第2章 实数 单元复习培优讲义2026-2027学年北师大版八年级数学上学期

第2章 实数 知识点1：平方根与算术平方根 　　　平方根定义：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根（也叫二次方根）。 　　　算术平方根定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作。 　　　平方根与算术平方根对比 对比项 算术平方根 平方根 定义 正数的算术平方根为 正数的平方根为 个数 一个正数只有一个算术平方根 一个正数有两个平方根，互为相反数；负数没有平方根 取值范围 双重非负性：且 可正可负也可为0 联系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那一个 0的算术平方根和平方根都是0 知识点2：立方根与开平方、开立方 　　　立方根定义：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根（也叫三次方根），记作。 　　　立方根性质：每一个数有且只有一个立方根；正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数；，。 　　　开平方与开立方：求一个数平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）；平方与开平方互为逆运算，立方与开立方互为逆运算。 　　　平方根与立方根区别：开平方被开方数为非负数；开立方被开方数可为任意数；一个正数有两个平方根，而任意数的立方根只有一个。 知识点3：无理数与实数 　　　无理数：无限不循环小数叫做无理数。常见形式：开方开不尽的数的方根，如；含的数，如；构造的无限不循环小数，如0.1010010001…。 　　　实数概念与分类：有理数和无理数统称为实数。 分类标准 类别 按定义分类 有理数（有限小数和无限循环小数）、无理数（无限不循环小数） 按正负性分类 正实数、0、负实数 　　　实数与数轴：实数与数轴上的点一一对应；数轴上右边的数总比左边的数大。 　　　实数范围内的相关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内完全一样；。 知识点4：实数的运算与大小比较 　　　实数运算：实数范围内可进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方、开立方以及非负实数的开平方运算；有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用；混合运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的。 　　　实数大小比较：正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数；两个负实数，绝对值大的反而小；还可通过比较两实数平方的大小、估算近似值来比较。 　　　带根号无理数比较结论：当时，；时。 知识点5：二次根式 　　　二次根式定义：形如（）的式子叫做二次根式，具有双重非负性：被开方数，且。 　　　二次根式性质：（）；；（）；（）。 　　　最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式。 　　　二次根式加减法则：先把各二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的最简二次根式合并；乘法法则，除法法则。 【基础必考题型】 【题型1】无理数的识别 1.核心知识点: 　　无理数定义；有理数与无理数区分；含、开方开不尽、构造小数三类无理数。 2.解题方法技巧: 　　①先化简再判断：、是有理数。 ②含的数和开方开不尽的方根、无限不循环小数均是无理数；分数、有限小数、无限循环小数都是有理数。 【例题1】.（25-26七年级下·天津津南·期末）下列四个数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断整数为有理数，再验证带根号的数是否开方开尽． 【详解】解：∵ ，，是整数， ∴ 这三个数是有理数， ∴B选项，C选项，D选项不符合题意； ∵ 开方开不尽， ∴是无理数． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·贵州安顺·期末）在下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，均为有理数， ∴选项A、C、D不符合题意； ∵是无理数， ∴选项B符合题意． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·安徽安庆·期末）在，，，，，（每两个2之间依次多1个3）中，无理数有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】根据无理数是无限不循环小数，逐一判断各数即可得到答案． 【详解】解：∵ ，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； （每两个2之间依次多1个3）是无限不循环小数，是无理数； ∴无理数共有2个． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列说法中，正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无限小数都是无理数 C．无理数可以写成分数的形式 D．无理数是无限不循环小数 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数．根据无理数的定义解答即可． 【详解】A、有理数是整数和分数，故本选项错误，不符合题意； B、无限不循环小数是无理数，故本选项错误，不符合题意； C、无理数不可以写成分数的形式，故本选项错误，不符合题意； D、无理数是无限不循环小数，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【题型2】二次根式有意义的条件 1.核心知识点: 　　二次根式有意义的条件；多个根式与分式结合的限制。 2.解题方法技巧: 　　①只含二次根式：被开方数大于等于0；分母含根式：被开方数大于0。 ②多个约束条件取交集，写出的取值范围，再代入选项验证。 【例题2】.（25-26八年级下·广西百色·期末）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 选项中只有满足， 因此，实数的值可以是． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·河北邯郸·期末）二次根式有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴ 有意义需满足 ， 解不等式得． 【变式题2-2】.（2026·河南平顶山·一模）要使 有意义，则x的值可以是_______． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到被开方数为非负数，列出不等式求解出的取值范围，在范围内任取一个值即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，二次根式中被开方数必须是非负数，可得 ， 解得， 因此任意满足的值都符合题意，此处可取．（答案不唯一，满足即可） 【变式题2-3】.（2026·江苏淮安·二模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：若式子在实数范围内有意义，则二次根式的被开方数需满足非负条件，即． 【题型3】最简二次根式与同类二次根式 1.核心知识点: 　　最简二次根式条件；同类二次根式（被开方数相同）；二次根式合并。 2.解题方法技巧: 　　①判断最简：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式。 　　②先化简为最简二次根式，再看被开方数是否相同判断可否合并；已知合并关系可反推参数。 【例题3】.（25-26八年级下·广东惠州·期中）在二次根式、、、、中，最简二次根式有___________个． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式的概念，先将各二次根式化简，再判断符合条件的个数即可． 【详解】解：，故不是最简二次根式， 的被开方数不含分母，也不含能开得尽的因数，是最简二次根式， ，故不是最简二次根式， ，故不是最简二次根式， ，故不是最简二次根式， 综上，最简二次根式只有个． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·安徽池州·期中）现有最简二次根式和，若它们是同类二次根式，则的值是_______． 【答案】4 【分析】最简二次根式为同类二次根式时被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可得到的值． 【详解】解：∵和都是最简二次根式，且为同类二次根式， ∴， 解得． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）若最简二次根式和能够合并，则m的值为：________． 【答案】 【分析】几个最简二次根式能够合并，说明二者是同类二次根式，先化简，再根据同类二次根式被开方数相等求解即可． 【详解】解：最简二次根式和能够合并， 二者是同类二次根式，即被开方数相等， 化简得：，的被开方数为， 又是最简二次根式， ． 【变式题3-3】.（26-27九年级·全国·暑假作业）在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 【答案】 【详解】解：先将各二次根式化为最简二次根式： ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； 因此与是同类二次根式的共有个. 【题型4】由平方根、立方根求字母值 1.核心知识点: 　　已知平方根求被开方数；互为相反数的平方根关系；由立方根反推原数。 2.解题方法技巧: 　　①若某数的平方根是和，则（互为相反数）建等式。 ②已知一个平方根（立方根）为某值，直接平方（立方）还原被开方数；多个条件联立方程求字母。 【例题4】.（25-26七年级下·陕西商洛·期末）已知的平方根是，的立方根是2，则的算术平方根是______． 【答案】 【分析】根据平方根、立方根的定义求出和的值，再代入计算，最后求它的算术平方根即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 把代入得，解得， ∴，的算术平方根为， ∴的算术平方根为． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·安徽亳州·期中）已知和是某个正数的两个不相等的平方根，的立方根为．求的算术平方根． 【答案】的算术平方根为4 【分析】利用平方根以及立方根的定义求解． 【详解】解：由题意得， 所以， 解得， 因为的立方根为， 所以， 解得， 所以， 所以的算术平方根为4． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·陕西延安·期中）已知的平方根是，的立方根是．求的算术平方根． 【答案】 5 【分析】根据平方根的定义得到，根据立方根的定义得到，求出，的值，即可得出的值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴，解得． ∵的立方根是， ∴，即，解得． ∴． ∵25的算术平方根为5， ∴的算术平方根为5． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·四川宜宾·期中）已知是的立方根，的算术平方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) ， (2) 的平方根为 【分析】（1）根据立方根的定义和算术平方根的定义得到关于、的方程，解方程求出、的值； （2）把、的值代入求值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：是的立方根， ， ， ， 的算术平方根是， ， ， ； （2）解：，， ， 的平方根为，即． 【题型5】实数的运算 1.核心知识点: 　　实数混合运算顺序；二次根式乘除、加减法则；平方差、完全平方公式。 2.解题方法技巧: 　　①先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级从左到右，有括号先算括号内。 ②运用平方差公式简化；同类二次根式合并系数。 【例题5】.（26-27九年级上·云南曲靖·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解： 【变式题5-1】.（26-27八年级上·宁夏银川·阶段检测）解方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）把方程的两边同时开方得到两个关于的一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出方程的解； （2）把方程两边同时开立方得到一个关于的一元一次方程，解一元一次方程即可求出方程的解． 【详解】（1）解：， 两边同时除以可得：， 两边同时开平方得：， 可得：或， 当时，可得：， 当时，可得：， 方程的解为，； （2）解：， 移项得：， 两边同时开立方得：， 解得：， 方程的解为． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·山东济南·期末）计算： (1) (2) (3) (4)（用乘法公式计算） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简绝对值，计算零指数幂、负整数指数幂，立方根，再加减运算即可； （2）先积的乘方运算，再单项式乘单项式运算、单项式除以单项式运算，然后合并同类项即可求解； （3）先根据多项式乘多项式运算法则、单项式乘多项式运算法则展开原式，再进行加减运算即可求解； （4）先将原式化为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·云南昆明·期末）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【培优高频题型】 【题型6】无理数的估算 1.核心知识点: 　　利用完全平方数夹逼估算的范围；整数部分与近似值的确定。 2.解题方法技巧: 　　①找最接近的两个完全平方数与，确定的整数部分。 ②估算后结合选项比较大小；、等常用值辅助判断。 【例题6】.（25-26八年级下·重庆秀山·期末）若为正整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，进而得到的取值范围，结合条件即可求出的值． 【详解】解：， ， 不等式两边同进减去2，得， 为正整数，且满足， ． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·广东广州·期末）估算无理数在哪两个数之间，其中最精确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方后比较大小的方法，逐步缩小的范围，得到最精确的区间即可． 【详解】解：∵ ，，，， ∴ ， 观察四个选项，选项C符合题意． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·广东广州·期末）介于两个相邻的整数之间，下列判断正确的是（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【详解】解： ，，且， ，即， 因此介于和之间， 故选：B． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）《九章算术》是现存最早、最完整的数学专著，全书共九章，因此得名，其第四章《少广章》中提出了世界上最早的开平方法即“开方术”，“开方术”能先估算出平方根的整数部分．利用“开方术”可以判断介于两个相邻的整数之间，这两个相邻的整数是（     ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】C 【分析】找到与19相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质即可判断的范围． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ，即 ， ∴ 介于和之间． 【题型7】实数的大小比较 1.核心知识点: 　　实数比较法则；平方法比较带根号数；做差比较法。 2.解题方法技巧: 　　①正数大于0大于负数；两正数平方后再比较，两负数先取相反数比大小。 ②带根号数用平方法，或做差与0比较，通分、分母有理化后判断正负。 【例题7】.（26-27八年级上·全国·课后作业）试比较与的大小． 【答案】 【分析】求出的近似值，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴． 【变式题7-1】.（2026八年级上·全国·专题练习）比较大小：_____ 3． 【答案】 【分析】对两个数同时立方，通过比较立方后的结果判断原数的大小． 【详解】解：∵ ，， ∵ ， ∴ ． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·福建漳州·期中）若、，比较与的大小． 小明的思路：利用数的运算，将、分别平方后，再进行比较． 小亮的思路：利用数形结合构造了如图所示的图形，在中，，点在上，，． (1)请按小明的思路，比较与的大小，写出比较过程； (2)请按小亮的思路，结合图形，比较与的大小． 【答案】(1)，过程如下： ， ， ， ， ， ， 又，， ． (2) 【分析】（1）分别计算，计算，得出，根据进而，，即可判断大小． （2）根据勾股定理求得，在根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）解：略； （2）在中， 在中， 在中， ． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·山东青岛·期末）【阅读理解】 科技社团在设计精密零件时，需要估算某些尺寸的大小．我们可以利用完全平方公式：来近似计算算术平方根． 例如求的近似值： ∵， ∴， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 【尝试探究1】 小航用①的形式求的近似值的过程如下： ∵， ∴， 即． ∵比较小，忽略不计， ∴， 即， 得， 故． 【尝试探究2】 （1）请用②的形式求的近似值(结果保留2位小数)． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值更精确，请说明理由． 【答案】（1）； （2）解：用①的形式得出的的近似值更精确，理由如下： ∵，，而，，且， ∴方法①比较准确． 【分析】本题考查利用完全平方公式近似估算算术平方根，核心是利用完全平方公式展开后，因未知数的绝对值很小，其平方项可忽略，从而将无理数估算转化为有理数计算． （1）设()，对等式两边平方并展开，忽略后建立关于的近似方程，求解后代入原式计算近似值，最后按要求保留两位小数； （2）分别计算两种方法所得近似值的平方，其结果与55的差的绝对值越小，则该方法越精确． 【详解】（1）解：∵()， ∴，展开得， ∵比较小，可忽略不计， ∴， ∴，解得， ∴； （2）略 【题型8】双重非负性的应用 1.核心知识点: 　　二次根式被开方数非负；绝对值、平方非负；多个非负数之和为零则各为零。 2.解题方法技巧: 　　①若或，则且。 ②形如同时有意义的条件；由非负性建方程求值。 【例题8】.（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）若x，y为实数，且，则的值是_________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·重庆·期末）已知实数满足，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出不等式组求出的值，再代入求出的值，最后计算即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可得， 解不等式组得． 将代入，得． 则． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知实数和满足，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用算术平方根的非负性，先求出的取值，再代入等式求出的值，最后代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， 解得， 将代入，得． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·安徽亳州·期末）若x，y为实数，且满足，则的值是________． 【答案】 【分析】根据绝对值与算术平方根的非负性求出，的值，再代入所求代数式根据乘方法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴． 【压轴素养题型】 【题型9】分母有理化与整体代入求值 1.核心知识点: 　　分母有理化：分子分母同乘共轭式去根号；乘法公式；整体代入。 2.解题方法技巧: 　　①，同乘共轭根式化简。 ②先化简已知条件再整体代入，或用乘法公式变形目标式后代入，化难为易。 【例题9】.（25-26八年级下·云南曲靖·期末）已知 ，求的值． 【答案】3 【分析】先整理，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 把代入，得． 【变式题9-1】.（26-27八年级下·甘肃平凉·期末）已知，，求的值． 【答案】 【分析】先将、进行分母有理化，再求出、的值，整体代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）解答 (1)已知，，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用平方差公式对、进行分母有理化，再借助的性质，求出和；接着运用完全平方公式将分子配成，由于、均大于，从而约分，最后将已经求得的的值代入计算即可得到最终结果． （2）先对进行分母有理化，通过移项再两边平方，推导出，随后对四次多项式分组、提取公因式进行降次，把整体替换为，再利用推论进一步降低代数式次数，逐步化简多项式，最后代入化简后的值计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2）解：， 移项得， 两边平方得， ， ， ． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的：．请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)12． 【分析】（1）根据所给材料，分子分母同乘，计算即可； （2）先将a分母有理化，再代入求值即可． 【详解】（1）解：． （2）解：， ． 【题型10】复合二次根式的化简 1.核心知识点: 　　观察规律；转化为的形式。 2.解题方法技巧: 　　①把拆为，使、。 ②利用完全平方式回代求解。 【例题10】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）阅读材料 小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中，，，均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 (1)若，当，，，均为整数时，得：______，______；（均用含，的代数式表示） (2)若，当，，均为正整数时，求，，的值； 【拓展延伸】 (3)化简：______．（直接写结果） 【答案】(1)； (2)，，或，， (3) 【分析】（1）将完全平方公式展开，再结合无理数与有理数的运算法则，对比等式两边即可得到与； （2）类比（1）的解法进行展开，可得，结合正整数的性质求出与，再求出即可； （3）设，，均为有理数，展开后可得关于与的等式，利用完全平方公式变形求出，再求出与． 【详解】（1）解：， ∵，，，均为整数， ∴，； （2）解：， ∴，，即， ∵，均为正整数， ∴，或，， ∴，，或，，； （3）解：设，，均为有理数， ∴， ∵，均为有理数， ∴，， ∴， ∴， ∴，或，， ∴． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·广东汕头·期末）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照例题即可求解； （2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算； （3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵ ， 而，则 ∴； （3）解： ． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·广东珠海·期末）阅读与思考 【阅读理解】数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例题： 【解决问题】 (1)仿照例题补充完整： ___________________________=_________=_________; (2)根据上述思路，试将下列各式化简： ①； ②． 【答案】(1)，, (2)①；② 【分析】主要利用完全平方公式将被开方数变形，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）略 （2）解：①原式 ； ②原式 ． 【变式题10-3】.（25-26九年级下·山东淄博·期末）阅读材料：小颖同学在学习二次根式时，发现：一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方．如：，． (1)类比归纳：①将含根号的式子直接写成另一个式子的平方的形式： ； ②的算术平方根是： ； (2)类比归纳：小颖同学进一步研究发现：形如式子的化简，如果我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有： ；（用含，的式子直接写出结果） (3)迁移应用：如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，，若这两个小正方形的面积分别为，，求剩余部分的面积（矩形与矩形的面积和）． 【答案】(1)①；② (2) (3)剩余部分的面积为 【分析】（1）利用完全平方公式的逆用，将根号内的表达式拆分为两个完全平方数之和与二倍积的形式． （2）将第(1)题的方法一般化：若，，则． （3）先利用第（2）题的结论化简正方形的边长，再由两个小正方形共用顶点且恰好拼满大正方形对角线方向，确定大正方形边长为两小正方形边长之和，最后用面积差求剩余面积． 【详解】（1）解：① ， ， ． 解：② ， ， ， ， 的算术平方根为． （2）解： ，， ， ， ， ． （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为． ， ． 化简： ， ， ， ， ，即， ． ， ． 由图形可知，两个小正方形共用顶点，分别位于大正方形的两个对角处， 大正方形的边长， ． 矩形和矩形的面积之和： ， ， ， ． 剩余部分（矩形和矩形）的面积之和为． 【题型11】二次根式的规律探究 1.核心知识点: 　　由特殊到一般的归纳；观察等式结构发现通项规律；分母有理化的累加。 2.解题方法技巧: 　　①逐项观察数字变化，写出第个等式的一般规律。 ②裂项相消：，中间项抵消后求和。 【例题11】.（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）阅读以下材料：观察下列等式，找找规律 ① ②； ③ (1)化简： (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照材料中的分母有理化方法，分子分母同乘，利用平方差公式化简； （2）先将每一项进行分母有理化，再通过抵消中间项计算结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题11-1】.（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）阅读下面材料： ； ； ； 请解决下列问题： (1)求的值； (2)计算（为正整数）的值； (3)利用上面的解法，请计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】通过分母有理化去掉分母中的根号，结合平方差公式化简； 类比的方法，用含的式子推导通用化简结果； 利用的结论裂项，通过抵消中间项简化求和运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式题11-2】.（25-26八年级下·陕西商洛·期中）【发现问题】进行二次根式的计算时，有时会遇到这种分母中含有无理数的式子． 【分析问题】对形如这类式子可以用课本所学知识直接进行计算，但是这类式子无法直接计算，我们可以用之前所学乘法公式来解决． 【解决问题】经过探索、同学们发现可以用下面的方法进行计算： 请你认真阅读同学们的解题方法、并解决下列问题： (1)计算：___________． (2)计算：； (3)求：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对原式进行分母有理化，分子分母同乘即可得到结果； （2）分子分母同乘，利用平方差公式化简即可得到结果； （3）先对原式每一项进行分母有理化，再抵消中间项计算最终结果； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：对任意正整数，对分母有理化得， 因此， ． 【变式题11-3】.（25-26八年级下·广东肇庆·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)____________． (2)化简：． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）进行分母有理化即可； （2）分母有理化后求和即可； （3）把分母有理化，变形后代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：原式 （3）解：， ， ， ． 【题型12】二次根式新定义题 1.核心知识点: 　　阅读理解新定义（对偶式、规定运算）；把新运算规则转化为二次根式运算。 2.解题方法技巧: 　　①精读题干提取新定义规则，明确运算符号含义。 ②构造对偶式：，利用对偶式去根号；按定义分情况讨论。 【例题12】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）新定义：如果两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，那么我们称与是关于的“友好二次根式”． 例如：，，因为，所以与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于的“友好二次根式”，求的值． (2)若与是关于的“友好二次根式”，求的值． (3)若与是关于的“友好二次根式”，其中是有理数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据新定义“友好二次根式”的规则，得到两个二次根式的乘积等于给定有理数，用二次根式的乘法运算，结合平方差公式进行分母有理化，再根据乘积为有理数的条件求解未知量即可． 【详解】（1）解：由“友好二次根式”的定义得； （2）解：由“友好二次根式”的定义得， ∴． （3）解：由“友好二次根式”的定义得， 展开并整理左边：， ∵是有理数，是有理数，是无理数， ∴， 解得． 【变式题12-1】.（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）综合与实践． 【探究主题】探究“漂亮数”的奥秘． 【探究过程】 活动一：定义“漂亮数”——对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”． 活动二：将一组“漂亮数”中的每一个数都乘以同一个大于1的整数． (1)判断下面几组数是否为“漂亮数”，是的在后面横线上填“是”，不是填“否”． ①1，9，16________；②3，9，12________；③5，20，45________； (2)1，4，9是“漂亮数”，2，8，18________（填“是”或“不是”）“漂亮数”． (3)结论：若a，b，c是“漂亮数”，则，，（，且k是整数）________（填“是”或“不是”）“漂亮数”，并说明理由． 【答案】(1)①是；②否；③是 (2)是 (3)是，理由如下： ，，， ，，是“漂亮数”， ，，是整数， 也是整数， ，，都是整数， ，，是“漂亮数”． 【分析】根据漂亮数的定义解题即可． 【详解】（1）解：①，，， ∴1，9，16是漂亮数； ②，不是整数， ∴3，9，12不是漂亮数； ③，，， ∴5，20，45是漂亮数； （2）解：，，， ∴2，8，18是漂亮数； （3）略 【变式题12-2】.（25-26八年级下·河南新乡·期中）定义：若两个二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． (1)若m与是关于的友好二次根式，求的值； (2)若与是关于的友好二次根式，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据新定义计算即可求解； （2）根据题意，得，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． ∴． ∴． ∴． 【变式题12-3】.（25-26九年级上·全国·阶段检测）阅读材料与综合实践：   通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如：，． 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： ， ， ； (2)比较大小： （直接填“或或”）； (3)定义：两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于的“友好二次根式”，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的大小比较，新定义运算等知识点，正确地完成分母有理化是解题的关键． （）根据题意分母有理化即可求解． （）先分母有理化，再比较大小即可求解． （）由新定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：， ； ； 故答案为：，，； （2）解：； ； ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于的“友好二次根式”， ∴， ∴， ∴． 易错点 　　　平方根与算术平方根混淆：正数的平方根是两个，算术平方根是一个；而非。 　　　负数平方根误判：负数没有平方根但一定有立方根；忘记取绝对值，漏掉情形。 　　　无理数判断出错：把、误判为无理数，未先化简再判断。 　　　二次根式化简不规范：化简不彻底、漏去根号下分母、根号内因数未完全开尽；合并时被开方数不同的二次根式误合并。 　　　分母有理化错误：分子分母同乘式子出错；符号处理不当导致答案正负号错误。 重点 　　　平方根、算术平方根、立方根的概念、性质与计算，会解、型方程。 　　　实数的概念与分类，无理数的识别，实数与数轴一一对应。 　　　二次根式定义、双重非负性、最简二次根式，二次根式的运算与化简。 　　　实数的大小比较方法，无理数的估算，整数部分与小数部分。 难点 　　　二次根式的化简求值：双重非负性、隐含条件挖掘、乘法公式与整体代入的综合运用。 　　　分母有理化与复合二次根式的化简，技巧性强，易错点多。 　　　实数与数轴的结合、规律探究、新定义题，需要数形结合与归纳推理能力。 　　　二次根式实际应用与跨学科情境题，把实际问题抽象为二次根式模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．在下列各数，，，，，，，，，（相邻两个1之间有1个0）中，是无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先化简含乘方、开方的数，再判断无理数的个数，即可求解． 【详解】解：，，． ，，，为整数，是有理数．是有限小数，是有理数． 、（相邻两个之间有个）是无限循环小数，是有理数． 是无限不循环小数，是无理数． 是无理数． 是开方开不尽的数，是无理数． 综上，无理数共个． 2．估算的值应在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】先化简原式，再估算的范围确定原式的取值范围． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即原式的值在和之间． 3．关于的叙述不正确的是（     ） A． B．面积是的正方形的边长是 C．是有理数 D．在数轴上可以找到表示的点 【答案】C 【分析】把根据二次根式的化简方法化简后得，即可判断A说法正确，根据正方形面积公式即可判断B说法正确，再根据有理数、无理数定义可判断C说法错误，根据实数与数轴的关系即可判断D说法正确，进而可得答案. 【详解】解：A.，故A选项不符合题意. B.面积为12的正方形边长为，故B选项不符合题意. C.，是无理数，不是有理数，故C选项符合题意. D.数轴上的点与实数一一对应，是实数，故在数轴上可以找到表示的点，叙述正确，故D不符合题意. 二、填空题 4．的算术平方根是____________． 【答案】2026 【分析】根据算术平方根的定义，先计算乘方结果，再求出其正的算术平方根即可． 【详解】解：， 所以的算术平方根是2026． 5．观察下列数据：，，，，，…，寻找规律，第个数据应是________． 【答案】 【分析】将所有数据统一改写为二次根式，观察被开方数与数据序号的关系，归纳得到一般规律． 【详解】解：将所有数据改写为二次根式形式：第1个数： 第2个数： ； 第3个数： ； 第4个数： ； 第5个数： ... 由此可归纳出规律，第个数据为． 6．已知，则___________． 【答案】 【分析】对所求代数式配方变形为，再代入，的值计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)3 (4)5 【分析】（1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先求出算术平方根，立方根和绝对值，再计算即可； （3）根据二次根式的除法法则进行计算即可； （4）先根据完全平方公式和二次根式的乘法法则计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 8．比较与的大小． 【答案】． 【分析】据二次根式被开方数非负的条件确定x的唯一取值，代入两式计算后比较大小． 【详解】解：∵与有意义． ∴且． ∴且． ∴． 当时，，． ∵． ∴． 9．某小区计划修建一个正方形健身活动区，并在活动区中心设置一个矩形休息平台，其余区域铺设塑胶地面．已知正方形健身区的边长为米，矩形休息平台的长为米，宽为米，求铺设塑胶地面的面积． 【答案】铺设塑胶地面的面积为平方米 【分析】根据铺设塑胶地面的面积等于正方形健身区的面积减去矩形休息平台的面积列式计算即可． 【详解】解：              （平方米）， 铺设塑胶地面的面积为平方米． 10．观察下列各式及验证过程：， 验证； ， 验证； ， 验证； (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． 【答案】(1)解：， 验证 ； (2)解：， 验证 ． 【分析】（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质，把根号内的移到根号外； （2）根据上述变形过程的规律，观察根号外的式子和根号内的分子、分母之间的关系即可推广到一般形式． 【详解】（1）略 （2）略 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数 知识点1：平方根与算术平方根 　　　平方根定义：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根（也叫二次方根）。 　　　算术平方根定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作。 　　　平方根与算术平方根对比 对比项 算术平方根 平方根 定义 正数的算术平方根为 正数的平方根为 个数 一个正数只有一个算术平方根 一个正数有两个平方根，互为相反数；负数没有平方根 取值范围 双重非负性：且 可正可负也可为0 联系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那一个 0的算术平方根和平方根都是0 知识点2：立方根与开平方、开立方 　　　立方根定义：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根（也叫三次方根），记作。 　　　立方根性质：每一个数有且只有一个立方根；正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数；，。 　　　开平方与开立方：求一个数平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）；平方与开平方互为逆运算，立方与开立方互为逆运算。 　　　平方根与立方根区别：开平方被开方数为非负数；开立方被开方数可为任意数；一个正数有两个平方根，而任意数的立方根只有一个。 知识点3：无理数与实数 　　　无理数：无限不循环小数叫做无理数。常见形式：开方开不尽的数的方根，如；含的数，如；构造的无限不循环小数，如0.1010010001…。 　　　实数概念与分类：有理数和无理数统称为实数。 分类标准 类别 按定义分类 有理数（有限小数和无限循环小数）、无理数（无限不循环小数） 按正负性分类 正实数、0、负实数 　　　实数与数轴：实数与数轴上的点一一对应；数轴上右边的数总比左边的数大。 　　　实数范围内的相关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内完全一样；。 知识点4：实数的运算与大小比较 　　　实数运算：实数范围内可进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方、开立方以及非负实数的开平方运算；有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用；混合运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的。 　　　实数大小比较：正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数；两个负实数，绝对值大的反而小；还可通过比较两实数平方的大小、估算近似值来比较。 　　　带根号无理数比较结论：当时，；时。 知识点5：二次根式 　　　二次根式定义：形如（）的式子叫做二次根式，具有双重非负性：被开方数，且。 　　　二次根式性质：（）；；（）；（）。 　　　最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式。 　　　二次根式加减法则：先把各二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的最简二次根式合并；乘法法则，除法法则。 【基础必考题型】 【题型1】无理数的识别 1.核心知识点: 　　无理数定义；有理数与无理数区分；含、开方开不尽、构造小数三类无理数。 2.解题方法技巧: 　　①先化简再判断：、是有理数。 ②含的数和开方开不尽的方根、无限不循环小数均是无理数；分数、有限小数、无限循环小数都是有理数。 【例题1】.（25-26七年级下·天津津南·期末）下列四个数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·贵州安顺·期末）在下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·安徽安庆·期末）在，，，，，（每两个2之间依次多1个3）中，无理数有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式题1-3】.（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列说法中，正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无限小数都是无理数 C．无理数可以写成分数的形式 D．无理数是无限不循环小数 【题型2】二次根式有意义的条件 1.核心知识点: 　　二次根式有意义的条件；多个根式与分式结合的限制。 2.解题方法技巧: 　　①只含二次根式：被开方数大于等于0；分母含根式：被开方数大于0。 ②多个约束条件取交集，写出的取值范围，再代入选项验证。 【例题2】.（25-26八年级下·广西百色·期末）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·河北邯郸·期末）二次根式有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（2026·河南平顶山·一模）要使 有意义，则x的值可以是_______． 【变式题2-3】.（2026·江苏淮安·二模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【题型3】最简二次根式与同类二次根式 1.核心知识点: 　　最简二次根式条件；同类二次根式（被开方数相同）；二次根式合并。 2.解题方法技巧: 　　①判断最简：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式。 　　②先化简为最简二次根式，再看被开方数是否相同判断可否合并；已知合并关系可反推参数。 【例题3】.（25-26八年级下·广东惠州·期中）在二次根式、、、、中，最简二次根式有___________个． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·安徽池州·期中）现有最简二次根式和，若它们是同类二次根式，则的值是_______． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）若最简二次根式和能够合并，则m的值为：________． 【变式题3-3】.（26-27九年级·全国·暑假作业）在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 【题型4】由平方根、立方根求字母值 1.核心知识点: 　　已知平方根求被开方数；互为相反数的平方根关系；由立方根反推原数。 2.解题方法技巧: 　　①若某数的平方根是和，则（互为相反数）建等式。 ②已知一个平方根（立方根）为某值，直接平方（立方）还原被开方数；多个条件联立方程求字母。 【例题4】.（25-26七年级下·陕西商洛·期末）已知的平方根是，的立方根是2，则的算术平方根是______． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·安徽亳州·期中）已知和是某个正数的两个不相等的平方根，的立方根为．求的算术平方根． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·陕西延安·期中）已知的平方根是，的立方根是．求的算术平方根． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·四川宜宾·期中）已知是的立方根，的算术平方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【题型5】实数的运算 1.核心知识点: 　　实数混合运算顺序；二次根式乘除、加减法则；平方差、完全平方公式。 2.解题方法技巧: 　　①先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级从左到右，有括号先算括号内。 ②运用平方差公式简化；同类二次根式合并系数。 【例题5】.（26-27九年级上·云南曲靖·阶段检测）计算：． 【变式题5-1】.（26-27八年级上·宁夏银川·阶段检测）解方程： (1) (2) 【变式题5-2】.（25-26七年级下·山东济南·期末）计算： (1) (2) (3) (4)（用乘法公式计算） 【变式题5-3】.（25-26七年级下·云南昆明·期末）计算： 【培优高频题型】 【题型6】无理数的估算 1.核心知识点: 　　利用完全平方数夹逼估算的范围；整数部分与近似值的确定。 2.解题方法技巧: 　　①找最接近的两个完全平方数与，确定的整数部分。 ②估算后结合选项比较大小；、等常用值辅助判断。 【例题6】.（25-26八年级下·重庆秀山·期末）若为正整数，且满足，则的值为______． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·广东广州·期末）估算无理数在哪两个数之间，其中最精确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·广东广州·期末）介于两个相邻的整数之间，下列判断正确的是（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式题6-3】.（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）《九章算术》是现存最早、最完整的数学专著，全书共九章，因此得名，其第四章《少广章》中提出了世界上最早的开平方法即“开方术”，“开方术”能先估算出平方根的整数部分．利用“开方术”可以判断介于两个相邻的整数之间，这两个相邻的整数是（     ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【题型7】实数的大小比较 1.核心知识点: 　　实数比较法则；平方法比较带根号数；做差比较法。 2.解题方法技巧: 　　①正数大于0大于负数；两正数平方后再比较，两负数先取相反数比大小。 ②带根号数用平方法，或做差与0比较，通分、分母有理化后判断正负。 【例题7】.（26-27八年级上·全国·课后作业）试比较与的大小． 【变式题7-1】.（2026八年级上·全国·专题练习）比较大小：_____ 3． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·福建漳州·期中）若、，比较与的大小． 小明的思路：利用数的运算，将、分别平方后，再进行比较． 小亮的思路：利用数形结合构造了如图所示的图形，在中，，点在上，，． (1)请按小明的思路，比较与的大小，写出比较过程； (2)请按小亮的思路，结合图形，比较与的大小． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·山东青岛·期末）【阅读理解】 科技社团在设计精密零件时，需要估算某些尺寸的大小．我们可以利用完全平方公式：来近似计算算术平方根． 例如求的近似值： ∵， ∴， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 【尝试探究1】 小航用①的形式求的近似值的过程如下： ∵， ∴， 即． ∵比较小，忽略不计， ∴， 即， 得， 故． 【尝试探究2】 （1）请用②的形式求的近似值(结果保留2位小数)． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值更精确，请说明理由． 【题型8】双重非负性的应用 1.核心知识点: 　　二次根式被开方数非负；绝对值、平方非负；多个非负数之和为零则各为零。 2.解题方法技巧: 　　①若或，则且。 ②形如同时有意义的条件；由非负性建方程求值。 【例题8】.（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）若x，y为实数，且，则的值是_________． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·重庆·期末）已知实数满足，则的值为_____． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知实数和满足，则的值为__________． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·安徽亳州·期末）若x，y为实数，且满足，则的值是________． 【压轴素养题型】 【题型9】分母有理化与整体代入求值 1.核心知识点: 　　分母有理化：分子分母同乘共轭式去根号；乘法公式；整体代入。 2.解题方法技巧: 　　①，同乘共轭根式化简。 ②先化简已知条件再整体代入，或用乘法公式变形目标式后代入，化难为易。 【例题9】.（25-26八年级下·云南曲靖·期末）已知 ，求的值． 【变式题9-1】.（26-27八年级下·甘肃平凉·期末）已知，，求的值． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）解答 (1)已知，，求的值． (2)若，求的值． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的：．请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【题型10】复合二次根式的化简 1.核心知识点: 　　观察规律；转化为的形式。 2.解题方法技巧: 　　①把拆为，使、。 ②利用完全平方式回代求解。 【例题10】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）阅读材料 小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中，，，均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 (1)若，当，，，均为整数时，得：______，______；（均用含，的代数式表示） (2)若，当，，均为正整数时，求，，的值； 【拓展延伸】 (3)化简：______．（直接写结果） 【变式题10-1】.（25-26八年级下·广东汕头·期末）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·广东珠海·期末）阅读与思考 【阅读理解】数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例题： 【解决问题】 (1)仿照例题补充完整： ___________________________=_________=_________; (2)根据上述思路，试将下列各式化简： ①； ②． 【变式题10-3】.（25-26九年级下·山东淄博·期末）阅读材料：小颖同学在学习二次根式时，发现：一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方．如：，． (1)类比归纳：①将含根号的式子直接写成另一个式子的平方的形式： ； ②的算术平方根是： ； (2)类比归纳：小颖同学进一步研究发现：形如式子的化简，如果我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有： ；（用含，的式子直接写出结果） (3)迁移应用：如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，，若这两个小正方形的面积分别为，，求剩余部分的面积（矩形与矩形的面积和）． 【题型11】二次根式的规律探究 1.核心知识点: 　　由特殊到一般的归纳；观察等式结构发现通项规律；分母有理化的累加。 2.解题方法技巧: 　　①逐项观察数字变化，写出第个等式的一般规律。 ②裂项相消：，中间项抵消后求和。 【例题11】.（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）阅读以下材料：观察下列等式，找找规律 ① ②； ③ (1)化简： (2)计算： 【变式题11-1】.（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）阅读下面材料： ； ； ； 请解决下列问题： (1)求的值； (2)计算（为正整数）的值； (3)利用上面的解法，请计算：． 【变式题11-2】.（25-26八年级下·陕西商洛·期中）【发现问题】进行二次根式的计算时，有时会遇到这种分母中含有无理数的式子． 【分析问题】对形如这类式子可以用课本所学知识直接进行计算，但是这类式子无法直接计算，我们可以用之前所学乘法公式来解决． 【解决问题】经过探索、同学们发现可以用下面的方法进行计算： 请你认真阅读同学们的解题方法、并解决下列问题： (1)计算：___________． (2)计算：； (3)求：的值． 【变式题11-3】.（25-26八年级下·广东肇庆·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)____________． (2)化简：． (3)若，求的值． 【题型12】二次根式新定义题 1.核心知识点: 　　阅读理解新定义（对偶式、规定运算）；把新运算规则转化为二次根式运算。 2.解题方法技巧: 　　①精读题干提取新定义规则，明确运算符号含义。 ②构造对偶式：，利用对偶式去根号；按定义分情况讨论。 【例题12】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）新定义：如果两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，那么我们称与是关于的“友好二次根式”． 例如：，，因为，所以与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于的“友好二次根式”，求的值． (2)若与是关于的“友好二次根式”，求的值． (3)若与是关于的“友好二次根式”，其中是有理数，求的值． 【变式题12-1】.（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）综合与实践． 【探究主题】探究“漂亮数”的奥秘． 【探究过程】 活动一：定义“漂亮数”——对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”． 活动二：将一组“漂亮数”中的每一个数都乘以同一个大于1的整数． (1)判断下面几组数是否为“漂亮数”，是的在后面横线上填“是”，不是填“否”． ①1，9，16________；②3，9，12________；③5，20，45________； (2)1，4，9是“漂亮数”，2，8，18________（填“是”或“不是”）“漂亮数”． (3)结论：若a，b，c是“漂亮数”，则，，（，且k是整数）________（填“是”或“不是”）“漂亮数”，并说明理由． 【变式题12-2】.（25-26八年级下·河南新乡·期中）定义：若两个二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． (1)若m与是关于的友好二次根式，求的值； (2)若与是关于的友好二次根式，求的值． 【变式题12-3】.（25-26九年级上·全国·阶段检测）阅读材料与综合实践：   通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如：，． 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： ， ， ； (2)比较大小： （直接填“或或”）； (3)定义：两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于的“友好二次根式”，求的值． 易错点 　　　平方根与算术平方根混淆：正数的平方根是两个，算术平方根是一个；而非。 　　　负数平方根误判：负数没有平方根但一定有立方根；忘记取绝对值，漏掉情形。 　　　无理数判断出错：把、误判为无理数，未先化简再判断。 　　　二次根式化简不规范：化简不彻底、漏去根号下分母、根号内因数未完全开尽；合并时被开方数不同的二次根式误合并。 　　　分母有理化错误：分子分母同乘式子出错；符号处理不当导致答案正负号错误。 重点 　　　平方根、算术平方根、立方根的概念、性质与计算，会解、型方程。 　　　实数的概念与分类，无理数的识别，实数与数轴一一对应。 　　　二次根式定义、双重非负性、最简二次根式，二次根式的运算与化简。 　　　实数的大小比较方法，无理数的估算，整数部分与小数部分。 难点 　　　二次根式的化简求值：双重非负性、隐含条件挖掘、乘法公式与整体代入的综合运用。 　　　分母有理化与复合二次根式的化简，技巧性强，易错点多。 　　　实数与数轴的结合、规律探究、新定义题，需要数形结合与归纳推理能力。 　　　二次根式实际应用与跨学科情境题，把实际问题抽象为二次根式模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．在下列各数，，，，，，，，，（相邻两个1之间有1个0）中，是无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．估算的值应在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 3．关于的叙述不正确的是（     ） A． B．面积是的正方形的边长是 C．是有理数 D．在数轴上可以找到表示的点 二、填空题 4．的算术平方根是____________． 5．观察下列数据：，，，，，…，寻找规律，第个数据应是________． 6．已知，则___________． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．比较与的大小． 9．某小区计划修建一个正方形健身活动区，并在活动区中心设置一个矩形休息平台，其余区域铺设塑胶地面．已知正方形健身区的边长为米，矩形休息平台的长为米，宽为米，求铺设塑胶地面的面积． 10．观察下列各式及验证过程：， 验证； ， 验证； ， 验证； (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $