江西省抚州市崇仁一中、广昌一中、南丰一中、金溪一中四校联考2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年上学期崇仁一中、广昌一中、南丰一中、金溪一中高二 第一次月考联考数学参考答案 1、 单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 C D B A C C A D 2、 多选题： 9 10 11 ABC BC BD 3、 填空题： 12.或 13. 或或 14. 四､解答题： 15.（13分） 解:(1)与直线平行的直线，可设为，……………2分. 将代入得，解得， ……………………… 4分 所以直线为：. ……………………………..6分 (2)与直线垂直的直线可设为，………………8分 当时，当时，，……………………………….. 10分 因为与，轴的正半轴围成的三角形的面积等于4， 所以，解得，…………………….. 12分 所以直线为：……………………………………………………13分 16.（15分） 解:（1）以半圆的直径为轴，圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系， 由已知，圆的半径为，则半圆的方程为．----------------------------2分 椭圆的短半轴长，又，-----------------------------------------------4分 所以，-------------------------------------------------------------------6分 所以半椭圆的方程为．-------------------------------------------7分 （2） 设第一象限内的点的横坐标为，则----------------------------9分 ．------------------------------------------------------11分 由得，-----------------------------------------------------------------------13分 解得，此时． 故达到最佳美观的效果时长为．----------------------------------------------------------15分 17.（15分） 解：设圆的半径为， （1）由圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离是圆的半径， 即，…………………………………………………………. 3分 所以圆的方程为……………………………………….. 6分 (2) 圆：的圆心为，半径为， 两个圆有公共弦，则，……………………………………. 7分. 即，解得，……………………………..8 分 由得两圆公共弦所在直线方程……. 11分 又两圆的公共弦长为2，则圆心到公共弦所在直线的距离为 ，且， 解得或，…………………………………. 14分 又，所以.经检验符合题意. 故存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2……………. 15分. 18.（17分） 解：如图， (1)由题意得，解得，所以，……3分 所以椭圆的方程为，离心率为…………….. 7分 (2)由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得：， 由韦达定理得，所以，……………. 9分 所以，…………………………………. 11分 所以,,， 所以，………………. 13分 所以，即，…………………15分 解得，所以直线的方程为…………………17分 19.（17分） 解： (1)设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为， 则 ， …………………. 4分 ， ， 等号成立的条件是，所以直线的夹角最小值为…………8分 （2）设，，其中，……. 10分 故 ……..13分 由于（等号成立的条件是）， 故，…………………………………………….. 15分 所以， 即原点O到直线的距离之积的取值范围为……………….. 17分 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 4 页） 第 2 页（共 4页） 2024-2025 学年上学期崇仁一中、广昌一中、南丰一中、金溪一中高二第一次月考联考 数学试卷 考试时间：120 分钟 命题人：陈长根 审题人：邱海涛 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求． 1. 直线 0 1 3 x y   的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2．若方程 2 2 1 5 3 x y k k     表示椭圆，则实数 k的取值范围为（ ） A.  3,4 B.  4,5 C.  3,5 D.    3,4 4,5 3. 已知直线  1 2: 2 0, : 2 1 2 0l ax y l x a y       ，若 1l ∥ 2l ，则 a （ ） A. 1 或 2 B. 1 C. 1或 2 D. 2 4. 若圆 2 28 6 0x x y y m     与 x轴， y轴均有公共点，则实数m的取值范围是（ ） A.  , 9 B.  ,16 C.  9,25 D.  16,25 5. 已知椭圆 2 2 2: 1( 0)4 x yC m m    的离心率为 2 2 ，则椭圆C的焦距为（ ） A. 4 B. 2或 2 C. 2 2或4 D. 2 6． “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角 坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点  ,P x y 是阴影部分（包括边界）的动点，则 2 y x  的 最小值为（ ） A. 2 3  B. 3 2  C. 4 3  D. 1 7．设 A，B是椭圆 C： 2 2 1 3 x y m   长轴的两个端点，若 C上存在点 M满足∠AMB=120°，则 m的取值范 围是( ) A. (0,1] [9, ) B. (0, 3] [9, ) C. (0,1] [4, ) D. (0, 3] [4, ) 8. 已知圆 C：  22 3 4x y   ，过点  0,4 的直线 l与 x轴交于点 P，与圆 C交于 A，B两点，则  CP CA CB    的取值范围是（ ） A． 0,1 B． 0,1 C． 0,2 D． 0,2 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 截距相等的直线都可以用方程 1x y a a   表示 B. 方程 2 0( )x my m R    不能表示平行 y轴的直线 C. 经过点 (1,1)P ，倾斜角为 的直线方程为 1 tan ( 1)y x   D. 经过两点  1 1 1,P x y ，   2 2 2 1 2,P x y x x 的直线方程为  2 11 1 2 1 y yy y x x x x      10. 定义：如果在一圆上恰有四个点到一直线的距离等于1，那么这条直线叫做这个圆的“相关直线”.则下 列直线是圆    2 2: 1 2 4C x y    的“相关直线”的为（ ） A. 1y  B. 3 4 12 0x y   C. 2 0x y  D. 12 5 17 0x y   11．已知椭圆 2 2 2 1(0 3)9 x y b b     的左､右焦点分别为 1 2,F F ，过点 1F 的直线 l交椭圆于 ,A B两点，若 AB 的 最小值为 4，则（ ） A．椭圆的短轴长为 6 B． 2 2AF BF 的最大值为 8 第 3页（共 4 页） 第 4页（共 4 页） C．离心率为 3 2 D．椭圆上不存在点 P，使得 1 2 90F PF   第二部分（非选择题 共 92分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15分。 12. 已知直线 l经过点  4,3P ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线 l的方程______． 13．写出与圆 2 2 1x y  和 2 2( 3) ( 4) 16x y    都相切的一条直线的方程______． 14. 已知直线 l： 2 1 0kx y k    与椭圆   2 2 1 2 2 0: 1 x yC a b a b   交于 A、B两点，与圆    22 2: 2 1 1C x y    交于 C、D两点．若存在  2, 1k   ，使得 AC DB   ，则椭圆 1C 的离心率 的取值范围是_____________． 四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（13分）根据下列条件，求直线的一般方程． （1）过点  3,1A ，且与直线 3 2 0x y   平行； （2）与直线2 1 0x y   垂直，且与 x， y轴的正半轴围成的三角形的面积等于 4． 16.（15分）如图所示的图徽外框由半圆和半椭圆组成，半圆的直径为 10，椭圆的离心率为 3 2 ，且短 轴与半圆的直径（图中虚线）重合，图徽内有一矩形区域 ABCD用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对 称，且顶点在图徽外框上． （1）建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程； （2）根据美学知识，当 0.6 AD AB  时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时 AB的长． 17.（15分）已知圆C的圆心为  2,1 ，且圆C与直线3 4 17 0x y   相切。 （1）求圆C的方程； （2）圆 N ：   2 2 2 0x m y m m    ，是否存在实数m，使得圆 N 与圆C公共弦的长度为 2，若存在， 求出实数m的值；若不存在，请说明理由. 18.（ 17 分）已知椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     的左右顶点分别为 1 2,A A ，右焦点为 F ，已知 1 23, 1AF A F  ． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）点 P在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线 2A P交 y轴于点Q，若三角形 1APQ的面积是三角形 2A PF面 积的二倍，求直线 2A P的方程． 19.（17 分） 已知点 P和非零实数，若两条不同的直线 1 2,l l 均过点 P，且斜率之积为，则称直线 1 2,l l 是一组“ P 共轭线对”，如直线 1 2 1: 2 , : 2 l y x l y x   是一组“ 1O 共轭线对”，其中 O是坐标原点.规定相 交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角. （1）已知 1 2,l l 是一组“ 3O 共轭线对”，求 1 2,l l 的夹角的最小值； （2）已知点  1, 2Q   ，直线 1 2,l l 是“ 2Q 共轭线对”，当 1l 的斜率变化时，求原点 O到直线 1 2,l l 的距离 之积的取值范围.