专题12 函数中的恒成立与有解问题四类综合题型（压轴题专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以四大核心方法（参变分离、分类讨论、主元法、双变量关系）构建函数恒成立与有解问题的系统性解法体系，通过题型模版提炼特征与方法，实现知识逻辑与解题能力的迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|—|明确参变分离等四大核心解法，强调恒成立与有解逻辑区别及定义域底线原则|构建“问题识别-方法选择-转化求解”的思维链条| |题型归纳|4类题型（含典例+变式）|参变分离：参数变量拆分与最值转化；分类讨论：按参数临界值划分区间；主元法：转换变量主次简化讨论；双变量：量词组合转化为函数最值关系|从单变量到双变量，从基础到复杂，形成递进式问题解决路径| |压轴挑战|18题（填空+解答）|综合应用四大方法解决含奇偶性、单调性等综合问题|整合函数性质与恒成立有解逻辑，提升复杂问题的数学思维与推理能力|

专题12 函数中的恒成立与有解问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、参变分离解决单变量恒成立或有解问题 题型二、分类讨论解决恒成立或有解问题 题型三、主元法解决恒成立或有解问题 题型四、双变量的恒成立或有解问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 函数含参恒成立与有解问题是高中函数板块核心重难点 所有题型均围绕参变分离、分类讨论、变换主元、双变量关系四大核心展开 解题贯穿两条底线原则：一是分清恒成立与有解的逻辑区别，二是最值求解必须关注函数定义域 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、参变分离解决单变量恒成立或有解问题 典例1 若对于，恒成立，求实数的取值范围. 题型模版 1.特征：式子可以把参数完整剥离到不等式一侧 另一侧只保留不含参的函数表达式 分为恒成立求参数范围有解求参数范围两类 2.方法：将参数与变量拆分到不等号两边 恒成立：恒成立 恒成立 有解：有解 有解 求解对应函数的最值即可得到参数范围 变式1-1（25-26高一下·江西上饶·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 变式1-2（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知函数，，其中且，的图象过定点为，且在的图象上． (1)求的表达式． (2)关于x的不等式恒成立，求m的取值范围． 变式1-3（25-26高一上·四川攀枝花·期末）已知函数（其中e为自然对数的底数）. (1)解不等式； (2)函数为偶函数. （i）求实数a的值； （ii）若时，恒成立，求实数k的取值范围. 类型二、分类讨论解决恒成立或有解问题 典例2 （25-26高一下·广东深圳·期中）设，． (1)证明：； (2)令． ①解关于实数a的不等式：； ②若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 题型模版 1.特征：参数无法直接分离分离会出现不等号方向不确定 函数解析式含有参数会改变函数类型、单调性 2.方法：按参数临界值划分讨论区间 常见分类依据：最高次项系数为0导数零点大小比较 每一类下分别求解恒成立/有解条件 最后取各类结果的并集 变式2-1（25-26高一上·重庆江北·阶段检测）已知不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式2-2（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为_______． （2）若，不等式恒成立，则实数的最小值为_______． 变式2-3已知函数，当时，若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围． 题型三、主元法解决恒成立或有解问题 典例3 已知二次函数（，为实数）,若函数图象过点，对，恒成立，则实数的取值范围是__. 题型模版 1.特征：式子含有两个字母，常规以为主元处理复杂 把参数当作自变量，原变量当作参数，转换主次关系 形式多为一次型结构 2.方法：变换主元，把不等式看作关于参数的函数 若为一次函数，则只需区间两个端点同时满足条件即可 避开复杂的二次函数分类讨论 变式3-1（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，总有恒成立，求实数的取值范围． 变式3-2（25-26高一上·天津南开·期中）已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在使不等式成立，求的取值范围. 变式3-3（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数． (1)解关于的不等式； (2)当时，求的最小值； (3)对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 题型四、双变量的恒成立或有解问题 典例4 （25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若，，都有恒成立，求实数的取值范围. 题型模版 1.特征：题目同时出现两个变量，搭配任意、存在量词 组合分为任意存在的不同搭配 2.方法：分清量词组合，转化为两个函数最值之间的不等关系 1.： 2.： 3.： 4.： 分别求出两个函数对应最值建立不等式求解 变式4-1（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 变式4-2（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知函数，函数 (1)利用公式化简，并判断的奇偶性； (2)当时， ①求的值域； ②若，使得 恒成立，求实数的取值范围． 变式4-3（25-26高一上·浙江温州·期中）已知函数是定义在上的偶函数． (1)请写出满足的关系式； (2)若，请判断的单调性，并用定义法证明； (3)在第二问的条件下，，对任意的，存在，使得恒成立，求的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、填空题 1．（25-26高一下·湖北十堰·期中）已知函数，若不等式对任意均成立，则m的取值范围为______． 2．（25-26高一上·上海·期末）已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________ 3．已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为______ 4．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数满足对任意的实数a，b，都有，且当时，．若对所有的 恒成立，则实数的取值范围为______． 5．（25-26高一上·湖南岳阳·期末）函数是上的奇函数，则实数的值为_____，函数，若时，，则实数的取值范围为_____ 6．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为____________ 7．（25-26高一上·江西赣州·期末）已知函数，，设函数，若对任意都有成立，则实数的取值范围为________. 8．（25-26高三上·山东聊城·阶段检测）已知，，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________． 二、解答题 9．（25-26高一上·云南红河·期末）已知函数是定义域为的奇函数． (1)求的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)已知，若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 10．（25-26高一上·江西上饶·期末）已知，（其中）在上都是奇函数. (1)求的值 (2)（i）判断在的单调性并用定义证明； （ii）令，若不等式对任意恒成立，求实数的范围. 11．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数．函数图象与的图象关于直线对称． (1)求的表达式． (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围． (3)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 12．（25-26高一上·天津·阶段检测）设函数 (1)当时，求在上的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 13．（25-26高一上·福建福州·期中）已知函数是上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围. 14．（25-26高一上·浙江温州·期中）函数，， (1)求不等式的解集； (2)若的解集中有且只有一个整数，求的取值范围； (3)若，对于恒成立，求的取值范围. 15．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知是定义在区间上的奇函数，且，若，且时，有. (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)若，求的取值范围； (3)若对所有恒成立，求实数的取值范围. 16．（25-26高一上·江西南昌·期中）函数是R上的奇函数，a，b是常数． (1)求a，b的值； (2)若不等式对任意实数x恒成立，求实数k的范围； (3)若不等式对恒成立，求实数的范围. 17．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 18．（25-26高一下·江西赣州·开学考试）已知定义在R上的函数满足，且，． (1)求的值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 函数中的恒成立与有解问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、参变分离解决单变量恒成立或有解问题 题型二、分类讨论解决恒成立或有解问题 题型三、主元法解决恒成立或有解问题 题型四、双变量的恒成立或有解问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 函数含参恒成立与有解问题是高中函数板块核心重难点 所有题型均围绕参变分离、分类讨论、变换主元、双变量关系四大核心展开 解题贯穿两条底线原则：一是分清恒成立与有解的逻辑区别，二是最值求解必须关注函数定义域 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、参变分离解决单变量恒成立或有解问题 典例1 若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】含参恒成立问题，通过，，可直接分离参数，转化为在上恒成立问题，即，计算即可. 【详解】要使 在上恒成立， 即 ，， 因为当时，，则有在上恒成立， 当，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为. 题型模版 1.特征：式子可以把参数完整剥离到不等式一侧 另一侧只保留不含参的函数表达式 分为恒成立求参数范围有解求参数范围两类 2.方法：将参数与变量拆分到不等号两边 恒成立：恒成立 恒成立 有解：有解 有解 求解对应函数的最值即可得到参数范围 变式1-1（25-26高一下·江西上饶·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用偶函数的性质求出参数，再通过时并结合推导出分段解析式； （2）通过分离参数将恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式求出最小值，从而得到的取值范围. 【详解】（1）因为是偶函数，所以，解得， 当时，可得，可得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 即， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是. 变式1-2（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知函数，，其中且，的图象过定点为，且在的图象上． (1)求的表达式． (2)关于x的不等式恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的图象过的定点坐标，再将点的坐标代入解析式中求解的值，再写出的表达式. （2）先判断的单调性，利用的单调性去掉不等式中的，然后分参求出的范围. 【详解】（1），令，. ，又在的图象上，，. （2）定义域为，且和均为增函数，是上的增函数. 恒成立，即恒成立. 即恒成立，即. ，，. 当且仅当，即时，等号成立. ，即的取值范围是 变式1-3（25-26高一上·四川攀枝花·期末）已知函数（其中e为自然对数的底数）. (1)解不等式； (2)函数为偶函数. （i）求实数a的值； （ii）若时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）直接解关于的一元二次不等式，再解指数不等式可得； （2）（i）根据偶函数的定义可得所求值；（ii）先对不等式进行参数分离，再通过换元及函数的单调性求最大值，进而可得不等式恒成立的值. 【详解】（1）由题意知不等式化为：，即. 而，因此，解得. 故不等式的解集为 （2）（ⅰ）由题意为偶函数，其定义域为，， 由，得对任意的x成立，所以. 故实数a的值为1. （ⅱ）由，即， 因为，所以恒成立. 当时，令，则. 设. 由 . 因为，所以，. 所以，即，则有函数在上单调递增. 于是当时，，即， 则，，从而. 所以，即实数的取值范围是. 类型二、分类讨论解决恒成立或有解问题 典例2 （25-26高一下·广东深圳·期中）设，． (1)证明：； (2)令． ①解关于实数a的不等式：； ②若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；② 【分析】（1）根据函数解析式，分别计算的表达式，即可证明结论；（2）①先分析单调性及奇偶性定义，利用结论结合函数定义域解不等式； ②令，则在上恒成立，再结合二次函数最值分类讨论求解即可． 【详解】（1）由题意可知 ， 故，即； （2）①由题意得，定义域为 ，为奇函数. 当时，易知单调递增，则在单调递减， 为奇函数，在单调递减， ， 又有为奇函数， 在单调递减，由定义域知 当时，，不等式恒成立； 当时， ， ，解得； 当时， ，此时，与题意矛盾，舍去. 综上： ②当，单调递减，则， ，即 设，则在上恒成立， 当，即时，，解得，； 当，即时，，解得，； 综上，实数的取值范围为． 题型模版 1.特征：参数无法直接分离分离会出现不等号方向不确定 函数解析式含有参数会改变函数类型、单调性 2.方法：按参数临界值划分讨论区间 常见分类依据：最高次项系数为0导数零点大小比较 每一类下分别求解恒成立/有解条件 最后取各类结果的并集 变式2-1（25-26高一上·重庆江北·阶段检测）已知不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】换元后结合二次函数的性质分对称轴的位置讨论可得. 【详解】令， 则不等式变为在上恒成立， 设，对称轴， 当时，函数在上单调递增，最小值为或，所以； 当时，最小值在对称轴处取得，即，解得或，所以， 综上，a的取值范围为. 故选：C. 变式2-2（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为_______． （2）若，不等式恒成立，则实数的最小值为_______． 【答案】 / 【分析】（1）二次项含参数，需对是否为0进行讨论．（2）方法一：由题意函数在时的最小值大于或等于0，对对称轴位置进行分类讨论即可求解；方法二：分离参数即可求解. 【详解】（1）若，则不等式为，显然恒成立； 若对一切实数都成立， 则解得． 综上所述，当时，对一切实数都成立． （2）方法一：二次项系数大于0，在时恒成立 函数在时的最小值大于或等于0. ①若函数的图象的对称轴在给定范围左侧，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，结合得； ②若函数的图象的对称轴在给定范围右侧，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，不满足，此时无解； ③若函数的图象的对称轴在给定范围内，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，不满足，此时无解． 综合①②③，得实数的最小值为． 方法二：分离参数，知道的取值范围求的最小值，则是变量，是参数． 因为，所以，则，即． 令 ，则大于或等于的最大值即可． ，则．故实数的最小值为． 故答案为：（1），（2）. 变式2-3已知函数，当时，若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】将原不等式转化为对任意的恒成立，去绝对值分类讨论，所以分为，和讨论即可. 【详解】当时，由，可得． ． 当时，对任意恒成立， 所以，得． 当时，对任意恒成立， 而，所以，得． 当时，对任意恒成立， 则，得． 综上，． 题型三、主元法解决恒成立或有解问题 典例3 已知二次函数（，为实数）,若函数图象过点，对，恒成立，则实数的取值范围是__. 【答案】 【分析】由对恒成立，结合一次函数的性质列出不等式求解即得. 【详解】因函数的图象过点，则得， 由，得，即， 依题意，对恒成立， 令， 即对，恒成立，则需使， 解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为： 题型模版 1.特征：式子含有两个字母，常规以为主元处理复杂 把参数当作自变量，原变量当作参数，转换主次关系 形式多为一次型结构 2.方法：变换主元，把不等式看作关于参数的函数 若为一次函数，则只需区间两个端点同时满足条件即可 避开复杂的二次函数分类讨论 变式3-1（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，总有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 函数为R上的奇函数， 证明如下：函数的定义域为， 令，则，又， 所以，所以函数为奇函数． (2) 在上的单调递增， 证明如下：由（1）知，， 当时，，所以， 从而， ，则 ， 因为，所以，又当时，， 所以，所以，所以， 故在上的单调递增． (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义即可证明； （2）先说明，再根据函数单调性的定义即可证明； （3）由（1）（2）得，在上单调递增，问题转化为对恒成立，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（1）知，函数为R上的奇函数，所以， 由（2）知，当时，，且在上的单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，函数的最大值为，最小值为， 又任意，总有恒成立， 所以，即， 由题意，对恒成立， 令，则， 所以，解得或， 故实数的取值范围是． 变式3-2（25-26高一上·天津南开·期中）已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在使不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) 当时，不恒成立； 当时，若不等式对于任意实数恒成立， 则需且，无解，所以不存在实数，使不等式恒成立． (2)； (3). 【分析】（1）分和讨论，当时，结合二次函数开口和判别式即可得到答案； （2）变换主元，代入边界值得到不等式组，解出即可； （3）分离参数得，再利用换元法并结合函数单调性即可得到答案. 【详解】（1）略 （2）设，当时，恒成立． 当且仅当，即，解得或， 所以的取值范围是． （3）因为，所以． 设， 所以． 设，显然在上为增函数， 所以，所以， 所以的取值范围是． 变式3-3（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数． (1)解关于的不等式； (2)当时，求的最小值； (3)对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为 (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集； （2）分、、三种情况讨论，结合函数的单调性，分别求出函数的最小值； （3）依题意可得对于恒成立，则，解得即可. 【详解】（1）不等式化简得：， ①当时，解得，即不等式的解集为， ②当时，解得或，即不等式的解集为， ③当时，解得或，即不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． （2）函数的对称轴为， ①当，即时，在上为增函数， 所以； ②当，即时，在上为减函数， 所以； ③当，即时，． 综上所述，的最小值为. （3）依题意可得对于恒成立， 所以且， 即，解得或， 即的取值范围为． 题型四、双变量的恒成立或有解问题 典例4 （25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 函数在上单调递增.证明如下： ， ， 由，得，， 则，即， 所以函数在上单调递增. (3). 【分析】（1）利用奇函数的性质求解并验证即得. （2）判断单调性，再利用增函数的定义直接证明. （3）由（2）求出的最大值1，根据给定条件，将问题转化为在上的最小值不小于1，再按分类求解. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得，解得， 此时，，是奇函数， 所以. （2）略 （3）由（2）得， 由，，都有恒成立，得在上的最小值不小于1， 即当时，恒成立， 当时，函数在上单调递增，， 则，而，因此； 当时，恒成立，因此； 当时，函数在上单调递减，， 则，而，因此， 所以实数k的取值范围是. 题型模版 1.特征：题目同时出现两个变量，搭配任意、存在量词 组合分为任意存在的不同搭配 2.方法：分清量词组合，转化为两个函数最值之间的不等关系 1.： 2.： 3.： 4.： 分别求出两个函数对应最值建立不等式求解 变式4-1（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复合函数的单调性判断函数的单调性，由得出，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知在上的最小值不小于在上的最小值，求出函数在上的最小值，对实数的取值进行分类讨论，求出函数在上的最小值，结合题意可得出关于实数的不等式，综合求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，令，， 对任意的，则， 内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 所以在上单调递增， 所以不等式得到， 所以，解得，所以实数的取值范围是． （2）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，所以当时，， 又的对称轴为直线，， 当时，在上单调递增，，解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是． 变式4-2（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知函数，函数 (1)利用公式化简，并判断的奇偶性； (2)当时， ①求的值域； ②若，使得 恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，函数为偶函数 (2)①② 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断即可； （2）①利用基本不等式可得，再根据对数函数的单调性即可求得的值域；②将“，使得 恒成立”转化为“，恒成立”，分离参数，得.构造新函数令，利用函数单调性求得的取值范围，即可得到实数的取值范围． 【详解】（1）函数，定义域为. ，. 所以函数为偶函数. （2）当时，，. ①令，则. 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以. 所以的值域为. ②由①可知，的最小值为，即的最小值为. 若，使得 恒成立， 则，，即. 所以. 令，因为是减函数，是减函数， 所以是减函数. 若，则. 所以实数的取值范围是． 变式4-3（25-26高一上·浙江温州·期中）已知函数是定义在上的偶函数． (1)请写出满足的关系式； (2)若，请判断的单调性，并用定义法证明； (3)在第二问的条件下，，对任意的，存在，使得恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 若，由（1）知，此时. 因为是偶函数，不妨仅考虑在上的单调性，上的单调性与之相反． 任取，不妨令， 因为，所以， 因为，所以，所以，可得， 因此， 所以在上单调递减，在上单调递增． (3) 【分析】（1）由是定义在上的偶函数得到，整理得到，由不恒为零，得到； （2）时，，因为是定义在上的偶函数，可以只考虑在上的单调性，上的单调性与之相反，时，，所以在上单调递减，因此在上单调递增； （3）双变量问题，由题可知，由的单调性和奇偶性得到，分和两种情况讨论，在两种情况中分别令，，得到的取值范围. 【详解】（1）因为是偶函数，所以，所以， ，， 因为对上的均满足，而不恒为零， 所以. （2）略 （3）由题意可知，， ， 由（2）知在上单调递增，在上单调递减，且， 所以对任意的. ①当时，， 此时只需满足， 若； 若； 所以. ②当时，， 此时只需满足， 若； 若； 此时无解. 综上所述：. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、填空题 1．（25-26高一下·湖北十堰·期中）已知函数，若不等式对任意均成立，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性的性质，结合对数型函数的单调性、换元法进行求解即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为， 所以函数是奇函数， 由复合函数的单调性可知在上单调递增，而在上也单调递增，且函数是奇函数，， 所以函数在R上单调递增，所以， 即， 所以，即， 所以，令，则， 求解在上的最小值， 因为该二次函数对称轴为， 所以在上单调递增，所以，故， 即m的取值范围为． 故答案为：． 2．（25-26高一上·上海·期末）已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】对已知不等式进行变形，通过构造新函数，利用函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，所以由 ， 设， 因为函数在时单调递增，且， 所以函数在时单调递减， 函数在时单调递增，且， 所以函数在时单调递减， 因此函数时单调递减， 所以， 所以在上恒成立，只需， 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 3．已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为______ 【答案】/ 【分析】利用分参法及函数的单调性求解 【详解】因为为偶函数，为奇函数，且①， 所以，②， ①②两式联立可得，. 由可得， 可得， 令，其中， 任取、且，则， 所以， ， 当时，，，则,故， 当时，，，则，故， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 又因为，，则， 令，则，则， 因为函数、在上均为增函数，则， 故，即，故的最大值为. 故答案为： 4．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数满足对任意的实数a，b，都有，且当时，．若对所有的 恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】首先确定函数性质，在上单调递增，再求函数在区间上的最大值为，将最大值代入不等式，将本题化为对所有的恒成立, 令，由对恒成立,即 ，可得结果. 【详解】设且，则，即， 因为，当时，，所以，即， 所以，故在上单调递增，则在上的最大值为． 因为对所有的恒成立， 所以对所有的恒成立， 即对所有的恒成立． 令，由对恒成立， 得，即，解得或或． 所以实数的取值范围为 ． 故答案为： ． 5．（25-26高一上·湖南岳阳·期末）函数是上的奇函数，则实数的值为_____，函数，若时，，则实数的取值范围为_____ 【答案】 1 【分析】根据奇函数的性质列方程，解方程求得的值，并检验；根据函数的奇偶性及单调性，的单调性，求出，并据此解出不等式即可. 【详解】因为是，所以在上恒成立，可得； 由奇函数性质，所以， 即，解得，此时， 此时，为奇函数，符合题意； 易知， 当时函数单调递增且恒成立，函数在时单调递减， 所以函数在上单调递减， 又为奇函数，则在上单调递减，所以在上是减函数， ， 又， 所以在上是增函数，在上是减函数， 因为，， 所以，即题干中不等式为，解得． 故答案为：；． 6．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为____________ 【答案】 【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再根据得到的函数性质化简不等式，，最后结合基本不等式计算求解即可. 【详解】，. . 为奇函数. 当时，函数单调递增，又函数为增函数， 所以函数在上单调递增， 函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又函数为奇函数， 为增函数. ， ，对恒成立. ，当且仅当时等号成立， . 故答案为： 7．（25-26高一上·江西赣州·期末）已知函数，，设函数，若对任意都有成立，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】分别求出在上的最大值和在上的最小值，然后根据条件建立关于的不等式求解. 【详解】由对任意都有成立，可知在上恒成立. 当时，，当且仅当，即时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立，即. . 当时，，所以， 这是开口向上的二次函数，对称轴为. 因为，所以，在区间的左侧，所以在上单调递增， 所以. 此时，即，解得或，因此； 当时，. 当时，，这是开口向下的二次函数，对称轴为， 当时，，所以函数在区间上单调递减， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，，这是开口向上的二次函数，对称轴为， 所以在上单调递增， 所以函数的最小值必在或处取得. 当时，， 所以. 此时，即，解得或， 因此. 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 8．（25-26高三上·山东聊城·阶段检测）已知，，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】等价变形给定不等式，利用指数函数单调性，结合恒成立求出的范围，利用对数函数单调性求出的范围，再分离参数，利用恒成立条件求出范围. 【详解】不等式 ， 依题意，，不等式恒成立， 而函数在上单调递减，则，于是 ，令， 依题意，，不等式恒成立，又函数在上单调递增， ，函数在上单调递减，，因此， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 二、解答题 9．（25-26高一上·云南红河·期末）已知函数是定义域为的奇函数． (1)求的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)已知，若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在区间上的单调递减，证明如下： 由题知，设，则 ， 因为，所以， 又， 所以，故， 所以函数在区间上单调递减． (3) 【分析】（1）由于奇函数可得，求出的值，再验证此时是奇函数即可； （2）利用定义法证明函数在上单调递减即可； （3）由题意可得对恒成立，分离变量得，构造函数，利用单调性求得最大值可求解. 【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数， 所以，解得； 当时，，又， 函数是奇函数，符合题意，所以的值为0； （2）函数在区间上的单调递减，证明略； （3）因为且，所以， 又因为函数在区间上单调递减，恒成立， 所以恒成立，化简得恒成立， 令， 由对勾函数的单调性，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又因为， 所以，所以在的最大值为， 故． 10．（25-26高一上·江西上饶·期末）已知，（其中）在上都是奇函数. (1)求的值 (2)（i）判断在的单调性并用定义证明； （ii）令，若不等式对任意恒成立，求实数的范围. 【答案】(1)； (2) （i）在的单调递增，证明如下： 任取，且， 所以得， 所以，所以， 所以， 即，所以在的单调递增； （ii）. 【分析】（1）根据奇函数定义得得到方程，解出值； （2）（i）取值、作差得，再将真数与1比较大小即可； （ii）令，再判断其奇偶性和单调性，从而将不等式等价转化为，最后利用分离参数法和整体换元法即可得到答案. 【详解】（1）因为为奇函数， 所以， 所以，又因为，所以. （2）（i）略 （ii）令，得， 因为在R上都是奇函数， 所以，即为奇函数， 当时，与都为增函数，故是增函数， 由（i）知也是增函数， 所以在上单调递增， 又因为为奇函数，故在R上单调递增， 因为， ， ， ， ， ， 令，得， 所以，即对任意恒成立， 所以即可， 要求的最小值，故， 此时，当且仅当即时取等号， 所以， 所以． 11．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数．函数图象与的图象关于直线对称． (1)求的表达式． (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围． (3)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据反函数可得的表达式； （2）由（1）可知，令，则在上单调递增且对恒成立，从而得到且，求出的取值范围； （3）根据定义域，解得，由函数单调性得到在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，换元，由函数单调性求出的最大值，得到实数的取值范围． 【详解】（1）的图象与的图象关于直线对称 与互为反函数 由得， （2）由（1）可知， 在上单调递增， 令，其中在上单调递增， 由同增异减可得，在上单调递增且对恒成立， 且， ， 故的取值范围为； （3）在上恒成立， 由对数函数单调性可得且， ，只需，而单调递增，故只需，得， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， ， 在上恒成立， 当时不等式成立， 在上恒成立，， 令， 而在上单调递增， ， 综上所述，实数的取值范围为． 12．（25-26高一上·天津·阶段检测）设函数 (1)当时，求在上的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或； (3). 【分析】（1）代入得到二次函数解析式，由对称轴求出单调区间，从而求出值域； （2）对分类讨论，结合一次不等式或二次不等式的解法要求，得出对应解集； （3）由不等式化简后整理得到，求出的最小值即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 的图象的对称轴为，故在上单调递减， 当时，；当时，， 故在上的值域为； （2）当时，，由得：； 当时，， 当时，，由得：； 当时，即，由得：或； 当时，即，，由得：解得； 当时，即，由得：或； 综上：当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或； （3）由得， 即，由于 得： 即，因，故， 故 ， 令，现求在上的最小值，即， 设，则，代入得： 由基本不等式， 当且仅当，即时取等号）. 此时对应，不等式可取等号， 故， 故，即的取值范围为. 13．（25-26高一上·福建福州·期中）已知函数是上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 函数在区间上单调递增，证明如下： ，且， ， 因为， 所以，，，，， 所以， 所以， 所以函数在区间上单调递增. (3)或或. 【分析】（1）由列出方程组，解出答案； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）将原命题等价为对所有的恒成立，即对所有的恒成立，令，再讨论函数即可. 【详解】（1）因为函数是上的奇函数，且， 所以， 所以. （2）略 （3）由（2）知函数在区间上单调递增. 所以， 因为对所有的恒成立， 所以对所有的恒成立， 所以对所有的恒成立， 令， ①当时，，满足题意； ②当时，此时为的一次函数，若对所有的恒成立，则 或， 所以或或. 14．（25-26高一上·浙江温州·期中）函数，， (1)求不等式的解集； (2)若的解集中有且只有一个整数，求的取值范围； (3)若，对于恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) 当时，无解； 当时，； 当时，. (2) (3) 【分析】（1）根据二次不等式的解法，对原式进行因式分解，对参数进行分类讨论，求出结果即可； （2）根据不等式，构造函数，判断函数解集中满足条件的整数解，进而列出不等式组，求出参数范围； （3）根据二次函数图像的性质，对参数进行分类讨论，根据恒成立条件，列出不等式组，求出参数范围. 【详解】（1）由题意得，解得或， 当时，，此时无解； 当时，； 当时，. （2）由题意得，令， 可知，当时，，解得无整数根（舍）； 当时，，说明唯一的整数根为0， 则，即，解得， 得的取值范围为. （3）由已知得， 令，其中恒成立， 令，解得或， 可知， 当时， 当时，在上单调递增，最大值为成立； 当时，此时在递减，递增； 可得，即，解得； 当，即时，在递增，递减，递增， 可得，即，解得； 当时，即时，在递减，递增，递减，递增； 可得，即，此时无解； 综上所述：的取值范围为. 15．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知是定义在区间上的奇函数，且，若，且时，有. (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)若，求的取值范围； (3)若对所有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，证明如下： 设， 因为是定义在区间上的奇函数， 所以， 因为时，有，所以， 因为，所以，即， 所以函数在上单调递减. (2)； (3) . 【分析】（1）根据奇函数的性质，可得，设，根据题意可得，根据单调性的定义，即可得证. （2）设，根据（1）可得为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增，根据条件，可得，计算即可得答案. （3）由题意可得，将条件变为，即对所有的恒成立，设，根据一次函数的性质，分析计算，即可得答案. 【详解】（1）略 （2）设，因为是定义在区间上的奇函数， 所以， 所以是定义在区间上的偶函数， 且函数在上单调递减，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由，得， 所以，即，解得或， 则的取值范围. （3）因为在上单调递减，且， 所以， 因为对所有恒成立， 所以， 则，即对所有的恒成立， 设，， 要使，只需，即， 解得或，则实数的取值范围. 16．（25-26高一上·江西南昌·期中）函数是R上的奇函数，a，b是常数． (1)求a，b的值； (2)若不等式对任意实数x恒成立，求实数k的范围； (3)若不等式对恒成立，求实数的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数是R上的奇函数，由求解a，b，然后再进行检验； （2）由（1）知，先利用单调性的定义证明是R上的增函数，再结合奇偶性，将不等式对任意实数x恒成立，转化为不等式对任意实数x恒成立求解； （3）由得不等式等价于，利用单调性及指数运算得，令，则在上恒成立，参变分离，利用二次函数性质求解范围即可. 【详解】（1）因为函数是R上的奇函数， 所以 ，解得， 当时，，因为， 所以为奇函数，故； （2）由（1）知，设，且， 则，因为，所以， 又，所以，即， 所以是R上的增函数， 因为不等式对任意实数x恒成立， 所以不等式对任意实数x恒成立， 所以不等式对任意实数x恒成立， 所以不等式对任意实数x恒成立， 令，因为，所以， 当且仅当即，时等号成立，即的最小值为， 所以.即实数k的范围是； （3）由（2）知是R上的增函数，且为奇函数，，，有， 故，则不等式等价于， 等价于，等价于， 等价于， 令，因为，所以， 则在上恒成立. 对于在上恒成立，则有， 因为开口向下且对称轴为，所以在上单调递减， 所以，所以； 对于在上恒成立，则有， 因为开口向上且对称轴为，所以在上单调递增， 所以，所以； 综上，，即实数的范围为. 17．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在实数 (2) (3) 【分析】（1）根据条件，分和两种情况，利用一元一次不等式和一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据条件得到，令，得到，再求出的最小值，即可求解； （3）设，将问题转化成时，恒成立，从而得到，即可求解. 【详解】（1）原不等式等价于． 当时，，解得，不满足题意， 当时，则，得到， 所以，不存在实数，使不等式对恒成立． （2）因为，所以，，则， 令，则，得到， 设，，显然在单调递增， 当时，，当时，，所以，则， 所以，即的取值范围是． （3）设，当时，恒成立． 即成立，即， 由，得到， 由，得到或， 所以，所以实数的取值范围是． 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（3）问，构造一次函数，将问题转化成在区间上恒成立，从而得到，即可求解. 18．（25-26高一下·江西赣州·开学考试）已知定义在R上的函数满足，且，． (1)求的值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据结合对数运算可得，即可得； （2）进而可得函数，根据函数的单调性可得，分离参数求最值即可； （3）分析可知在上的最小值不小于在上的最小值，由题意可得，进而可得，参变分离可得，求函数的最值即可得结果. 【详解】（1）由题意可得：， 整理可得， 根据的任意性可得，所以. （2）由（1）可得，则， 因为函数，在定义域上单调递增，且， 则单调递增，且在定义域上单调递增， 可知函数在上单调递增， 则不等式恒成立等价于，即恒成立， 设，则，可得， 当且仅当，即时取等号， 可得，所以实数的取值范围是. （3）因为对任意的，存在，使得， 可知在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，则在内的最小值为， 可得，即存在，使成立， 令，， 因为，在上单调递增，可知在上单调递增， 则在上的最小值为， 可得，所以实数的取值范围是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $