3.4.2 相似三角形的性质（2）同步练 -2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以“对应线段比”和“面积比”为双主线，通过基础选择、情境应用到综合实践的三层设计，强化相似三角形性质的理解与迁移，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|对应高/中线/角平分线比、面积比的直接应用|选用各地期中期末基础题，如考向1第1-3题、考向2第1题，强化概念记忆与运算能力| |情境应用层|性质在图形计算与实际场景中的简单应用|结合正方形零件加工（考向1第5题）、小孔成像（考向1第6题）等情境，发展几何直观| |综合实践层|性质的综合证明与跨学科迁移|设置视力表方案设计（考向1第8题）、中点三角形面积推理（考向2第7题），培养推理能力与应用意识|

3.4.2 相似三角形的性质（2） 考向1 对应高线、中线、角平分线的比等于相似比 1.（2025-2026学年重庆期中）若与的相似比为，则对应边上的高之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形对应边上高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵相似三角形对应边上的高之比等于相似比， 又∵与的相似比为， ∴与对应边上的高之比为． 2.（2025-2026学年上海期末）如果两个相似三角形的面积比为，那么这两个三角形的对应中线的比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应中线的比等于相似比. 【详解】解：两个相似三角形的面积比为1:4， 两个三角形的相似比为1:2. 又∵相似三角形对应中线的比等于相似比， 这两个三角形的对应中线的比为1:2. 故选：A. 3.已知，AD和分别是与的角平分线，，，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，然后再代入数据即可解答． 【详解】解：∵，和分别是与的角平分线， ∴相似比 ， ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方 ∴ 与的面积比为 ． 4.（2025-2026学年合肥期末）如图，，分别是的高和中线，，分别是的高和中线，且，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的对应高、中线的比都等于相似比，据此得到，再代入数据求解即可. 【详解】∵，分别是的高和中线，，分别是的高和中线， ∴. ∵，，， ∴，∴B’E’=. 故选：D. 5.（2025-2026学年大庆期末）如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形的性质列比例式解答即可． 【详解】解：∵正方形的边在上， ， ． ， ∴ ， ， ， ∴这个正方形零件的边长为． 6.（2025-2026学年淄博期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 【答案】24 【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比进行求解. 【详解】设小孔O到A’B’的距离为x cm. ∵AB∥A’B’， ∴△AOB∽△A’OB’， ∴， ∴x=24，即小孔O到A’B’的距离为24 cm. 7.（2025-2026学年济南期末）如图，点，分别是的边，上的点，连接，，的角平分线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ，， （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，平行线的性质； （1）由得，，即可得结论； （2）由得，求得，再根据计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，的角平分线交于点， ， ，， ， ， ． 8.（2025-2026学年清远期末）综合与实践 为了加强视力保护意识，小北想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m．在一次综合实践课上，小北向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）． 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长（光路图做法：作于点，延长线交于点，使得线段和关于对称）． （1）甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ （2）乙生的方案中，当视力表的全长为时，求平面镜的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）证明，得到，代入相关数值即可求解； （2）证明，得到，求出，代入相关数值即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知，， ， 又∵， ， ， 由题意知，，，， ， 解得， 即小视力表中相应“”的高是； 【小问2详解】 解：由题意知，， ∵，， ， ∵， ， ， 由题意知，，， ， ， ． 考向2 对应面积的比等于相似比的平方 1.（2024重庆中考B版）若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴这两个三角形面积的比是， 故选：D． 2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连结，，则与的面积之间的关系为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明△ABF∽△DCG，得到，AB∥CD，再证明△CDE∽△ABE，根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】如图，取格点G,F. 由网格图，得AF=4，BF=2，DG=2，CG=1，∠AFB=∠CGD=90°， ∴， ∴△ABF∽△DCG， ∴，∠ABG=∠DCG， ∴AB∥CD， ∴△CDE∽△ABE， ∴， ∴. 3.（2026临沧二模）如图，在中，，若，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定，可得，再根据“相似三角形的面积之比是相似比的平方”，即可求解． 【详解】解：， ， ， ，即， ． 4.（2026泰州三模）如图，在中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线证两三角形相似，根据面积比等于相似比平方得到大小三角形面积之比，用大三角形面积减去小三角形面积得到四边形面积，进而求出两者面积比． 【详解】解：， ， ， ， ， 设，则， ， ． 5.（2025-2026学年丹东期末）如图在中，、分别是边、上的点，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形面积与底的关系，相似三角形的判定与性质，掌握“同高三角形的面积比等于底的比”是解题关键． 由​得出线段比，再通过平行线判定相似三角形，得到对应边的相似比，最后结合“相似三角形面积比为相似比的平方”，求出两个三角形的面积比． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 6.（2026泸州中考）如图，在中，，点在上，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设 ，利用等腰三角形性质和三角形外角性质求出  与  的关系，进而证得 ，利用相似三角形对应边成比例求出线段比，最后根据等高三角形面积比等于底边比求解． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ，， ，， ， ， 设，，则，， ， 即， 等式两边同时除以 ， 得： ， 解得 （负值舍去），  与  在  边上的高相等， ， ． 故选 B． 7.（2026周口二模）把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，是等边三角形的中点三角形，是的中点三角形，…依此类推，当时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求原等边三角形面积，根据三角形中位线定理得到，相似比为，归纳得出第个三角形面积公式． 【详解】解：如图，过点作， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∵点、、分别为等边的边、、的中点， ∴，，， ∴，相似比为， 面积比为相似比的平方，即​， ∴每个新三角形的面积是前一个三角形面积的 时， 时， 依此类推，可得的面积为：． 8.（2026舟山一模）如图，矩形和正方形面积相等，点B在边上，点G在上，交于M点，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明得，，．由矩形和正方形面积相等，得，结合可得，证明，求出，再证明，利用相似形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，． ∵矩形和正方形面积相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 同理可证，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 9.（2025-2026学年成都期末）在求解图形面积时，经常用到“同底等高”“等底等高”等方法．如图，为的对角线，分别在上，且，若，则___________． 【答案】7 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、等积变换，利用相似得到线段和高的比例关系是解题的关键． 先证明，再利用三角形相似的判定和性质，平行四边形的性质，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 10.（2025-2026学年台州期末）如图，矩形中，点，分别在边，上，且．点为线段上的点，连接并延长交延长线于点，连接．若四边形的面积为6，，则的面积为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，连接，易得，设，则，设，，进而得到，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，证明，得到，进而得到，，进而推出，再根据面积的和差关系进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形均为矩形， ∴，， 设，，，则：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ； 故答案为：4． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4.2 相似三角形的性质（2） 考向1 对应高线、中线、角平分线的比等于相似比 1.（2025-2026学年重庆期中）若与的相似比为，则对应边上的高之比为（ ） A. B. C. D. 2.（2025-2026学年上海期末）如果两个相似三角形的面积比为，那么这两个三角形的对应中线的比为（     ） A． B． C． D． 3.已知，AD和分别是与的角平分线，，，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 4.（2025-2026学年合肥期末）如图，，分别是的高和中线，，分别是的高和中线，且，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5.（2025-2026学年大庆期末）如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（ ） A. B. C. D. 6.（2025-2026学年淄博期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 7.（2025-2026学年济南期末）如图，点，分别是的边，上的点，连接，，的角平分线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 8.（2025-2026学年清远期末）综合与实践 为了加强视力保护意识，小北想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m．在一次综合实践课上，小北向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）． 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长（光路图做法：作于点，延长线交于点，使得线段和关于对称）． （1）甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ （2）乙生的方案中，当视力表的全长为时，求平面镜的长． 考向2 对应面积的比等于相似比的平方 1.（2024重庆中考B版）若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（　　） A. B. C. D. 2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连结，，则与的面积之间的关系为（        ） A． B． C． D． 3.（2026临沧二模）如图，在中，，若，则的值（ ） A. B. C. D. 4.（2026泰州三模）如图，在中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 5.（2025-2026学年丹东期末）如图在中，、分别是边、上的点，且，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 6.（2026泸州中考）如图，在中，，点在上，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7.（2026周口二模）把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，是等边三角形的中点三角形，是的中点三角形，…依此类推，当时，的面积为（ ） A. B. C. D. 8.（2026舟山一模）如图，矩形和正方形面积相等，点B在边上，点G在上，交于M点，，，若，则（ ） A. B. C. D. 9.（2025-2026学年成都期末）在求解图形面积时，经常用到“同底等高”“等底等高”等方法．如图，为的对角线，分别在上，且，若，则___________． 10.（2025-2026学年台州期末）如图，矩形中，点，分别在边，上，且．点为线段上的点，连接并延长交延长线于点，连接．若四边形的面积为6，，则的面积为__________． 学科网（北京）股份有限公司 $