3.1 相似多边形 综合测评2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.1 相似多边形 综合测评2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列各组线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 2．两个相似多边形的相似比为，则它们的面积比为（   ） A． B． C． D． 3．下列图形一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个正方形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 4．四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 5．嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 6．下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 7．如图，一块矩形绸布的长AB＝am，宽AD＝2m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值为（   ） A． B． C． D． 8．某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（    ） A．的长度 B．的度数 C．六边形的面积 D．六边形的周长 二、填空题 9．在的地图上，若两地图上的距离为，则两地的实际距离为_______． 10．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    11．将一张以为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，，，，，则该矩形与相邻的另一条边长是____________.（剪法不止一种） 12．数学家定义：若点C把线段分成两部分，满足，则点C为线段的白银分割点．已知点C是线段的白银分割点，且，则________． 三、解答题 13．如图，作出与四边形的相似的新四边形，使新图形与原图形的相似比为2：1． 14．已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 15．如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 16．如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． (1)若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ (2)要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B B D C C B 1．【答案】D 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查成比例线段的判断．判断一组线段是否成比例，可将其按长度从小到大排列，检验最小线段与最大线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积，若相等，则这四条线段成比例；反之，则不成比例，根据成比例线段的概念判断各选项即可． 【详解】解：A、选项中，，∴A选项的线段不成比例； B、，∴B选项的线段不成比例； C、，∴C选项的线段不成比例； D、，∴D选项的线段成比例； 故选：D． 2．【答案】B 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；相似多边形对应对角线的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于多边形的相似比；相似多边形的面积比等于相似比的平方． 根据相似多边形的性质“相似多边形的面积比等于相似比的平方”即可直接得出答案． 【详解】解：两个相似多边形的相似比为， 它们的面积比为：， 故选：． 3．【答案】B 【知识点】相似多边形、正方形性质理解、矩形性质理解、相似图形 【分析】此题考查相似图形的判断，判断图形是否相似需满足对应角相等且对应边成比例，熟记相似图形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A．两个矩形对应角均为，但边长的比例不一定相等（如长宽比不同的矩形），故不一定相似； B．两个正方形对应角均为，且所有边长成相同比例，因此一定相似； C．若两个等腰三角形有一个角为，该角可能为顶角或底角，导致其余角不相等，无法保证相似； D．两个菱形对应边成比例，但对应角可能不相等（如不同内角的菱形），故不一定相似； 故选B． 4．【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 5．【答案】D 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段的应用（或相似图形的性质）．根据照片中的物体长度与实际物体长度成比例（即比例尺固定），列出比例式求解即可． 【详解】解：设该古籍的实际长度为 照片上物体的长度与实际物体的长度成正比 ∴ 解得 该古籍的实际长度为故选D． 6．【答案】C 【知识点】相似多边形 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定方法可得答案. 【详解】解： ∵甲、乙、丙、丁的邻边之比分别为：；，，，且四个图形的每一个内角都是直角； ∴丙、丁两个图形的对应边成比例，对应角相等. ∴相似的是丙与丁， 故选C 7．【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 【详解】解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， ∴， 解得a＝或−（舍去）， ∴a＝， 故选：C． 【点睛】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例． 8．【答案】B 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似图形，利用相似图形的性质判断即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：用放大镜观察该分子结构，由相似图形的性质可得，保持不变的是的度数， 故选：． 9．【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】根据比例尺图上距离实际距离进行求解即可． 【详解】解：由题意得，两地的实际距离为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺图上距离实际距离是解题的关键． 10．【答案】 【知识点】相似多边形 【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键． 11．【答案】或 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似多边形的性质 【分析】分情况讨论，根据相似三角形的性质求得的值，即可求解． 【详解】解：如图所示矩形， 设，， ∵， ∴， 即：， ∴，， ∴， 则； 如图所示矩形， 设，， ∵， ∴， 即：， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 12．【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】根据白银分割点的定义得到，由即可求出的长． 【详解】解：点C是线段的白银分割点， ， ， ， 故答案为： ． 13．【答案】 如图，四边形EFGH即为所求， 【知识点】相似多边形 【分析】根据相似图形的性质，分别将四边形的四条边扩大2倍即可． 【详解】略 【点睛】此题主要考查作图（相似变换），解题关键是熟练掌握相似的性质． 14．【答案】(1)， (2) 【知识点】比例的性质、成比例线段 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）利用，可设，，则，然后解出k的值即可得到a、b的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：设， 则，， 所以，， 解得， 所以，，； （2）∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ∴线段． 15．【答案】 解：四边形与四边形相似．理由如下： ∵，，，， ∴， ，，，且 ， ∴四边形与四边形相似． 【知识点】相似多边形 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据四边形的四个角分别对应相等，四条边对应成比例可得答案. 【详解】略 16．【答案】(1)不相似 (2) 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查相似图形的判定，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键． （1）根据相似图形的定义，结合已知条件求得外框外边缘所围成的长与宽的比以及矩形中长宽的比，进而比较作答即可． （2）用含x、y的式子表示矩形的边长，根据相似多边形的性质（对应边成比例），结合，得；代入边长表达式化简求解得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，． ∴，． ∵， ∴石子路外边缘的矩形与矩形小花园不相似． （2）解：同（1）可知，，． 当矩形矩形时，， 即． ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $