第5讲：基本不等式【十一大题型+知识归纳】训练-2026-2027学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(苏教版必修第一册）

第5讲：基本不等式 题型一、利用基本不等式比较大小 3 题型二、利用基本不等式求积最大值 4 题型三、利用基本不等式求和最小值 5 题型四：基本不等式‘1’的妙用 5 题型五：分离常数方法求最值 6 题型六：条件等式求最值 7 题型七：基本不等式恒成立问题 8 题型八：基本不等式技巧综合应用 9 题型九：基本不等式在实际问题中的应用 12 题型十、用基本不等式证明不等式 14 题型十一：基本不等式的综合问题 15 知识点一：基本不等式 1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 八大高频解题技巧 用基本不等式≤求最值应注意：一正二定三相等. (1)a，b是正数； (2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2； ②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足 技巧序号 技巧名称 适用场景 经典例题 技巧1 直接套用公式法 式子为简单和式、积式，完全满足「一正二定三相等」，无复杂变形 例题：已知 ，求 的最小值解析：，满足一正； 为定值当且仅当 即 时取等号结论：最小值为 4 技巧2 凑配法（必考） 原式无定值，通过拆项、添项、凑系数，人为构造和/积定值 例题：已知 ，求 的最小值解析：凑定值变形：由 得 ，满足一正 为定值，故 即 结论：最小值为 3 技巧3 乘1法（王牌技巧） 已知 定值，求解分式型 最值，条件最值高频题型 例题：已知 ，求 最小值解析：乘定值1整体展开：原式原式当且仅当 且 取等结论：最小值为 9 技巧4 消元法 二元及以上多元变量，带有约束等式，无法直接用不等式 解题步骤：① 利用题干约束等式，消去其中一个变量，化为单变量式子② 根据原有变量范围，确定新单变量的取值范围（保证正数）③ 结合基本不等式求解最值，最后验证等号成立条件 技巧5 换元法 式子含复杂分式、根式，结构繁琐，可转化为标准对勾函数结构 解题方法：① 常规换元：令 ，简化复杂分母、分子② 换元核心原则：换元必换域，同步确定新变量 的取值范围③ 化简为 标准形式，套用基本不等式求解 技巧6 正负转化法 变量为负数，不满足基本不等式「一正」前提，无法直接套用公式 例题：已知 ，求 最大值解析：由 ，得 （转正）不等号反向：结论：最大值为 -6 技巧7 函数单调性法 变量有区间限制，基本不等式等号无法取到，公式失效（高频易错） 解题思路：① 若求解出的取等条件不在变量定义域内，直接放弃基本不等式② 将式子转化为对勾函数、二次函数③ 根据函数单调性，在给定区间内求解最值⚠️ 考试核心避坑：不取等、无最值，必用单调性 技巧8 分离常数法 适用于分式型函数 的最值求解 解题方法：① 拆分、变形分子，将分式拆分为「常数+简单分式」结构② 消去高次项，凑出「正数+倒数正数」的标准不等式结构③ 满足一正二定三相等后，套用公式求解最值 核心通用前提：所有基本不等式解题必须满足 一正、二定、三相等，缺一不可！ 题型一、利用基本不等式比较大小 【例1】．（24-25高一上·江西吉安·期中）已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，则. 故选：C. 【变式1】．（24-25高一上·广东佛山·阶段检测）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，，则， 因此. 故选：C 【变式2】．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，由基本不等式得， 故， 因为，，两式相减得， ， 故，所以， 故， 所以. 故选：B 题型二、利用基本不等式求积最大值 【例2】．（2026·甘肃陇南·一模）已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【详解】因为且，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 【变式1】．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）若，则取最大值时x的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，当且仅当等号成立. 故选：A. 【变式2】．（25-26高一上·四川达州·期中）已知正数满足，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C．5 D．4 【答案】A 【详解】根据题意可得，即，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为2， 故选A. 题型三、利用基本不等式求和最小值 【例3】．（2026高三·全国·专题练习）函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 【答案】A 【详解】， ，，， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立，故选A. 【变式1】．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由于，所以，即, 所以，解得：或， ，则的最小值为2. 【变式2】．（25-26高一上·云南普洱·期末）当时，的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】因为，则， ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：B. 题型四：基本不等式‘1’的妙用 【例4】．（26-27高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知x，y均为正数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．15 D．25 【答案】D 【详解】，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为. 【变式1】．（25-26高一下·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， ，当且仅当，即时取等号， 所以. 【变式2】．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 题型五：分离常数方法求最值 【例5】．（24-25高一上·贵州黔西南·阶段检测）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】，，则， 当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为1． 【变式1】．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式2】．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【详解】易知．因为，所以，所以， 则，当且仅当，即时，等号成立，故，则的最大值是．故选：A 题型六：条件等式求最值 【例6】．（25-26高一下·河北衡水·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】B 【详解】由正数满足，可得， 所以，同理，将条件变形为， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 【变式1】．（25-26高二下·重庆璧山·期末）若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 【答案】 9 3 【详解】①，由，所以，，，当且仅当时取得等号,则的最小值为， 由条件得，，，，，当且仅当，时取得等号， 则的最小值为. 【变式2】．（25-26高一上·新疆巴州·期末）若正数满足，则的最小值是___________. 【答案】4 【详解】因为正数满足，所以，则，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是4. 故答案为：4. 题型七：基本不等式恒成立问题 【例7】．（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【详解】因为，且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以，即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. 【变式2】．（25-26高一上·四川南充·期中）设正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的最大值是______. 【答案】 【详解】不等式恒成立，等价于恒成立， 由，，，得， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，即. 故答案为： 【变式7】．（24-25高一上·贵州·期中）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】将化为：， 即：，不等式化为：， 上述不等式要恒成立，则小于的最小值. 因为，则 ， 当且仅当，即且时，取“”， 所以，即. 故答案为：. 题型八：基本不等式技巧综合应用 【例8】．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）设，，，则（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】ABD 【详解】已知，故.对选项A： ∵ ，∴ ，代入得：, 该式为关于的二次函数，开口向上，对称轴为，且, ∴ 当时，取最小值，代入得，故A正确. 对选项B：.∵ ，∴ ， 当且仅当即，即时等号成立, 故最小值为，B正确. 对选项C： 由基本不等式得, 代入得，整理得，当且仅当，即时等号成立， 即存在最大值，当时，，无最小值，故C错误. 对选项D： 令，，两边平方得： , 由C得 ，代入得, ∴ ，当且仅当时等号成立，代入解得，满足取值范围， 故最大值为，D正确. 【变式1】．（26-27高三上·云南曲靖·开学考试）已知正数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【详解】对于A：由题意，，. 所以，. 当且仅当，即，，取等号，故A正确； 对于B：， 由（1）知，所以，即，故B不正确； 对于C：. 所以，故C错误； 对于D：， 当且仅当，即，即时取等号（负值舍去），所以D正确. 【变式2】．（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）设正实数，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D． 【答案】ABD 【详解】由题设且， 对于A，，当且仅当时取等号，A对； 对于B，，则，故，当且仅当时取等号，B对； 对于C，，由于， 所以，当且仅当时取等号，C不正确； 对于D，因为， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故D正确 题型九：基本不等式在实际问题中的应用 【例9】．（25-26高一上·四川·阶段检测）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】(1)米，元 (2) 【详解】（1）设甲工程队的总报价为y元， 则，又，当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. （2）由题意可得，对任意的恒成立，即， 所以，又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 【变式1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． 【答案】y＝320×＋16 000，最小值为26 240元 【详解】设网箱长为米，则宽为米. 网衣（实线）造价：；筛网（虚线，3条平行于宽、1条平行于长）造价：；底面造价：. 所以. 由基本不等式，，当且仅当，即时取等号. 所以，即当时，最低造价为元. 【变式2】．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 题型十、用基本不等式证明不等式 【例10】．（26-27高一上·全国·课后作业），求证：.（已知） 【答案】由题意，， 则， 累加可得：， 除以2可得：. 当且仅当时，等号成立. 【变式1】．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)因为均为正实数，所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． (2)因为, 则，因为，，由得当且仅当时等号成立.所以. 【变式2】．（25-26高一上·湖北随州·阶段检测）已知且求证： (1)，； (2)； (3). 【答案】(1)证明: ，， ，， ，， ，； (2)证明: ， ， ， ， ， . 同理，，则有， ， ， ， 综上； (3)证明: ， ， ， ， ， . 题型十一：基本不等式的综合问题 【例11】．（26-27高一上·江西景德镇·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值． 【变式1】．（26-27高一上·河南开封·阶段检测）根据题意，求解下列问题： (1)已知正实数，满足，求的最小值； (2)已知正实数，满足，求的最小值； (3)已知，求的最大值． 【答案】(1)4 (2)8 (3) 【详解】（1）因为，当且仅当， 即，时，等号成立．     故的最小值为4； （2）由得， 则， 则， 则，故， 当且仅当时，即时，等号成立． 即的最小值为8； （3） 当且仅当，即时，等号成立． 即的最大值为. 【变式2】．（26-27高一上·河南安阳·阶段检测）已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最大值； (3)设，求的最小值.（提示：若，，，则，当且仅当时，等号成立.） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由已知，，得， 所以， 当且仅当时，又，即时，等号成立； 即的最小值为. （2）由已知得，因此 ， 由可得，当且仅当，即时等号成立； 因此，此时符合条件， 即的最大值为 （3）将代入得 ； 对，有， 当且仅当即，时等号成立； 此时，符合条件，因此， 即的最小值为 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏南通·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为正数a，b满足，所以，即，当且仅当时取“＝”，所以的最大值为. 故选： 2．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式将原等式转化为关于的一元二次不等式求解. 【详解】由，得， 整理得，即， 而，故可得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A 3．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知，且，则的最小值是（    ） A．49 B．51 C．53 D．55 【答案】A 【分析】根据结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：A. 4．已知，满足，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】变形给定等式，换元，用表示，再代入，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，令，则， 解得，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故B正确. 故选：B. 5．已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由权方和不等式可得结果， 【详解】由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故选：B. 6．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 【答案】C 【分析】对于ABC：利用基本不等式运算求解即可；对于D：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为正实数满足. 对于选项A：因为，即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为，即，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误. 7．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知不等式对满足的所有正实数，都成立，则正数的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】因为对满足的所有正实数，都成立， 可得对满足的所有正实数，都成立. 由得，即. 由，得，即， 当且仅当时取等号. 所以 ，则. 则有，即，则，解得. 所以正数. 故选：B. 二、多选题 8．（25-26高一上·江苏南京·期末）若为正实数，，则（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为9 D．的最小值为 【答案】BD 【详解】对于A，，故A错；对于B，， 当时取等，故B对； 对于C，，故C错； 对于D，，故D对. 故选：BD 9．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，由，且可得，即，且，即， 所以，可得，所以，即A正确； 对于B，易知，即，可得， 当且仅当，即时，等号成立，即B错误； 对于C，易知， 当且仅当，即时，等号成立，即C正确； 对于D，易知， 当且仅当时，等号成立，即D正确. 故选：ACD 10．（25-26高一上·山西大同·期中）已知x，y是正数，且，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为x，y是正数，，所以， 当且仅当且，即，时，的最大值为，A正确； 对于B，， 当且仅当，时，的最小值为，B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为1，C错误； 对于D，， 当且仅当，，即，时等号成立， 故的最小值为，D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若，，且，则下列选项中正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【详解】对于A项，若，，且，则， 所以，故A项正确； 对于B项，因为， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为，故B项错误； 对于C项，，，且，则， 即得，当且仅当，即，时取等号， 则， 当且仅当，即，时取等号，故C项正确； 对于D项，因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号， 令，则 ， 当且仅当，即，时取等号，故D项正确． 故选：ACD． 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则的最大值是______. 【答案】 【详解】由于，则， 故，当且仅当，即时取到等号，故最大值为， 故答案为： 13．（25-26高一上·江苏常州·期中）已知某商品每件的成本为8元，每月销量（万件）与每件售价（元）的函数关系近似为：，若使每月的净利润最高，则每件售价应定为___________元．（注：净利润销售总额-总成本） 【答案】12 【详解】净利润（万元）的表达式为： ， 其中，且即，故. 展开并化简： . 由基本不等式，，当且仅当， 即时等号成立，且. 此时取得最大值，故每件售价应定为12元. 故答案为：12 14．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知实数，则的最小值是______. 【答案】 【详解】，因为，所以，设，可化为， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故答案为： 15．（25-26高一上·湖南·期中）对于任意实数，，定义已知实数，均大于0，令，则的最大值为__________． 【答案】 【详解】由题意可知，，由不等式性质可知 因为，令，，则， 因为，所以，因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当，时， 即时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为： 四、解答题 16．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 17．（25-26高一上·福建福州·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 【答案】(1)玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入 (2)该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和 【详解】（1）设玩具的单价为元，则年销售量为万个， 令，解得， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入. （2）由题意可知：，且，可得， 原题意即为存在，有解， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和. 18．（25-26高一上·江苏盐城·期中）若，，且满足 (1)求的最小值； (2)求的最大值. 【答案】(1)6； (2). 【详解】（1）由，，得， 即，整理得，解得， 当且仅当时取等号，由，得， 所以当时，取得最小值6. （2）由，，得， 因此， 当且仅当时取等号，由，得时取等号， 所以当时，取得最大值. 19．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）高一（2）班的吴同学参加了折纸社团，课上于老师展示了如图2所示的图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成．已知矩形ABCD的周长为12cm，其中较长边AD为，将沿BD向折叠，BC折过去后交AD于点E． (1)用x表示图1中的面积； (2)吴爸爸看到孩子的折纸成果后，非常高兴，决定做一颗相同形状和大小的纽扣作为奖励，其中纽扣的六个直角（如图2阴影部分）利用镀金工艺双面上色（厚度忽略不计）．已知镀金工艺是6元/，试求一颗纽扣的镀金部分所需的最大费用． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）1）因为，所以， 又因为为较长边，所以，即. 设，则 因为，， 所以，所以， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以， 所以的面积（单位：） 即 （2）设一枚纽扣的镀金部分所需费用为元，则 , 由基本不等式可知：，当且仅当，即时等号成立， , 所以当时，一枚纽扣的镀金部分所需的最大费用为元. 20．已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值. 【答案】(1)证明： 由基本不等式得， 左右相加得， 当且仅当时“”成立，问题得证. (2)由已知，故， ， 当且仅当时等号成立， 所以不等式成立； 用替换，替换，替换 得 ，即 ， 故 成立 当且仅当，即时，等号成立，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲：基本不等式 题型一、利用基本不等式比较大小 3 题型二、利用基本不等式求积最大值 3 题型三、利用基本不等式求和最小值 4 题型四：基本不等式‘1’的妙用 4 题型五：分离常数方法求最值 4 题型六：条件等式求最值 4 题型七：基本不等式恒成立问题 5 题型八：基本不等式技巧综合应用 5 题型九：基本不等式在实际问题中的应用 6 题型十、用基本不等式证明不等式 7 题型十一：基本不等式的综合问题 7 知识点一：基本不等式 1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 八大高频解题技巧 用基本不等式≤求最值应注意：一正二定三相等. (1)a，b是正数； (2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2； ②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足 技巧序号 技巧名称 适用场景 经典例题 技巧1 直接套用公式法 式子为简单和式、积式，完全满足「一正二定三相等」，无复杂变形 例题：已知 ，求 的最小值解析：，满足一正； 为定值当且仅当 即 时取等号结论：最小值为 4 技巧2 凑配法（必考） 原式无定值，通过拆项、添项、凑系数，人为构造和/积定值 例题：已知 ，求 的最小值解析：凑定值变形：由 得 ，满足一正 为定值，故 即 结论：最小值为 3 技巧3 乘1法（王牌技巧） 已知 定值，求解分式型 最值，条件最值高频题型 例题：已知 ，求 最小值解析：乘定值1整体展开：原式原式当且仅当 且 取等结论：最小值为 9 技巧4 消元法 二元及以上多元变量，带有约束等式，无法直接用不等式 解题步骤：① 利用题干约束等式，消去其中一个变量，化为单变量式子② 根据原有变量范围，确定新单变量的取值范围（保证正数）③ 结合基本不等式求解最值，最后验证等号成立条件 技巧5 换元法 式子含复杂分式、根式，结构繁琐，可转化为标准对勾函数结构 解题方法：① 常规换元：令 ，简化复杂分母、分子② 换元核心原则：换元必换域，同步确定新变量 的取值范围③ 化简为 标准形式，套用基本不等式求解 技巧6 正负转化法 变量为负数，不满足基本不等式「一正」前提，无法直接套用公式 例题：已知 ，求 最大值解析：由 ，得 （转正）不等号反向：结论：最大值为 -6 技巧7 函数单调性法 变量有区间限制，基本不等式等号无法取到，公式失效（高频易错） 解题思路：① 若求解出的取等条件不在变量定义域内，直接放弃基本不等式② 将式子转化为对勾函数、二次函数③ 根据函数单调性，在给定区间内求解最值⚠️ 考试核心避坑：不取等、无最值，必用单调性 技巧8 分离常数法 适用于分式型函数 的最值求解 解题方法：① 拆分、变形分子，将分式拆分为「常数+简单分式」结构② 消去高次项，凑出「正数+倒数正数」的标准不等式结构③ 满足一正二定三相等后，套用公式求解最值 核心通用前提：所有基本不等式解题必须满足 一正、二定、三相等，缺一不可！ 题型一、利用基本不等式比较大小 【例1】．（24-25高一上·江西吉安·期中）已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·广东佛山·阶段检测）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型二、利用基本不等式求积最大值 【例2】．（2026·甘肃陇南·一模）已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 【变式1】．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）若，则取最大值时x的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·四川达州·期中）已知正数满足，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C．5 D．4 题型三、利用基本不等式求和最小值 【例3】．（2026高三·全国·专题练习）函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 【变式1】．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．（25-26高一上·云南普洱·期末）当时，的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 题型四：基本不等式‘1’的妙用 【例4】．（26-27高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知x，y均为正数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．15 D．25 【变式1】．（25-26高一下·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【变式2】．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型五：分离常数方法求最值 【例5】．（24-25高一上·贵州黔西南·阶段检测）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【变式1】．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 题型六：条件等式求最值 【例6】．（25-26高一下·河北衡水·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 【变式1】．（25-26高二下·重庆璧山·期末）若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 【变式2】．（25-26高一上·新疆巴州·期末）若正数满足，则的最小值是___________. 题型七：基本不等式恒成立问题 【例7】．（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【变式2】．（25-26高一上·四川南充·期中）设正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的最大值是______. 【变式7】．（24-25高一上·贵州·期中）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 题型八：基本不等式技巧综合应用 【例8】．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）设，，，则（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 【变式1】．（26-27高三上·云南曲靖·开学考试）已知正数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【变式2】．（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）设正实数，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D． 题型九：基本不等式在实际问题中的应用 【例9】．（25-26高一上·四川·阶段检测）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【变式1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． 【变式2】．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 题型十、用基本不等式证明不等式 【例10】．（26-27高一上·全国·课后作业），求证：.（已知） 【变式1】．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【变式2】．（25-26高一上·湖北随州·阶段检测）已知且求证： (1)，； (2)； (3). 题型十一：基本不等式的综合问题 【例11】．（26-27高一上·江西景德镇·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【变式1】．（26-27高一上·河南开封·阶段检测）根据题意，求解下列问题： (1)已知正实数，满足，求的最小值； (2)已知正实数，满足，求的最小值； (3)已知，求的最大值． 【变式2】．（26-27高一上·河南安阳·阶段检测）已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最大值； (3)设，求的最小值.（提示：若，，，则，当且仅当时，等号成立.） 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏南通·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 3．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知，且，则的最小值是（    ） A．49 B．51 C．53 D．55 4．已知，满足，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 5．已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 7．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知不等式对满足的所有正实数，都成立，则正数的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 8．（25-26高一上·江苏南京·期末）若为正实数，，则（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为9 D．的最小值为 9．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·山西大同·期中）已知x，y是正数，且，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 11．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若，，且，则下列选项中正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则的最大值是______. 13．（25-26高一上·江苏常州·期中）已知某商品每件的成本为8元，每月销量（万件）与每件售价（元）的函数关系近似为：，若使每月的净利润最高，则每件售价应定为___________元．（注：净利润销售总额-总成本） 14．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知实数，则的最小值是______. 15．（25-26高一上·湖南·期中）对于任意实数，，定义已知实数，均大于0，令，则的最大值为__________． 四、解答题 16．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 17．（25-26高一上·福建福州·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 18．（25-26高一上·江苏盐城·期中）若，，且满足 (1)求的最小值； (2)求的最大值. 19．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）高一（2）班的吴同学参加了折纸社团，课上于老师展示了如图2所示的图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成．已知矩形ABCD的周长为12cm，其中较长边AD为，将沿BD向折叠，BC折过去后交AD于点E． (1)用x表示图1中的面积； (2)吴爸爸看到孩子的折纸成果后，非常高兴，决定做一颗相同形状和大小的纽扣作为奖励，其中纽扣的六个直角（如图2阴影部分）利用镀金工艺双面上色（厚度忽略不计）．已知镀金工艺是6元/，试求一颗纽扣的镀金部分所需的最大费用． 20．已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $