专题 2.4 实数 全章复习讲义 - 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学实数全章复习讲义通过知识梳理模块系统构建知识体系，以要点提示和核心性质表格呈现实数概念、分类、数轴关系、平方根与立方根性质、二次根式运算及非负性模型等内容，突出非负性模型和二次根式化简等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础夯实部分如实数分类辨析、平方根计算，巩固提升部分如非负数和为0综合模型、二次根式混合运算，培养运算能力与推理意识。同步检测含选择、填空、解答题，支持学生自主复习，助力教师实施精准分层教学。

专题 2.4 实数全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】实数的概念与分类 1 【知识点二】实数与数轴及基本性质 2 【知识点三】平方根与算术平方根 2 【知识点四】立方根 2 【知识点五】二次根式概念与化简 3 【知识点六】全章高频非负性模型 3 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】实数分类与无理数辨析 3 【题型 2】平方根、算术平方根、立方根基础计算 5 【题型 3】二次根式有意义的条件 7 【题型 4】二次根式基础化简与计算 8 三.题型精析（巩固提升） 11 【题型 5】非负数和为0综合模型 11 【题型 6】实数估算与大小比较 13 【题型 7】二次根式混合运算（含公式、分母有理化） 15 【题型 8】二次根式的化简求值 17 【题型 9】实数几何实际应用 19 四.同步检测 22 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 22 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 26 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 30 一.知识梳理与解读 【知识点一】实数的概念与分类 1. 有理数：有限小数或无限循环小数，包含整数和分数。 2. 无理数：无限不循环小数。常见三种类型：（1）开方开不尽的数；（2）特殊常数（）；（3）构造型无限不循环小数。 3. 实数定义：有理数和无理数统称实数。 4. 实数分类：按定义分为有理数、无理数；按正负性分为正实数、0、负实数。 【要点提示】 ① 无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数； ②带根号的数不一定是无理数（如是有理数）。 【知识点二】实数与数轴及基本性质 1. 一一对应关系：实数与数轴上的点一一对应。 2. 大小比较：数轴上右边的数始终大于左边的数；正数>0>负数。 3. 基本性质：实数范围内，相反数、绝对值、倒数的定义与有理数完全一致。 【要点提示】可利用勾股定理在数轴上精准画出等无理数对应的点。 【知识点三】平方根与算术平方根 1. 算术平方根：若，则，具有双重非负性。 2. 平方根：若，则。 3. 核心性质：正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0；负数没有平方根。 4. 恒等式：，。 【要点提示】求“平方根”要写，求“算术平方根”只取非负值，考试高频易错。 【知识点四】立方根 1. 定义：若，则。这时x叫做a的立方根。 2. 性质：任意实数都有且只有一个立方根；正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0。 3. 两个公式：，。 【要点提示】立方根无取值限制，符号与被开方数完全一致，根指数3不可省略。 【知识点五】二次根式概念与化简 1. 二次根式定义：形如的式子。 2. 最简二次根式条件：被开方数无分母、无开得尽方的因数或因式。 3. 乘除运算法则：，。 4. 加减运算法则：先化简，再合并同类二次根式。 5.混合运算：遵循实数运算顺序，乘法公式适用，分母含根式需有理化。 【要点提示】所有二次根式运算最终结果，必须化为最简二次根式。 【知识点六】非负性模型 三大非负数：、、。 核心结论：若几个非负数的和为0，则每一个非负数均为0。 【要点提示】该模型为全章最高频考点，常结合根式、平方、绝对值综合出题。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】实数分类与无理数辨析 【例题1】（24-25七年级下·甘肃庆阳·期中）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．， ， ， ，，． 有理数集合：{                      } 无理数集合：{                       } 【答案】有理数集合：；无理数集合：. 【分析】先化简可开方的数，再根据有理数和无理数的定义分类.有理数是整数和分数的统称，包含有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数. 解：是分数，是有限小数，是有限小数，都符合有理数定义， 以上三个数属于有理数，填入有理数集合； 开方开不尽，是无限不循环小数，是无限不循环小数，都符合无理数定义， 以上三个数属于无理数，填入无理数集合. 【变式1】（25-26七年级下·贵州安顺·期末）在下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵，，均为有理数， ∴选项A、C、D不符合题意； ∵是无理数， ∴选项B符合题意． 【变式2】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）下列各数中：12，，，，，（每两个1之间的0依次加1），其中无理数有______个． 【答案】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐一判断各数即可得到无理数的个数． 解：是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 无理数有，，（每两个1之间的0依次加1），共个． 【变式3】（25-26七年级下·青海西宁·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 【答案】有理数：；无理数：；整数：；负实数：． 【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实数包括负有理数和负无理数解答． 解：有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 【题型 2】平方根、算术平方根、立方根基础计算 【例题2】（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）求的值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）或；（2）；（3）或 （1）解：， 整理得， 解得或； （2）解：， 整理得， 解得； （3）解：， 整理得， 开方得， ∴或， 解得或． 【变式1】（25-26七年级下·广西桂林·期中）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义求解即可． 解：， ，即． 【变式2】（24-25七年级下·四川德阳·期中）的算术平方根是______，的平方根是______． 【答案】 解：∵ ，算术平方根为非负数， ∴ 的算术平方根是； ∵， 的平方根是， 即的平方根是． 【变式3】（24-25七年级下·内蒙古兴安·阶段检测）利用根式性质计算 （1）已知的平方根为，的立方根是3，求的平方根． （2）已知，求． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）利用平方根的概念和立方根的概念求出和，再利用平方根的概念得出的平方根； （2）利用平方根的性质得出的值，再得到的值，最后分情况代入代数式中求解即可． （1）解：的平方根为， ，解得， 的立方根是3， ， ，解得， ， 的平方根为； （2）解：， ，解得， ，解得， ， 当时，， 当时，, 综上所述，为或． 【题型 3】二次根式有意义的条件 【例题3】（25-26八年级下·广东惠州·期末）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得． ， 原式． 【启发应用】按照上面的解法，试化简（结果保留）； 【答案】 【分析】根据例子找出隐含条件，求出的取值范围，再根据算术平方根和绝对值的非负性，对原式进行化简． 解：， ∵隐含条件，解得， ∴， 原式． 【变式1】（25-26八年级下·江西上饶·期末）若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（     ） A． B．0 C．4 D．1 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数求出x的取值范围，再匹配选项得到答案． 解：∵在实数范围内有意义 ， ∴被开方数需满足， 解得， 选项中只有，符合条件，因此选C． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期中）已知实数x，y满足，则的算术平方根为__________． 【答案】 解：根据二次根式有意义的条件，可得， 解得． 将代入， 得． 计算：． ， 的算术平方根为． 【变式3】（25-26八年级下·陕西西安·期中）已知等式成立，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出m的值，进而求出n的值，最后代入所求式子中求值即可． 解：∵等式成立， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型 4】二次根式基础化简与计算 【例题4】（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级下·陕西商洛·期末）计算的结果是（     ） A． B．3 C．6 D． 【答案】A 解：原式 ． 【变式2】（25-26八年级下·广东广州·期末）已知，，则代数式的值等于____________． 【答案】 解：． 【变式3】（25-26八年级下·福建龙岩·期中）已知，求的值． 【答案】2028 解：， ， ． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】非负数和为0综合模型 【例题5】（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级下·四川达州·期末）若实数a，b满足，且a，b恰好是等腰的两条边长，则的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由非负数性质求a，b的值，再分类讨论等腰三角形腰长，最后结合三边关系计算周长即可． 解：∵，即， ∴，， 解得，， a，b恰好是等腰的两条边长，故分两种情况讨论： ①当腰长为3时，三边长为3，3，4， ∵， ∴三角形存在，周长为， ②当腰长为4时，三边长为4，4，3， ∵， ∴三角形存在，周长为， 综上，的周长为或． 【变式2】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知实数，满足，是的整数部分．则的值是___________，的立方根是___________． 【答案】 1 【分析】根据算术平方根，绝对值的非负性求出，的值，通过估算无理数的大小得到的值，再计算，最后根据立方根的定义得到结果． 解：，且，， ，， 解得，， ，，， ， 的整数部分， 将，，代入得：， 的立方根是． 【变式3】（25-26八年级下·广东珠海·期末）计算： （1）； （2） 【答案】（1）0；（2）1 （1）解：原式 （2）解：原式 【题型 6】二次根式大小比较 【例题6】（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方法将三个二次根式转化为同分母分数，比较平方后的大小，从而得到原数的大小关系． 解：，，， ， ． 【变式1】（23-24八年级上·上海·期中）比较大小：______（填“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】根据，，比较解答即可． 解： ，， ， ∵， ∴， 故， 即， 因此， 即． 【变式2】（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 【变式3】（25-26九年级下·湖南衡阳·自主招生）已知，，则a与b的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】可求出，比较出与的大小，即可得到与的大小关系，进而可得答案． 