图如下： 若在上有最小值，即函数图象在区间上有最低点， 必有或， 的取值范围为：． 题型五、周期性对称性比较大小问题 典例精讲5 (25-26高一上·贵州遵义播州区·)已知函数定义域为，对，，且，当时，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设对变量进行赋值，分别求出的值，进而判断函数为偶函数，然后结合函数的单调性即可判断. 【详解】令，则，解得； 令，则，解得； 令，，则，得，所以函数为偶函数； 又因为，当时，都有， 即，所以在上是增函数； 又函数为偶函数，所以在上是减函数； 又，所以. 故选：A. 题型归纳 利用奇偶性对称性比较大小 1.利用奇偶性对称性判断函数的解析式 2.奇函数在对称区间的单调性相同，偶函数单调性相反. 变式训练5-1(25-26高一上·湖北重点高中智学联盟·月考)已知函数是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，，都有，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，函数在上单调递增，化简为的形式，即可得出答案. 【详解】构造函数，可知函数为偶函数，不妨设，， 因为，所以， 所以，即，因此函数在上单调递增； 又 由于，故. 故选: B 变式训练5-2(25-26高一下·云南昆明第八中学·)已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和对称性推理出周期，进而结合奇偶性得到单调性，将目标函数均转化至同一区间内，最后比较大小即可. 【详解】由题意得，都有成立，则函数图象关于点对称， 为偶函数，的图象关于对称，即， 若，则， 可得，而， 化简得，周期， 而任取，， 在上单调递减， 为偶函数， 在上单调递增， 函数图象关于点对称， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， ，， 因为，所以． 变式训练5-3(25-26高一上·广东广州第二中学教育集团·期中)已知函数的定义域为R，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的对称性及单调性比较大小即可. 【详解】当时，恒成立，则函数在上单调递增， 由函数的定义域为R，且它的图象关于对称，得函数在上单调递减， 因此，所以. 题型六、周期性对称性解不等式 典例精讲6 (25-26高一下·云南昭通第一中学等校·)已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有 ，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可推导出，当 时，，令并判断其单调性、奇偶性，进而利用不等式性质求不等式的解集. 【详解】由 ，得， 因为，，所以，即， 设，则在上单调递减， 而，则，解得； 因为为上的奇函数，所以， 则为上的偶函数，故在上单调递增， 而，则，解得； 当时，，故该点不在解集内. 综上，原不等式的解集为. 题型归纳 利用奇偶性对称性解不等式 1.利用奇偶性对称性判断函数的解析式 2.奇函数的对称区间单调性相同，偶函数的单调性相反，需要利用f(x)=f(-x)=f(|x|) 变式训练6-1(25-26高一上·江西金溪县第二中学·期末)已知是定义在上的奇函数，且 ，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过构造辅助函数 ，将这个条件转化为单调性条件，再利用奇偶性，化简抽象不等式，最后利用单调性脱去函数符号，将问题转化为常规的代数不等式求解即可. 【详解】不妨令，所以，即， 令 ，即，所以在R上是增函数， 因为 是奇函数，所以 ， 则原不等式可化为： 将 代入上式： 所以 则 化简得：，所以， 即，所以，即， 故选：A. 变式训练6-2(25-26高一上·山西怀仁大地学校高中部等校·期末)已知是定义在上的偶函数，当时，恒成立，且，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】构造函数，结合偶函数定义，再应用单调性计算得出解集. 【详解】当时，恒成立， 所以， 设，有， 所以在上单调递减，因为是定义在上的偶函数， 所以， 则为偶函数，所以在上单调递增． 由，得， 又，所以，则，即， 解得，或，故原不等式的解集为． 故答案为：． 变式训练6-3(25-26高一·贵州天柱民族中学·)已知函数，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过构造函数，分析其奇偶性与单调性，再将不等式转化为关于的不等式，最后利用函数性质求解. 【详解】令，因为所以的定义域为R，则． 因为，所以为奇函数． 函数，，在R上均为增函数，在定义域上为增函数， 所以根据复合函数的单调性，可得在R上为增函数． 等价于，即， 则，即， 解得或，则关于x的不等式的解集为． 故选：D. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．(25-26高一·天津·期末)设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，并判断其奇偶性及单调性，讨论和两种情况，并结合的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】 因为为奇函数，且定义域为. 所以，且. 令，则的定义域为. 且，且. 所以函数为偶函数，且. 因为对任意的，且，都有不等式，即恒成立， 所以当，即时，，即. 所以函数在上单调递减. 所以函数在上单调递增. 不等式等价于或. 因为，所以. 所以或， 所以或. 故选：D. 2．(25-26高一·山东淄博实验中学·)已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，，进而结合已知条件得为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，，再分类讨论解不等式即可. 【详解】因为对任意，均有， 所以，两边同乘以得， 令， 所以在上单调递增， 因为是定义在上的奇函数，， 所以，即为偶函数， 所以在上单调递减， 因为，所以，， 当时，等价于，即 因为在上单调递增， 所以的解集为； 当时，等价于，即 因为在上单调递减， 所以的解集为； 综上，不等式的解集为 故选：D 3．(25-26高一上·福建南平·期中)已知函数在上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简得，令，结合的奇偶性以及，即可求得答案. 【详解】， 令，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以是奇函数，则在上的最大值与最小值的和为0，从而， 则， 故选：A. 4．(25-26高一上·广东东莞第十三高级中学·月考)已知是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由周期性变形，利用奇函数定义有，再由周期性得，从而得出结论． 【详解】因为f（x）是周期为2的奇函数，所以， 所以． 又当时，，所以，． 故选：D. 5．(25-26高一下·湖南娄底部分学校·期末) （多选）若是定义在上的函数，当时，，且对任意恒成立，则下列说法正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．的图象关于对称 D．若，则恒成立 【答案】ABC 【分析】利用赋值计算即可判断AB，根据的奇偶性，即可判断C，利用即可判断D. 【详解】对于A，在中，令， 可得，故，即，故A正确； 对于B，令，则，结合，得， 当时，有，即不恒为0，故必有，即是奇函数，故B正确， 对于C，由于是奇函数，故，令， 则， 因此的图象关于对称，即的图象关于对称，故C正确， 对于D，当且时，此时，显然，故D错误. 6．(25-26高一下·贵州遵义南白中学·期中) （多选）已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，．则（    ） A．的最小正周期为4 B．的图象关于点对称 C．为奇函数 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】根据已知得到的图象关于直线、对称，进而得到的最小正周期为4，利用奇偶性和周期性依次判断各项的正误即可. 【详解】因为 是定义在上的偶函数，所以， 即，函数的图象关于直线对称， 因为，所以，函数的图象关于点中心对称， 由，令，则， 因为，即， 所以，即， 进一步得，所以是函数的一个周期， 若存在更小的正周期，则，而上，， 结合其对称性，在上的唯一解是， 故不存在小于的正周期，最小正周期为，A 正确； 由，则， 由于，显然不恒为，因此图象不关于点对称，B 错误； 令，由的图象关于直线以及的最小正周期为， ， 所以的图象关于点对称，而的图象是的图象向右平移一个单位得到的， 所以的图象关于原点对称，即为奇函数，C 正确； 当时，，结合函数图象的对称性， 当时，， 当时，， 当时，， 由， 即，解得， 结合最小正周期为，解集为，D 正确. 7．(25-26高一下·广东揭阳·期末) （多选）已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（     ） A．为偶函数 B．2是的一个周期 C．图象关于对称 D． 【答案】ACD 【分析】选项A，由与，得，是偶函数，A正确.选项B，由，推出，周期为，不是，B错误.选项C，有对称中心，周期为，半个周期平移后得到对称中心，C 正确.选项D，每项函数值之和为，前项和为，剩余两项得；除以余，故，D正确. 【详解】令， 因为为奇函数，所以， 即， 令，解得，即， 得到，即， 所以关于点中心对称. 因为为偶函数，所以， 即，关于直线轴对称. 由轴对称得， 由中心对称得， 联立得， 把换成得到， 则，所以的周期，故B错误. 因为的对称中心为，所以， 又周期， ，， 由， 令得到，即， 即， 所以图象关于对称，C正确. 由，则， 又，则， 则，对比， 得到 ，即， 所以是偶函数，A正确. 周期，先看一个周期内， 由， 令得到， 由为奇函数，令得到， 又都是对称中心，故， 一个周期：， 中，有项，包含个完整周期加上， 个周期的和为， 又，，故， 所以每项之和为，前项和为， 余下两项， 因为，所以，解得， 则，D正确. 8．(25-26高一上·安徽阜阳第一中学·期末) （多选）已知函数的定义域为．若函数的图像关于点对称，，令，则（    ） A． B． C．的图像关于点对称 D． 【答案】ACD 【分析】令，代入即可判断选项；利用函数关于点对称，则的关系，进行赋值，结合周期函数的定义，即可判断选项，，. 【详解】解：由，令，则， 所以，正确； 由函数的图像关于点对称，令，当时，， 所以的图像关于对称，即的图像关于点对称，正确； 由，用替换得①， 又的图像关于点对称，则， 用替换得②， ①②得，所以，错误； 由，则， 由上可知， 所以，正确. 9．(25-26高一上·陕西渭南渭南高级中学·期末)已知定义在上的奇函数关于对称，当时，，则________． 【答案】 【分析】利用在上是奇函数且关于对称，求出的周期，利用周期得到，利用得到，利用时，，求出，从而得解. 【详解】在上是奇函数， ， 关于对称， ， ， ， ， 是以为周期的周期函数， ， ， ， ， 当时，， ， . 故答案为： 10．(25-26高一上·安徽合肥蜀山区区域联盟校·期末)定义在上的函数，满足，，且函数为偶函数，则对任意正整数n，__________. 【答案】 【分析】由题中所给的条件可得函数的一个周期为4的偶函数，且，进而可得及，从而可得所求值. 【详解】因为函数为偶函数，所以——①， 又因为，所以，即——②. 因为，所以——③. 将②③代入①得，， 所以，即，所以， 两式相减得，所以4是函数的一个周期. 由，得， 所以， 再由②，得，且. 所以，即， ，所以函数是偶函数. 所以，且，所以. 所以 . 故答案为： 11．(25-26高一上·江苏苏州·期末)已知函数的定义域均为，若，则__________. 【答案】1 【分析】先由题设得到，进而得到，可得是以4为周期的函数，进而求出即可求解. 【详解】由，得， 又，所以， 则，即, 所以，则函数是以4为周期的函数， 而，，则， 所以， 又，所以， 则， 所以. 故答案为：1. 12．(25-26高一上·新疆乌鲁木齐新疆生产建设兵团第二中学·期末)已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则_______． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性得出函数的对称性和周期性，利用周期性计算的值. 【详解】因为为奇函数，所以①， 因为为偶函数，所以②， 由②得③，结合①③得， 则，所以函数的周期为， 由，可知， 因此可将所求的和式两两配对：， 因为周期为，所以. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03函数的周期性、对称性六类综合题型 目 录 通法归纳一明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一奇偶性、周期性、对称性求值问题 题型二对称中心问题 题型三函数值求和问题 题型四解析式问题 题型五周期性对称性比较大小问题 题型六周期性对称性解不等式 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 同通法归纳一明晰核心解法，助力能力迁移 函数的奇偶性、周期性对称性问题是函数中的核心重难点，题型涵盖求值、求解析式、比较大小、解 不等式封，解题需要注意：一基本初等函数考虑函数的奇偶性与对称性，二利用函数的平移变换考虑函数 的奇偶性与对称性，三内同表周期，内反表对称的使用，解函数不等式需要注意使用x(x)f() ◆◆ 题型精讲一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、奇偶性、周期性、对称性求值问题 典例精进1(25-26高一下湖南多校期末)已知fx是周期为4的函数，f引x+y川=fx+fy对任意x, y∈0,2恒成立，则f4= 题型归纳 奇偶性对称性求值的口诀为： 内同表周期，内反表对称。 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练1-1(25-26高一下.湖南师范大学附属中学)已知函数fx的定义域为R,fx+f-x=0,fx+1 为偶函数，且f1=2,则f2025-f2028=() A.1 B.2 C.3 D.4 变式训练1-2(25-26高一下.浙江强基联盟)若函数fx的定义域为R,且满足y=fx-1为偶函数， y=fx+1+1为奇函数，f-2=0,则f2026=() A.0 B.2 c.-1 D.-2 变式训练1-3(25-26高一浙江杭州学军中学.期中)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(x-1)为偶函 数，gx+2)为奇函数，f(0)=2,f(x+1)=g(2-x)+1,则f(1956)+g(2026)=() A.-2 B.0 C.3 D.4 题型二、 对称中心问题 典例精进2.(25-26高一上浙江杭州师范大学附属中学.期中)研究表明，函数gx=fx+a-b为奇函数时， 商数f因象关于点Pa,b成中心对称.试分折透数fx1十2一3图象的对称中心为 题型归纳 求解对称中心对称轴习题： 1.求出基本函数的对称中心 2.利用函数的平移变换得出对称中心 变式训练212526高一上安徽江南十校已知函数fx=X- -2 ,其图象的对称中心在直线y=ax+b上，则 a2+b的最小值为() A.2 1 B. D.1 5 c.2 9 变式训练2-2(25-26高一上湖北武汉东湖高新区期中)函数y=fx的图象关于点Pa,b成中心对称图形的 充要条件是函 y=fx+a-b为奇函数，则函数fX=X+3X2+1图象的对称中心为（） 2/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-1,3 B.0,1 c.1,5 D.2,21 变式训练2-3(23-24高一上广东佛山南海区石门中学.期中)函数y=fx与函数y=hx的图象关于x轴对称， 且函数y=fx-a+b是奇函数，则函数y=hx图象的对称中心是() A.(a,b B.-a,b C.(-a,-b] D.(a,-b) 题型三、函数值求和问题 典例精进3(25-26高一下·云南文山州)已知函数fx是定义在R上的奇函数，且fx=f2-x,当 xe-1o时fN=觉fk={) A.1 B.0 C.-1 D.-2 题型归纳 含有对称性求和问题 1.利用周期性对称性的口诀求出函数的对称轴与对称中心 2.求出一个周期内的函数值的和。 变式训练3-1(25-26高一下广西钦州共美学校月考)已知fx是定义域为-∞，+∞的奇函数，满足 f1-x=f1+x,若f1=2,则f1+f2+f3+…+f2026=() A.50 B.2 c.0 D.-50 变式训练3-225-26高一广东广州荔湾区)已知fx是定义域为R的偶函数，且fx+1是奇函数， A.-4 B.4 C.-2 D.2 变式训练3-3(25-26高一下湖北随州曾都区第一高级中)已知fx是定义域为-0，+0的奇函数，满足 f1-x=f1+x,若f1=3,则f1+f2+f3++f50=() 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-50 B.0 C.3 D.50 题型四、解析式问题 典例精进4(24-25高一上贵州遵义第一中学.月考)已知fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时， fx=x+2x2,则当x<0时，fx)的解析式为一 题型归纳 求解函数解析式需要注意的问题 1.注意给出部分函数的自变量的范围 2.注意问题要求是整个函数的解析式还是部分函数的解析式 变式训练41(25-26高一上福建泉州剑影实验学校期中)已知函数fx为奇函数，且当x>0时， fx=X2-2x+3'则fx 的解析式是 变式训练4-225-26高一上四川射洪中学校期末)已知fx是定义在R上的奇函数，且当x>0时， fx=2*+1;当x<0时，fx的解析式为 变式训练4-324-25高一上四川宜宾第一中学校期中)已知fx是定义在R上的奇函数，且当x>0时， flxl=x2-2x. (1)求函数fx在R上的解析式： (2)若函数gx=fx+2x-2ax+1,x∈1,2，记函数gx的最小值ha,求ha的解析式： 3)若fx在-2，b上有最小值，求实数b的取值范围. 题型五、周期性对称性比较大小问题 典例精进5(25-26高一上贵州遵义播州区)已知函数fx定义域为I=-o,0U0,+∞，对Vx1,X2∈I, fxx=fx+fx,+2且ya,b∈-o0,0:当a≠b时，b-alfa-fb<0则下列结论成立的是 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Af房fi e.frfn c.n.nkrr o.fl-uf 题型归纳 利用奇偶性对称性比较大小 1.利用奇偶性对称性判断函数的解析式 2.奇函数在对称区间的单调性相同，偶函数单调性相反. 变式训练5-125-26高一上湖北重点高中智学联盟.月考)已知函数fx是定义在R上的奇函数，对任意两个 不相等的正数×，x都有-fx>0记a=100f0.1,b=f1,c=-lg:3f1o;2则 X1-X2 () A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<a<c 变式训练5-225-26高一下·云南昆明第八中学)已知偶函数fx,对于VX∈R,都有f2-x+fx=2成立， 且任取K,飞，∈-1,0都有f>0X≠水则下列说法正确的是〈） X2-X1 A.f2<f-5.5<f4.3 B.f-5.5<f2<f4.3 c.f4.3<f2<f-5.5 D.f4.3<f-5.5<f2 变式训练5-3(25-26高一上·广东广州第二中学教育集团期中)已知函数fx的定义域为R,且它的图象关于 X=.2对称，当x<X,<-2时.fx-f0恒成立，设a=f36=f0c=f12r则a6。,c的大 X1-X2 小关系为() A.c<a<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<b<a 5/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型六、周期性对称性解不等式 典例精进6(25-26高一下，云南昭通第一中学等校)已知f(x)为R上的奇函数，f(1)=1,若对Vx1, X2∈(0，+o,当x1>x时，都有x1-x f(xi)f(x2) <0,则不等式(x+1)f(x+1)>1的解集为 X2 X1 () A.(-3,1) B.(-2,-1)U(-1,0) c.（-∞，-1)U(-1,1 D.(-0,-3)U(1,+0 题型归纳 利用奇偶性对称性解不等式 1.利用奇偶性对称性判断函数的解析式 2.奇函数的对称区间单调性相同，偶函数的单调性相反，需要利用x)(-xf() 变式训练6-1(25-26高一上江西金溪县第二中学期末)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且 VX1≠X2 fX,-f>2则关于x的不等式x+父)+f-4x-4)<2x2-6x-8的解集为（） X1-x2 A.-1,4 B.-4,1 C.-o,-4U1,+∞ D.-∞，-1U4,+0 变式训练6-2(25-26高一上山西怀仁大地学校高中部等校期末)已知fx是定义在R上的偶函数，当 X1<水2≤0时， fX-F1恒成立，且f4=3则关于x的不等式fx+1>K+1小1的解集为一， x-x2 变式训练6-35：26商一贵州天柱民族中学已知函数fx=e-e‘+lnX+1+x+1则关于x的不等 式fx2-2x+f3x>2的解集为（） 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0,+o B.-1,0 c.-0o,-1 D.-o,-1U0,+o ◆◆ 同压轴桃战一成克高障压轴，安破思维上保 1.(25-26高一天津期末)设奇函数fx的定义域为R,对任意的x1,X2∈-∞，0，且X1≠x2,都有不等式 fx-xf<0且f-3=-3则不等式x-2>9的解失是（） X1-X2 X-2 A.-1,5 B.-00,-1U5,+0o c.-o,-1U2,5 D.-1,2U5,+o 2.(25-26高一山东淄博实验中学)已知fx是定义在R上的奇函数，若对任意0<x1<x2,均有 xfx-xf0且f3=3则不等式fX-X<0的解集为(） X1-X2 A.-3,0U3,+o B.-3,3 c.-0o,-3U3,+o D.-0∞，-3U0,3 3.2526商-上福建南平期中已知函数fX=X+2x+1+4在-10,10止的最大值为nm最小值为n x2+3 则(m+n-2o5=（） A.22025 B.-22025 c.1 D.-1 4.(25-26高一上广东东莞第十三高级中学.月考)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈0,1 2019 时，f(x)=3-1,则f 2 =() A.3+1 B.V3-1 c.-V3-1 D.-V3+1 5.(25-26高一下湖南娄底部分学校期末)（多选）若f(x)是定义在R上的函数，当x>0时，f(x)<0, 7/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且对任意x,y∈R,[fxP-[fyP=f(x+yfx-y恒成立，则下列说法正确的是（） A.f(0)=0 B.f(x)是奇函数 c.f(2x-1)的图象关于 1,0对称 D.若m>n,则fm)>f(n)恒成立 6.(25-26高一下贵州遵义南白中学.期中)（多选)已知函数y=fx+2是定义在R上的偶函数，且 fx+1+f1-x=0当xelo0,1时，fx=x-1则(） A.fx的最小正周期为4 B.fx的图象关于点2026,0对称 c.fx-1为奇函数 D.fx子的解类为号+4k,号+4kkeZ 7.(25-26高一下广东揭阳期末)（多选)已知函数fx的定义域为R,且满足f3x+1为奇函数， fx+2为偶离数，且上f=2则下列谈法正确的是() i=1 A.fx为偶函数 B.2是fx的一个周期 c.fx图象关于3,0对称 D.f2026=2 8.(25-26高一上安徽阜阳第一中学期末)（多选）已知函数fx的定义域为R.若函数f2x-3的图像关 于点(2,1)对称，f3+x+f3-x=10,令gx=fx-2x,则() A.f3=5 B.f(x+4=fx) C.fx的图像关于点(1,1)对称 D.g x=g x+4 9.(25-26高一上·陕西渭南渭南高级中学.期末)已知定义在R上的奇函数fx关于X=1对称，当x∈-1,0 时，fx=e-1,则f2026= 10.(25-26高一上·安微合肥蜀山区区域联盟校期末)定义在R上的函数fx,gx满足f(x)+g(2-x)=5, gx-fx-4=3,且函数gx+2为偶函数，则对任意正整数n,f1+f2+f3+…+f4n+1= 11.(25-26高一上江苏苏州期末)已知函数fx,gx的定义域均为R,fx+gx+2=3,fx-4-gx=1, 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若f0=3,则f2026+g2026= 12.(25-26高一上·新疆乌鲁木齐新疆生产建设兵团第二中学.期末)己知函数fx的定义域为R,fx-1为 奇函数，fx+2为偶函数，则f1+f2+…+f16=一· 9/9