精品解析：湖北省荆州中学2026-2027学年高一上学期9月月考数学试卷

荆州中学2026—2027学年高一上学期9月月考 数 学 试 题 一、单选题（每题5分，共计40分） 1. 集合可化简为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的概念直接求解. 【详解】由，解得或， 又因为，所以， 所以集合可化简为. 故选：C 2. 以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ） A. 锐角三角形的内角是锐角或钝角 B. 至少有一个实数，使 C. 两个无理数的和必是无理数 D. 存在一个负数，使 【答案】B 【解析】 【分析】判断ACD为假命题，B是存在量词命题又是真命题，得到答案. 【详解】对选项A：锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题； 对选项B：是存在量词命题，当时， 成立，所以B正确； 对选项C：，故C为假命题； 对选项D：对于任何一个负数，都有，所以D为假命题. 故选：B 3. 有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（ ） A. ①③ B. ②④⑤ C. ①②⑤⑥ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合相等的定义、子集的定义、空集的性质，结合元素与集合的关系进行判断即可. 【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④， 故选：D 4. 已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（    ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集、补集运算得到答案. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为， 因为或，所以， 因为，所以， 故选：B. 5. 设a，b是实数， 则""是""的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】举出反例，得到充分性和必要性均不成立，得到答案. 【详解】充分性，不妨令，此时满足，但，充分性不成立， 必要性，不妨令，此时满足，但，必要性不成立， 故是的既不充分也不必要条件. 故选：D 6. 已知，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，且可得，且 因为，所以 又因为，所以， 所以 7. 已知正数满足，则的最小值是（　　） A. 17 B. 16 C. 15 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】先凑配，再利用基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当，即时，取得最小值，故取得最小值. 故选：A. 8. 当时，的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的最小值是. 二、多选题（每题6分，共计18分） 9. 已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由成立的充要条件求出对应的参数的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】当且仅当是的子集，当且仅当，即， 对比选项可知使得成立的充分不必要条件有，. 故选：CD. 10. 已知集合为全集，集合均为的子集．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意列出韦恩图，根据集合间的关系逐个判断即可. 【详解】如图所示： 由图可得，故A正确；集合不是的子集，故B错误； ，故C错误；，故D正确． 故选：AD. 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 三、填空题（每题5分，共计15 分） 12. 已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，则可求出命题为假命题的范围，即可选出答案． 【详解】若命题为真命题则，，，即， 即， 又是真命题，即命题为假命题，即. 13. 已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】是的必要条件，即，分，两种情况讨论分析，即得解 【详解】设或，或 若是的必要条件，则 （1）当时，即，此时，成立； （2）当时，即，若，此时，无解. 综上： 故答案为： 14. 已知表示中的最小值，若，则的最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】令，则可得，对变形后利用基本不等式可求出其最大值，从而可求出的最大值. 【详解】令， 因为，，则，， 可得，当且仅当时取等号， 又因为，当且仅当，即时取等号， 所以当且，即时，的最大值为， 所以的最大值是. 故答案为：. 四、解答题（共5题77分） 15. 设，且，试比较与的大小． 【答案】当时，；当时，． 【解析】 【详解】解：因为，且， 所以， 令，解得， 又因为且，所以， 即当时，； 同理可得当时，． 16. 已知集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据补集和并集的运算法则列出不等式组，解不等式可得到a的取值范围. （2），则，分与两种情况，根据集合的关系列不等式组，解不等式可得到a的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以或， 又因为且， 所以解得， 故a的取值范围为. 【小问2详解】 因为，则， 若，则，解得， 若，则解得， 综上所述a的取值范围为. 17. 已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立. （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若q和p一真一假，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对，不等式恒成立，转化为令，则，求出，解不等式即可得出答案. （2）若q为真命题，则存在，使得成立，所以，即可求出q为真命题时m的取值范围，再讨论q和p一真一假的情况，即可得出答案. 【小问1详解】 对，不等式恒成立， 令，则， 当时，即，解得. 因此，当p为真命题时，m的取值范围是. 【小问2详解】 若q为真命题，则存在，使得成立，所以； 故当命题q为真时，. 又∵p，q中一个是真命题，一个是假命题. 当p真q假时，由，得； 当p假q真时，由或，且，得. 综上所述，m的取值范围为. 18. 已知正数满足. （1）求证：； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 【答案】（1）因为正数满足， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以； （2）24 （3）50 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式 “1”的巧用求解最值即可； （2）由可得，利用分式的性质变形结合基本不等式求解最值即可； （3）由，可得，又，从而将所求最值转化为即可得最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为24； 【小问3详解】 因为，所以， 当且仅当时等号成立， 又，所以， 则的最小值为50. 19. 已知集合． （1）若，求； （2）设中所有的元素均为正数，中元素的个数为，求的最小值； （3）若，求． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设分类讨论求解即可； （2）设，可得，即可得到，再令，分析可得此时，即可求解； （3）由题设易得中负数的个数为1或2或3，设，进而分情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意，当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 故. 【小问2详解】 设，则， 则. 令，则，， 即. 因为，所以此时，故的最小值为3. 【小问3详解】 因为，其中3个负数2个正数， 所以中负数的个数为1或2或3，设. 若，则， 因为中元素大于1，所以不符合题意，舍去. 若，则． 因为，所以， 则，，，则， 所以， 解得，则， 此时，符合题意. 若，则． 因为中只有元素大于1，所以不符合题意，舍去. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州中学2026—2027学年高一上学期9月月考 数 学 试 题 一、单选题（每题5分，共计40分） 1. 集合可化简为（ ） A. B. C. D. 2. 以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ） A. 锐角三角形的内角是锐角或钝角 B. 至少有一个实数，使 C. 两个无理数的和必是无理数 D. 存在一个负数，使 3. 有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（ ） A. ①③ B. ②④⑤ C. ①②⑤⑥ D. ③④ 4. 已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（    ） A. B. C. 或 D. 5. 设a，b是实数， 则""是""的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正数满足，则的最小值是（　　） A. 17 B. 16 C. 15 D. 14 8. 当时，的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共计18分） 9. 已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合为全集，集合均为的子集．若，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 三、填空题（每题5分，共计15 分） 12. 已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是__________． 13. 已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________. 14. 已知表示中的最小值，若，则的最大值是__________. 四、解答题（共5题77分） 15. 设，且，试比较与的大小． 16. 已知集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围. 17. 已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立. （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若q和p一真一假，求实数m的取值范围. 18. 已知正数满足. （1）求证：； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 19. 已知集合． （1）若，求； （2）设中所有的元素均为正数，中元素的个数为，求的最小值； （3）若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $