精品解析：广东梅州市兴宁市实验学校、宁江中学2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

2026-2027学年九年级数学第一次月考试题 亲爱的同学们，岁月不居，时节如流，九年级备考之路正式启航．数学藏规律，笔下见真章．本次检测，回望所学，查漏补缺．愿大家秉持细心与耐心，冷静思考，规范书写，在试题中锤炼思维，在求索中积蓄力量，全力以赴，遇见更好的自己！加油！ 一、单选题（每小题3分，满分30分，每小题只有一个正确答案） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 2. 下列方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A．方程含有分式，属于分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程，不符合题意； B．中未规定，若，方程不是一元二次方程，不符合题意； C．原方程展开整理，得，满足一元二次方程的全部条件，因此是一元二次方程，符合题意； D．方程含有多个未知数，不是一元方程，因此不是一元二次方程，不符合题意． 3. 若是关于x的方程的解，则a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解．把代入方程，把问题转化为关于a的方程求解． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴． 故选：A． 4. 中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出，，，结合勾股定理求出边长，进而计算周长． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， 在中，， ∴菱形的周长为． 5. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 6. 一个正方形的边长为，它的各边边长减少后，得到的新正方形的周长为，与之间的函数解析式是（　　） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求一次函数解析式，涉及正方形性质、正方形周长等知识，根据题意，正方形各边长减少后，得到的新正方形的边长为，从而表示出周长即可得到答案，熟记正方形性质及周长求法是解决问题的关键． 【详解】解：一个正方形的边长为，它的各边边长减少后，得到的新正方形的边长为， 得到的新正方形的周长为， 故选：C． 7. 某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先把进行移项，再把二次项系数化1，然后配方，再解出的值，即可作答． 【详解】解：依题意，， 移项得， 整理得， ∴ ∴， ∴ ∴． 观察以及对比，得出错误是从乙同学负责的步骤开始出现的， 故选：B 8. 我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设周瑜逝世年龄的个位数字为，根据题意列出方程即可． 【详解】设周瑜逝世年龄的个位数字为， 根据题意得，． 故选：B． 9. 如图，在四边形中，顺次连接四边中点，，，，构成一个新的四边形，请你对四边形添加一个条件，使四边形成为一个矩形．这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可得，，，，，，，，根据平行四边形的判定可证明四边形为平行四边形，根据矩形的判定即可证明． 【详解】解：添加的条件为：；理由如下： ∵点，，，分别是，，，的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ，，，， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形； ∵， ∴， ∴四边形为矩形， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 10. 如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先根据勾股定理可得，连接，根据矩形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：，，， ， 如图，连接， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时， ， 即线段的最小值为， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 方程的解为 _______. 【答案】 【解析】 【详解】解：∵x（x-1）=0， ∴x=0或x-1=0． ∴， 故答案为： 12. 把一元二次方程：，化成一般式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般式为：，经过移项、整理后将一元二次方程化成一般式即可． 【详解】解：， 移项，得， 整理后，得， 即把一元二次方程化成一般式是：， 故答案为：． 13. 关于的一元二次方程（，且 为互质的整数）的两根分别是，，那么_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的公式法即可得出答案． 【详解】解：由，， 得：． 14. 如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，则的长为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用菱形的性质及中位线定理即可求解． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 又点为的中点，即， 为的中位线， ． 15. 如图，在矩形中，于点．若，，则的长为__________． 【答案】 1 【解析】 【分析】利用矩形的对角线相等且互相平分求出的长，再利用含角的直角三角形的性质求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 在中，， ． 16. 如图，正方形中，，E是的中点，点P是对角线上一动点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．由于点B与点D关于对称，所以如果连接，交于点P，那的值最小．在中，由勾股定理先计算出的长度，即为的最小值． 【详解】解：连接，交于点P，连接、． ∵四边形为正方形，， ∴，， ∴点B与点D关于对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴的长即为的最小值， ∵E是的中点， ∴， 在中，． 故答案为：． 三、解答题一 17. 用适当的方法解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ∴， ∴或， ∴，． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有一个根是，求的值． （2）若方程有两个相等的实数根，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的定义把代入中进行求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得：， 解得：； 【小问2详解】 解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 19. 如图，已知的周长为24，，O为垂足，． （1）求证：是菱形． （2）求的面积． 【答案】（1）证明：中，， 是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明； （2）根据菱形性质求出边长，进而求出对角线的长，利用菱形面积公式即可解答． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：是菱形， ，平分， 菱形的周长为， ， ， ， ， ， ， ，， 四、解答题二 20. 如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：平行四边形中，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）34 【解析】 【分析】（1）先说明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明； （2）由勾股定理求的长，再根据平行四边形的性质求，根据矩形性质即可求周长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， 平行四边形中，， 矩形的周长为． 21. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，它总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为3，另外两边的长为方程的根，求k的值及三角形的周长． 【答案】（1） 解： ， ， 无论k取何值，它总有实数根； （2）或6；周长为7或8 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式（实数根条件）、等腰三角形的性质（底边与腰的分类）和分类讨论思想，关键在于根据几何条件确定方程参数并验证解的有效性。 （1）通过计算判别式，利用完全平方式的非负性直接证明方程恒有实数根即可； （2）根据等腰三角形中边长3的角色分类讨论：若3为底边，则两腰需相等一转化为方程有两个相等实数根()，解得并验证边长组合能否构成三角形；若3为腰，则3必为方程的一根，代入解出，求得另一根为2 并验证边长能否构成三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：分两种情况讨论： ①当3是等腰三角形的底时， 则，即，解得：， 则方程为， 即， 解得：， ，2，3能构成三角形， 此时等腰三角形的周长为7； ②当3是等腰三角形的腰时，则3是方程的一个根， 将代入， 得：，解得， 则方程为， 即， 解得，． 2、3、3能构成三角形， 则此时等腰三角形的周长为8． 综上所述，或6；三角形的周长为7或8． 22. 自2020年年初以来，全国多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注，政府向市场投入储备猪肉进行了价格平抑．据统计：某超市2020年1月10日猪肉价格为每千克56元，价格比去年同一天上涨了40%． （1）求2019年1月10日该超市猪肉的价格为每千克多少元？ （2）现在某超市以每千克46元的价格购进猪肉，按2020年1月10日价格出售，平均一天能销售100千克．经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，平均每日销售量就增加20千克，超市为了实现销售猪肉平均每天有1120元的销售利润，在尽可能让利于顾客的前提下．每千克猪肉应该定价为多少元？ 【答案】（1）2019年1月10日该超市猪肉的价格为每千克40元 （2）每千克猪肉应该定价为53元 【解析】 【分析】（1）设2019年1月10日该超市猪肉的价格为每千克x元，根据题意列出方程求解即可； （2）设每千克猪肉下降y元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设2019年1月10日该超市猪肉的价格为每千克x元， 根据题意，得：（1+40%）x=56， 解得：x=40， 答：2019年1月10日该超市猪肉的价格为每千克40元； 【小问2详解】 解：设每千克猪肉下降y元， 根据题意，得：（56-46-x）（100+20x）=1120， 整理得：x2－5x+6=0， 解得：x1=2，x2=3， ∵要尽可能让利于顾客， ∴x=3，则56-3=53（元）， 答：设每千克猪肉应该定价为53元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 五、解答题三 23. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）已知代数式，求它的最大值； （2）知识迁移：如图，在中，，点在边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动.若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值． 【答案】（1）； （2）20． 【解析】 【分析】本题考查根据配方法求最值，熟练掌握配方的方法是解题的关键； （1）将配方得，根据，求解即可； （2）根据题意求出t的取值范围，由列方程，用配方法求最值即可． 【小问1详解】 解：， 的最大值为； 【小问2详解】 解：，点在AC边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动 ∴点从点运动到点所需时间为， 点从点运动到点所需时间为， 的最小值为20． 24. 如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，顶点的坐标，满足． （1）求点的坐标． （2）求证：四边形为正方形． （3）若点为正方形边上的动点，连接，过E点作，且，连接，的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明：由（1）可得点的坐标为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴矩形为正方形； （3）的大小为定值，恒为 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质计算得出，，从而即可得出结果； （2）由（1）可得，再结合正方形的判定定理证明即可； （3）在上截取，连接，先证明为等腰直角三角形，得出，从而可得，再证明，得出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的大小为定值，恒为， 如图，在上截取，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的大小为定值，恒为． 同学们，考试终章，学习未央．每一次落笔都是成长，每一次复盘皆是进步．愿大家正视本次测试的得失．总结方法、补齐短板，保持热爱与坚持，深耕数学、稳步精进，在初三的追梦路上全力以赴、步步生花！ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学第一次月考试题 亲爱的同学们，岁月不居，时节如流，九年级备考之路正式启航．数学藏规律，笔下见真章．本次检测，回望所学，查漏补缺．愿大家秉持细心与耐心，冷静思考，规范书写，在试题中锤炼思维，在求索中积蓄力量，全力以赴，遇见更好的自己！加油！ 一、单选题（每小题3分，满分30分，每小题只有一个正确答案） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 3. 若是关于x的方程的解，则a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 一个正方形的边长为，它的各边边长减少后，得到的新正方形的周长为，与之间的函数解析式是（　　） A. B. C. D. 以上都不对 7. 某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，顺次连接四边中点，，，，构成一个新的四边形，请你对四边形添加一个条件，使四边形成为一个矩形．这个条件是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为( ) A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 方程的解为 _______. 12. 把一元二次方程：，化成一般式是________． 13. 关于的一元二次方程（，且 为互质的整数）的两根分别是，，那么_____． 14. 如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，则的长为___________． 15. 如图，在矩形中，于点．若，，则的长为__________． 16. 如图，正方形中，，E是的中点，点P是对角线上一动点，则的最小值为_____． 三、解答题一 17. 用适当的方法解方程：． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有一个根是，求的值． （2）若方程有两个相等的实数根，求的值； 19. 如图，已知的周长为24，，O为垂足，． （1）求证：是菱形． （2）求的面积． 四、解答题二 20. 如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的周长． 21. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，它总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为3，另外两边的长为方程的根，求k的值及三角形的周长． 22. 自2020年年初以来，全国多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注，政府向市场投入储备猪肉进行了价格平抑．据统计：某超市2020年1月10日猪肉价格为每千克56元，价格比去年同一天上涨了40%． （1）求2019年1月10日该超市猪肉的价格为每千克多少元？ （2）现在某超市以每千克46元的价格购进猪肉，按2020年1月10日价格出售，平均一天能销售100千克．经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，平均每日销售量就增加20千克，超市为了实现销售猪肉平均每天有1120元的销售利润，在尽可能让利于顾客的前提下．每千克猪肉应该定价为多少元？ 五、解答题三 23. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）已知代数式，求它的最大值； （2）知识迁移：如图，在中，，点在边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动.若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值． 24. 如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，顶点的坐标，满足． （1）求点的坐标． （2）求证：四边形为正方形． （3）若点为正方形边上的动点，连接，过E点作，且，连接，的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 同学们，考试终章，学习未央．每一次落笔都是成长，每一次复盘皆是进步．愿大家正视本次测试的得失．总结方法、补齐短板，保持热爱与坚持，深耕数学、稳步精进，在初三的追梦路上全力以赴、步步生花！ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $