专题2.1 正数与负数（3大知识点+6大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本讲义聚焦正数与负数核心知识，系统梳理正数、负数与0的概念，明确相反意义的量三要素（同类量、意义相反、具体数量），详解有理数两种分类方式（按定义、按性质符号）及误差允许范围表示，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以分层题型设计为亮点，基础题型强化正负数识别、相反意义量判断等核心能力，培优题型融入跨学科情境（如地理海拔、体育测试）和数学文化（《九章算术》），培养抽象能力与模型意识。易错点与重点总结助力学生严谨思维，课中辅助教师高效授课，课后通过变式题与巩固练习帮助学生查漏补缺。

专题2.1 正数与负数 知识点 1：正数、负数与 0 的概念   1. 正数：大于 0 的数叫做正数；正数前面的 “” 正号可以省略不写，如可以写作。   2. 负数：在正数前面加上 “” 负号的数叫做负数；负数前面的负号不能省略。   3. 0 的双重意义：0 既不是正数，也不是负数，是正负数的分界；0 不只代表 “没有”，还可以作为计量基准，例如、海拔 0 米。 知识点 2：具有相反意义的量   1. 三要素：①必须是同类量；②意义相反；③具备具体数量，三者同时满足才是具有相反意义的量。   2. 表示规则：把其中一种意义规定为正，用正数表示；与之相反意义的量就用负数表示；规定具备人为选择性。   3. 常见实例：零上与零下、收入与支出、上升与下降、高于海平面与低于海平面。 知识点 3：有理数的概念与分类   1. 有理数定义：整数和分数统称为有理数；有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数。 分类方式 细分类别 包含内容 按定义分类 整数 正整数、、负整数 分数 正分数、负分数 按性质符号分类 正有理数 正整数、正分数 0 负有理数 负整数、负分数 特殊名词辨析   （1）非负数：正数和；非正数：负数和；   （2）非负整数（自然数）：正整数和；非正整数：负整数和。 知识点 4：误差允许范围的表示   1. 标准量，表示基准数值为，允许上下浮动；合格范围：。   2. 实际值落在区间内为合格，超出区间为不合格。 【基础必考题型】 【题型1】正负数的识别辨析 1.核心知识点   正数、负数、0的定义；区分正负数，识别非负数、非正数；不能仅凭符号判断数的正负。 2.解题方法技巧   ①依据与0的大小关系判断正负，不是看表面的“+”“-”符号；   ②0既不属于正数，也不属于负数；   ③非负数包含正数和0，非正数包含负数和0。 【例题1】.（2026·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》最早提出正负数的概念，下列各数是负数的为（     ） A． B．0 C． D．2 【变式题1-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列有理数中，哪些是正数？哪些是负数？ 2.5，，0.05，0 【变式题1-2】.（24-25七年级上·河南开封·开学考试）在，，，，0，，中，正数有_____________，负数有_____________． 【变式题1-3】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在，，，12，0，，这6个数中，负数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2】判断具有相反意义的量 1.核心知识点   具有相反意义的量三大要素：同类量、意义相反、带有具体数量。 2.解题方法技巧   ①先判断是否为同一类量；   ②检查是否同时具备相反意义和具体数量；   ③仅有相反词语没有数量，不是相反意义的量。 【例题2】.（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）下列具有相反意义的量的是（   ） A．“上升”与“下降” B．先向东走3千米，再向南走3千米 C．体育比赛胜5场与胜3场 D．增产100吨与减产80吨 【变式题2-1】.（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）下列具有相反意义的量的是（   ） A．向南走4千米和向东走4千米 B．前进25米和后退30米 C．收入和支出 D．升高和零下 【变式题2-2】.（25-26七年级上·浙江·期中）下列具有相反意义的量的是（   ） A．运进20吨和卖出15吨 B．上升3米和下降5米 C．气温上升和湿度降低 D．盈利13万元和支出8000元 【变式题2-3】.（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）下面两个量不是具有相反意义的量的是（   ） A．增产吨与减产吨 B．浪费吨煤与节约吨煤 C．收入元与支出元 D．向东走与向南走 【题型3】用正负数表示相反意义的量 1.核心知识点   正负数表示实际情境中相反意义的量；人为规定基准，完成正负符号赋值。 2.解题方法技巧   ①读懂题干的规定，确定哪一类意义记作正；   ②相反的意义就记作负数；   ③书写注意符号，单位不要遗漏。 【例题3】.（26-27七年级上·广东湛江·开学考试）我国古代数学著作《九章算术》最早引入了负数，魏晋时期数学家刘徽在注解中写道“正算赤，负算黑”，即用红色算筹表示正数、黑色算筹表示负数．若水库水位上升米记作米，则水位下降米应记作________． 【变式题3-1】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）微信钱包零钱明细收入80元记作元，那么支出45元表示________元． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·云南昆明·期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果风车顺时针旋转记作，那么表示（     ） A．减少 B．旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 【变式题3-3】.（2026·江苏无锡·中考真题）如果一辆汽车加油记作，那么消耗油记作（     ） A． B． C． D． 【题型4】有理数概念辨析 1.核心知识点   有理数定义；整数、分数区分；有限小数、循环小数属于分数；明确自然数的范围。 2.解题方法技巧   ①整数包含正整数、0、负整数；分数包含正分数、负分数；   ②有限小数、循环小数可以转化分数，属于有理数；   ③自然数是0和正整数。 【例题4】.（2026九年级下·吉林长春·专题练习）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·江苏盐城·期末）下列各数中不是有理数的是（    ） A．0 B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列不是有理数的是（   ） A．0 B． C． D．1.779 【变式题4-3】.（25-26七年级上·全国·期末）在，，0，中，有理数有_____个． 【培优高频题型】 【题型5】数的集合归类填空 1.核心知识点   有理数分类；各类数集概念（正数集合、负数集合、整数集合、分数集合、非负有理数集合）。 2.解题方法技巧   ①逐个数进行判断，一个数可以同时属于多个集合；   ②集合末尾填写省略号，表示只列举部分；   ③0是高频易错数，不要漏填或者错填。 【例题5】.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）把下列各数对应的序号填在相应的括号内： ①5，②，③1.4，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨ 正有理数：（______________________________）自然数：（______________________________） 负分数：（______________________________）整数：（______________________________） 【变式题5-1】.（24-25七年级上·宁夏银川·期中）把下列各数填入相应集合内：8.5，，0.3，0，，12，，，． (1)正数集合：{                            ...}； (2)整数集合：{                            ...}； (3)负分数集合：{                            ...}． 【变式题5-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）下列各数：15，，，，0，，，中． (1)非负有理数有_________________ (2)非负整数有__________________ (3)非正整数有_________________ 【变式题5-3】.（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）．把下面的有理数填在相对应的集合内： ，，，，，6，0，，，，． 正数集合： 负数集合： 整数集合： 分数集合： 自然数集合： 【题型6】跨学科情境正负数综合问题 1.核心知识点   结合地理海拔、物理测量、体育测试等跨学科素材；利用正负数模型解决复合型实际问题。 2.解题方法技巧   ①提取跨学科材料中的数量、基准条件；   ②转化成正负数的数学模型；   ③完成计算后结合学科常识校验结果。 【例题6】.（26-27七年级上·全国·课后作业）在中国地形图上，一般在主要山峰和盆地处都标有表明它们海拔高度的数，如珠穆朗玛峰的海拔高度为，吐鲁番盆地的海拔高度为．请说出和表示的实际意义．海平面的海拔高度用什么数表示？ 【变式题6-1】.（24-25七年级上·全国·课后作业）依据生活情境回答问题： (1)夜空中繁星密布，小贝在数星星：“1颗，2颗，3颗，……”他所用到的数是有理数中的________； (2)五位同学用刻度尺测量五根木条的长度，得到的数据分别是：，，，，，这些数属于有理数中的________； (3)用温度计测量一周的最低气温分别是：，，，，，，，这些数属于有理数中的________． 【变式题6-2】.（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） (2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） 0 【变式题6-3】.（24-25七年级上·贵州遵义·阶段检测）学校对七年级学生进行体质健康测试，在引体向上项目中，男生引体向上个数为10个以上记为优秀，9~10个记为良好，4~8个记为及格，低于4个记为不合格．以9个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中12名男生的成绩记录如下表： 序号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 成绩 （个） 0 (1)表中“”表示的意义是___________； (2)这组男生引体向上的成绩优秀率是多少？ (3)你对成绩没有达到良好的同学有些什么建议？ 易错点 1、判断相反意义的量，忽略 “同类量” 或者 “必须带数量” 两个条件，只看意义相反就判定。 2、错误认为 “带正号就是正数，带负号就是负数”；混淆 0 的属性，把 0 归为正数或者负数。 3、有理数分类出现遗漏，分类标准不统一；混淆自然数概念，忘记 0 属于自然数。 4、处理误差问题，不会正确求出上下限，直接把当成合格数值。 5、基准变化题型，混淆 “固定基准” 和 “以前一日为基准”，直接拿变化量当作实际数值。 6、数集填写时，容易漏掉数字 0，集合末尾忘记写省略号。 重点 1、掌握正数、负数、0 的概念，能够准确识别正数、负数，理解 0 的多重实际意义。 2、会判断具有相反意义的量，可以利用正负数表示生活中相反意义的量。 3、掌握有理数两种分类方式，分清整数、分数，理解非负数、非负整数等特殊集合含义。 4、读懂误差标记，能判断产品是否合格，解决基础实际应用题。 5、可以完成数集归类，正确把数填入对应集合。 难点 1、理解负数抽象含义，区分绝对数值和相对基准变化量，处理动态累加的实际问题。 2、数列符号规律探究，分离数字、符号，利用周期余数推理第 n 个数字。 3、开放说理题，举反例判断命题对错，完整组织数学语言进行说理。 4、新情境、跨学科、数学文化题型，把现实、古文材料抽象转化为正负数数学模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．生物神经细胞存在微弱的电压差，神经静息时膜内为负，记作；兴奋时电位反转，膜内为正，假设某模型中电位反转指绝对值不变，可记为（     ） A． B． C． D． 2．在，，，，，中，负数的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列说法正确的是（     ） A．正数和负数统称为有理数 B．整数分为正整数和负整数 C．0是整数也是有理数 D．小数都是分数 二、填空题 4．一个水库，如果水位下降厘米记作厘米，那么，( )表示水位上升厘米；厘米表示( )． 5．我国是认识正、负数最早的国家，《九章算术》中就有了正、负数的记载，若盈利100元记作，则亏损200元应记作_____ 6．在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数，1～9的算筹表示如表所示．表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，在个位数上斜放一筹可以表示负数，如可以用算筹表示为“”，则“”表示的数是_________． 三、解答题 7．把下列各数填在相应的横线上∶ ①，②，③，④0，⑤2025，⑥， ⑦，⑧⑨，⑩ ． (1)正有理数集合{ …}； (2)负有理数集合{ …}； (3)负分数集合{ …}； (4)非负整数集合{ …}． 8．（1）与0之间有负数吗？0与1之间呢？如果有，请举例；如果没有，请说明理由． （2）与之间有负整数吗？与2之间有哪些整数？ （3）有比还大的负整数吗？ （4）写出3个小于并且大于的数． 9．某超市2025年1-6月份的营业额与2024年同月营业额相比，其增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月份 1 2 3 4 5 6 相比2024年同月营业额的增长率/% 0 0.2 0.3 0.4 (1)该超市2025年1-6月份的营业额与2024年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)2025年1月和4月相比2024年同月营业额的增长率是负数分别表示什么意义？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 正数与负数 知识点 1：正数、负数与 0 的概念   1. 正数：大于 0 的数叫做正数；正数前面的 “” 正号可以省略不写，如可以写作。   2. 负数：在正数前面加上 “” 负号的数叫做负数；负数前面的负号不能省略。   3. 0 的双重意义：0 既不是正数，也不是负数，是正负数的分界；0 不只代表 “没有”，还可以作为计量基准，例如、海拔 0 米。 知识点 2：具有相反意义的量   1. 三要素：①必须是同类量；②意义相反；③具备具体数量，三者同时满足才是具有相反意义的量。   2. 表示规则：把其中一种意义规定为正，用正数表示；与之相反意义的量就用负数表示；规定具备人为选择性。   3. 常见实例：零上与零下、收入与支出、上升与下降、高于海平面与低于海平面。 知识点 3：有理数的概念与分类   1. 有理数定义：整数和分数统称为有理数；有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数。 分类方式 细分类别 包含内容 按定义分类 整数 正整数、、负整数 分数 正分数、负分数 按性质符号分类 正有理数 正整数、正分数 0 负有理数 负整数、负分数 特殊名词辨析   （1）非负数：正数和；非正数：负数和；   （2）非负整数（自然数）：正整数和；非正整数：负整数和。 知识点 4：误差允许范围的表示   1. 标准量，表示基准数值为，允许上下浮动；合格范围：。   2. 实际值落在区间内为合格，超出区间为不合格。 【基础必考题型】 【题型1】正负数的识别辨析 1.核心知识点   正数、负数、0的定义；区分正负数，识别非负数、非正数；不能仅凭符号判断数的正负。 2.解题方法技巧   ①依据与0的大小关系判断正负，不是看表面的“+”“-”符号；   ②0既不属于正数，也不属于负数；   ③非负数包含正数和0，非正数包含负数和0。 【例题1】.（2026·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》最早提出正负数的概念，下列各数是负数的为（     ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【详解】解：∵小于0的数是负数，且， ∴是负数． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列有理数中，哪些是正数？哪些是负数？ 2.5，，0.05，0 【答案】正数：，，；负数：，， 【分析】大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不是正数也不是负数，逐一判断即可解答． 【详解】略 【变式题1-2】.（24-25七年级上·河南开封·开学考试）在，，，，0，，中，正数有_____________，负数有_____________． 【答案】 ， ，，， 【分析】大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不是正数也不是负数．依此判断即可． 【详解】解：正数有：，； 负数有：，，，． 【变式题1-3】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在，，，12，0，，这6个数中，负数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】小于0的数是负数，由此逐个判断给定的数，统计得到负数的个数． 【详解】解：∵，，，既不是正数也不是负数，，， ∴负数为和，共2个． 【题型2】判断具有相反意义的量 1.核心知识点   具有相反意义的量三大要素：同类量、意义相反、带有具体数量。 2.解题方法技巧   ①先判断是否为同一类量；   ②检查是否同时具备相反意义和具体数量；   ③仅有相反词语没有数量，不是相反意义的量。 【例题2】.（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）下列具有相反意义的量的是（   ） A．“上升”与“下降” B．先向东走3千米，再向南走3千米 C．体育比赛胜5场与胜3场 D．增产100吨与减产80吨 【答案】D 【分析】本题主要考查了相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：A、“上升”与“下降”表示相反的意义，但没有指明具体数量，所以不是一对相反意义的量，故此选项不符合题意； B、先向东走3千米，再向南走3千米不是一对相反意义的量，故此选项不符合题意； C、体育比赛胜5场与胜3场不是一对相反意义的量，故此选项不符合题意； D、增产100吨与减产80吨是一对相反意义的量，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）下列具有相反意义的量的是（   ） A．向南走4千米和向东走4千米 B．前进25米和后退30米 C．收入和支出 D．升高和零下 【答案】B 【分析】本题考查了具有相反意义的量．根据具有相反意义的量必须满足两个条件（①他们是同一属性的量；②他们的意义相反）进行判断． 【详解】解：A、向南和向北是意义相反的，故该选项不符合题意； B、前进和后退是意义相反的，故该选项符合题意； C、收入和支出概念相反，但无具体数值，故该选项不符合题意； D、升高与降低是意义相反的，升高和零下属性不同，故该选项不符合题意． 故选：B． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·浙江·期中）下列具有相反意义的量的是（   ） A．运进20吨和卖出15吨 B．上升3米和下降5米 C．气温上升和湿度降低 D．盈利13万元和支出8000元 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反意义的量，判断是否具有相反意义的量，需满足两个条件：一是同一种类量，二是变化方向相反；据此逐项判断即可求解. 【详解】∵ 相反意义的量要求同种量且方向相反. 选项A：运进和卖出虽均涉及货物，但运进对应运出，卖出对应买入，不是直接相反动作，故不具备相反意义. 选项B：上升和下降都是高度变化，方向相反，具备相反意义. 选项C：气温和湿度是不同物理量，且湿度单位不应为“”，故不具备相反意义. 选项D：盈利是净利润，支出是费用，不是同一财务概念，方向不相反，故不具备相反意义. 故选：B. 【变式题2-3】.（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）下面两个量不是具有相反意义的量的是（   ） A．增产吨与减产吨 B．浪费吨煤与节约吨煤 C．收入元与支出元 D．向东走与向南走 【答案】D 【分析】此题考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负，解决本题的关键是理解正负数的意义． 根据正负数的意义逐一判断即可． 【详解】解：A、增产和减产，具有相反意义，不符合题意； B、浪费和节约，具有相反意义，不符合题意； C、收入和支出，具有相反意义，不符合题意； D、向东走和向南走，不具有相反意义，符合题意； 故选D． 【题型3】用正负数表示相反意义的量 1.核心知识点   正负数表示实际情境中相反意义的量；人为规定基准，完成正负符号赋值。 2.解题方法技巧   ①读懂题干的规定，确定哪一类意义记作正；   ②相反的意义就记作负数；   ③书写注意符号，单位不要遗漏。 【例题3】.（26-27七年级上·广东湛江·开学考试）我国古代数学著作《九章算术》最早引入了负数，魏晋时期数学家刘徽在注解中写道“正算赤，负算黑”，即用红色算筹表示正数、黑色算筹表示负数．若水库水位上升米记作米，则水位下降米应记作________． 【答案】米 【分析】题干规定上升记为正，下降与上升是相反意义的量，按照正负数的表示规则即可得到结果． 【详解】解：∵水位上升米记作米，即上升记为正， ∴水位下降米记作米． 【变式题3-1】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）微信钱包零钱明细收入80元记作元，那么支出45元表示________元． 【答案】 【分析】根据正负数表示一对意义相反的量，收入为正，则支出为负，进行作答即可． 【详解】解：正负数可以表示意义相反的量， ∵题干规定收入元记作元，即收入用正数表示， ∴与收入意义相反的支出需要用负数表示， ∴支出45元表示为元． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·云南昆明·期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果风车顺时针旋转记作，那么表示（     ） A．减少 B．旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 【答案】D 【详解】解：∵风车顺时针旋转，记作， ∴正数表示顺时针旋转，负数表示逆时针旋转； ∴表示逆时针旋转. 【变式题3-3】.（2026·江苏无锡·中考真题）如果一辆汽车加油记作，那么消耗油记作（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 加油记作， ∴ 消耗油记作. 【题型4】有理数概念辨析 1.核心知识点   有理数定义；整数、分数区分；有限小数、循环小数属于分数；明确自然数的范围。 2.解题方法技巧   ①整数包含正整数、0、负整数；分数包含正分数、负分数；   ②有限小数、循环小数可以转化分数，属于有理数；   ③自然数是0和正整数。 【例题4】.（2026九年级下·吉林长春·专题练习）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据无理数定义判断，无限不循环小数是无理数，有理数是整数和分数的统称，无限循环小数、整数、分数都属于有理数． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，对各选项分析如下： 选项A，是无理数，仍是无理数； 选项B，是无限循环小数，属于有理数； 选项C，，是整数，属于有理数； 选项D，是分数，属于有理数． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·江苏盐城·期末）下列各数中不是有理数的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的定义，有理数包含整数和分数（有限小数、无限循环小数），据此判断各选项即可 【详解】解：0是整数，是分数，可化为分数，都是有理数， 不是有理数， 故选：C． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列不是有理数的是（   ） A．0 B． C． D．1.779 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的定义； 依据有理数的定义（整数和分数统称为有理数，有限小数、无限循环小数也属于有理数），判断各选项是否为有理数，找出符合题意的选项． 【详解】解：∵有理数包含整数、分数，有限小数与无限循环小数也可化为分数，属于有理数， ∴A、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； C、是无限不循环小数，不属于有理数，故此选项符合题意； D、1.779是有限小数，可化为分数，属于有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·全国·期末）在，，0，中，有理数有_____个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的定义，根据有理数的定义逐个判断，即可求解． 【详解】解：，，0，是有理数；不是有理数，有理数有3个． 故答案为3． 【培优高频题型】 【题型5】数的集合归类填空 1.核心知识点   有理数分类；各类数集概念（正数集合、负数集合、整数集合、分数集合、非负有理数集合）。 2.解题方法技巧   ①逐个数进行判断，一个数可以同时属于多个集合；   ②集合末尾填写省略号，表示只列举部分；   ③0是高频易错数，不要漏填或者错填。 【例题5】.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）把下列各数对应的序号填在相应的括号内： ①5，②，③1.4，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨ 正有理数：（______________________________）自然数：（______________________________） 负分数：（______________________________）整数：（______________________________） 【答案】①③⑧⑨；①⑥；④⑤⑦；①②⑥ 【分析】根据正有理数、自然数、负分数以及整数的定义逐个判断并填空即可． 【详解】解：根据正有理数的定义，大于0的有理数属于正有理数，可得正有理数内序号为①③⑧⑨； 自然数为非负整数，可得自然数内序号为①⑥； 负分数是小于0的分数，有限小数和无限循环小数都属于分数，可得负分数内序号为④⑤⑦； 整数包含正整数、0、负整数，可得整数内序号为①②⑥． 【变式题5-1】.（24-25七年级上·宁夏银川·期中）把下列各数填入相应集合内：8.5，，0.3，0，，12，，，． (1)正数集合：{                            ...}； (2)整数集合：{                            ...}； (3)负分数集合：{                            ...}． 【答案】(1)8.5，0.3，12， (2)0，12， (3)，， 【分析】根据正数、整数、负分数的定义，对给出的数逐一判断，归类填入对应集合即可，大于0的数为正数，整数包含正整数、0、负整数，小于0的分数为负分数，有限小数属于分数. 【详解】（1）解：大于0的数是正数，因此正数集合为{8.5，0.3，12，，…}； （2）解：整数包含正整数、0、负整数，因此整数集合为{0，12，，…}； （3）解：小于0的分数是负分数，因此负分数集合为{，，，…}． 【变式题5-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）下列各数：15，，，，0，，，中． (1)非负有理数有_________________ (2)非负整数有__________________ (3)非正整数有_________________ 【答案】(1)，，， (2)15，0 (3)，0 【分析】本题考查有理数的概念，掌握好有理数的定义是关键． 非负有理数是指大于或等于零且能表示为两个整数之比的数；非负整数是指大于或等于零的整数；非正整数是指小于或等于零的整数．根据给定数字，逐一判断其类型并分类． 【详解】（1）解：非负有理数有 ，，，； （2）解：非负整数有15，0； （3）解：非正整数有，0． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）．把下面的有理数填在相对应的集合内： ，，，，，6，0，，，，． 正数集合： 负数集合： 整数集合： 分数集合： 自然数集合： 【答案】正数集合：，，，，；负数集合：，，，，；整数集合：，，，，，；分数集合：，，，，；自然数集合：6，0，， 【分析】本题考查了有理数的分类，正确理解有理数的分类是解题的关键．根据有理数的分类求解即可． 【详解】解：正数集合：，，，，，； 负数集合：，，，，，； 整数集合：，，，，，，； 分数集合：，，，，，； 自然数集合：6，0，，，． 【题型6】跨学科情境正负数综合问题 1.核心知识点   结合地理海拔、物理测量、体育测试等跨学科素材；利用正负数模型解决复合型实际问题。 2.解题方法技巧   ①提取跨学科材料中的数量、基准条件；   ②转化成正负数的数学模型；   ③完成计算后结合学科常识校验结果。 【例题6】.（26-27七年级上·全国·课后作业）在中国地形图上，一般在主要山峰和盆地处都标有表明它们海拔高度的数，如珠穆朗玛峰的海拔高度为，吐鲁番盆地的海拔高度为．请说出和表示的实际意义．海平面的海拔高度用什么数表示？ 【答案】表示珠穆朗玛峰的海拔高度高于海平面； 表示吐鲁番盆地的海拔高度低于海平面； 海平面的海拔高度用表示 【分析】根据正负数的实际意义求解即可 【详解】略 【变式题6-1】.（24-25七年级上·全国·课后作业）依据生活情境回答问题： (1)夜空中繁星密布，小贝在数星星：“1颗，2颗，3颗，……”他所用到的数是有理数中的________； (2)五位同学用刻度尺测量五根木条的长度，得到的数据分别是：，，，，，这些数属于有理数中的________； (3)用温度计测量一周的最低气温分别是：，，，，，，，这些数属于有理数中的________． 【答案】(1)正整数 (2)正分数 (3)整数 【分析】本题考查的是有理数的分类与应用； （1）根据正整数的含义可得答案； （2）根据正分数的含义可得答案； （3）根据整数的含义可得答案． 【详解】（1）解：夜空中繁星密布，小贝在数星星：“1颗，2颗，3颗，……”他所用到的数是有理数中的正整数． （2）解：五位同学用刻度尺测量五根木条的长度，得到的数据分别是：，，，，，这些数属于有理数中的正分数． （3）解：用温度计测量一周的最低气温分别是：，，，，，，，这些数属于有理数中的整数． 【变式题6-2】.（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） (2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 【答案】(1) 解：用正负数表示百货商店的盈亏情况如下： 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） 0 (2)四月的营业状况最好，六月的营业状况最差 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据正负数表示具有相反意义的两种量，再结合题意即可解答； （2）根据（1）中表格数据可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：根据（1）中的百货商店的盈亏情况表可知，四月的营业状况最好，六月的营业状况最差． 【变式题6-3】.（24-25七年级上·贵州遵义·阶段检测）学校对七年级学生进行体质健康测试，在引体向上项目中，男生引体向上个数为10个以上记为优秀，9~10个记为良好，4~8个记为及格，低于4个记为不合格．以9个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中12名男生的成绩记录如下表： 序号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 成绩 （个） 0 (1)表中“”表示的意义是___________； (2)这组男生引体向上的成绩优秀率是多少？ (3)你对成绩没有达到良好的同学有些什么建议？ 【答案】(1)比个少做个引体向上 (2) (3)多在课余时间加强锻炼 【分析】本题考查正负数的实际应用； （1）根据题意得到“”的实际意义解答即可； （2）先找出成绩优秀人数，然后计算优秀率解答即可； （3）根据表格中数据提出合理建议即可． 【详解】（1）解：“”表示的意义是比个少做个引体向上， 故答案为：比个少做个引体向上； （2）解：达到优秀的有3人， ∴优秀率为， 答：这组男生引体向上的成绩优秀率是； （3）解：建议：多在课余时间加强锻炼． 易错点 1、判断相反意义的量，忽略 “同类量” 或者 “必须带数量” 两个条件，只看意义相反就判定。 2、错误认为 “带正号就是正数，带负号就是负数”；混淆 0 的属性，把 0 归为正数或者负数。 3、有理数分类出现遗漏，分类标准不统一；混淆自然数概念，忘记 0 属于自然数。 4、处理误差问题，不会正确求出上下限，直接把当成合格数值。 5、基准变化题型，混淆 “固定基准” 和 “以前一日为基准”，直接拿变化量当作实际数值。 6、数集填写时，容易漏掉数字 0，集合末尾忘记写省略号。 重点 1、掌握正数、负数、0 的概念，能够准确识别正数、负数，理解 0 的多重实际意义。 2、会判断具有相反意义的量，可以利用正负数表示生活中相反意义的量。 3、掌握有理数两种分类方式，分清整数、分数，理解非负数、非负整数等特殊集合含义。 4、读懂误差标记，能判断产品是否合格，解决基础实际应用题。 5、可以完成数集归类，正确把数填入对应集合。 难点 1、理解负数抽象含义，区分绝对数值和相对基准变化量，处理动态累加的实际问题。 2、数列符号规律探究，分离数字、符号，利用周期余数推理第 n 个数字。 3、开放说理题，举反例判断命题对错，完整组织数学语言进行说理。 4、新情境、跨学科、数学文化题型，把现实、古文材料抽象转化为正负数数学模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．生物神经细胞存在微弱的电压差，神经静息时膜内为负，记作；兴奋时电位反转，膜内为正，假设某模型中电位反转指绝对值不变，可记为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】电位反转即电位的符号相反，绝对值保持不变． 【详解】解：静息时膜内电位记作，兴奋时电位反转，符号变为正，绝对值不变，因此可记为． 2．在，，，，，中，负数的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据负数“小于0”的定义，逐个判断给定的数，统计负数的个数即可得到结果． 【详解】解：∵ 负数是小于0的数，对给出的数逐个判断： ，是负数； 既不是正数也不是负数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； ，是正数； ∴ 一共有3个负数． 3．下列说法正确的是（     ） A．正数和负数统称为有理数 B．整数分为正整数和负整数 C．0是整数也是有理数 D．小数都是分数 【答案】C 【分析】明确有理数定义、整数分类及小数与分数的关系，逐一判断选项． 【详解】解：选项A，整数和分数统称为有理数，是有理数但既不是正数也不是负数，且正数、负数中包含无理数，故A错误； 选项B，整数分为正整数、和负整数，故B错误； 选项C，是整数也是有理数，故C正确； 选项D，有限小数和无限循环小数是分数，无限不循环小数不是分数，故D错误． 二、填空题 4．一个水库，如果水位下降厘米记作厘米，那么，( )表示水位上升厘米；厘米表示( )． 【答案】 厘米 水位下降厘米 【分析】正负数主要用来表示具有相反意义的两种量，如果规定其中一个为正，那么相反的量就用负数表示． 【详解】解：由题意可知，一个水库，如果水位下降厘米记作厘米， 那么，厘米表示水位上升厘米； 厘米表示水位下降厘米． 5．我国是认识正、负数最早的国家，《九章算术》中就有了正、负数的记载，若盈利100元记作，则亏损200元应记作_____ 【答案】 【分析】已知盈利记为正，根据相反意义可推出亏损的记法． 【详解】解：由题意可知，盈利与亏损是一对具有相反意义的量， 因为盈利元记作， 所以亏损元应记作． 6．在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数，1～9的算筹表示如表所示．表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，在个位数上斜放一筹可以表示负数，如可以用算筹表示为“”，则“”表示的数是_________． 【答案】 【分析】对照表格，从左到右，找到每个算筹对应的数，再注意个位数上的斜放的算筹即可． 【详解】 解：由“”对照表格可得，从左到右，依次对应的数为、、， 又∵个位数上斜放了一筹，表示负数， ∴“”表示的数是． 三、解答题 7．把下列各数填在相应的横线上∶ ①，②，③，④0，⑤2025，⑥， ⑦，⑧⑨，⑩ ． (1)正有理数集合{ …}； (2)负有理数集合{ …}； (3)负分数集合{ …}； (4)非负整数集合{ …}． 【答案】(1)，2025，， (2)，， ， (3)， ， (4)0，2025 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟知非负整数、负分数、正有理数及负有理数的定义是解题的关键． （1）根据正有理数定义判断； （2）根据负有理数定义判断； （3）根据负分数定义求解； （4）根据非负整数的定义求解． 【详解】（1）解：所给各数中的正有理数有：，2025，， ； （2）解：所给各数中的负有理数有：，， ，； （3）解：所给各数中的负分数有：， ，； （4）解：所给各数中的非负整数有：0，2025 ． 8．（1）与0之间有负数吗？0与1之间呢？如果有，请举例；如果没有，请说明理由． （2）与之间有负整数吗？与2之间有哪些整数？ （3）有比还大的负整数吗？ （4）写出3个小于并且大于的数． 【答案】 （1）与0之间有负数，如；0与1之间没有负数，原因是负数小于0； （2）和之间有负整数；与2之间有整数，0，1； （3）没有比大的负整数； （4）例如，． 【分析】本题主要是考查有理数的大小的比较和有理数的分类，认真掌握有理数比较大小的方法及负数、整数、负整数的定义与特点，负数：任何正数前加上负号都等于负数，负数比零，正数小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）正数负数，几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小，据此解答即可； （2）据负数、整数、负整数的定义与特点回答； （3）据负数、整数、负整数的定义与特点回答； （4）几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小，据此解答即可 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 9．某超市2025年1-6月份的营业额与2024年同月营业额相比，其增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月份 1 2 3 4 5 6 相比2024年同月营业额的增长率/% 0 0.2 0.3 0.4 (1)该超市2025年1-6月份的营业额与2024年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)2025年1月和4月相比2024年同月营业额的增长率是负数分别表示什么意义？ 【答案】(1)3月、5月、6月 (2)2025年1月和4月的营业额与2024年1月和4月的营业额相比分别降低了和 【分析】本题考查了正数和负数在增长率问题中的应用，解题的关键是理解增长率为正表示增长，为负表示降低，为零表示持平． （1）依据＂增长率为正数时营业额增长＂，找出增长率为正的月份； （2）依据＂增长率为负数时营业额较去年同月降低＂，解释负数增长率的意义． 【详解】（1）解：增长率为正数时，说明2025年该月营业额比2024年同月增长． 观察表格中各月增长率：1月（负，降低）、2月（持平，降低）、3月（正，增长）、4月（负，降低）、5月（正，增长）、6月（正，增长）． 因此，3月、5月、6月的营业额是增长的． （2）解：增长率为负数，表示2025年该月营业额比2024年同月营业额降低． 1月增长率：表示2025年1月营业额比2024年1月营业额降低了； 4月增长率：表示2025年4月营业额比2024年4月营业额降低了． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $