《1.1探索勾股定理》同步练习题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 资料类型：同步练；课程：初中数学；场景：新授课；知识点：勾股定理。分层覆盖勾股定理从基础计算到综合证明的完整路径，通过生活情境题培养应用意识，适配新授课巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|勾股定理公式直接应用|单选题1-2题、填空题8-9题，考查已知两边求第三边的基本运算，培养运算能力| |情境应用|实际问题建模与计算|单选题4-7题、填空题10-13题，结合无人机、梯子、测温仪等生活场景，发展模型意识与几何直观| |综合拓展|定理证明与多步推理|解答题17-20题，涉及图形综合计算（如折断树高度）、勾股定理证明（总统证法变式），提升推理能力与创新意识|

2026-2027学年北师大版八年级数学上册《1.1探索勾股定理》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．在中，，a，b，c分别是，，的对边，若，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积如图所示，则为（  ） A．6 B．4 C．2 D．8 3．在中，，垂直交于，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．一架无人机从地面点起飞，先垂直上升40米到达点，再水平飞行30米到达点，则点到点的距离为（     ） A．50米 B．60米 C．65米 D．70米 5．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 6．《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各是多少？（1丈尺）如果我们假设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 7．如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面的点处连接着出水口所在的水管，水管上的点处安装有红外线感应装置．已知出水口到点的距离为，出水口到点的距离为，并且，则红外线感应装置距离洗手台面的高度为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．在中，，，则________． 9．在中，，，， __________． 10．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，那么这个直角三角形斜边上的高为______． 11．已知的两条直角边分别为，斜边为，若，则的面积为______． 12．医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的市民正对门缓慢走到离门1.2米的地方时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶到测温仪的距离等于______米． 13．机械狗可用于开展水质监测工作，如图，机械狗从A点出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于受水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相差50米，机械狗实际行走的路程为130米，则的长为_______米． 14．春天放风筝是深受大家喜爱的一项活动．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为1.5米，然后测得他与风筝的水平距离为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米． （1）风筝的垂直高度______米； （2）如果小明想让风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线______米． 三、解答题 15．在中，，，，． (1)若，，求b； (2)若，，求b． 16．某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．求供水点M到喷泉A的距离； 17．由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 18．某小区改造，在市民休闲广场新建一秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． (1)图中________； (2)求绳索的长度． 19．如图1，用激光测距仪测量某建筑物的高度．位于地面上点处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点，仪器显示；再将激光射向楼顶端的点，仪器显示；最后仪器会自动显示出楼的高度． (1)求仪器显示的楼的高度． (2)如图2，若将激光测距仪沿方向移动后到达点，将激光射向楼顶端的点，则仪器显示点，的距离是多少？ 20．[阅读理解]勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有种．如：美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为或者是，因此得到，运用乘法公式展开整理得到． [尝试探究] (1)其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图，用个全等的直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，请你根据古人的拼图证明勾股定理． [实践应用] (2)如图，用个全等直角三角形拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，直角三角形的两条直角边分别为，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 解：∵如图，在中，，，，分别是，，的对边，且， ∴． 2．A 解：如图， 由题意得：，，， ， 的值为6， 3．D 解：在中，，，， ， ， ， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 4．A 解：由题意得 ， 米， 米， 为直角三角形，， 米， 即点到点的距离为50米． 5．C 解：由题意得，，， 在中，， ， 梯子的顶端距地面为． 6．B 解：设门的宽为尺，高比宽多尺，则门的高为尺， 根据勾股定理可得． 7．B 解：连接， ∵， ∴，即是直角三角形 在中，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴． 8．解：如图，中，，， ∴， ∴． 9．解：∵在中，， ∴， ，， ． 10．解：根据勾股定理，， 设斜边上的高为，直角三角形的面积有两种计算方式： 以两条直角边为底和高：， 以斜边和斜边上的高为底和高：， 联立得：， 解得：． 11．解：∵中，a，b为直角边，c为斜边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由完全平方公式展开得， ∴， 整理得， ∴的面积为 12．解：过点D作，如图所示，    ∵，，， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：（米）． 13．解：由题意可得：，为130米 在中，（米）． 14．解：如图，过B作于D， 由题意得：，米，米，米， （米）， （米）； 设风筝沿方向下降12米至点M，连接， 米， （米）， （米）， （米）， 即：他应该往回收线8米． 15．（1）解：∵，，， ∴根据勾股定理得，； （2）解：∵，，， ∴根据勾股定理得，． 16．解：的长是点到的距离， ， ， 在中，， ； ， ， 在中，， ， 答：供水点到喷泉的距离为． 17．解：过点作交的延长线于点，，， 由题可知， 在中，， ， 在中，， ， 折断前甲树的高度为． 18．（1）解：由题意可知，，，， ∵ ∴； （2）解：设的长为，则， ∴． 在中， 由勾股定理，得：， 即 解得：． 答：绳索的长为． 19．（1）解：在中，， 由勾股定理得， 答：仪器显示的楼的高度为； （2）解：， 在中，， 由勾股定理得， 答：仪器显示点，的距离是． 20．(1)证明：∵四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为， ∴大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，即， ∴． （2）解：∵直角三角形的两条直角边分别为，， ∴，， ∵正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为， ∴，， ∴， ∴． $