3.4 相似三角形的性质 课后巩固卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦相似三角形性质，分层设计覆盖基础应用到综合创新，通过实际情境与动态问题培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一性质（周长比、中线比）|直接应用性质，如选择1-2考周长与中线比| |中档|性质应用与简单综合|结合实际情境，如选择3小孔成像、7路灯影子问题| |拔高|复杂综合与动态探究|动态与折叠问题，如解答20动点相似、填空15矩形折叠|

3.4 相似三角形的性质 课后巩固卷2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．如图，与交于，且，，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 2．若与的相似比是，则它们对应中线的比是（　　） A． B． C． D． 3．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，分别是上的点，且．若的周长为，的周长为，则（   ） A． B． C． D． 5．，，分别是和的角平分线，且，下面给出的四个结论中，正确的结论有（    ） ①，②， ③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，与交于点，且，则下列式子等于与面积比的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，身高米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了12米到达点C处时，发现自己在地面上的影子的长是3米，则路灯的高为（   ） A．5米 B．米 C．8米 D．10米 8．魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 9．如图1，三个大小不同的相似三角形可以拼成（无重合无空隙）一个矩形．将三角形①和②如图2重新组合，可得到和四边形，已知两个图形的面积满足，则拼成的图1矩形的长与宽之比为（   ） A． B． C．2 D． 10．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在直线上，点，将进行如下操作：①绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第1次运动；②绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第2次运动；③绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第3次运动，，当第9次运动后，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是________． 12．物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为______． 13．如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为______，的面积为______． 14．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交于点．若H恰好为的中点，则的长为____________．    15．如图，在矩形中，，，M为射线上的一动点（不与B，D重合），过点M作射线于点N，若以点M，N，C为顶点的三角形与相似，则的长为________． 三、解答题 16．如图，已知，点为一点，在上找一点，使（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 17．如图，在中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．如图，若点O是矩形对角线的中点，按如图所示的方式折叠，折痕为和，使边落在上，边也落在上，A、C两点恰好重合于点O，连接交于点G，交于点H． (1)求的值； (2)求的值． 19．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 20．如图，矩形中，，点从点出发沿向点移动（不与重合）．同时，点从点出发沿向点移动（不与重合），若有一点到达终点则两点都停止运动，设运动时间为． (1)若点均以的速度移动，当四边形为菱形时，求的值； (2)若点为的速度移动，点以的速度移动，当为直角三角形时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D B B A C A C A 1．【答案】D 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴与的周长之比等于． 2．【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，若两个三角形相似，则它们对应中线的比等于相似比，根据题意即可得到答案，熟记相似三角形性质是解决问题的关键． 【详解】解： 与的相似比是， 它们对应中线的比等于相似比为， 故选：A． 3．【答案】D 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于点，延长交于点，则，，由题意得，则，于是可得，即，由此即可求出，进而可得小孔O到的距离． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ，， 由题意得：， ， ， ， ， ， 即：， ， 即小孔O到的距离为， 故选：． 4．【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】先结合夹角相等，两边成比例，得证，再根据的周长为，的周长为，相似三角形的周长比等于相似比，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∴． 5．【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，分别是和的角平分线，且， ∴，，故①②正确； ④错误； ，故③错误； 故选：B 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 6．【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似比与面积比的关系，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由题可知，再根据面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】， ， ， ． 故选：A． 7．【答案】C 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，得出∽是解决问题的关键．根据，得出∽，进而得出比例式求出即可． 【详解】解：由题意知，米，米，米，， 则米， ， ∽ ，即， 解得， 即路灯的高为8米； 故选：C． 8．【答案】A 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．根据，可得，从而得到，进而得到，再由比例的性质可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，，，， ∴． 故选：A 9．【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据等角对等边证明边相等、利用相似三角形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】根据相似三角形的性质和等腰三角形的判定可证，再根据相似三角形的面积比与相似比的关系可得，设，则，根据勾股定理可得，再由相似三角形的性质可得，即可得解． 【详解】解：如图： ， ， ， 由题意知：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 拼成的图1矩形的长与宽之比为， 故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是能够理解题意，知道矩形是如何拼成的，并熟练掌握相似三角形的性质． 10．【答案】A 【知识点】一次函数与几何综合、点坐标规律探索、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据题意得出点，确定，第2次运动后，记点O的对应点为，如图所示，作轴，交y轴于点E，利用相似三角形的判定和性质得出，，确定点的横坐标为，纵坐标为，据此规律即可求解． 【详解】解：的斜边在直线上，点， ∴， 解得， 点， ， ， 第2次运动后，记点O的对应点为，如图所示，作轴，交y轴于点E， ∴，， ∴， ∴，即 ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为； 同理第6次运动后，运动后点的横坐标为，纵坐标为； 当第9次运动后，运动后点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 11．【答案】120° 【知识点】利用相似三角形的性质求解、等边三角形的性质 【分析】由△BPM∽△PAN，可得出∠BPM=∠A，进而再由等边三角形的性质以及角之间的转化，即可得出结论． 【详解】解：∵ △BPM∽△PAN， ∴ ∠BPM＝∠A， ∵ △PMN是等边三角形， ∴ ∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°， ∴ ∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°=120°． 故答案为：120°． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题． 12．【答案】5 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，根据，证明，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：， ， ， ， 的高为,为,为, ， 故答案为：5 13．【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据勾股定理可得，过点A作于点H，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ 由折叠的性质可知：， ∴， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴，， 过点A作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 14．【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】连接，先证明得到，进一步证明得到，再由H是的中点，得到，由此即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示，    由题意得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， ∴． 15．【答案】或或 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形——动点问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．设，由矩形的性质以及勾股定理可得，再证明可得，；然后分点M在上和的延长线上两种情况求解即可． 【详解】解：设 ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， 当点M在上时，则； 当时， ∴，即， 解得：，经检验，符合题意； ∴； 当时， ∴，即， 解得：，经检验，符合题意； ∴； 当点M在的延长线上时， ∴； 当时， ∴，即， 解得：，经检验，符合题意； ∴； 当时， ∴，即，该方程无解． 综上，的值为或或． 故答案为：或或． 16．【答案】见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、尺规作一个角等于已知角 【分析】根据作一个角等于已知角的方法，构造∠ADE=∠C即可． 【详解】作．即点就是所求作的点． 【点睛】本题考查作图相似变换，解题关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 17．【答案】(1) 证明：， ； (2) 【知识点】利用相似三角形的性质求解、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由两组对应角相等的三角形相似直接判定即可得到答案； （2）由（1）中得到，代入值计算即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， ， ∴， ． 18．【答案】(1) (2) 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据矩形性质得，，根据折叠的性质得，再根据全等的性质得，再由垂直平分线的性质得，进而可推出，，最后由特殊三角函数值可得答案； （2）根据矩形性质及折叠性质得点E，O，F在同一条直线上，得，证明得，证明四边形为菱形得，设，则，，，，，，由平行得，，进而得，，再代入解方程即可得的值． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点是对角线的中点， ∴，， 由折叠知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由折叠的性质得：，，， ∴点在同一条直线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为菱形， 由（1）知，设，则， ∴在中，， ∴， ∴， 设，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，即：，， 解得：， 即：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，图形的折叠变换及性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质． 19．【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【知识点】相似三角形实际应用、三线合一、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 20．【答案】(1)的值为 (2)t的值为或1或 【知识点】利用菱形的性质证明、相似三角形——动点问题、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）易得四边形为平行四边形，当时，四边形是菱形，在中，由勾股定理建立方程即可求得t的值； （2）分两种情况考虑：当时，利用相似三角形的性质即可求得t的值；当时，由即可求得t的值，从而问题即可解决． 【详解】（1）解：∵在矩形中，， 由题意知：， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：    即当四边形为菱形时，的值为； （2）解：当点F与点A重合时，， 即； ①当时，过点E作于G，如图， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：或；    ②当时，则四边形是矩形， ∴， ∴， 即， 显然，满足题意； 由于点F不与点B重合，则； 综上，满足题意的t值为或1或．    【点睛】本题是动点问题，考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质及平行四边形的判定，勾股定理，解方程等知识，有一定的综合性． 学科网（北京）股份有限公司 $