3.1 相似多边形 课后拓展练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.1 相似多边形 课后拓展练2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列线段、、、不是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．达州市真佛山风景区与重庆武隆风景区之间的直线距离约为，在一张比例尺为的旅游图上，它们之间的距离大约相当于（　　）的长度 A．一根火柴 B．一根筷子 C．一支钢笔 D．一支铅笔 3．下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个正五边形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 4．两个相似多边形的周长之比为，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D． 5．四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 6．在矩形中，已知，，下列四个矩形中与矩形相似的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，一块矩形绸布的长AB＝am，宽AD＝2m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，矩形纸片被分割成六个小矩形，其中矩形矩形，若已知的面积，则一定能求出（   ） A．矩形的面积 B．矩形的面积 C．矩形的面积 D．矩形的面积 二、填空题 9．在比例尺为的地图上，如果两地的距离是厘米，那么这两地的实际距离是___________千米． 10．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    11．如图，点D、E在线段上，是等边三角形，当时，的度数为_____________． 12．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上异于A、B的点，点E、F分别在AC、BC上且AE＝BF，已知AB＝6，EF＝4，若取EF中点G，连接CG，则CG的长为_________，AE的最小值为________． 三、解答题 13．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为，，，，将其顶点的坐标缩小为原来的，画出得到的四边形．并判断这两个四边形是位似图形吗？若是，四边形与四边形的相似比是多少？ 14．已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 15．如图，四边形是矩形，点F在对角线AC上运动，，．四边形和四边形一直保持相似吗？证明你的结论． 16．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B C B A C C 1．【答案】D 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查成比例线段的判定，根据成比例线段的定义，四条线段成比例需满足最长线段与最短线段的乘积等于另外两条线段的乘积，据此逐一验证各选项即可． 【详解】解：成比例线段的判定规则：对于四条线段、、、，若，则四条线段成比例． ∵选项A中，，∴是成比例线段 ∵选项B中，，∴是成比例线段 ∵选项C中，，∴是成比例线段 ∵选项D中，，，，∴不是成比例线段 故选：D． 2．【答案】D 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，首先能够根据比例尺的概念进行正确计算，然后能够结合实际物体进行估计其大小．比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出式子，根据比例的基本性质即可得出图上的距离． 【详解】解：∵， 根据比例尺＝图上距离：实际距离， 得它们之间的图上距离是：． 大约相当于一支铅笔的长度． 故选：D． 3．【答案】B 【知识点】相似多边形、相似图形 【分析】本题考查了相似图形：相似图形需对应角相等且对应边成比例，熟练掌握相似图形的定义是解题关键．根据相似图形需对应角相等且对应边成比例逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，则两个等腰三角形不一定相似，此项不符合题意； B、两个正五边形的所有对应角相等（每个内角均为），且所有对应边成比例（边长比相同），则两个正五边形一定相似，此项符合题意； C、两个矩形的所有对应角相等（每个内角均为），但对应边不一定成比例，则两个矩形不一定相似，此项不符合题意； D、两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，则两个平行四边形不一定相似，此项不符合题意； 故选：B． 4．【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【分析】根据相似多边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵两个相似多边形的周长之比为， ∴两个相似多边形的相似比为， ∴它们的面积之比为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 5．【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 6．【答案】A 【知识点】相似多边形 【分析】本题考查了相似多边形的性质，利用相似多边形对应边的比相等，即可找出结论． 【详解】解：∵， ∴A选项中的矩形与矩形相似． 故选：A． 7．【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 【详解】解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， ∴， 解得a＝或−（舍去）， ∴a＝， 故选：C． 【点睛】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例． 8．【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，设，，的面积为，根据，推出，再由相似多边形的性质得到，即，则，据此证明，再由可以推出，据此可得答案． 【详解】解：设，，的面积为， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵矩形矩形， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， ∴已知的面积，则一定能求出矩形的面积， 故选：C． 9．【答案】17 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了图上距离、实际距离和比例尺之间的关系，解答时要注意单位的换算．根据比例尺的含义求解即可． 【详解】解：∵比例尺为，，两地的距离是厘米， 设， 两地的实际距离为， ∴ ， ∴， ． 故答案为：17． 10．【答案】 【知识点】相似多边形 【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键． 11．【答案】/120度 【知识点】等边三角形的性质、相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和等边三角形的性质，解决此题的关键是熟练运用外角的性质；先根据相似三角形的性质得到角相等，再根据等边三角形的性质和外角的性质即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．【答案】 2 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、半圆（直径）所对的圆周角是直角、成比例线段 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可知∠ACB=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求CG；当AC=BC时，可知，代入数据即可求解． 圆周角定理可知， 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵G是EF的中点， ∴CG=． 当AC=BC时，此时AE=BF最小，如图， 则CE=CF，AC=BC= ∴ ∴EF∥AB， ∴ 即 解得CE=， ∴AE=， 故答案为：2，． 【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握这些定理和性质． 13．【答案】四边形与四边形是位似图形，位似比为． 【知识点】相似多边形的性质、求位似图形的对应坐标 【分析】根据坐标与图形性质画出符合条件的四边形，将点的横坐标、纵坐标都缩小为原数的，得到点 再连接，即可得到所求作的图形，接着由勾股定理结合位似图形的概念判断即可． 【详解】解：如图，四边形即为所求作的四边形， 四边形与四边形是位似图形，理由如下： 根据题意得：， 由勾股定理得， 又 四边形与四边形是点O为位似中心的位似图形，位似比为． 【点睛】本题考查位似变换，涉及勾股定理等知识，掌握位似图形的概念、位似比的概念是解题关键． 14．【答案】(1)， (2) 【知识点】比例的性质、成比例线段 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）利用，可设，，则，然后解出k的值即可得到a、b的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：设， 则，， 所以，， 解得， 所以，，； （2）∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ∴线段． 15．【答案】四边形与四边形一直保持相似．原因是它们的角分别相等、边成比例． 【知识点】相似多边形 【分析】由，证明再证明四个角分别对应相等，四条边分别对应成比例，从而可得答案. 【详解】解： ，， 即 ，， 四边形与四边形一直保持相似． 【点睛】本题考查的是四边形相似的判定，掌握“四个角分别对应相等，四条边分别对应成比例的两个四边形相似”是解题的关键. 16．【答案】(1)存在，“减半”矩形长和宽分别为与． (2) 解：不存在，理由如下： 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是， 所以正方形不存在“减半”正方形． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、相似多边形的性质 【分析】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系． （1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解． （2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是，所以不存在“减半”正方形． 【详解】（1）解：存在，“减半”矩形长和宽分别为与． 假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则， 由①，得：，③ 把③代入②，得， 解得，． 所以“减半”矩形长和宽分别为与． （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $