2026-2027学年人教版九年级上学期数学第一次月考模拟卷2-

2026-2027学年九年级上学期数学第一次月考模拟卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：初三上第25-26章（人教版新版）。 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．方程的两根是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．下列抛物线中，对称轴是直线的是（     ）． A． B． C． D． 3．已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（     ） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．已知方程的两个实数根分别为，，则（     ） A． B．8 C． D．3 5．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 6．如图，抛物线与轴的一个交点是，顶点是，下列说法中不正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．抛物线与轴另一个交点是 D．当时，有最大值3 7．某班2026年元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠贺卡，共赠贺卡30张，该合唱小组人数为（     ） A．5 B．6 C．29 D．30 8．定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 11．如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 12．如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段之间（包括点、）来回平移，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（     ） A．13 B．7 C．5 D．8 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．方程的解是______________． 14．已知二次函数的图象经过点，则的值是_______． 15．若二次函数的图象关于轴对称的图象的解析式为____． 16．如图1，在中，，点D在上，．动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．则①当时，________；②________． 三、解答题（本题共7小题，第17-第18题每小题8分，第19-第21题每小题10分，第22-第23题每小题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 18．如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 20．额尔古纳湿地位于内蒙古自治区呼伦贝尔市，是亚洲面积最大，保存最完好的木本湿地系统，被誉为亚洲第一湿地．为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准：标准一：如果人数不超过20人，门票价格为70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元／人． (1)若某单位组织22人去额尔古纳湿地旅游，购买门票费用为___________元； (2)若某单位支付该景区门票费用共计1500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 21．综合与实践 汕尾市素有“中国青梅之乡”的美誉，青梅种植是本地特色农业产业．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围墙不限长）和长度为的篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地（如图），用于开展青梅育苗与管护实践活动．该校数学兴趣小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除围墙外，篱笆仅围，，三边，篱笆无浪费），请根据方案完成以下探究． (1)方案一：若限定矩形实践基地的边为，则矩形实践基地的边为______，此时矩形实践基地的面积为______． (2)方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的边为，则用含的代数式表示边的长度为______；当边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最大为多少？ 22．【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示． 【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． (1)请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 (2)网前吊球的落点到球网的距离 ； (3)甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙能接到球时拍面距离球网的水平距离的取值范围． 23．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）． (1)求点A、B的坐标，并用含a的式子表示抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)在（1）的条件下，取．将该二次函数在x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后的图象与原抛物线在x轴上方的部分共同组成图形G．若点（其中）和点都在图形G上，且存在点M、N使得，求m的取值范围； (3)过点作x轴的垂线，交（1）中抛物线于点M，交直线于点N．若在点P从点O运动到点的过程中，线段的长随的长增大而增大，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学第一次月考模拟卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：初三上第25-26章（人教版新版）。 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．方程的两根是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】解：∵， ∴ 或， 解得 或． 2．下列抛物线中，对称轴是直线的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称轴是直线判断A、B选项；根据抛物线的对称轴为判断C、D选项． 【详解】解：A、B选项的抛物线一次项系数为0，对称轴为直线，不符合题意； C选项抛物线为，对称轴为直线，符合题意； D选项抛物线为，对称轴为直线，不符合题意． 3．已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（     ） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】计算一元二次方程根的判别式，根据其符号判断根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4．已知方程的两个实数根分别为，，则（     ） A． B．8 C． D．3 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 5．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 6．如图，抛物线与轴的一个交点是，顶点是，下列说法中不正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．抛物线与轴另一个交点是 D．当时，有最大值3 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴与在对称轴处取得最值，即可判断A、B、D选项；根据抛物线的对称性，可由抛物线的对称轴与轴的一个交点坐标，直接得到另一个交点坐标，即可判断C选项． 【详解】解：从函数图象可知抛物线的对称轴为，抛物线开口向下，当时，有最大值是3． 故A、B、D正确． 抛物线与x轴的一个交点是，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点是． 故C选项错误，符合题意． 7．某班2026年元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠贺卡，共赠贺卡30张，该合唱小组人数为（     ） A．5 B．6 C．29 D．30 【答案】B 【分析】根据互赠贺卡的总张数与人数的等量关系列方程求解． 【详解】解：设该合唱小组人数为人，根据题意，得 ． 整理得， 解得或（舍去）， ∴该合唱小组人数为6． 8．定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新运算规则整理出一元二次方程，再利用方程有实数根可得判别式，解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 整理得 ， ∵该一元二次方程有实数根， ∴ ， 解得 . 9．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 10．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：解方程，可得：，， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 该函数没有最大值， 故A选项错误； 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 故B选项错误； ， 故C选项正确； 当时，， 由翻折可知，图象与轴的交点坐标为， 故D选项错误． 11．如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过A点作于H，利用等腰直角三角形的性质得到，，分类讨论：当时，如图1，易得，根据三角形面积公式得到；当时，如图2，易得，根据三角形面积公式得，于是可判断当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：过A点作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，故B选项符合题意． 12．如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段之间（包括点、）来回平移，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（     ） A．13 B．7 C．5 D．8 【答案】D 【分析】当点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；当点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出点横坐标最大值． 【详解】解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为，此时点横坐标为5，则； 当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且，故，； 由于此时点横坐标最大， 故点的横坐标最大值为8． 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．方程的解是______________． 【答案】， 【分析】方程左侧已经分解为两个一次因式的乘积，根据乘积为则至少一个因式为求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得，． 14．已知二次函数的图象经过点，则的值是_______． 【答案】 【分析】点在二次函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将已知点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵ 点在二次函数的图象上， ∴ 将，代入解析式，得， 计算得， 解得． 15．若二次函数的图象关于轴对称的图象的解析式为____． 【答案】 【分析】因为求原函数图象关于x轴对称的图象解析式，所以需要明确关于x轴对称的点的坐标变换规律：若原图象上一点，则其对称点为．因为已知原二次函数解析式为，所以将对称点坐标代入原解析式，把原解析式中的替换为，再整理得到新的函数解析式． 【详解】解：设对称后图象上任意一点坐标为，则该点关于轴的对称点一定在原二次函数图象上； 将代入原解析式，得 ， 整理后得到对称后的解析式：． 16．如图1，在中，，点D在上，．动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．则①当时，________；②________． 【答案】 3 11 【分析】先由函数图象可得当点运动到点时，，由此求出，当时，点的运动路程为1，即此时点在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出，当点在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出，当时，． 【详解】解：由函数图象可得当点运动到点时，，， ∵， ， ∴, ∴， 当时，，此时点在上， ∴， ∴； 当点在上时， 由图可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴设， 把代入，得, 解得，， ∴， 当时， ， 即． 三、解答题（本题共7小题，第17-第18题每小题8分，第19-第21题每小题10分，第22-第23题每小题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 18．如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)顶点为，对称轴为直线 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是正确求出函数解析式． （1）由待定系数法，将、代入抛物线表达式解方程组即可得到答案； （2）先将一般式化为顶点式，即可求解对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：抛物线过、， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：， ∴顶点为，对称轴为直线． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 【分析】（1）计算值，再判断的符号即可； （2）先由求根公式求出，，则为正整数，故为整数，且，则的可能取值为，，再分别代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 20．额尔古纳湿地位于内蒙古自治区呼伦贝尔市，是亚洲面积最大，保存最完好的木本湿地系统，被誉为亚洲第一湿地．为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准：标准一：如果人数不超过20人，门票价格为70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元／人． (1)若某单位组织22人去额尔古纳湿地旅游，购买门票费用为___________元； (2)若某单位支付该景区门票费用共计1500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 【答案】(1)1452 (2)25名 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算，解决本题关键是读懂题意，建立等式列方程． （1）根据标准二先求解门票，即可求解总费用； （2）根据费用共计1500元，则人数超过20人，则根据标准二建立等式列方程即可． 【详解】（1）解：门票价格为（元／人）， ∴（元 ）， 故答案为：1452； （2）解：设该单位有名员工去该景区旅游， 则可列方程：， 整理得：， 解得：， 当时，， 当时， 舍去， 该单位共有25名员工去该景区旅游． 21．综合与实践 汕尾市素有“中国青梅之乡”的美誉，青梅种植是本地特色农业产业．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围墙不限长）和长度为的篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地（如图），用于开展青梅育苗与管护实践活动．该校数学兴趣小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除围墙外，篱笆仅围，，三边，篱笆无浪费），请根据方案完成以下探究． (1)方案一：若限定矩形实践基地的边为，则矩形实践基地的边为______，此时矩形实践基地的面积为______． (2)方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的边为，则用含的代数式表示边的长度为______；当边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最大为多少？ 【答案】(1)，； (2)，当时，矩形实践基地的面积最大，最大为 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据篱笆的长度直接计算即可； （2）根据二次函数的性质进行解题． 【详解】（1）解：∵篱笆的长度为， ∴， ； 故答案为：，； （2）解：， 设矩形实践基地的面积为， 由题意，得， 当时，有最大值， 即当时，矩形实践基地的面积最大，最大为. 22．【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示． 【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． (1)请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 (2)网前吊球的落点到球网的距离 ； (3)甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙能接到球时拍面距离球网的水平距离的取值范围． 【答案】(1)直角坐标系如图所示： 击球路线的函数表达式为 (2) (3) 【详解】（1）解：以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系略； 连接， 设抛物线解析式为， ， ， ，， ， ， ， 把，代入函数解析式得， 解得， ； （2）解：把代入抛物线解析式得， 解得，， ， ； （3）解：把代入抛物线解析式得， 解得，， 乙站在球网右侧， ， 羽毛球离地高度不小于， ， ， ， 乙站在球网右侧， 的取值范围为． 23．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）． (1)求点A、B的坐标，并用含a的式子表示抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)在（1）的条件下，取．将该二次函数在x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后的图象与原抛物线在x轴上方的部分共同组成图形G．若点（其中）和点都在图形G上，且存在点M、N使得，求m的取值范围； (3)过点作x轴的垂线，交（1）中抛物线于点M，交直线于点N．若在点P从点O运动到点的过程中，线段的长随的长增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)，，对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】（1）将抛物线一般式化为交点式，令得出x的值，从而求得点A和点B的坐标，进而得出抛物线的对称轴，将代入抛物线解析式即可求得顶点坐标； （2）将代入抛物线解析式求出顶点坐标，再根据题意求出该二次函数翻折后的解析式，此时对分情况讨论，结合图象并根据题意求出不同情况下m的取值范围，并最终结合所有情况得出m的取值范围； （3）根据题意求出点M和点N的坐标表达式，从而得出的长度表达式，令，求出t的值，由，得到，即点P在y轴右侧，当时，可有，其图象开口向下，对称轴为， 若的长随着的长增大而增大，即的长随t的增大而增大，则，最终可求得a的取值范围． 【详解】（1）解：， 当时，，解得，， ∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）． ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 将代入，得， ∴顶点为． （2）解：当时，，此时顶点为， 令，， 解得：，， ∴与x轴的交点为，， 将该二次函数在x轴下方的部分沿x轴翻折后，新抛物线的顶点为， 设新抛物线解析式为， 将代入得，， 解得：， ∴新抛物线解析式为， ∴图形G的解析式为：当时，；当或时，， 如图， ∵，点在图形G上， ∴， 此时对分情况讨论： ①当，即时， ， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴； ②当，即时， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 综上所述，m的取值范围是． （3）解：当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得， 即， 将代入，可得， 即， ∴， 令，即，解得：或， ∵， ∴，即点P在y轴右侧，如图， 当时，可有，其图象开口向下，对称轴为， 若的长随着的长增大而增大，即的长随t的增大而增大， 则， 解得， 综上所述，a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $