精品解析：江西省上高二中2026-2027学年高二上学期第一次阶段性练习数学试卷

2028届高二年级第一次阶段性练习数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. 90 D. 不存在 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况. 【详解】直线过点且垂直于轴，所以直线的斜率不存在. 2. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方向向量得到直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 又因为，所以， 故选：C. 3. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 4. 已知点A(2，1)，点B为两条直线与x+y－1=0的交点，则|AB|的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线的定点，根据题意可以判断当直线AB与直线x+y－1=0垂直时，|AB|最小，进而求得答案. 【详解】直线，则直线过定点，根据题意，当直线AB与直线x+y－1=0垂直时，|AB|最小，点到直线x+y－1=0的距离，即|AB|的最小值为. 故选：B. 5. 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，由此可得，结合结论两点之间线段最短可求的最小值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 所以的最小值是. 6. 四面体中，若，，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】B 【解析】 【分析】根据三棱锥的几何性质，作出三棱锥的高，根据侧棱相等，判断底面中心的位置，进而说明面面垂直，判断结果. 【详解】如图，过点作平面，垂足为， ，，即为的外心． 又，为的中点． ，， 平面，平面， ∴平面平面． 故选：B． 7. 已知圆及直线，下列说法正确的是（ ） A. 圆被轴截得的弦长为2 B. 直线过定点 C. 直线被圆截得的弦长存在最大值，此时直线的方程为 D. 直线被圆截得的弦长存在最小值，此时直线的方程为 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆方程求得圆与轴的交点坐标可得弦长为4，即A错误，将直线整理可得其恒过定点，即B错误，又圆心不在直线上，可得直线被圆截得的弦长不存在最大值，即C错误；当时，直线被圆截得的弦长存在最小值，此时直线的方程为，即D正确. 【详解】对于A，由圆方程可得圆与轴的交点坐标为和， 因此圆被轴截得的弦长为4，即A错误； 对于B，将直线整理可得； 由，解得， 所以无论为何值时，直线恒过定点，即B错误； 对于C，易知圆是以为圆心，半径， 易知圆心不在直线上，又直线被圆截得的弦长的最大值为直径， 所以可得直线被圆截得的弦长不存在最大值，可得C错误； 对于D，设直线与圆交于点，圆心到直线的距离为， 则弦长， 由直线恒过定点可得圆心到直线的距离有最大值为， 此时直线被圆截得的弦长存在最小值，满足，如下图所示； 此时直线的斜率为，其方程为，即,可得D正确； 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于判断出不管取何值时直线都不过圆心，即取不得弦长的最大值（圆的直径），可得出结论. 8. 已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过构造关系找到定点，将最值转化为求的最值，进而转化为最值，则点线距求解可得. 【详解】∵，∴. ∴P点轨迹是以点为圆心，为半径的圆，记为圆C， 设在x轴上存在定点，使得圆上任意一点，满足， 则， 化简得， 又∵，代入得， 要使等式恒成立，则，即. ∴存在定点，使圆上任意一点P满足， 则， 当三点共线（位于两侧）时，等号成立. 又点为直线上一动点，则的最小值即为点到直线的距离， 由到直线距离，则. 故. 如图，过作直线的垂线段，垂线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值. 故选：D. 【点睛】方法点睛：借助可以转化,最后把动点到定点的距离转化为到点到直线的距离，进而由几何性质求解最值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线上存在点，使得 B. 直线被圆截得的弦长为4 C. 圆上的点到直线的最大距离为 D. 过圆心作直线的垂线，垂足坐标为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出圆C的圆心、半径，再计算圆心到直线l的距离，结合点到直线距离公式、弦长公式、直线交点求解等知识逐一判断选项. 【详解】圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 因为，所以直线上不存在点，使得，故A错误； 因为，所以直线与圆相交，所以弦长为，故B正确； 因为圆上的点到直线的最大距离为，故C正确； 过圆心作直线的垂线，则垂线的斜率为，所以直线方程为，联立，可解得，所以垂足坐标为，故D正确. 10. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的取值范围为 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用圆的一般方程得出圆心和半径，然后结合所求表达式的几何意义，根据直线与圆的位置关系逐项分析求出最值或范围即可. 【详解】由得， 所以方程表示圆心是，半径为的圆， 选项A，设，即， 因为点在圆上，所以可知直线与圆有交点， 所以圆心到直线的距离，即， 所以，即的最大值为，故A正确； 选项B，由表示圆上的点到点的距离的平方， 又，所以点在圆外， 由圆心到点的距离为， 所以圆上的点到点的最小距离为，如图所示： ， 所以的最小值为；故B错误； 选项C，由可知， 该表达式表示圆上的点到直线的距离的倍， 由圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的范围为即， ， 所以的取值范围为，故C正确； 选项D，表示圆上的点与点连线的直线的斜率， 由，所以点在圆外， 设该直线的斜率为， 则该直线的方程为：即， 由题意可知当直线与圆相切时，有最值， ， 所以当直线与圆相切时有， 化简得：，解得：， 即的最大值为，故D错误. 11. 在平面直角坐标系中，已知过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，则（ ） A. 当时，直线的方程为 B. 当为的中点时，直线的斜率为 C. 当面积最小时，其外接圆的方程为 D. 点在的外接圆内 【答案】ABD 【解析】 【分析】由两直线垂直斜率关系和点斜式可得A；结合中点坐标和斜率公式可得B；设出截距式方程，代入点，由基本不等式确定直线方程，再得到外接圆方程可得C；将点代入外接圆方程可得D. 【详解】对于A，，，， 直线的方程为，即，A正确； 对于B，设，因为的中点，所以， 可得,，B正确； 对于C，依题意设， 过，，，， ，当且仅当，时等号成立． 外接圆方程为，即，所以C错误； 对于D，的外接圆方程为， 整理得（*）， 将点代入（*）左边，得 又因为，所以 ，当且仅当，时等号成立， 点在的外接圆内，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与直线之间的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先将方程变形，再根据平行直线间的距离公式求解出结果. 【详解】因为， 所以平行线间的距离为， 故答案为：. 13. 已知直线，点P是圆上一点，则点P到直线l的距离的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线恒过的定点，再计算圆心到定点的距离，分析直线绕定点转动，圆上点到直线距离的最大值、最小值即可. 【详解】直线：可化为， 令，解得：，所以直线恒过定点. 圆方程：，配方. 圆心，半径， 所以圆心到定点距离：， 又因为，且，所以直线与不垂直， 所以直线绕定点旋转，圆心到直线的距离的范围：. 当直线与圆相交时，圆上存在点到直线的距离为. 因此点P到直线的距离的取值范围为. 14. 已知实数、满足，则的取值范围_______________ 【答案】 【解析】 【分析】设为圆上任意一点，构造直线，分别求得点P到直线的距离PM，P到原点的距离PO，将问题转化为求解. 【详解】如图所示： 设为圆上任意一点， 点P到直线的距离为， 点P到原点的距离为， 所以， 当圆与直线相切时， ， 解得， 所以最小值为，最大值为， 所以，即， 的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上. （1）求圆M的方程； （2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为：，由已知列出方程组，解之可得圆的方程； （2）由已知得四边形的面积为，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根据点到直线的距离公式可求得答案. 【详解】解：（1）设圆的方程为：， 根据题意得， 故所求圆M的方程为： ； （2）如图， 四边形的面积为，即 又，所以， 而，即. 因此要求的最小值，只需求的最小值即可， 的最小值即为点到直线的距离 所以， 四边形面积的最小值为. 16. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 【答案】（1） （2） 或 （3）， 【解析】 【分析】（1）先求出的中点坐标，再由点斜式方程即可求得中线所在直线方程； （2）依题意，分截距为与不为两种情况，截距为时，直接用点斜式即可求得直线方程；截距不为时，设截距式方程，代入点求出参数即得所求直线方程； （3）先求出边的垂直平分线的方程，再利用对称性列方程求解即得对称点的坐标. 【小问1详解】 因，，，设中点为，则得，即， 则直线的方程为，即； 【小问2详解】 依题意，当截距为时，直线井过原点和点，则其方程为，即； 当截距不为时，依题意，可设直线，代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或； 【小问3详解】 的中点，斜率为，则其垂直平分线的斜率为， 故有，即. 设关于的对称点，则中点在上且， 则，解得，，故. 17. 设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为． （1）求的取值范围； （2）若，求圆的标准方程； （3）求证：圆心在定直线上，并求出该直线方程． 【答案】（1） （2） （3） 设圆的一般方程为， 令，得，此方程有一根为，即， 令，得，与是同一个方程，即， 所以， 设，则，，即，， 所以，即，即圆心在定直线上． 【解析】 【分析】（1）分析可知函数的图象与轴有两个交点，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）当时，求出函数的图象与两坐标轴的三个交点的坐标，求出以这三个点为顶点的三角形的外心的坐标，可求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设圆的一般方程为，分别令、可得出、，可得出，设，求得，，代入等式即可证得结论成立. 【小问1详解】 因为二次函数的图象与两坐标轴有三个交点， 该函数的图象交轴于点，所以该函数的图象与轴有两个交点， 所以，解得且， 故的取值范围是． 【小问2详解】 抛物线与轴交点是， 当时，由，得或，即抛物线与轴交点是、． 因为，线段的中点为， 所以线段的中垂线方程为，即， 同理可得线段的中垂线方程为， 联立得，则圆心为， 圆的半径， 故圆的标准方程为． 【小问3详解】 略 18. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，. （1）设平面平面，求证：； （2）求证：； （3）在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为，平面，平面，可得平面， 又因为平面平面，平面，所以. （2）设的中点为，连接， 因为为等边三角形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 可得平面，由平面可得， 又因为，，平面， 可得平面，且平面，所以. （3）存在点，使得平面，此时. 【解析】 【分析】（1）可证平面，结合线面平行的性质定理分析证明； （2）根据面面垂直的性质可得平面，进而可证平面，即可得结果； （3）可证平面，可得，可知平面，进而分析求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设的中点为，连接， 因为为等边三角形，则， 又因为平面，且平面，所以， 且，则， 且，平面，可得平面， 若平面，则，可知平面， 设，连接， 因为，，则点为的中点，可得，符合题意， 所以存在点，使得平面，此时. 19. 已知圆一动直线过点且与圆C相交于A．B两点，Q是AB的中点，直线与直线相交于E． （1）当|AB|=时，求直线的方程； （2）判断值是否与直线的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由． 【答案】（1）和；（2）无关，. 【解析】 【分析】 （1）设出直线l的方程，当直线l的方程为时，由勾股定理求出，满足题意，当直线l的方程为时，根据点到直线的距离公式求出直线l的方程； （2）当直线l的方程为时，求出，，，再由数量积公式得出，当直线l的方程为时，与圆的方程联立，利用韦达定理求出，，结合中点坐标公式得出点坐标，再由求出点坐标，最后由数量积公式证明值与直线的倾斜角无关. 【详解】（1）∵，，∴ 设直线l的方程为或 ①当直线l的方程为时 ∴，，符合题意． ②当直线l的方程为时，， ∴，即 综上所述：直线l的方程为和． （2）设直线l的方程为或 ①当直线l的方程为时，，， ，，∴ ②当直线l的方程为时， 整理得 设， ， ，， 由得 ，∴． 综上所述：值与直线l的倾斜角无关，其值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高二年级第一次阶段性练习数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. 90 D. 不存在 2. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知点A(2，1)，点B为两条直线与x+y－1=0的交点，则|AB|的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 四面体中，若，，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 7. 已知圆及直线，下列说法正确的是（ ） A. 圆被轴截得的弦长为2 B. 直线过定点 C. 直线被圆截得的弦长存在最大值，此时直线的方程为 D. 直线被圆截得的弦长存在最小值，此时直线的方程为 8. 已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线上存在点，使得 B. 直线被圆截得的弦长为4 C. 圆上的点到直线的最大距离为 D. 过圆心作直线的垂线，垂足坐标为 10. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的取值范围为 D. 的最大值为 11. 在平面直角坐标系中，已知过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，则（ ） A. 当时，直线的方程为 B. 当为的中点时，直线的斜率为 C. 当面积最小时，其外接圆的方程为 D. 点在的外接圆内 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与直线之间的距离为__________. 13. 已知直线，点P是圆上一点，则点P到直线l的距离的取值范围为______. 14. 已知实数、满足，则的取值范围_______________ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上. （1）求圆M的方程； （2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值. 16. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 17. 设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为． （1）求的取值范围； （2）若，求圆的标准方程； （3）求证：圆心在定直线上，并求出该直线方程． 18. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，. （1）设平面平面，求证：； （2）求证：； （3）在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 19. 已知圆一动直线过点且与圆C相交于A．B两点，Q是AB的中点，直线与直线相交于E． （1）当|AB|=时，求直线的方程； （2）判断值是否与直线的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $