专题05 弧长、扇形、正多边形与圆（期中真题汇编，浙江专用）九年级数学上学期

**基本信息** 浙江多地九年级期中数学试题汇编，聚焦弧长扇形、正多边形与圆，融合旋转、物理实验等情境，梯度覆盖基础计算与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|7题|正六边形半径计算（第1题）、圆心角度数（第3题）|结合苯分子结构等实际情境| |填空|8题|扇形弧长（第3题）、阴影面积（第14题）|融入网格旋转、定滑轮物理场景| |解答题|12题|旋转扫过面积（第4题）、正六边形阴影周长（第9题）|多问设计，综合几何证明与面积计算|

专题05 弧长、扇形、正多边形与圆 考点01 弧长和扇形面积 考点02 正多边形与圆 考点01 弧长和扇形面积 1．C 2．B 3．【答案】 【分析】 本题考查了求弧长．根据弧长公式即可求解． 【详解】 解：扇形的圆心角为，半径为8， ∴它的弧长为， 故答案为：． 4．【答案】（1） 如图所示：      （2）      【分析】 本题考查了画旋转图形以及求图形旋转后扫过的面积，确定图形经过旋转变换后的对称点是作图关键； （1）确定绕点逆时针旋转后的对称点即可； （2）求出，即可进一步求出扇形的面积； (1) 小问详解： 解：由图可知：点的坐标为； (2) 小问详解： 解：由图可知：， ∴线段扫过部分的面积为： 5．【答案】 【分析】 本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据题意使用弧长公式计算即可． 【详解】 解：根据题意，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了． 故答案为：． 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可； （2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解． (1) 小问详解： 解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在四边形中，∵ ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：． 7．【答案】 【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积公式等知识点． 弦垂直平分半径OC得到，结合得到为等边三角形，再利用扇形面积公式即可得到答案． 【详解】 解：弦垂直平分半径， ， ， 为等边三角形， ， ∵，， ， 扇形的面积， 故答案为：． 8．【答案】（1） 证明：为的直径， ，即 又， ；     （2） 证明：， ， ， 又，， ≌；     （3）的半径为，阴影部分的面积是：      【分析】 本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，以及扇形的面积的计算，正确求得的度数是解决本题的关键． 根据直径所对的圆周角是直角，以及垂直于同一直线的两直线平行即可证得； 根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，即可证得：和的两个角相等，从而证得两个三角形全等； 根据勾股定理求得x的值，然后根据阴影部分的面积=扇形COD的面积的面积即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接设， ， ， 在中，， 在中，根据勾股定理可得：， 解得：，即， ， 的半径为， ， ， ∵， ， 扇形的面积是：， 的面积是：， 阴影部分的面积是：． 9．【答案】①     ② 【分析】 此题考查的是垂径定理，可连接、，分别作弦、的垂线，根据垂径定理知，弦的垂直平分线经过圆心；则两条弦的垂直平分线的交点必为圆弧所在圆的圆心，然后再判断其坐标即可．设圆心为M，连接，过M作的垂线，设垂足为D；根据点M的坐标，可得出、的长，再由勾股定理即可求出的半径，再由定理得出，故可得出的度数，由弧长公式即可得出结论，能够根据垂径定理来确定出圆弧所在圆的圆心，是解答此题的关键． 【详解】 解：连接、，分别作弦、的垂线，根据垂径定理知，弦的垂直平分线经过圆心；则两条弦的垂直平分线的交点必为圆弧所在圆的圆心，该圆弧所在圆的圆心如图所示，该圆弧所在圆的圆心坐标为； 设圆弧所在圆的圆心为M，连接；过M作于D，则，； 在中，根据勾股定理，得：； 该圆弧所在圆的半径为， 在与中， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， 故答案为：，． 10．【答案】（1） 如图，即为所求．      （2） 如图，点即为所求．      （3）      【分析】 本题考查作图旋转变换、三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题； （1）根据旋转的性质作图即可． （2）结合三角形的外接圆与外心的定义，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． （3）利用勾股定理求出的长，再利用扇形的面积公式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． (3) 小问详解： 解：由勾股定理得，， 线段在旋转过程中扫过的图形的面积为． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，扇形面积等；掌握垂径定理，能熟练利用勾股定理，扇形面积公式进行求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，可得，即可求解； （2）由垂径定理得，由圆的基本性质得，结合勾股定理及扇形面积公式，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ； (2) 小问详解： 解：， ， ， 在中，， ， ， ． 12．【答案】6 【分析】根据扇形的面积公式S=，得R=． 【详解】根据扇形的面积公式，得 R===6， 故答案为6． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运用扇形的面积公式． 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由垂径定理得点E是的中点、进而由三角形中位线定理得，再由含30度角直角三角形的性质得，即可求得的长； （2）连接，易得是等边三角形，则可得，从而阴影部分的面积等于扇形的面积，利用扇形面积公式即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴点E是的中点， ∵O是的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：连接，如图， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】 本题考查垂径定理、直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理、含30度角直角三角形的性质，扇形的面积等知识，熟练并灵活运用这些知识是关键． 14．【答案】 【分析】 本题考查了扇形面积，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识，合理作图是关键． 如图所示，设与交于点，过点作于点，运用勾股定理和等边对等角得到，，则，由阴影部分面积的计算方法得到，代入计算即可求解． 【详解】 解：如图所示，设与交于点，过点作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是以的中点为圆心的圆， ∴， 在中，， ∴， 同理，， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 15．【答案】 【分析】 由是等腰直角三角形且直角边长为可得，，由题意可得，由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，在中，根据勾股定理可得，进而可得，于是可得，同理可得，，，，，于是得解． 【详解】 解：是等腰直角三角形，且直角边长为， ，， 由题意可得：， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了图形类规律探索，求不规则图形的面积，求扇形面积，三角形的面积公式，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 考点02 正多边形与圆 1．A 2．A 3．B 4．C 5．D 6．【答案】9 【分析】 本题考查正多边形的内角问题，根据正多边形的每个内角度数都相同，结合多边形的内角和公式，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：设它的边数为，由题意，得：， 解得：； ∴它的边数为9； 故答案为：9 7．【答案】.5度 【分析】 连接OA、OB，根据正多边形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】 解：作正八边形的外接圆，连接OA、OB，如图： ∴， 由圆周角定理得： ； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形的圆心角的求法、圆周角定理是解题的关键． 8．【答案】10 【分析】 先求出正五边形的外角为，则，进而得出，即可求解． 【详解】 解：根据题意可得： ∵正五边形的一个外角， ∴， ∴， ∴共需要正五边形的个数（个）， 故答案为：10． 【点睛】 本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法． 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了正多边形与圆、直角三角形性质、勾股定理、弧长公式等知识，掌握这些是解题的关键． （1）根据正n边形中心角为，即可求解； （2）过点O作于点P，求得是等边三角形，利用直角三角形性质结合勾股定理求得半径是4，再利用弧长公式求解即可． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，过点O作于点P， ， 是等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得：， 即， 解得（舍去负值）， ， ， 的长为， 阴影部分的周长为． 10．【答案】135 【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数即可. 【详解】正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°， 每一个内角的度数为： 1080°÷8=135°， 故答案为135. 11．【答案】 【分析】 本题考查正六边形内角和，等腰三角形定义，三角形内角和定理等．根据题意可知正六边形每个内角为，和为等腰三角形，即可求出，继而求出的度数． 【详解】 解：∵正六边形， ∴每个内角为，和为等腰三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 12．【答案】（1）的度数为；     （2）的长为．      【分析】 （1）根据多边形的内角和公式计算即可； （2）先求出中心角，是等边三角形，根据弧长公式求得半径为2，由等边三角形的性质，结合已知可得，根据勾股定理即可得的长． (1) 小问详解： 解：， ∴的度数为． (2) 小问详解： 解：∵正六边形，是它的外接圆， ∴中心角， ∵劣弧的长为， ∴， 解得：， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】 本题考查正多边形的内角，圆与正多边形，解直角三角形，正多边形的中心角，弧长公式，等边三角形的判定和性质，勾股定理． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 弧长、扇形、正多边形与圆 2大高频考点概览 考点01 弧长和扇形面积 考点02 正多边形与圆 考点01 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）如图，将以点为中心顺时针旋转得到，若点的对应点恰为边的中点，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查直角三角形斜边上中线的性质，旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，弧长，综合运用相关知识是解题的关键． 先根据直角三角形斜边上中线的性质得到，由旋转得，从而证得是等边三角形，得到，即旋转角为，再根据勾股定理求出，根据弧长公式即可解答． 【详解】 解：∵点D是的斜边的中点， ∴， 由旋转可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴由旋转可得， ∵点D是的中点， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：C 2．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）如图，在中，为直径，点C，D分别在两侧，连接．若，，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查圆周角，邻补角，弧长公式，掌握知识点是解题的关键． 连接，求出，得到，再利用弧长公式求解即可． 【详解】 解：连接，如图 ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 3．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）若扇形的圆心角为，半径为8，则它的弧长为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了求弧长．根据弧长公式即可求解． 【详解】 解：扇形的圆心角为，半径为8， ∴它的弧长为， 故答案为：． 4．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），的顶点均在格点上，请解答下列问题： （1）在坐标系中画出绕点逆时针旋转后的并直接写出点的对应点的坐标________； （2）求旋转过程中线段扫过部分的面积． 【答案】（1） 如图所示：      （2）      【分析】 本题考查了画旋转图形以及求图形旋转后扫过的面积，确定图形经过旋转变换后的对称点是作图关键； （1）确定绕点逆时针旋转后的对称点即可； （2）求出，即可进一步求出扇形的面积； (1) 小问详解： 解：由图可知：点的坐标为； (2) 小问详解： 解：由图可知：， ∴线段扫过部分的面积为： 5．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A 的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A 转过的度数为时，重物上升了　　　　　　　（结果保留π）． 【答案】 【分析】 本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据题意使用弧长公式计算即可． 【详解】 解：根据题意，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了． 故答案为：． 6．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． （1）如图1，连接，求的度数； （2）如图2，若点为的中点，且，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可； （2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解． (1) 小问详解： 解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在四边形中，∵ ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：． 7．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）如图，在半径为的中，弦垂直平分半径，则扇形的面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积公式等知识点． 弦垂直平分半径OC得到，结合得到为等边三角形，再利用扇形面积公式即可得到答案． 【详解】 解：弦垂直平分半径， ， ， 为等边三角形， ， ∵，， ， 扇形的面积， 故答案为：． 8．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）如图，已知为的直径，是弦，于E，于F， （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的半径及阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：为的直径， ，即 又， ；     （2） 证明：， ， ， 又，， ≌；     （3）的半径为，阴影部分的面积是：      【分析】 本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，以及扇形的面积的计算，正确求得的度数是解决本题的关键． 根据直径所对的圆周角是直角，以及垂直于同一直线的两直线平行即可证得； 根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，即可证得：和的两个角相等，从而证得两个三角形全等； 根据勾股定理求得x的值，然后根据阴影部分的面积=扇形COD的面积的面积即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接设， ， ， 在中，， 在中，根据勾股定理可得：， 解得：，即， ， 的半径为， ， ， ∵， ， 扇形的面积是：， 的面积是：， 阴影部分的面积是：． 9．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为　　　　　　  ，弧的长为　　　　　　（结果保留根号及） 【答案】①     ② 【分析】 此题考查的是垂径定理，可连接、，分别作弦、的垂线，根据垂径定理知，弦的垂直平分线经过圆心；则两条弦的垂直平分线的交点必为圆弧所在圆的圆心，然后再判断其坐标即可．设圆心为M，连接，过M作的垂线，设垂足为D；根据点M的坐标，可得出、的长，再由勾股定理即可求出的半径，再由定理得出，故可得出的度数，由弧长公式即可得出结论，能够根据垂径定理来确定出圆弧所在圆的圆心，是解答此题的关键． 【详解】 解：连接、，分别作弦、的垂线，根据垂径定理知，弦的垂直平分线经过圆心；则两条弦的垂直平分线的交点必为圆弧所在圆的圆心，该圆弧所在圆的圆心如图所示，该圆弧所在圆的圆心坐标为； 设圆弧所在圆的圆心为M，连接；过M作于D，则，； 在中，根据勾股定理，得：； 该圆弧所在圆的半径为， 在与中， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， 故答案为：，． 10．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）如图，的顶点都在正方形网格格点上． （1）将绕点A按逆时针方向旋转得到（点B对应点），画出． （2）请借助网格和一把无刻度直尺找出的外心点O，并标明外心O的位置． （3）设每个小方格的边长为1，求出线段在旋转过程中扫过的图形的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求．      （2） 如图，点即为所求．      （3）      【分析】 本题考查作图旋转变换、三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题； （1）根据旋转的性质作图即可． （2）结合三角形的外接圆与外心的定义，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． （3）利用勾股定理求出的长，再利用扇形的面积公式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． (3) 小问详解： 解：由勾股定理得，， 线段在旋转过程中扫过的图形的面积为． 11．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）如图，在中，，，直径于点，连接，． （1）求的度数； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，扇形面积等；掌握垂径定理，能熟练利用勾股定理，扇形面积公式进行求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，可得，即可求解； （2）由垂径定理得，由圆的基本性质得，结合勾股定理及扇形面积公式，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ； (2) 小问详解： 解：， ， ， 在中，， ， ， ． 12．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是 　　　　　　． 【答案】6 【分析】根据扇形的面积公式S=，得R=． 【详解】根据扇形的面积公式，得 R===6， 故答案为6． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运用扇形的面积公式． 13．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）如图，已知是的直径，点，在上，且，过圆心作，垂足为． （1）求的长． （2）若的延长线交于点，求弦，和所围成的图形（阴影部分）的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由垂径定理得点E是的中点、进而由三角形中位线定理得，再由含30度角直角三角形的性质得，即可求得的长； （2）连接，易得是等边三角形，则可得，从而阴影部分的面积等于扇形的面积，利用扇形面积公式即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴点E是的中点， ∵O是的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：连接，如图， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】 本题考查垂径定理、直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理、含30度角直角三角形的性质，扇形的面积等知识，熟练并灵活运用这些知识是关键． 14．（25-26学年九上·浙江金华·期中）如图，在矩形中，，．以的中点为圆心，长为半径作，则阴影部分的面积为　　　　　　　　　　　　（结果保留）． 【答案】 【分析】 本题考查了扇形面积，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识，合理作图是关键． 如图所示，设与交于点，过点作于点，运用勾股定理和等边对等角得到，，则，由阴影部分面积的计算方法得到，代入计算即可求解． 【详解】 解：如图所示，设与交于点，过点作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是以的中点为圆心的圆， ∴， 在中，， ∴， 同理，， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 15．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）如图，等腰的直角边长为4，以A为圆心，直角边为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧与、围成的阴影部分面积为，再以A为圆心，为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧与、围成的阴影部分面积为，，按此规律继续作下去，则得到的阴影部分的面积 　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由是等腰直角三角形且直角边长为可得，，由题意可得，由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，在中，根据勾股定理可得，进而可得，于是可得，同理可得，，，，，于是得解． 【详解】 解：是等腰直角三角形，且直角边长为， ，， 由题意可得：， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了图形类规律探索，求不规则图形的面积，求扇形面积，三角形的面积公式，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 考点02 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）已知圆内接正六边形的周长为30，则圆的半径为（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【分析】 本题考查了正多边形与圆综合；圆内接正六边形的边长等于圆的半径，由周长可求边长． 【详解】 解：∵圆内接正六边形的周长为30， ∴边长 ． 又∵圆内接正六边形的边长等于圆的半径 ， ∴ ． 因此，圆的半径为5． 故选：A． 2．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O 为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 根据正六边形的性质和等边三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】 点O 为正六边形的 中心， ， ， 为等边三角形， ， 过点作， ， ， ， ． 故选． 3．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据正多边形的性质求和的度数，再根据是的中点求，进而求的度数，最后根据圆周角定理可得． 【详解】 解：连接． ∵六边形是正六边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】 本题考查了正多边形与圆、圆周角定理，熟练掌握正多边形的相关计算是解题关键． 4．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的面积为（     ） A.  B.  C.  D. 18 【答案】C 【分析】 本题考查了圆与正多边形，连接，，由正多边形的性质得是等边三角形，求出三角形的面积，即可求解；理解正多边形的性质是解题的关键． 【详解】 解：连接，， 正六边形内接于， ， ， 是等边三角形， ， 解得：， ， 正六边形的面积为 ； 故选：C． 5．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（     ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设正六边形的边长为x，则，，进而求出，，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，再根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】 解：设正六边形的边长为x， ∴，， ∵， ∴， 过B作于H， ∴，， 在中，， ∴， 同理可证，， ∴， ∵的长为， ∴， 解得， 正六边形的边长为． 故选：D． 【点睛】 本题考查的是正六边形的性质和弧长公式，等腰三角形的性质，勾股定理，一元一次方程的应用． 6．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）已知某正多边形的一个内角为，则它的边数为　　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题考查正多边形的内角问题，根据正多边形的每个内角度数都相同，结合多边形的内角和公式，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：设它的边数为，由题意，得：， 解得：； ∴它的边数为9； 故答案为：9 7．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）如图，点为正八边形的中心，则的度数为　　　　　　． 【答案】.5度 【分析】 连接OA、OB，根据正多边形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】 解：作正八边形的外接圆，连接OA、OB，如图： ∴， 由圆周角定理得： ； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形的圆心角的求法、圆周角定理是解题的关键． 8．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是　　　　　　　　 个． 【答案】10 【分析】 先求出正五边形的外角为，则，进而得出，即可求解． 【详解】 解：根据题意可得： ∵正五边形的一个外角， ∴， ∴， ∴共需要正五边形的个数（个）， 故答案为：10． 【点睛】 本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法． 9．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）如图，六边形是的内接正六边形，连接，． （1）填空：的度数为_____． （2）若正六边形的边心距为，求图中阴影部分的周长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了正多边形与圆、直角三角形性质、勾股定理、弧长公式等知识，掌握这些是解题的关键． （1）根据正n边形中心角为，即可求解； （2）过点O作于点P，求得是等边三角形，利用直角三角形性质结合勾股定理求得半径是4，再利用弧长公式求解即可． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，过点O作于点P， ， 是等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得：， 即， 解得（舍去负值）， ， ， 的长为， 阴影部分的周长为． 10．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）正八边形的一个内角的度数是　　　　 度． 【答案】135 【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数即可. 【详解】正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°， 每一个内角的度数为： 1080°÷8=135°， 故答案为135. 11．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）如图，在正六边形中，的度数是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查正六边形内角和，等腰三角形定义，三角形内角和定理等．根据题意可知正六边形每个内角为，和为等腰三角形，即可求出，继而求出的度数． 【详解】 解：∵正六边形， ∴每个内角为，和为等腰三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． （1）求的度数 （2）连接，，作．若劣弧的长为，求的长 【答案】（1）的度数为；     （2）的长为．      【分析】 （1）根据多边形的内角和公式计算即可； （2）先求出中心角，是等边三角形，根据弧长公式求得半径为2，由等边三角形的性质，结合已知可得，根据勾股定理即可得的长． (1) 小问详解： 解：， ∴的度数为． (2) 小问详解： 解：∵正六边形，是它的外接圆， ∴中心角， ∵劣弧的长为， ∴， 解得：， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】 本题考查正多边形的内角，圆与正多边形，解直角三角形，正多边形的中心角，弧长公式，等边三角形的判定和性质，勾股定理． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05弧长、扇形、正多边形与圆 2大高频考点概览 考点01弧长和扇形面积 考点02正多边形与圆 》 考点01弧长和扇形面积 1.(25-26学年九上·浙江舟山·期中)如图，将Rt△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE,若点 B的对应点D恰为BC边的中点，AB=1,则CE的长为( A c▣ D婴 2.(25-26学年九上浙江温州教育联盟期中)如图，在⊙O中，AB为直径，点C,D分别在AB两侧， 连接AD,CD·若AB=12:∠D=15口，则BC的长是( ) D 5 A. B.5π C.15π D.30π 3.（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中)若扇形的圆心角为80口°，半径为8，则它的弧长为 4.(25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中)正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1，小正方形的 顶点叫做格点)，△ABC的顶点均在格点上，请解答下列问题： 1/8 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y 3 2 --1 3 4 (1)在坐标系中画出△ABC绕点A逆时针旋转90口°后的△A1B,C1并直接写出点C的对应点C1的坐标 (2)求旋转过程中线段AB扫过部分的面积。 5.(25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中)物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力 的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变.己知滑轮的半 径为15cm,当滑轮上点A转过的度数为60▣°时，重物上升了 cm（结果保留π)· 白重物 6.（25-26学年九上浙江杭州观成中学.期中)如图，在△ABC中，AC=BC,以AB为直径作⊙O, 与AC相交于点D.连接OC,与⊙O相交于点E D D B (图1) (图2) (1)如图1，连接DE,求∠ADE的度数： (2)如图2，若点D为AC的中点，且AC=6求DE的长. 7.(25-26学年九上浙江杭州观成中学.期中)如图，在半径为10cm的⊙O中，弦AB垂直平分半径OC, 则扇形OAB的面积为 218 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 8.(25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中)如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于 E,OF⊥AC于F,BE=OF. E D B (1)求证：OF‖BC (2)求证：△AFO≌△CEB: (3)若EB=5cm,CD=10V叵，求⊙O的半径及阴影部分的面积. 9.（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中)如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C,其中 B点坐标为4,4，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ,弧ABC的长为 (结果 保留根号及π) B x 10.(25-26学年九上·浙江杭州星澜中学期中)如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上. (1)将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90口°得到△ABC(点B对应点B),画出△ABC. 318 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O,并标明外心O的位置. (3)设每个小方格的边长为1，求出线段AB在旋转过程中扫过的图形的面积. 山.(25-26学年九上浙江舟山：期中)如图，在⊙0中，OA=4:CD=BD直径AB1CD于点E 连接OC,OD E B (1)求∠COD的度数； (2)求阴影部分的面积. 12.(25-26学年九上·浙江名校共同体.期中)已知扇形的圆心角为120°，面积为12元，则扇形的半径是 13.(25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校期中)如图，已知AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上， ∠D=60°且AB=6,过圆心O作OE⊥AC,垂足为E. E A B D (1)求OE的长。 (2)若OE的延长线交⊙O于点F,求弦AP,AC和CF所围成的图形（阴影部分）的面积S: 14.(25-26学年九上·浙江金华期中)如图，在矩形ABCD中，AB=2V石，BC=8.以BC的中点O 为圆心，OB长为半径作BC则阴影部分的面积为 (结果保留π)· 418 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 0 15.(25-26学年九上浙江舟山名校协作体期中)如图，等腰Rt△ABC的直角边长为4，以A为圆心， 直角边AB为半径作弧BC1,交斜边AC于点C1,C1B1⊥AB于点B1,设弧BC1与C1B1、B1B围成的阴 影部分面积为S1,再以A为圆心，AB1为半径作弧B,C2,交斜边AC于点C2,C2B2⊥AB于点B2,设 弧BC2与C2B2、B2B围成的阴影部分面积为S2,,按此规律继续作下去，则得到的阴影部分的面积 S6= C C2 S2 S B3 B2 BB 》 考点02正多边形与圆 1.(25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中)已知圆内接正六边形的周长为30，则圆的半径为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 2.（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中)苯（分子式为C6H6)的环状结构是由德国化学家凯库 勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示 意图如图2，点O为正六边形ABCDEF的中心.若CD=1,则正六边形的面积为( ) 图1 图2 A.3▣ B.3/▣ ▣ D婴 3. (25-26学年九上浙江杭州星澜中学期中)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0：点p在AB,Q 518 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 是DE的中点，则上CPQ的度数为( P B A.30▣° B.45▣ C.36▣° D.60▣ 4.(25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,若⊙O的周长等于6π， 则正六边形的面积为( E D B A.27V▣ B.18V▣ 。 20 D.18 5.(25-26学年九上·浙江绍兴一中.期中)如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AC的长为半径 画，得到CE连接AC,A怎，石CE的长为号，则E六边形的边长为( A.2 B.2V▣ D.2 ▣ 6. (25-26学年九上·浙江湖州第四中学，期中)已知某正多边形的一个内角为140口°，则它的边数为 7.(25-26学年九上·浙江舟山·期中)如图，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，则∠ADB的度数为 618 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G D H 8.(25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中)如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示 的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 个. 9.(25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中)如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，连接OA, OB. E A B (1)填空：∠AOB的度数为 (2)若正六边形ABCDEF的边心距为2V叵，求图中阴影部分的周长 10.(25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中)正八边形的一个内角的度数是 度. 11.(25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中)如图，在正六边形ABCDEF中，∠CAE的度数是 12.(25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中)如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是 718 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由其抽象而成的正六边形ABCDEF,⊙O是它的外接圆. A D 图1 图2 (1)求∠BAF的度数 (2)连接OC,OD,作0G⊥CD.若劣弧CD的长为π，求OG的长 3 8/8