解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【题型 7】二次根式混合运算（含公式、分母有理化） 【例题7】（25-26八年级下·山西大同·期末）计算 （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据二次根式混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内． （2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可． （1）解： ． （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）如果，那么a与b的关系是（   ） A．且互为相反数 B．且互为相反数 C．且互为倒数 D．且互为倒数 【答案】B 【分析】将分母有理化，进而即可比较大小，从而求得与的关系． 解：∵， ∴且互为相反数． 【变式2】（2025·河北邯郸·三模）计算________． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 解： ． 【变式3】（24-25八年级下·河南新乡·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解： ； （2）解： ． 【题型 8】二次根式的化简求值 【例题8】（24-25八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）化简求值． （1）已知，求的值； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）化简结果为，值为 【分析】 （1）将所求代数式变形，先根据已知条件计算出和的值，再整体代入计算即可； （2）根据二次根式的性质化简原式，再将的值代入化简后的式子计算即可； （1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：由二次根式有意义的条件可得，， ∴原式 ， 将，代入得：原式． 【变式1】（25-26八年级下·四川南充·期末）已知，求的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：∵， ∴， 两边平方得； 展开得，整理得， ∴ . 【变式2】（25-26八年级下·广东惠州·阶段检测）若，，则的值为______． 【答案】/ 解：∵，， ∴，，， ∴， ∴. 【变式3】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）解答 （1）已知，，求的值． （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先利用平方差公式对、进行分母有理化，再借助的性质，求出和；接着运用完全平方公式将分子配成，由于、均大于，从而约分，最后将已经求得的的值代入计算即可得到最终结果． （2）先对进行分母有理化，通过移项再两边平方，推导出，随后对四次多项式分组、提取公因式进行降次，把整体替换为，再利用推论进一步降低代数式次数，逐步化简多项式，最后代入化简后的值计算即可． （1）解：， ， ， ， ， ． （2）解：， 移项得， 两边平方得， ， ， ． 【题型 9】二次根式的实际应用 【例题9】（25-26八年级下·吉林四平·期末）有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． （1）正方形的边长为_____；（填最简二次根式） （2）求长方形木板的面积． 【答案】（1）；（2）长方形木板的面积为 （1）解：由题意，∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， （2）解：由题意得， ∴， ， ． 答：长方形木板的面积为． 【变式1】（2025·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，按此规定（     ） A．1 B． 2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先确定，再根据新定义解答即可． 解：∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，面积分别为和，则图中两块阴影部分的面积和为____________．    【答案】4 【分析】依据题意，直接利用二次根式的性质得出正方形的边长，再利用整体面积减去白色正方形的面积，进而得出答案． 解：由题意可得：大白色正方形的边长为，小白色正方形的边长为， ∴大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∴阴影部分的面积为：． 【变式3】（25-26八年级下·河南安阳·期末）小明同学根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． （1）用“”“”或“”填空： ______0； ______0； ______0； （2）由（1）中各式猜想与的大小，并说明理由； （3）请利用上述结论填空：小明同学在做一个面积为对角线相互垂直的四边形风筝时，用来做对角线的竹条至少要 ． 【答案】（1）；；；（2）；理由如下： ∵，， ∴， ∴； （3）60 【分析】（1）根据完全平方公式的非负性进行变形可得结论； （2）直接利用完全平方公式的非负数的性质解答即可； （3）根据对角线互相垂直的四边形面积相互垂直的对角线乘积的一半，并综合利用（2）的结论得出答案即可． （1）解：由题意得，； ； ； （2）略 （3）解：如图， 设，， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴用来做对角线的竹条至少要． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·陕西西安·期中）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】D 解：选项A，为整数，是有理数，不符合题意； 选项B，为分数，是有理数，不符合题意； 选项C，为整数，是有理数，不符合题意； 选项D，是无限不循环小数，是无理数，符合题意. 2．（25-26七年级下·广西桂林·期中）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一个正数的两个平方根分别是和，列出关于a的方程，求出a的值，然后求出其中一个平方根，最后求出这个正数即可． 