1.2 空间向量基本定理（第二课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理及应用，通过复习回顾分向量、基底、单位正交基底等知识，结合问题引领的正误判断，衔接旧知搭建学习支架，为后续题型学习奠定基础。 其亮点在于题型分层设计，涵盖基底判断、向量表示、定理应用，结合四棱锥、三棱柱实例，用数学思维推理共面条件，以数学语言规范向量表达，总结判断方法与表示步骤，助力学生发展空间观念，教师可高效开展教学。

.1.1 数系的扩充和复数 第一章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理 第二课时 复习回顾 知识点一 空间向量基本定理 1.分向量 如果i,j,k是空间三个________的向量,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xi+yj+zk,称___________分别为向量p在i,j,k上的分向量. 2.空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c______,那么对任意一个空间向量p,存在____的有序实数组(x,y,z),使得________________________. 我们把{a,b,c}叫做空间的一个____,a,b,c都叫做______.空间任意三个______的向量都可以构成空间的一个基底. 两两垂直 xi,yj,zk 不共面 唯一 p=xa+yb+zc 基底 基向量 不共面 复习回顾 (1)基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示. (2)一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量. (3)对于同一个空间,可以有无数组不同的基底. 复习回顾 知识点二 空间向量正交分解 1.单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量________,且长度都为__,那么这个基底叫做单位正交基底,常用_______表示. 2.空间向量的正交分解 把一个空间向量分解为三个________的向量,叫做把空间向量进行正交分解. 两两垂直 1 {i,j,k} 两两垂直 问题引领，深入思考 判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) 1.只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底.(　　) 2.若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c全不是零向量.(　　) 3.若向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则一定有a与b共线.(　　) 4.对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组(x,y,z),使0=xa1+ya2+za3.(　　) 5.若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面.(　　) × √ √ × √ 题型一——空间基底的判断 (多选)已知{a,b,c}是空间的一个基底,d=a+b+2c,则下列选项中不能作为空间的一个基底的是(　 　) A.{a+b,a+c,b+c} B.{a+c,b+c,d} C.{a+d,b,a+c} D.{a+b,a+b+c,d} BCD 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 6 总结 三个向量能否构成基底的判断方法 (1)首先应考虑三个向量是否是零向量,其次判断三个非零向量是否共面. (2)如果从正面难以入手判断三个向量是否共面,可假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程组,若方程组有解,则三个向量共面;若方程组无解,则三个向量不共面. 巩固练习 (多选)若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组向量中能构成空间的另一个基底的是 (　 　) A.a,2b,3c B.a+b,b+c,c+a C.a+2b,2b+3c,3a-9c D.a+b+c,b,c ABD 题型二——用基底表示向量 如图,在四棱锥P⁃ABCD中,四边形ABCD是等腰梯形,AD=BC=CD=AB,AB∥CD,AC∩BD=M,设=a,=b,=c. (1)求证:=a+c; (1)证明:因为在四棱锥P⁃ABCD中,四边形ABCD是等腰梯形,AD=BC=CD=AB,AB∥CD,AC∩BD=M,所以∠MDC=∠MBA,∠MCD= ∠MAB,所以△DMC∽△BMA,所以==,即AM=AC,由题图可得=+=+=+(-)=+=a+c. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 9 题型二——用基底表示向量 (2)设=3,用a,b,c表示与. 【解】　(2)由题图可得=+=+=+(-)=-+=a-b+c. 因为=3,所以=+=+(-)=+=a-b+c,所以=-=a-b+c-a-c=a-b+c. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 10 总结 用基底表示向量的步骤 巩固练习 如图,在三棱柱ABC⁃A'B'C'中,已知=a,=b,=c,M,N分别是BC',B'C'上靠近B,B'的三等分点,试用基底{a,b,c}表示向量,. 解:=+=+(+)=++=+(-)+=++=a+b+c. =++=++(-)=++=a+b+c. 题型三——空间向量基本定理的应用 如图,在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,设=a,=b,=c,底 面边长为. (1)以{a,b,c}为基底表示向量,; (1)在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,=a,=b,=c,则=+=+=a+c,=-=+-=+-=b+c-a. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 13 题型三——空间向量基本定理的应用 (2)若|c|=1,求证:AB1⊥BC1; 【解】　(2)证明:由题意可知|a|=|b|=,|c|=1,<a,b>=,<a,c>= <b,c>=,a·b=|a|·|b|cos =()2×=1,a·c=b·c=0, ∴·=(a+c)·(b+c-a)=a·b+b·c+|c|2-|a|2=1+0+1-2=0,故AB1⊥BC1. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 14 题型三——空间向量基本定理的应用 (3)若<,>=,求|c|. 【解】　(3)·=(a+c)·(b+c-a)=a·b+b·c+|c|2-|a|2=1+0+|c|2-2=|c|2-1, ||== =, ||== = = , 故cos<,>== =cos=,解得|c|=2. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 15 总结 将几何问题转化为向量问题的求解策略 (1)将距离和线段长转化为求向量的模. (2)将线线、线面、面面垂直问题转化为向量垂直问题. (3)将空间角问题转化为向量夹角问题. 巩固练习 已知四面体OABC中,OA=1,OB=2,OC=2,∠AOB=∠AOC=∠BOC=,空间一点M满足=-++m,若A,B,C,M四点共面,则OM=(　　) A.　 　 B. C.　 　 D. B 当堂检测 1.(多选)下列说法正确的是 (　 　) A.任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底 B.空间的基底有且仅有一个 C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D.直线的方向向量有且仅有一个 解析:任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底,故A正确,B错误;两两垂直的三个非零向量不共面,可构成空间的一个基底,故C正确;直线的方向向量有无数个,故D错误.故选AC. AC 当堂检测 2.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,O为空间内任意一点,设=a,=b,=c,则向量可用a,b,c表示为(　　) A.a-b+2c B.a-b-2c C.-a+b+c D.a-b+c D 解析:=+=+=+(-)=a-b+c.故选D. 当堂检测 3.已知{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+2b-3c,n=x(a+b)-y(b+c)+3(a+c),m∥n,则=____. 3 解析:m=a+2b-3c,n=x(a+b)-y(b+c)+3(a+c)=(x+3)a+(x-y)b+(3-y)c,因为m∥n,所以存在实数λ,使n=λm,所以(x+3)a+(x-y)b+(3-y)c=λ(a+2b-3c),所以所以解得所以=3. 当堂检测 4.已知{a,b,c}是空间的一个基底,向量p=2a-b+3c. (1)求证:{a+b,b,c}是空间的另一个基底; 解:(1)证明:假设a+b,b,c共面,根据向量共面的充要条件可知存在唯一的有序实数对(λ,μ),使a+b=λb+μc, 而此时不存在实数λ和μ使等式成立, 故a+b,b,c不共面,∴{a+b,b,c}是空间的另一个基底. 当堂检测 (2)用基底{a+b,b,c}表示向量p. 解: (2)设p=x(a+b)+yb+zc,则p=xa+(x+y)b+zc,又p=2a-b+3c, ∴解得 ∴p=2(a+b)-3b+3c. 用数学的眼光看世界 $