第2讲：集合间的基本关系与运算【十大题型+知识归纳+高分精练】-2026-2027学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(苏教版必修第一册）

**基本信息** 以集合关系与运算为核心，通过10类题型系统整合定义、公式与解题技巧，突出逻辑推理与分类讨论，培养数学思维与符号意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|5个知识点+10题型（含例题+变式）|子集个数公式、空集分类讨论、交并补运算规则、Venn图直观法|从概念定义（子集/真子集）→公式推导（2ⁿ公式）→应用拓展（参数问题/新定义）|

第2讲：集合间的基本关系与运算 题型一：求集合的（真）子集个数问题 3 题型二：判断集合的包含关系 3 题型三：根据子集关系求参数问题 4 题型四：空集的性质问题 5 题型五：集合的基本运算 7 题型六：根据交并补求参数问题 8 题型七：Venn图求集合 9 题型八：集合的应用 10 题型九：集合新定义问题 12 题型十：集合的综合问题 14 知识点一：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 A⫋B (或B⫌A) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 知识点二. 子集个数公式（高频考点） 集合A有n个元素： 子集总数：2n 真子集个数：2n-1（去掉集合本身） 非空子集个数：2n-1（去掉空集） 非空真子集个数：2n-2（去掉空集、集合本身） ⚠️易错：题目说A⊆B，一定要讨论A=∅.的情况！ 含参题目极易漏空集。 知识点三：．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 知识点四：并集 知识点五：交集 题型一：求集合的（真）子集个数问题 【例1】．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2,3,4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为，，； 当集合中含有四个元素时，可为，，； 综上所述满足条件的集合的个数为个. 【变式1】．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以，所以的真子集个数为个 【变式2】．（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 题型二：判断集合的包含关系 【例2】．（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，满足的数必满足，所以中的任何元素都属于，即. 【变式1】．（25-26高二上·广东广州·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得,显然仅表示奇数，而表示整数，因此集合是集合的子集，即，故选：B 【变式2】．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合， 当时，，当时，， 又集合，，集合，集合， ，可得，综上可得故选：C. 题型三：根据子集关系求参数问题 【例3】．（25-26高三下·贵州·阶段检测）设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【详解】， 因为， 当，即时，， 满足； 当，即时，由可得或， 所以，由 ， 所以或，解得或. 综上所述，实数的取值集合为. 【变式1】．（25-26高一上·西藏昌都·期中）设集合或，，且， 则实数的取值范围______.  （用集合表示） 【答案】或 【分析】首先判断，再根据集合的包含关系得到不等式，解得即可. 【详解】因为或，，且， 显然，即， 所以或，解得或， 即实数的取值范围为或. 故答案为：或 【变式2】．（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】由集合包含关系结合题设可得答案. 【详解】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是 题型四：空集的性质问题 【例4】．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 【变式1】．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是______. 【答案】 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得，所以a的取值范围值是.故答案为：. 【变式2】．（20-21高一·全国·课后作业）已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）解：由题可知，，， ①若，则，即； ②若，则，解得：；综合①②，得实数的取值范围是． （2）解：已知，，， 则，解得：， 所以实数的取值范围是． 题型五：集合的基本运算 【例5】．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合， (1)求；． (2)若全集，求及． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）因为集合 所以， ； （2）全集，， 所以或， 或， 或， 或或或 【变式1】．（25-26高一上·四川·阶段检测）已知全集，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），因为， 解方程，得或，所以. 所以. （2）因为，，所以. 因为全集，所以. 【变式2】．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）已知集合，， (1)求； (2)若全集，求及． 【答案】(1) (2)；或 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为，所以或， ，所以或， 所以， 或. 题型六：根据交并补求参数问题 【例6】．（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，因为或，所以， 故； （2）由（1）知， 若，则，当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即a的取值范围为． 【变式1】．（22-23高三上·山西·阶段检测）设集合或，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】由集合或，得，又集合且，则2或，即或. 故选：B. 【变式2】．（23-24高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，∴. （2），则是的子集，，当，即时，，满足题意； 当时，或解得：综上得的取值范围是：. 题型七：Venn图求集合 【例7】．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由全集，集合， 可得，所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 【变式1】．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，则， 又，则图中阴影部分表示的集合是. 故选：D 【变式2】．（24-25高一上·贵州·阶段检测）已知全集为实数集，集合. (1)若，求图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）图中阴影部分表示集合为， 当时，，又或，所以； （2）因为，所以， 当时，，解得.当时，若，则有， 解得， 综上所述，实数的取值范围是或. 题型八：集合的应用 【例8】．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【详解】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A 【变式1】．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合，关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合，利用韦恩图求解. 【详解】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合， 关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合， 由题可得，，，，，， 如图，可得 ， ，即得， 所以只关注了“紫东太初3.0”的人数为. 故选：C. 【变式2】．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，    在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C 题型九：集合新定义问题 【例9】．（24-25高一上·山东潍坊·阶段检测）已知集合， (1)求； (2)若定义集合，求中元素的个数. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，， ， 所以. （2）由，，可得，共种结果， 由，，可得，共种结果， 当或时，此时或， 所以可以为中的一个值，共可以构成个不同的元素； 当时，对于中的任意一个值， 都可以选择，此时取与对应的值，可取中的一个值， 所以可以为中的一个值，共可以构成个不同元素， 所以中一共有个元素. 【变式1】．（24-25高一上·广东广州·阶段检测）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当都是偶数或都是奇数时，则或或或或或或或或；当是偶数，是奇数时，，或；当是奇数，是偶数时，，或； 集合中含有个元素，它的子集个数为， 故选：B 【变式2】．（23-24高一上·江苏徐州·阶段检测）定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为，用表示有限集的元素个数，则下列命题中错误的是（    ） A．对于任意集合，都有 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于任意集合A，都有，所以，故A正确；由题意得，又，则，所以，故B正确； 因为，，所以， 所以，故C错误， 对于任意的，则， 又，所以，所以，故D正确. 故选：C. 题型十：集合的综合问题 【例10】．（25-26高一上·江苏淮安·期末）设，已知集合， (1)若，求的取值范围； (2)若中有且仅有3个整数元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，即，解得，所以的取值范围是 （2）因为中整数元素为， 且， 所以中有且仅有3个整数元素，也必是，所以，解得：， 所以的取值范围是. 【变式1】．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，，. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或(3) 【详解】（1）集合，集合，得. （2）由（1）得.因为，所以.将代入， 得，化简，得，解得或. （3）因为，所以.又因为，且中至多两个元素，所以.所以解得. 【变式2】．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）对于任意的，记集合，，若集合A满足下列条件：①；②，且，不存在，使，则称A具有性质．如当时，，且，不存在，使，所以具有性质． (1)写出集合中的元素及其元素个数，并判断是否具有性质． (2)证明：不存在A，B具有性质，且，使． (3)若存在A，B具有性质，且，使，求n的最大值． 【详解】（1）因为对于任意的，记集合，， 当时，； 所以集合中的元素个数为9， 因为集合满足下列条件：①；②，，且，不存在，使，则称具有性质， 因为，，，，不符合题意， 所以不具有性质. (2)证明：假设存在，具有性质，且，使．其中， 因为，所以， 不妨设．因为，所以，， 同理，，，因为，这与具有性质矛盾． 所以假设不成立，即不存在A，B具有性质，且，使. （3）因为当时，，由（2）知，不存在，具有性质，且，使， 若，当时，， 取，， 则，具有性质，且，使. 当时，集合中除整数外，其余的数组成集合为， 令，， 则，具有性质，且，使． 当时，集合中除整数外，其余的数组成集合， 令，， 则，具有性质，且，使． 集合中的数均为无理数， 它与中的任何其他数之和都不是整数， 因此，令，，则，且， 综上，所求的最大值为. 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏·期末）已知集合，若集合，则符合条件的的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由，且， 则符合条件的为：，. 故选：B 2．（25-26高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合中方程组的解集，然后根据集合之间的关系进行判断即可. 【详解】因为集合，集合， 因为是元素与集合之间的关系，而均为点集，所以A错误； 因为集合包含，所以B正确，C,D错误. 故选：B. 3．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的补集的概念以及交集运算即可求解. 【详解】由题意，，所以. 4．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得全集，利用补集与交集的意义求得即可. 【详解】，，， 由图可知阴影部分所表示的集合为. 故选：B. 5．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题设得到，接着分和求出B，结合分析求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，，满足； 当时，，则或，解得或， 综上所述，a的所有取值构成的集合为. 故选：D 6．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）高一（1）班45名同学中有10人参加了物理兴趣小组，14人参加了化学兴趣小组.已知都未参加的有25人，则同时参加的人数为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据容斥原理求解. 【详解】设同时参加的人数有人， 则由容斥原理可得：， 解得， 故选：B. 7．（25-26高一上·江苏南京·期中）某班共38人，其中23人喜爱篮球运动，12人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（　　） A．10 B．12 C．17 D．18 【答案】D 【分析】先求出至少喜爱一项运动的人数，再计算两项运动都喜爱的人数，用喜爱篮球运动的人数减去两项都喜爱的人数即可. 【详解】总人数：38，喜爱篮球：23，喜爱乒乓球：12，两项都不喜爱：8， 所以至少喜爱一项运动的人数为， 所以两项运动都喜爱的人数为， 所以只喜爱篮球不喜爱乒乓球的人数为. 故选：D 8．（25-26高一上·上海浦东新·期中）给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（   ） ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合，为闭集合，则为闭集合； ④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据闭集合的定义判断①、②，举反例判断③、④. 【详解】对于①：， 当，时，， 但，不满足闭集合的定义，故①错误； 对于②：， 任意，可设，，， 则，， 由，， 所以，且，故集合为闭集合．故②正确； 对于③：设， 任意，可设，，， 则，， 由，， 所以，且，则集合为闭集合． 由②分析可知也为闭集合． ， 当，时，， 但，即不是闭集合，故③错误； 对于④：设，若，则，， 则都为闭集合，又，且， 不存在，使得，即不存在，使得，故④错误； 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先解方程表示出集合，然后根据和进行分类讨论即可，由此可求结果. 【详解】由解得或，则， 当时，此时，满足； 当时，此时，则， 若，则或，所以或； 综上所述，的可取值为， 故选：ABC. 10．（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 【答案】BD 【详解】在集合中，因为，所以方程有两个相异实根， 设为、，由韦达定理可得，所以、异号，且， 因为全集的元素中两元素之积为的只有两组、和、， 所以或. 当时，，则， 所以，，； 当时，，则， 所以，，. 综上，则或，，中元素个数为，， 故A错误，B正确，C错误，D正确. 11．（25-26高一上·江苏徐州·期中）对于集合A，B，我们把集合且记作；把集合记作.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据和的定义，逐项判断. 【详解】因为集合且记作， 且集合，， 所以，A正确； 又，则，B错误； 因为， 又，所以，C正确； 因为，， 所以，D正确. 故选：ACD 12．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知全集,集合M、N的关系如图所示,则下列结论中正确的（   ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由韦恩图可得. 对于A，取，， 则，故，故A错误； 对于C，，故， 而，， ，故C错误； 对于B，若，设，则， 故，而，故，矛盾，故， 故B正确； 对于D，，则有，故， 故，故，故； ，则有，故， 故，故，故， 故，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 13．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________．    【答案】 【详解】由Venn图可知，图中阴影部分区域表示为， ，， 或， ， 或， 故答案为：． 14．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知，或，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由得到，然后由子集的定义求解. 【详解】因为集合，或. 若，则， ∴或，即或. ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 15．（专题01集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）已知集合，若，则__________；若，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由题可得，进而得出求出的取值范围即可. 【详解】空：因为，所以，若，则， 所以，空：若，，则，故的取值范围为. 故答案为：；. 16．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知集合，集合满足：①每个集合恰有8个元素②.若集合中元素最大值与最小值之和称为的幸运数，记作，则的最大值与最小值之和为________. 【答案】210 【详解】因集合满足：①每个集合恰有8个元素②.故集合中一定分别含有8个不同数值. 当集合中元素的最小值分别是6，7，8时，最大值为29，22，15时，幸运数的和最小， 此时，，幸运数为；，幸运数为；幸运数为， 则取得最小值为； 当集合中元素的最小值分别是6，13，20时，最大值为29，28，27时，幸运数的和最大， 此时，，幸运数为；，幸运数为；幸运数为， 则取得最大值为. 故的最大值与最小值之和为. 故答案为：210. 四、解答题 17．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 18．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知全集，设为实数，集合，集合 (1)若，求； (2)若，求的取值范围.   【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，集合， 由集合，所以， 所以或. （2）分以下两种情况讨论： ①当时，，解得，此时，合乎题意； ②当时，由可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 19．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知全集，集合，集合. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）利用集合的运算法则计算可得答案； （2）由可得：集合在的左侧或在3的右侧，列不等式即可. 【详解】（1）当时，，则或， 所以，. （2）因为，所以， 由于，所以或， 解得或. 所以的取值范围是. 20．（25-26高一上·上海·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)求所有的集合，使得①；②是“好集”；③不存在“好集”，使得是的真子集． 【详解】(1)是“好集”，理由如下：由，得.因为，所以是“好集”． （2）由于 所以同时含有1，2；或2，4；或1，3，4；或1，4，5；或2，3，5的集合均不是好集； 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素子集，除和以外的双元素子集，以及三元素子集，，根据定义验证，这些集合都是“好集”． 又因为条件③，所以集合不是其它包含于的“好集”的真子集. 因为空集及单元素好集都是其它双元素好集的真子集，所以空集及单元素好集均不满足条件； 因为好集和的真子集均不满足条件， 所以满足条件的就只能是，，，，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲：集合间的基本关系与运算 题型一：求集合的（真）子集个数问题 3 题型二：判断集合的包含关系 3 题型三：根据子集关系求参数问题 4 题型四：空集的性质问题 5 题型五：集合的基本运算 7 题型六：根据交并补求参数问题 8 题型七：Venn图求集合 9 题型八：集合的应用 10 题型九：集合新定义问题 12 题型十：集合的综合问题 14 知识点一：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 A⫋B (或B⫌A) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 知识点二. 子集个数公式（高频考点） 集合A有n个元素： 子集总数：2n 真子集个数：2n-1（去掉集合本身） 非空子集个数：2n-1（去掉空集） 非空真子集个数：2n-2（去掉空集、集合本身） ⚠️易错：题目说A⊆B，一定要讨论A=∅.的情况！ 含参题目极易漏空集。 知识点三：．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 知识点四：并集 知识点五：交集 题型一：求集合的（真）子集个数问题 【例1】．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【变式1】．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【变式2】．（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 题型二：判断集合的包含关系 【例2】．（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·广东广州·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 题型三：根据子集关系求参数问题 【例3】．（25-26高三下·贵州·阶段检测）设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【变式1】．（25-26高一上·西藏昌都·期中）设集合或，，且， 则实数的取值范围______.  （用集合表示） 【变式2】．（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 题型四：空集的性质问题 【例4】．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【变式1】．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是______. 【变式2】．（20-21高一·全国·课后作业）已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 题型五：集合的基本运算 【例5】．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合， (1)求；． (2)若全集，求及． 【变式1】．（25-26高一上·四川·阶段检测）已知全集，，. (1)求； (2)求. 【变式2】．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）已知集合，， (1)求； (2)若全集，求及． 题型六：根据交并补求参数问题 【例6】．（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． 【变式1】．（22-23高三上·山西·阶段检测）设集合或，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式2】．（23-24高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 题型七：Venn图求集合 【例7】．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·贵州·阶段检测）已知全集为实数集，集合. (1)若，求图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数的取值范围. 题型八：集合的应用 【例8】．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【变式1】．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 题型九：集合新定义问题 【例9】．（24-25高一上·山东潍坊·阶段检测）已知集合， (1)求； (2)若定义集合，求中元素的个数. 【变式1】．（24-25高一上·广东广州·阶段检测）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24高一上·江苏徐州·阶段检测）定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为，用表示有限集的元素个数，则下列命题中错误的是（    ） A．对于任意集合，都有 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型十：集合的综合问题 【例10】．（25-26高一上·江苏淮安·期末）设，已知集合， (1)若，求的取值范围； (2)若中有且仅有3个整数元素，求的取值范围. 【变式1】．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，，. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的值. 【变式2】．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）对于任意的，记集合，，若集合A满足下列条件：①；②，且，不存在，使，则称A具有性质．如当时，，且，不存在，使，所以具有性质． (1)写出集合中的元素及其元素个数，并判断是否具有性质． (2)证明：不存在A，B具有性质，且，使． (3)若存在A，B具有性质，且，使，求n的最大值． 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏·期末）已知集合，若集合，则符合条件的的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）高一（1）班45名同学中有10人参加了物理兴趣小组，14人参加了化学兴趣小组.已知都未参加的有25人，则同时参加的人数为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 7．（25-26高一上·江苏南京·期中）某班共38人，其中23人喜爱篮球运动，12人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（　　） A．10 B．12 C．17 D．18 8．（25-26高一上·上海浦东新·期中）给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（   ） ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合，为闭集合，则为闭集合； ④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得. A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 10．（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 11．（25-26高一上·江苏徐州·期中）对于集合A，B，我们把集合且记作；把集合记作.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知全集,集合M、N的关系如图所示,则下列结论中正确的（   ）    A． B． C． D． 三、填空题 13．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________．    14．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知，或，若，则实数的取值范围是______. 15．（专题01集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）已知集合，若，则__________；若，则的取值范围为__________. 16．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知集合，集合满足：①每个集合恰有8个元素②.若集合中元素最大值与最小值之和称为的幸运数，记作，则的最大值与最小值之和为________. 四、解答题 17．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 18．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知全集，设为实数，集合，集合 (1)若，求； (2)若，求的取值范围.   19．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知全集，集合，集合. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 20．（25-26高一上·上海·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)求所有的集合，使得①；②是“好集”；③不存在“好集”，使得是的真子集． 2 学科网（北京）股份有限公司 $