解：∵和是一个正数的两个平方根， ∴与互为相反数， ∴， 解得：， ∴其中一个平方根为， ∴这个正数为． 3．（2025八年级下·海南省直辖县级单位·）若二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列不等式求解即可得到x的取值范围 解：∵二次根式有意义时，被开方数必须是非负数 ∴， 解不等式得 4．（25-26八年级下·云南红河·期末）下列二次根式，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：A．，被开方数中含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； B．的被开方数中含有分母，不是最简二次根式； C．是最简二次根式； D．，被开方数中含有分母，不是最简二次根式． 5．（25-26七年级下·河南商丘·期中）定义新运算“”的运算法则为：，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题为新定义运算题，先理解运算法则，按照从内到外的顺序，根据给定的运算法则逐步代入求解即可． 解：新运算法则为 则， ∴， A选项符合题意． 6．（2025八年级下·辽宁鞍山·）如果三条线段长、、，那么这三条线段组成的三角形满足（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据已知得到，再根据勾股定理的逆定理可得结论． 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且． 7．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知，，则（    ） A．1.303 B．0.412 C．6.519 D．2.062 【答案】A 【分析】根据被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向左或向右移动一位求解． 解：， ∴． 8．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）《九章算术》是现存最早、最完整的数学专著，全书共九章，因此得名，其第四章《少广章》中提出了世界上最早的开平方法即“开方术”，“开方术”能先估算出平方根的整数部分．利用“开方术”可以判断介于两个相邻的整数之间，这两个相邻的整数是（     ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】C 【分析】找到与19相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质即可判断的范围． 解：∵ ，，且 ， ∴ ，即 ， ∴ 介于和之间． 9．（25-26八年级下·重庆忠县·期末）如图，已知是等腰直角三角形，，依次以点为直角顶点作等腰，若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求出、、的周长，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴的周长为， 同理可得：的周长为， 的周长为， 归纳类推得：的周长为（为正整数）， ∴的周长为 ． 10．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，和都是等腰直角三角形，的延长线交于点，且恰为的中点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】如图，延长至，使，连接，证明，可得，再证明，可得，，再进一步求解即可． 解：如图，延长至，使，连接， ∵恰为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：A 【点拨】本题考查的是全等三角形的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·吉林·阶段检测）4的平方根是________，的立方根是________，的算术平方根是________； 【答案】 【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐步求解，第三个空需先计算的值，再求它的算术平方根． 解：∵ ， ∴ 4的平方根是； ∵ ， ∴ 的立方根是； ∵ ，且，算术平方根为非负的平方根， ∴ 的算术平方根是． 12．（2025九年级下·上海·专题练习）化简： ______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，先计算零指数幂，再化简二次根式，最后计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 解： ， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·河北承德·开学考试）如图，已知，那么数轴上点所表示数的相反数是___________． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出，进而得到，即可得到点所表示数，最后求出点所表示数的相反数即可得到答案． 解：由图可知，， ，则点所表示数为， 数轴上点所表示数的相反数是． 14．（2026·河南周口·二模）计算： _______． 【答案】 解： ． 15．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）若，则___ （用“”填空） 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再结合二次根式的性质化简等式左边，最后解方程得到与的关系． 解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得，即， 根据二次根式的性质，可得， 因此，解得． 16．（25-26八年级上·福建泉州·期末）求出的值为_____． 【答案】89 【分析】将原式中四个乘数合理分组，通过变形凑出平方差公式，再利用二次根式的性质计算出结果即可． 解： ． 17．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是______． （用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】先分析数阵规律，得出第行有个数、前行总个数为，再算出前行最后一个数的被开方数，进而推求出第行从左数第个数的被开方数，最终得到该数． 解：观察数阵可得：第行开始连续正整数的算术平方根，第行共有个数； 前行的数的总个数为：， 前行共有个数， ∴前行最后一个数的被开方数就是， 第行从左数第个数的被开方数为：， ∴这个数就是． 18．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知，去分母，得；移项，得；两边平方，得；整理，得．我们规定：方程称为的“还原方程”． （1）的“还原方程”是______； （2）若，则代数式______． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题关键是理解已知条件中的定义，并熟练掌握完全平方公式． （1）按照已知条件中的方法求出答案即可； （2）把所求代数式先提取公因式x，再把x的值代入分解后的式子，利用完全平方公式进行计算即可． 解：（1）， 去分母得：， 移项得：， 两边平方得：， 整理得：， ∴的“还原方程”是， 故答案为：； （2）当时， ， 故答案为：4． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知的立方根是，的算术平方根是6，c是的整数部分．求的值． 【答案】 【分析】根据立方根和算术平方根的定义求出和的值，估算得到整数的值，代入代数式计算即可． 解： 的立方根是，的算术平方根是， ，， 计算得：，解得， ，解得， ，即， 的整数部分为，即， 将，，代入得： ， 综上所述，的值为． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·新疆克拉玛依·开学考试）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） （1）解：； （2）解：． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·云南红河·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先由二次根式性质、二次根式除法运算法则化简，然后合并同类二次根式，最后化简即可； （2）先由平方差公式、完全平方公式展开，再由二次根式性质化简，最后由加减运算计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 22．（本小题满分10分）（26-27八年级下·甘肃平凉·期末）已知，，求的值． 【答案】 【分析】先将、进行分母有理化，再求出、的值，整体代入所求式子计算即可得出结果． 解：∵，， ∴，， ∴． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·云南昆明·期末）观察下列等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：________；… 按照上述规律，完成下列问题： （1）补全第个等式：________，写出第个等式：___________________； （2）写出第个等式，并证明． 【答案】（1）；；（2）（为正整数）， 证明：， ∴． 【分析】（1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由得出的等式变化规则，总结规律，即可列出第个等式，并证明结论． （1）解：由前几个等式的规律可得第个等式是，第个等式是， 验证结论：，， 故答案为：；； （2）解：（为正整数）， 证明略． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）探究： 观察下列等式：①； ②； ③； …… 解答下列问题： （1）模仿：化简：_____，_____． （2）拓展：若，求的值． （3）运用：计算． 【答案】（1）；；（2）11；（3）2025 【分析】（）仿照例题化简即可； （）先化简，再将变形，并代入求值即可； （）利用二次根式的化简方法对括号内的各项化简，进而利用平方差公式计算即可求解； （1）解： ， ； （2）解：， ∵， 将代入，得； （3）解： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.4 实数全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】实数的概念与分类 1 【知识点二】实数与数轴及基本性质 2 【知识点三】平方根与算术平方根 2 【知识点四】立方根 2 【知识点五】二次根式概念与化简 3 【知识点六】全章高频非负性模型 3 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】实数分类与无理数辨析 3 【题型 2】平方根、算术平方根、立方根基础计算 4 【题型 3】二次根式有意义的条件 4 【题型 4】二次根式基础化简与计算 5 三.题型精析（巩固提升） 6 【题型 5】非负数和为0综合模型 6 【题型 6】实数估算与大小比较 6 【题型 7】二次根式混合运算（含公式、分母有理化） 6 【题型 8】二次根式的化简求值 7 【题型 9】实数几何实际应用 7 四.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 10 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 11 一.知识梳理与解读 【知识点一】实数的概念与分类 1. 有理数：有限小数或无限循环小数，包含整数和分数。 2. 无理数：无限不循环小数。常见三种类型：（1）开方开不尽的数；（2）特殊常数（）；（3）构造型无限不循环小数。 3. 实数定义：有理数和无理数统称实数。 4. 实数分类：按定义分为有理数、无理数；按正负性分为正实数、0、负实数。 【要点提示】 ① 无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数； ②带根号的数不一定是无理数（如是有理数）。 【知识点二】实数与数轴及基本性质 1. 一一对应关系：实数与数轴上的点一一对应。 2. 大小比较：数轴上右边的数始终大于左边的数；正数>0>负数。 3. 基本性质：实数范围内，相反数、绝对值、倒数的定义与有理数完全一致。 【要点提示】可利用勾股定理在数轴上精准画出等无理数对应的点。 【知识点三】平方根与算术平方根 1. 算术平方根：若，则，具有双重非负性。 2. 平方根：若，则。 3. 核心性质：正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0；负数没有平方根。 4. 恒等式：，。 【要点提示】求“平方根”要写，求“算术平方根”只取非负值，考试高频易错。 【知识点四】立方根 1. 定义：若，则。这时x叫做a的立方根。 2. 性质：任意实数都有且只有一个立方根；正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0。 3. 两个公式：，。 【要点提示】立方根无取值限制，符号与被开方数完全一致，根指数3不可省略。 【知识点五】二次根式概念与化简 1. 二次根式定义：形如的式子。 2. 最简二次根式条件：被开方数无分母、无开得尽方的因数或因式。 3. 乘除运算法则：，。 4. 加减运算法则：先化简，再合并同类二次根式。 5.混合运算：遵循实数运算顺序，乘法公式适用，分母含根式需有理化。 【要点提示】所有二次根式运算最终结果，必须化为最简二次根式。 【知识点六】非负性模型 三大非负数：、、。 核心结论：若几个非负数的和为0，则每一个非负数均为0。 【要点提示】该模型为全章最高频考点，常结合根式、平方、绝对值综合出题。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】实数分类与无理数辨析 【例题1】（24-25七年级下·甘肃庆阳·期中）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．， ， ， ，，． 有理数集合：{                      } 无理数集合：{                       } 【变式1】（25-26七年级下·贵州安顺·期末）在下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）下列各数中：12，，，，，（每两个1之间的0依次加1），其中无理数有______个． 【变式3】（25-26七年级下·青海西宁·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 【题型 2】平方根、算术平方根、立方根基础计算 【例题2】（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）求的值： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（25-26七年级下·广西桂林·期中）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·四川德阳·期中）的算术平方根是______，的平方根是______． 【变式3】（24-25七年级下·内蒙古兴安·阶段检测）利用根式性质计算 （1）已知的平方根为，的立方根是3，求的平方根． （2）已知，求． 【题型 3】二次根式有意义的条件 【例题3】（25-26八年级下·广东惠州·期末）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得． ， 原式． 【启发应用】按照上面的解法，试化简（结果保留）； 【变式1】（25-26八年级下·江西上饶·期末）若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（     ） A． B．0 C．4 D．1 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期中）已知实数x，y满足，则的算术平方根为__________． 【变式3】（25-26八年级下·陕西西安·期中）已知等式成立，求的值． 【题型 4】二次根式基础化简与计算 【例题4】（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）计算： (1) (2) 【变式1】（25-26八年级下·陕西商洛·期末）计算的结果是（     ） A． B．3 C．6 D． 【变式2】（25-26八年级下·广东广州·期末）已知，，则代数式的值等于____________． 【变式3】（25-26八年级下·福建龙岩·期中）已知，求的值． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】非负数和为0综合模型 【例题5】（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级下·四川达州·期末）若实数a，b满足，且a，b恰好是等腰的两条边长，则的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知实数，满足，是的整数部分．则的值是___________，的立方根是___________． 【变式3】（25-26八年级下·广东珠海·期末）计算： （1）； （2） 【题型 6】二次根式大小比较 【例题6】（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·上海·期中）比较大小：______（填“”，“”，“”）． 【变式2】（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级下·湖南衡阳·自主招生）已知，，则a与b的大小关系为________． 【题型 7】二次根式混合运算（含公式、分母有理化） 【例题7】（25-26八年级下·山西大同·期末）计算 （1）． （2）． 【变式1】（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）如果，那么a与b的关系是（   ） A．且互为相反数 B．且互为相反数 C．且互为倒数 D．且互为倒数 【变式2】（2025·河北邯郸·三模）计算________． 【变式3】（24-25八年级下·河南新乡·期末）计算： （1）； （2）． 【题型 8】二次根式的化简求值 【例题8】（24-25八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）化简求值． （1）已知，求的值； （2）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（25-26八年级下·四川南充·期末）已知，求的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·广东惠州·阶段检测）若，，则的值为______． 【变式3】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）解答 （1）已知，，求的值． （2）若，求的值． 【题型 9】二次根式的实际应用 【例题9】（25-26八年级下·吉林四平·期末）有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． （1）正方形的边长为_____；（填最简二次根式） （2）求长方形木板的面积． 【变式1】（2025·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，按此规定（     ） A．1 B． 2 C．3 D．4 【变式2】（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，面积分别为和，则图中两块阴影部分的面积和为____________．    【变式3】（25-26八年级下·河南安阳·期末）小明同学根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． （1）用“”“”或“”填空： ______0； ______0； ______0； （2）由（1）中各式猜想与的大小，并说明理由； （3）请利用上述结论填空：小明同学在做一个面积为对角线相互垂直的四边形风筝时，用来做对角线的竹条至少要 ． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·陕西西安·期中）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 2．（25-26七年级下·广西桂林·期中）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为（     ） A． B． C． D． 3．（2025八年级下·海南省直辖县级单位）若二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·云南红河·期末）下列二次根式，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河南商丘·期中）定义新运算“”的运算法则为：，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（2025八年级下·辽宁鞍山）如果三条线段长、、，那么这三条线段组成的三角形满足（     ） A． B． C． D．不能确定 7．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知，，则（    ） A．1.303 B．0.412 C．6.519 D．2.062 8．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）《九章算术》是现存最早、最完整的数学专著，全书共九章，因此得名，其第四章《少广章》中提出了世界上最早的开平方法即“开方术”，“开方术”能先估算出平方根的整数部分．利用“开方术”可以判断介于两个相邻的整数之间，这两个相邻的整数是（     ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 9．（25-26八年级下·重庆忠县·期末）如图，已知是等腰直角三角形，，依次以点为直角顶点作等腰，若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，和都是等腰直角三角形，的延长线交于点，且恰为的中点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D．9 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·吉林·阶段检测）4的平方根是________，的立方根是________，的算术平方根是________； 12．（2025九年级下·上海·专题练习）化简： ______． 13．（24-25九年级上·河北承德·开学考试）如图，已知，那么数轴上点所表示数的相反数是___________． 14．（2026·河南周口·二模）计算： _______． 15．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）若，则___ （用“”填空） 16．（25-26八年级上·福建泉州·期末）求出的值为_____． 17．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是______． （用含的代数式表示） 18．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知，去分母，得；移项，得；两边平方，得；整理，得．我们规定：方程称为的“还原方程”． （1）的“还原方程”是______； （2）若，则代数式______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知的立方根是，的算术平方根是6，c是的整数部分．求的值． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·新疆克拉玛依·开学考试）计算： （1） （2） 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·云南红河·期末）计算： （1）； （2）． 22．（本小题满分10分）（26-27八年级下·甘肃平凉·期末）已知，，求的值． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·云南昆明·期末）观察下列等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：________；… 按照上述规律，完成下列问题： （1）补全第个等式：________，写出第个等式：___________________； （2）写出第个等式，并证明． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）探究： 观察下列等式：①； ②； ③； …… 解答下列问题： （1）模仿：化简：_____，_____． （2）拓展：若，求的值． （3）运用：计算． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $