1.2空间向量基本定理课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.2　空间向量基本定理 学习任务目标 1．了解空间向量的基本定理及其意义． 2．掌握空间向量的正交分解． 3．会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基向量表示其他向量. 回顾：平面向量基本定理 若 , 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量， 有且只有一对实数x，y，使＝x＋y． 若, 不共线，则把{，}叫做表示这一平面内所有向量的基底． 平面内任一向量可用2个不共线的向量表示 空间中任一向量可用3个不共面的向量表示吗？ 类比推广 （特殊情况）空间中任一向量可用3个两两垂直且不共面的向量表示吗？ 空间中任意一向量能用2个不共线的向量表示吗？ 引入：空间向量的分解与表示 如图，设，，是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O．对于任意一个空间向量＝，设 为 在，所确定的平面上的投影向量，则＝＋． 又 ，共线，故存在唯一的实数z， 使＝z，故＝＋z． 在，所确定的平面上，由平面向量基本定理知，存在唯一的有序实数对 (x，y)，使得＝x＋y ．从而 ＝＋z＝x＋y＋z． 证明：　假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k. 思考：你能证明x，y，z的唯一性吗？. 由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾.所以有序实数组(x，y，z)是唯一的. ＝＋z＝x＋y＋z． 引入：空间向量的分解与表示 如果 i，j，k 是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 p＝x i＋y j＋z k．我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量。 在空间中，如果用任意三个不共面的向量 a，b，c 代替三个两两垂直的向量 i，j，k，你能得出类似的结论吗？ 探究 新课探究 新课探究 由向量共线定理、平面向量基本定理及空间向量基本定理的一致性和连贯性，我们对比共线定理、平面向量基本定理和空间向量基本定理共同完成下表. 向量共线定理 平面向量基本定理 空间向量基本定理 表述形式 基向量个数 基向量要求 对于实数(对、组) 定理 分类 1 2 3 概念辨析 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (2)空间中的任何一个向量都可用三个给定向量表示．(　 　) (3)若向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．(　　) (4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(　 　) √ × × √ 新知应用 解析 新知应用 证明 新知应用 证明 新知应用 应用新知 证明 解析 应用新知 √ 学习反馈 16 (2)求直线BM与AD所成角的余弦值． 17 (2)根据题意可设|a|＝|b|＝|c|＝1， 18 两边同除以(x′－x)，得i＝j＋k. 如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是．这个集合可看作由向量，，生成的，我们把叫做空间的一个基底(base)，，，都叫做基向量(base vectors)．空间任意三个不共面的向量都 可以构成空间的一个基底． 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使． 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． (1)若{，，}不能作为空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面．(　 　) 例1：如图1.2-2，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，用向量，，表示． 分析：，，是三个不共面的向量，它们构成空间的一个 基底，可以用基底表示出来． ． 例2：如图1.2-3，在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点． 求证： ． 分析：要证，只需证明．由已知，可构成空间的一个基底．把和分别用基底表示，然后计算即可． 设，，这三个向量不共面， 构成空间的一个基底，我们用它们表示，，则 ， 所以 所以． 例3: 如图1.2-4，正方体的棱长为1，分别为，，的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值． 分析：（1）要证明，只需证明与共线．设 ，则构成空间的一个单位 正交基底，把和分别用基向量表示，作相应的运算证 明它们共线即可． （2）要求与所成角的余弦值，只需求所成角的余弦值即可． 设， 则构成空间的一个单位正交基底． 所以，． 所以．所以． 因为，， 所以 所以与所成角的余弦值为． 1．(教材P12例1改编)如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P是MN靠近N的三等分点．若向量a＝，b＝，c＝，则＝(　　) A．a＋b＋c 　 B．a＋b＋c C．a＋b＋c 　 D．a＋b＋c 2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，且AB，AD，AA1两两夹角均为60°，且长度相等，设＝a，＝b，＝c. (1)试用a，b，c表示； 解：(1)＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c. 则2＝2＝a2＋b2＋c2－a·b－a·c＋b·c＝， 所以||＝， 所以·＝·b＝－a·b＋b2＋b·c＝， 所以cos〈，〉＝＝＝， 所以直线BM与AD所成角的余弦值为. $