函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题讲义-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习讲义 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题讲义 考点目录 恒成立求参数问题 能成立求参数问题 考点一 恒成立求参数问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心转化原理 设函数 在定义域 上可导，其最大值为 ，最小值为 ： · ， 恒成立 · ， 恒成立 · ， 恒成立 1. 四大核心解法 （1）分离参数法（首选方法） · 适用场景：参数与变量容易分离，且分离后不含参数的函数易于求最值。 · 核心思路：将参数 与变量 分离到不等式两侧，转化为“ 恒成立”或“ 恒成立”，再求 的最值。 · 对 恒成立 · 对 恒成立 · 关键步骤： ① 移项分离参数，注意分离时两边同乘除的式子的正负，确保不等号方向正确； ② 构造新函数 （不含参数），求导分析单调性； ③ 求 在定义域内的最值； ④ 根据恒成立的最值关系，写出参数范围。 · 补充：洛必达法则：分离后若端点处为 或 型，可通过洛必达法则求端点极限，确定最值边界；仅适用于选择填空或大题的必要性探路，大题建议用分类讨论替代。 （2）分类讨论法（通用通法） · 适用场景：参数无法分离，或分离后函数过于复杂、最值难求。 · 核心思路：保留参数在函数内，带参数求导，根据导数的零点与定义域的位置关系分类讨论，逐一判断函数单调性，求出对应最值，筛选出满足恒成立的参数范围。 · 分类依据： ① 导数是否有零点； ② 导数零点是否落在定义域内； ③ 多个零点时的大小顺序与位置关系。 · 关键步骤： ① 构造函数 （含参数），求导并化简导数； ② 找导数的零点，按零点与定义域的关系分类； ③ 每一类下分析 的单调性，求最值； ④ 令最值满足恒成立条件，解出参数范围，取并集。 （3）端点效应（必要性探路法） · 适用场景：闭区间上的恒成立问题，且区间端点处函数值恰好等于临界值（如 ）。 · 核心逻辑：恒成立的必要条件是区间端点处满足不等式，先代入端点得到参数的必要范围，再证明该范围内不等式恒成立（充分性），可大幅缩小讨论范围。 · 关键步骤： ① 代入区间端点 ，由 解出参数的初步范围（必要性）； ② 在该参数范围内，通过导数证明函数单调，或最小值非负（充分性）； ③ 确认充分性成立后，该范围即为最终答案。 （4）数形结合法 · 适用场景：不等式两侧对应两个熟悉的函数（如直线与曲线），几何意义明确。 · 核心思路：将 恒成立转化为“ 的图像恒在 图像上方”，通过导数分析曲线的切线、凹凸性，找到“相切”这一临界状态，求解参数边界。 二、通用解题思路 1. 整理不等式，构造目标函数，明确定义域； 1. 根据式子特征选择最优解法：易分离则分离参数，难分离则分类讨论，闭区间端点临界优先端点效应； 1. 求导分析函数单调性，确定极值与最值； 1. 根据恒成立的最值等价条件，列不等式求解参数范围； 1. 验证端点、边界点的取舍，确定最终区间。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知函数，. (1)求的最值； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，无最大值和最小值； 当时，最小值为，无最大值. (2) 【分析】（1）求导数，分和讨论，根据导数的正负确定函数单调性，求出最值. （2）先证明：当时，，构造函数，根据的单调性结合确定的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 当时，恒成立，在上单调递减，无最大值和最小值； 当时，令，解得， ，则，，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又， 此时最小值为，无最大值. （2）先证明：当时，， 令，则：， 当时，，又， 所以，又， 所以， 要使在上恒成立： 当时，在上恒成立， 在上单调递增，结合，可得： ，满足条件； 当时，，取， 此时， 在上单调递减，故：，与题设矛盾. 当时，在上单调递减，故：，与题设矛盾. 综上，的取值范围为. 例2．（26-27高三上·广东佛山·开学考试）已知函数，. (1)求的最值； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)有最小值，无最大值 (2) 【分析】（1）利用导数求出单调性，即可得出有最小值, 无最大值； （2）首先分为和，当时，先进行分离参数，设新函数为，求导可得出的单调性，即可得出有最小值为，即可得出的取值范围. 【详解】（1）由题， 则时，时， 所以在上单调递减，在单调递增， 又时， 所以函数有最小值，无最大值； （2）当时恒成立，即恒成立， 显然时上述不等式恒成立， 当时，， ， 所以时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有最小值为， 所以，即实数的取值范围为. 例3．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知函数． (1)求的极值； (2)若，证明：． (3)已知对任意的，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)的极小值为，极大值为 (2)证明：由（1）可知在区间上单调递增， 所以当时，， 故， 即， 故，即． (3) 【分析】（1）求导分析单调性，依据驻点两侧增减性求出函数极值； （2） 根据函数的单调性构造不等式，结合立方差公式代数变形完成证明； （3）化简恒成立不等式，换元分离参数，构造函数求最值，解出参数范围． 【详解】（1）， 令，得或； 令，得或；令，得； 故在区间，上单调递减，在区间上单调递增， 所以的极小值为，极大值为． （2）略 （3）由题意知，对任意的，， 即， 当时，，不等式显然成立， 当时，等价于， 令，则， 于是，即， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以， 当，即时，不等式成立， 综上，实数k的取值范围是． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·陕西榆林·期中）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若，，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在和上单调递增． (2) 【分析】（1）对函数求导并因式分解，结合的条件，讨论与的大小关系，根据导函数的正负确定函数的单调区间. （2）化简不等式，构造辅助函数判断的符号，将问题转化为恒成立，通过导数求解的最大值，即可得到的取值范围. 【详解】（1）求导得， 令，解得或， 当时，，则由，得或，由，得， 则在上单调递减，在和上单调递增； 当时，，，则在区间上单调递增； 当时，，则由，得或，由，得， 则在区间上单调递减，在和上单调递增． （2）由，可得， 即， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，则， 故，令， 则，令，解得， 则当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 故的取值范围为． 变式2．（26-27高三上·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在单调递减；当时，函数在单调递减；在单调递增. (2) 【分析】(1)先化简求导分解，分母恒正，符号由分子二次型决定，对参数分类讨论. (2)先把代入不等式，剥离参数得到，由于，构造函数，换元将不等式进一步简化，再分离参数，利用导数求出结果. 【详解】（1），. . ①当时，当，，所以函数在单调递减； ②当时，令，则,，. 当，，所以函数在单调递减； 当，，所以函数在单调递增. 所以当时，函数在单调递减；当时，函数在单调递减；在单调递增. （2）当时，恒成立,即. ,变形得：. 令，.. 函数在单调递减，在单调递增. . 即，,令，，. 函数在单调递增，, . 实数的取值范围为：. 变式3．（26-27高三上·山西长治·开学考试）设函数，． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，； (3)当，，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减. 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2)令，则，当时，， 所以在上单调递增.故，即. 因为，所以，即，所以得证. (3) 【分析】（1）对求导，导函数的分子为含参的二次函数，对参数进行讨论确定导函数的正负，进而得到的单调性. （2）要证明，即证明，要证，构造，对求导，判断导函数的正负确定单调性. （3）根据（1）问中的单调性讨论当时，，不符合题意，，不符合题意，当，构造讨论单调性，求出在上的最小值，确定的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，在上单调递减， 当时，，解得， 所以，，单调递减，，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减. 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）略 （3）由（2）知，当时，. 若，当时 ，，不符合题意. 若，则，由（1）知，，单调递减， 所以，不符合题意. 若，令，. ，因为，所以. 又因为时，，即. 所以. 当时，， 故，所以在上单调递增. 又.所以当时，， 即恒成立，综上所述，的取值范围. 考点二 能成立求参数问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心转化原理 设函数 在定义域 上可导，其最大值为 ，最小值为 ： · ，使得 成立 · ，使得 成立 · ，使得 成立 1. 三大核心解法 （1）分离参数法（首选） · 核心思路：将参数与变量分离，转化为存在性问题的最值对应： · ， 成立 · ， 成立 · 注意：与恒成立的最值对应恰好相反，切勿混淆。 （2）直接求最值法 · 适用场景：参数不便分离，或带参数的函数单调性易判断。 · 核心思路：带参数求导，分析函数单调性，求出函数的对应最值（存在大于等于求最大值，存在小于等于求最小值），列不等式求解参数范围。 （3）否定转化法（正难则反） · 适用场景：正面求解能成立情况复杂，而其反面“恒不成立”（即恒成立）易求解。 · 核心逻辑：“能成立”的否定是“恒不成立”，先求出反面恒成立的参数范围，再取其补集。 例：“， 成立”的反面是“， 恒成立”，先求恒成立的范围，取补集即为能成立的范围。 二、通用解题思路 1. 根据“存在”“有解”“至少一个”等关键词，确定为能成立题型； 1. 整理不等式，优先分离参数，复杂情况用直接求最值法，正面困难则用否定转化法； 1. 求导分析函数单调性，确定对应方向的最值； 1. 根据能成立的最值等价关系，列不等式求解参数范围； 1. 验证边界点，确定区间开闭。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当 时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在 上单调递增； 当 时， 在和上单调递增，在上单调递减. (3) 【分析】（1）把代入函数解析式，对其求导，结合导数几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）先对函数求导，结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论即可求解； （3）结合导数与单调性关系及有解条件即可求解. 【详解】（1）当 时，， ， ，， 因此切线过点 且斜率为0，即切线方程为 . （2），， 令，则或， 当，即时，，因此 在 上单调递增； 当，即 时，由，得，由，得， 所以 在和上单调递增，在上单调递减； 当，即 时，由，得，由，得， 所以 在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当 时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在 上单调递增； 当 时， 在和上单调递增，在上单调递减. （3） ，即，即， 所以 在上有解， 令 ，则 ， 令 ，则， 所以 在 单调递增且 ， 时，，，单调递减； 时，，，单调递增； 可得 的最小值为 ，因此只要 ，就存在 使得在上有解； 故的取值范围为. 例2．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数(且). (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若有解，求的取值范围. 【答案】(1)的极小值为，无极大值 (2)，切点坐标为 (3) 【分析】（1）求导判断单调性，再计算极值即可； （2）根据切线性质列出方程组，化简消去a，再构造新函数求解即可； （3）通过分析对不等式进行转化；或者直接构造含参函数，分类讨论函数单调性. 【详解】（1）当时，，的定义域为， ，令，得. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 所以在处取极小值为，无极大值. （2）， 设切点为，切线的斜率为1， 所以①， 因为切点同时在曲线和切线上，所以②， 由①②得，， 设，， 由，当时，，单调递增， 时，，单调递减， 又，所以是的唯一零点， 所以，代入①得，切点坐标为. （3）法1：令，，令，得， 令，得，所以t在单调递减，在单调递增 因为时，所以 ①时，有解，，； ②时，，舍去； ③时，有解，，. 综上：. 法2：因为有解，所以有解. 记， ①时，恒成立，所以在单调递增， 当，， 所以恒有解，所以； ②时，，无解，舍去； ③时， x + 0 - 极大值 所以，，， 所以. 综上：. 例3．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可. （2）满足等价于，根据导数与单调性及最值的关系求出，待求问题化为当时，；结合（1）中导数与单调性及最值的关系列不等式分类讨论计算即可. 【详解】（1）的定义域为，. 当时，，单调递减. 当时，令，则，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）满足等价于. 对于，. 当时，，单调递增，所以. 故原问题可转化为，当时，. 由（1）知，的极值点为. ①当时，，在上单调递增，. 由，得. ②当时，，在上单调递减，. 由，得. 因为，此时无解. ③当时，，在上单调递减，在上单调递增. 则. 若，则，矛盾； 若，则，矛盾，故无解. 综上，实数的取值范围为. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·河北唐山·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值，并求的单调区间与极值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) ；单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1） 先求函数导数，结合导数的几何意义和两直线垂直的斜率关系求出，再通过导数符号判断单调性，进而求解极值. （2） 将存在性不等式成立问题转化为不大于在上的最大值，计算区间内的最大值即可得到的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，. 曲线在处的切线斜率为，直线的斜率为. 由两直线垂直斜率乘积为，得，解得. 将代入得，令，解得，. 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 则极大值为， 极小值为. （2）存在使得成立，等价于. 由（1）可知，，因此在上单调递增，在上单调递减. 因此在上的最大值为，故，即的取值范围为. 变式2．（25-26高二下·福建三明·期末）已知函数. (1)求的极值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求出函数的极值； （2）将不等式进行变形，构造新函数，通过求函数的最值确定实数的取值范围. 【详解】（1），， 令，， ，， ，， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，极小值为，无极大值. （2）存在，使得成立， 即在上有解， 即在上有解， 令，， ，， ，， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值，即最小值为. 因为在上有解，所以， 所以实数的取值范围为. 变式3．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知函数． (1)若，求的极值； (2)若，且，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)极小值为2，极大值为． (2) 【分析】（1）求导得到导数零点，判断单调性，确定极值点并计算极值; （2）求导得出是函数在上的最大值点，将问题转化为最大值不小于并解不等式即可. 【详解】（1）依题意，． 令，解得或． 故当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以的极小值为，极大值为． （2）依题意，．因为， 令，解得，当时，，单调递增， 当时，单调递减． 故当时，取得极大值，也是最大值， 则，即，整理得，解得， 故实数的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题讲义 考点目录 恒成立求参数问题 能成立求参数问题 考点一 恒成立求参数问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心转化原理 设函数 在定义域 上可导，其最大值为 ，最小值为 ： · ， 恒成立 · ， 恒成立 · ， 恒成立 1. 四大核心解法 （1）分离参数法（首选方法） · 适用场景：参数与变量容易分离，且分离后不含参数的函数易于求最值。 · 核心思路：将参数 与变量 分离到不等式两侧，转化为“ 恒成立”或“ 恒成立”，再求 的最值。 · 对 恒成立 · 对 恒成立 · 关键步骤： ① 移项分离参数，注意分离时两边同乘除的式子的正负，确保不等号方向正确； ② 构造新函数 （不含参数），求导分析单调性； ③ 求 在定义域内的最值； ④ 根据恒成立的最值关系，写出参数范围。 · 补充：洛必达法则：分离后若端点处为 或 型，可通过洛必达法则求端点极限，确定最值边界；仅适用于选择填空或大题的必要性探路，大题建议用分类讨论替代。 （2）分类讨论法（通用通法） · 适用场景：参数无法分离，或分离后函数过于复杂、最值难求。 · 核心思路：保留参数在函数内，带参数求导，根据导数的零点与定义域的位置关系分类讨论，逐一判断函数单调性，求出对应最值，筛选出满足恒成立的参数范围。 · 分类依据： ① 导数是否有零点； ② 导数零点是否落在定义域内； ③ 多个零点时的大小顺序与位置关系。 · 关键步骤： ① 构造函数 （含参数），求导并化简导数； ② 找导数的零点，按零点与定义域的关系分类； ③ 每一类下分析 的单调性，求最值； ④ 令最值满足恒成立条件，解出参数范围，取并集。 （3）端点效应（必要性探路法） · 适用场景：闭区间上的恒成立问题，且区间端点处函数值恰好等于临界值（如 ）。 · 核心逻辑：恒成立的必要条件是区间端点处满足不等式，先代入端点得到参数的必要范围，再证明该范围内不等式恒成立（充分性），可大幅缩小讨论范围。 · 关键步骤： ① 代入区间端点 ，由 解出参数的初步范围（必要性）； ② 在该参数范围内，通过导数证明函数单调，或最小值非负（充分性）； ③ 确认充分性成立后，该范围即为最终答案。 （4）数形结合法 · 适用场景：不等式两侧对应两个熟悉的函数（如直线与曲线），几何意义明确。 · 核心思路：将 恒成立转化为“ 的图像恒在 图像上方”，通过导数分析曲线的切线、凹凸性，找到“相切”这一临界状态，求解参数边界。 二、通用解题思路 1. 整理不等式，构造目标函数，明确定义域； 1. 根据式子特征选择最优解法：易分离则分离参数，难分离则分类讨论，闭区间端点临界优先端点效应； 1. 求导分析函数单调性，确定极值与最值； 1. 根据恒成立的最值等价条件，列不等式求解参数范围； 1. 验证端点、边界点的取舍，确定最终区间。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知函数，. (1)求的最值； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 例2．（26-27高三上·广东佛山·开学考试）已知函数，. (1)求的最值； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 例3．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知函数． (1)求的极值； (2)若，证明：． (3)已知对任意的，恒成立，求实数k的取值范围． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·陕西榆林·期中）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若，，求的取值范围. 变式2．（26-27高三上·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 变式3．（26-27高三上·山西长治·开学考试）设函数，． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，； (3)当，，求的取值范围． 考点二 能成立求参数问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心转化原理 设函数 在定义域 上可导，其最大值为 ，最小值为 ： · ，使得 成立 · ，使得 成立 · ，使得 成立 1. 三大核心解法 （1）分离参数法（首选） · 核心思路：将参数与变量分离，转化为存在性问题的最值对应： · ， 成立 · ， 成立 · 注意：与恒成立的最值对应恰好相反，切勿混淆。 （2）直接求最值法 · 适用场景：参数不便分离，或带参数的函数单调性易判断。 · 核心思路：带参数求导，分析函数单调性，求出函数的对应最值（存在大于等于求最大值，存在小于等于求最小值），列不等式求解参数范围。 （3）否定转化法（正难则反） · 适用场景：正面求解能成立情况复杂，而其反面“恒不成立”（即恒成立）易求解。 · 核心逻辑：“能成立”的否定是“恒不成立”，先求出反面恒成立的参数范围，再取其补集。 例：“， 成立”的反面是“， 恒成立”，先求恒成立的范围，取补集即为能成立的范围。 二、通用解题思路 1. 根据“存在”“有解”“至少一个”等关键词，确定为能成立题型； 1. 整理不等式，优先分离参数，复杂情况用直接求最值法，正面困难则用否定转化法； 1. 求导分析函数单调性，确定对应方向的最值； 1. 根据能成立的最值等价关系，列不等式求解参数范围； 1. 验证边界点，确定区间开闭。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若在上有解，求实数的取值范围． 例2．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数(且). (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若有解，求的取值范围. 例3．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若满足，求实数的取值范围. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·河北唐山·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值，并求的单调区间与极值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 变式2．（25-26高二下·福建三明·期末）已知函数. (1)求的极值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 变式3．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知函数． (1)若，求的极值； (2)若，且，使得，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $