29.1.1　圆的有关概念（第1课时）教学设计2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦圆的定义、点与圆的位置关系及弦、弧等相关概念。课堂导入通过毕达哥拉斯名言及生活中圆形图片，引导学生观察现实中的圆，建立数学与生活的联系，引出圆的性质学习。 特色在于注重动手操作与动态直观结合，通过画圆、测量距离等活动理解圆的描述性定义，动图演示点与圆位置关系及等圆等弧，发展几何直观。例题联系矩形、直角三角形，培养推理意识与应用意识，助学生掌握概念辨析与应用，提升教学效率，夯实几何基础。

29.1.1　圆的有关概念（第1课时） 教学目标 　　1．通过观察、操作、归纳等数学活动理解圆的定义；理解并掌握点和圆的三种位置关系及点和圆的位置关系的判断方法；理解弦、直径、弧、优弧、半圆、劣弧、等圆、等弧的概念，能够在图形中识别弦和弧． 2．经历点和圆的位置关系的探究过程，体会数形结合、分类讨论的数学思想方法．感受圆和实际生活的联系，体会数学知识在生活中的普遍性，能利用点和圆的位置关系的判断方法解决实际问题，感受点和圆的位置关系与生活中的活动紧密相连，发展分析问题、解决问题的能力． 3．理解概念之间的区别和联系，能灵活运用圆的有关概念解决问题． 教学重点 　　圆的定义的形成过程；点和圆的位置关系；理解与圆有关的概念． 教学难点 　　圆的集合性定义；利用点和圆位置的关系的判断方法解决实际问题． 教学准备 　　准备直尺和圆规． 教学过程 新课导入 希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆．”圆是常见的图形，生活中的许多物体都给我们以圆的形象．你能发现下面图片中的圆形吗？ 　　　　 　　　　 　　【师生活动】教师展示图片，学生指出图片中的圆形． 　　【设计意图】结合生活实际，列举生活中的圆，让学生体会圆在日常生活和生产实践中有着广泛的应用，激发学生的学习兴趣，引出本节课要学习的“圆的有关性质”． 新知探究 一、探究学习 　　【问题】我们在小学已经对圆有了初步认识．请仿照图中方法，在纸上画一个半径为3 cm的圆．观察画圆的过程，你能从点的运动的角度描述圆是怎样形成的吗？ 　　【师生活动】学生先自己画图，教师演示画圆的动态过程；然后学生小组讨论圆的形成过程，教师进行总结． 　　【新知】在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所形成的图形叫作圆．其固定的端点O叫作圆心，线段OP叫作半径． 　　以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”． 　　【设计意图】学生动手操作中发现圆的形成过程，得出圆的描述性定义． 　　【问题】量一量，圆上各点到定点（圆心O）的距离有什么特点？反过来，到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ 　　【师生活动】学生独立操作，思考答案，教师进行演示，师生一起总结． 　　【新知】（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； 　　（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 　　因此，圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 　　【设计意图】学生动手操作中得出圆的集合性定义．让学生认识到，把一个图形看成满足某种条件的点的集合，必须符合：（1）图形上的每一点都满足某个条件；（2）满足这个条件的每一个点，都在这个图形上．这两个条件缺一不可． 　　【思考】（1）以2 cm为半径能画几个圆？ 　　（2）在同一个平面内，以点O为圆心能画几个圆？ 　　（3）在同一个平面内，以点O为圆心、以2 cm为半径，能画几个圆？ 　　（4）确定一个圆需要哪几个要素？ 　　【师生活动】学生先自己画图，然后小组讨论交流，教师进行演示，师生一起总结． 　　【归纳】确定圆的两个要素：圆心和半径； 　　圆心确定圆的 位置 ，半径确定圆的 大小 ． 　　【设计意图】让学生在交流讨论中，体会到只有圆心和半径都确定，才能确定一个圆． 【问题】在同一张纸面上任意画一个⊙O和一些点，这些点和圆的位置关系有几种情况？ 　　【师生活动】学生先独立思考，然后小组讨论． 　　【答案】点A在⊙O外，点B在⊙O上，点C在⊙O内. 　　【新知】观察画圆的过程，还可以发现，平面被圆分成三部分.相应地，平面内的点与圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内. 　　【问题】如图，设⊙O半径为r，点A，点B，点C到圆心O的距离与半径r有什么关系？ 　　【师生活动】学生先自己动手连接OA，OB，OC，再通过测量得出OA，OB，OC与r的关系，最后教师进行展示． 　　【答案】连接OA，OB，OC，如图，点A在⊙O外⇒OA＞r；点B在⊙O上⇒OB＝r；点C在⊙O内⇒OC＜r． 　　【思考】反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能判断点和圆的位置关系吗？ 　　【师生活动】学生独立思考，教师展示动画，学生结合动画得出答案． 　　【答案】OA＞r⇒点A在⊙O外；OB＝r⇒点B在⊙O上；OC＜r⇒点C在⊙O内． 　　【设计意图】学生通过度量获得点到圆心的距离的数量关系，初步了解点和圆的位置关系与点到圆心的距离的数量关系互相对应． 　　【思考】结合下面的动图，总结你的发现． 　　【师生活动】教师展示动图，学生观察动图，小组交流、总结． 　　【新知】设⊙O的半径为r，任意一点P到圆心的距离OP＝d，则有： 　　点P在圆外⇔d＞r； 　　点P在圆上⇔d＝r； 　　点P在圆内⇔d＜r． 　　【归纳】符号⇔读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以推出右端，从符号“⇔”的右端也可以推出左端． 【设计意图】借助动图，形象地展示点和圆的位置关系，帮助学生更好地理解点和圆的位置关系与点到圆心的距离的数量关系互相对应：由位置关系可以确定数量关系，同样由数量关系可以确定位置关系． 　　【练习】已知⊙O的面积为25π． 　　（1）若PO＝5.5，则点P在_________； 　　（2）若PO＝4，则点P在_________； 　　（3）若PO＝_________，则点P在圆上； 　　（4）若点P不在圆外，则PO_________． 　　【师生活动】学生独立完成，让一名学生进行板书作答． 　　【答案】圆外　　圆内　　5　　≤5 　　【设计意图】通过练习，让学生初步掌握点和圆的位置关系的判断方法． 　　【问题】一个圆把平面上的点分成三类，即圆上的点、圆内的点、圆外的点．你能用集合的语言表示圆上的点、圆内的点、圆外的点吗？ 　　【师生活动】教师引导学生类比圆的集合性定义进行总结． 　　【答案】根据圆的定义可知，圆上的点可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 　　类比圆的定义可知，圆的内部的点可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合；圆的外部的点可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合． 　　【练习】画出由所有到已知点O的距离小于或等于2 cm的点组成的图形． 　　【师生活动】学生独立完成，一名学生板书作答． 　　【答案】如图． 　　【设计意图】让学生学会用集合的语言表示圆上的点、圆内的点、圆外的点，体会类比的数学思想方法． 　　【新知】连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径．直径长是半径长的2倍.如图，AB，AC是弦，AB是直径． 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧．以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆．大于半圆的弧叫作优弧；小于半圆的弧叫作劣弧．在图中，（用三个字母表示）是优弧，是劣弧. 　　【思考】直径与弦有什么关系？半圆与弧有什么关系？图中还有其他的优弧或劣弧吗？ 　　【师生活动】学生小组讨论得出：直径一定是弦，但弦不一定是直径；弦包括直径，直径是特殊的弦．半圆一定是弧，但弧不一定是半圆．优弧，劣弧． 　　【设计意图】引导学生分析弦与直径、弧与半圆之间的区别与联系．巩固新学习的优弧和劣弧的概念． 　　【问题】仔细观察下面的动图，想一想什么情况下两个圆能够完全重合？ 　　【师生活动】学生小组讨论，教师进行延伸、总结． 　　【新知】能够重合的两个圆叫作等圆． 　　容易看出：同圆或等圆的半径相等；反过来，半径相等的两个圆是等圆． 　　在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧． 　　如图，，，是等弧． 　　【设计意图】借助动图和动画，形象地展示等圆和等弧的特点，让学生对等圆和等弧的理解更深一层． 二、典例精讲 　　【例1】矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上． 　　【师生活动】学生独立完成，并小组讨论，尝试进行解答，教师给予帮助． 　　【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O， 　　∴AO＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD. 　　∴OA＝OB＝OC＝OD． 　　∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上（如图）． 　　【归纳】巧用圆的特性，判断多点共圆． 　　判断多点是否在同一个圆上的问题，实质上是寻找一个定点，判断这些点到定点的距离是否相等，若存在这样的定点，则这些点在同一个圆上；若不存在这样的定点，则这些点就不在同一个圆上． 　　【设计意图】巩固学生对圆的定义的理解和掌握． 　　【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，3为半径作⊙C，判断点A，B，D与⊙C的位置关系． 　　【师生活动】学生独立完成解答，一名学生板书，教师给予指导． 　　【答案】解：由题意，知⊙C的半径r＝3． 　　∵AC＝3＝r， 　　∴点A在⊙C上． 　　∵BC＝4＞r， 　　∴点B在⊙C外． 　　在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， 　　由勾股定理，得AB＝＝＝5． 　　又∵CD⊥AB， 　　∴S△AB C＝AB·CD＝AC·BC． 　　∴CD＝2.4＜r． 　　∴点D在⊙C内． 　　【归纳】判断点和圆的位置关系的策略 　　判断一个点和圆的位置关系时，首先要知道，点到圆心的距离，然后将这个距离与圆的半径进行比较： 　　（1）若点到圆心的距离大于半径，则点在圆外； 　　（2）若点到圆心的距离等于半径，则点在圆上； 　　（3）若点到圆心的距离小于半径，则点在圆内． 【设计意图】通过例题，应用点和圆的位置关系解决问题，巩固学生对点和圆的位置关系的判断方法的掌握． 　　【例3】写出图中⊙O的直径、弦、优弧、劣弧． 　　【师生活动】学生独立完成，教师出示答案． 　　【答案】解：直径AC；弦AB，BC，AC；优弧，；劣弧，． 【设计意图】锻炼学生在图形中识别弦和弧的能力． 【例4】有以下结论： ①直径相等的两个圆是等圆； ②长度相等的两条弧是等弧； ③一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧． 其中正确的有（　　）． 　　A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 　　【师生活动】学生独立完成，教师出示答案． 　　【答案】A 　　【解析】直径相等即半径相等，所以①正确； 　　等弧是指在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧，所以②错误； 　　直径把圆分成的两个半圆就是等弧，所以③错误． 　　【提醒】（1）直径是圆中最长的弦，而弦不一定是直径． 　　（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆． 　　（3）弧包括优弧、劣弧和半圆． 　　（4）等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关． 　　（5）等弧的长度一定相等，但长度相等的弧不一定是等弧． 　　【设计意图】帮助学生理解圆的相关概念之间的区别和联系． 课堂小结 板书设计 　　一、圆的定义（描述性、集合性） 二、点和圆的位置关系 　　三、圆的相关概念 课后任务 　　完成教材第116页练习第1~4题． 教学反思 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $