29.1.2.2 反证法 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“反证法”核心知识点，通过判断四个命题真假（含真命题证明、假命题反例），引导学生区分直接与间接证明，搭建从已知证明方法到反证法的学习支架。 以“过同一直线三点不能作圆”为探究载体，展现反证法“假设-推理矛盾-肯定结论”步骤，培养推理意识与逻辑思维，例题及当堂训练强化数学语言表达，助力学生掌握反证法，教师可借清晰流程与反馈优化教学。

第2课时　反证法 　　　　　　　　　　　　　　　 课题 第2课时　反证法 授课人 教 学 目 标 1.了解反证法,掌握反证法证明的过程. 2.通过学生的独立思考、交流合作,让学生经历问题解决的过程,体验解决问题策略的多样性. 3.让学生感悟数学与日常生活的联系,激发学生学习数学的兴趣. 教学 重点 反证法的证明过程. 教学 难点 反证法的运用. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 请同学们判断下列命题的真假,并说明理由. 1.在直角三角形中,两锐角互余. 2.若x>y,z<0,则xz<yz. 3.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形. 4.在三角形的内角中,至少有一个角大于或等于60. 　　学生在说理过程中明确:(1)假命题只需要举出反例,真命题必须严格证明; (2)对比1,2,4三个命题的推理过程,体会直接证明和间接证明的区别,引入反证法. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 　　生:学生回答,并说明理由.(1,2,4为真命题,3为假命题.命题3学生只需举出反例,命题1,2,4需证明.) 师:根据大家刚才的推理,3是假命题,我们只需要举出反例说明它是错误的.1,2,4是真命题,我们需要进行严格的证明.这三个命题的证明方法有什么区别呢? 生:学生叙述三个命题证明方法上的区别. 师:1,2两个命题是直接由已知推导出结论正确,命题4是从命题结论的反面出发间接证明,这种方法就是今天我们要学习的反证法. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 反证法 思考:我们知道,经过不在同一条直线上的三个点,可以作一个圆.那么,经过同一条直线上的三个点,可以作一个圆吗? 教师引导学生写出已知、求证,并画出图形. 图29-1-36 解:已知:如图29-1-36,点A,B,C三点在直线l上. 求证:过A,B,C三点不能作圆. 　图29-1-37 证明:如图29-1-37,假设经过同一条直线l上的A,B,C三点可以作一个圆.设这个圆的圆心为P,那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上,又在线段BC的垂直平分线l2上,即点P为l1与l2的交点.而l1⊥l,l2⊥l,这与以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以,经过同一条直线上的三个点不能作圆. 上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同,它不是直接去证明命题的结论,而是先提出与结论相反的假设(即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆),再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果,然后由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种方法叫作反证法. 反证法的一般步骤: ①假设命题的结论不成立; ②推理得出矛盾; ③肯定原命题的结论成立. 　　让学生重视数学证明的规范性与严谨性,同时体会反证法的证明过程. 【理解应用】 例1　用反证法说明:两直线平行,同位角相等. 　图29-1-38 解:如图29-1-38,我们要证明:如果AB∥CD,那么∠1=∠2.假设∠1≠∠2,过点O作直线A'B',使∠EOB'=∠2.根据“同位角相等,两直线平行”,可得A'B'∥CD.这样,过点O就有两条直线AB,A'B'都平行于CD,这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.这说明假设∠1≠∠2不正确,从而∠1=∠2. 例2　求证:若a+b+c>0,则a,b,c中至少有一个数为正数. 证明:假设a,b,c都不是正数,则a+b+c≤0. ∵a+b+c>0,与假设矛盾,∴a,b,c中至少有一个数为正数. 　　进一步巩固学生利用反证法证明命题,加深学生对反证法证明过程的理解. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 【当堂训练】 1.用反证法说明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中 (C) A.有一个内角大于60° B.有一个内角小于60° C.每一个内角都大于60° D.每一个内角都小于60° 2.说出下列结论的反面:①a⊥b;②a∥b;③a≥0;④d是正数. [答案:①a不垂直于b　②a不平行于b　③a<0　④d不是正数,即d≤0] 3.用反证法说明:一个三角形中不能有两个角是直角. 解:假设一个三角形中有两个角是直角,那么三角形的内角和一定大于180°,这与三角形的内角和是180°矛盾, 故一个三角形中不能有两个角是直角. 请与你的同桌交流,互答互评. 　　当堂训练,及时反馈学习效果,进一步巩固学生对所学知识的理解、掌握.能使教师及时掌握本课教学效果,为后续教学的安排提供依据. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课的教学内容以课本的基本内容为蓝本,结合学生的认知规律和生活经验,改造和充实所教的内容,体现了学数学、用数学的思想,努力使课堂教学充满趣味性、挑战性,让学生感知数学来源于生活,同时又服务于生活,让他们感受到反证法思想离自己很近,反证法很有用. ②[讲授效果反思] 课堂上教师把学习的主动权交给学生,让学生学会参与、发现、应用、创新.在组织讨论时应把足够的时间留给学生,不仅仅是为了讨论而讨论,学生应在讨论中体会问题的实质,并最终形成自己的认知.练习时要求学生书写规范,培养良好的做题习惯. ③[师生互动反思]     ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $