专题26.4实际问题与二次函数（12大题型小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以“建模步骤+场景分类”构建二次函数应用体系，通过8大实际场景模块实现从基础建模到压轴突破的递进，突出数学抽象与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |投球/拱桥/喷水/隧道/跳跃问题|各1典例+3变式|坐标系建立→关键点坐标提取→解析式求解→实际问题转化|从抛物线几何特征到运动/建筑场景应用，强化空间观念| |增长率/销售/几何图形问题|各1典例+3变式|等量关系梳理→函数关系式构建→最值/范围求解|从数量关系抽象到经济/几何场景，培养运算能力与推理意识| |微专题/压轴题|2微专题+2压轴|表格数据建模/动点参数转化/新情境剥离|整合跨模块方法，提升数据观念与创新意识|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题26.4实际问题与二次函数》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 投球问题 模块8 几何图形问题 模块2 拱桥问题 微专题1表格问题 模块3 二次函数应用中增长率问题 微专题2二次函数应用中动点问题 模块4 喷水问题 压轴1 新情境问题 模块5 隧道问题 压轴2 实物抽象出二次函数模型 模块6跳跃问题 通关检测·实战演练 模块7销售问题 知识梳理 · 基础溯源 知识点 利用二次函数解决实际问题 1.一般步骤 (1)审题意;(2)设未知量;(3)列关系式;(4)解答实际问题;(5)验证结果是否符合实际. 2.求二次函数最值 将解析式写成y=a(x-h)"+k(a≠0的形式，当x=h时，有最大(小)值k;若对二次函数 y=ax2+bx+c使用配方法，则当x= 一时，y有最大(小)值 3.实际问题与二次函数的联系转化 模块通关·举一反 三 【模块一】投球问题 .这类问题将投出物体的飞行轨迹近似建模为开口向下的二次函数抛物线，解决问题时通常先根据题目条件建立合适的平面直角坐标系，一般以出手点在水平地面的投影或出手点本身为坐标原点，再结合题目给出的出手高度、最大高度、落地点水平距离等条件，提取出已知点的坐标，选择合适形式设出二次函数解析式，代入求解得到具体解析式后，就可以进一步计算出题目要求的投掷最大距离、飞行最大高度，也可以判断投出的物体能否落入指定区域、能否越过某一位置的障碍物，是二次函数建模思想解决实际运动问题的典型应用。 【典例1】下列问题中，变量y与x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　） A．圆的面积y与圆的半径x B．汽车匀速行驶时，行驶的距离y与行驶的时间x C．小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度y与篮球离开手的时间x D．三角形面积一定时，它的底边长y与底边上的高x 【答案】C 【分析】根据每个选项的描述，分别写出两个变量之间的函数关系即可判断． 【详解】解：A．圆的面积与圆的半径的函数关系式为， ， 该函数图象的开口应朝上， 变量与之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意； B．设汽车的速度为为常数）， 则汽车行驶的距离与行驶的时间之间的函数关系式为为常数）， 变量与之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意； C．小明打篮球投篮时，关于的函数图象是开口朝下的抛物线的一段，且经过轴的正半轴，对称轴在轴右侧， 变量与之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，故符合题意； D．设三角形的面积为为常数）， 则， 为常数）， 变量与之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的图象，解题关键在于根据每个选项的描述，正确判断出两个变量之间满足的函数关系． 【变式1-1】如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质解题． 【详解】解：依题意，令得， 得， 解得（舍去）或， 即小球从飞出到落地所用的时间为，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 【变式1-2】以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）之间具有函数关系，则小球飞行的最大高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最值． 【详解】解：， ∵， ∴当时，h有最大值，最大值为20， ∴小球飞行的最大高度是． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的应用，把函数解析式化为顶点式是解题关键． 【变式1-3】如图，小强在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮筐底的距离是（    ） A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m 【答案】D 【分析】由题意得，当时，即，求出，由于篮圈中心在轴的右侧，所以，从而可求出小强与篮筐底的距离． 【详解】解：球的运动路线是抛物线的一部分，篮圈中心在轴的右侧，高度为3.05m， 令，则， 解得：， 篮圈中心在轴的右侧， ， ， 小强与篮筐底的距离为：m， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据求出的值，再根据篮圈中心在轴的右侧确定的具体值是解题的关键，解答本题需采用数形结合的思想． 【模块二】拱桥问题 .这类问题将拱桥的桥拱轮廓近似建模为开口向下的二次函数抛物线，解决问题时通常会根据题目给出的桥拱跨度、拱顶高度等信息选择合适的平面直角坐标系，最常用的是以桥拱与水平面（水面）的两个交点连线的中点为坐标原点，水平面为x轴建立坐标系，此时二次函数的顶点在y轴正半轴，解析式形式较为简洁，也有部分题目会以桥拱的左端点或顶点为原点建立坐标系。解题时我们只需要从题干中提取出桥拱跨度、拱高、指定位置的相关数据，转化为已知点的坐标，设出对应形式的二次函数解析式，代入求出具体解析式后，就可以进一步求解任意位置处的桥拱高度、特定高度对应的桥宽，也能判断吃水深度、船顶高度符合要求的船只能否顺利通过桥洞，是二次函数建模思想解决实际建筑工程问题的典型应用。 【典例2】某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为40米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为5米的景观灯杆的高度为（    ） A．13米 B．14米 C．15米 D．16米 【答案】C 【分析】以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当时y的值即可． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线表达式为， 由题意可知，B的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，． 答：与距离为5米的景观灯杆的高度为15米， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． 【变式2-1】如图所示，是一座抛物线型的拱桥，当桥下水面宽度是时，拱顶到水面的距离是，当水面下降后，水面的宽度是(    )m． A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】以水面所在的直线为x轴，以这座抛物线型拱桥的对称轴为y轴，建立直角坐标系，根据题意得出抛物线解析式，根据题意，令，解方程即可求解． 【详解】解：以水面所在的直线为x轴，以这座抛物线型拱桥的对称轴为y轴，建立直角坐标系， 设抛物线的函数关系式为：, ∵抛物线过点， ∴ 又∵当桥下水面宽度是时，拱顶到水面的距离是， ∴抛物线经过点， ∴， 解得 当水面下降后， 解得：， ∴水面的宽度是米， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质，建立平面直角坐标系得出解析式是解题的关键． 【变式2-2】如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　） A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m 【答案】C 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点， 由平面直角坐标系可知，，即， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为，即， 当时，， 所以水面下降， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键． 【变式2-3】如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为，请根据所给的数据，则支柱的长度为（   ） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【答案】C 【分析】如图所示，建立坐标系，然后求出抛物线解析式，然后求出N点纵坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意得A点坐标，B点坐标为，C点坐标为，N点横坐标为5， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴当时，， ∴支柱的高度m， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意正确建立坐标系求解． 【模块三】二次函数应用中增长率问题 二次函数应用中增长率问题，核心是将实际的增长变化关系转化为二次函数模型进行分析求解。通常情况下，设初始基数为a，平均每期增长率为x，经过两期增长后，总的总量y满足关系y = a(1+x)2，将该式展开整理后即可得到y关于x的二次函数解析式，从而将实际增长率问题转化为二次函数的求值、解方程问题，我们就可以借助二次函数的相关性质，完成对增长率、目标总量等实际量的求解，这类模型也常应用于产值增长、人口增长、销量增长等实际场景的问题分析中。 【典例3】为解决药价虚高给老百姓带来的求医难问题，国家决定对某药品分两次降价，若设平均每次降价的百分率为，该药品的原价是元，降价后的价格是元，则与的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得出第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元，再根据两次降价后的价格为元，即可得出与的函数关系式． 【详解】解：∵该药品的原价是元，平均每次降价的百分率为， ∴第一次降价后的价格为元， ∴第二次降价后的价格为元， 又∵两次降价后的价格为元， ∴与的函数关系式为：． 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解本题的关键在理清题意，找出等量关系，正确列出函数关系式． 【变式3-1】共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车辆，若第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么与的函数关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据增长率问题，一般“增长后的量增长前的量（1+增长率）”找出等量关系列方程即可 【详解】第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍， 第三个月的增长率为 第一个月投放辆单车， 第二个月投放辆 第三个月投放量 故选：A． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题关键是熟练掌握增长率问题的求解，即“增长后的量增长前的量（1+增长率）”． 【变式3-2】某种产品今年的年产量是20t，计划今后两年增加产量．如果每年的产量都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量y与x之间的函数表达式是________________． 【答案】 【分析】根据每年的产量都比上一年增加x倍，列出函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 【变式3-3】为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 【答案】（1）20%；（2）6125000（元） 【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可； （2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值． 【详解】解：（1）设平均增长率为x，则x>0， 由题意得：， 解得：x=0.2或x=-2.2（舍）， 答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%； （2）设多改造a户，最高投入费用为w元， 由题意得：， ∵a=-50，抛物线开口向下， ∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元， 答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解． 【模块四】喷水问题 和桥拱问题类似，喷水问题是典型的抛物线型实际应用问题，遵循清晰的解题步骤： 1. 设定坐标系：结合这类问题的条件特征，最常用的设定是选择喷水管与地面的交点作为坐标原点，地面所在水平线为x轴，竖直向上为y轴正方向；若题目已经明确给出喷口高度，也可直接将喷口位置设为原点，能简化后续设解析式的过程，有效减少计算量。 2. 整理坐标：根据题目给出的喷水射程、最大喷水高度、喷口距地面高度等已知数据，提取出关键已知点的坐标——比如喷口坐标、抛物线顶点坐标、水流落回地面的交点坐标，整理得到清晰的点坐标表格。 3. 描点：即按照整理好的坐标，在平面直角坐标系中逐一点出各点的位置，注意把握各点相对位置的大小关系，避免点错位置影响后续连线和解析式求解。 4. 连线：用平滑的曲线按照x从小到大的顺序连接所有描出的点，因为只有从喷口到落地点的部分是实际存在的水流，因此只需要连接这一段曲线，就能得到近似的水流抛物线轮廓。 5. 求解析式：根据设定的坐标系和已知条件选择对应形式的二次函数解析式，若已知顶点坐标，优先选择顶点式来简化计算，再代入已知点坐标求出未知系数，最终得到完整的水流抛物线函数解析式。 6. 解决实际问题：根据题目具体要求，代入特定位置的横坐标计算对应位置的水流高度，或是代入给定高度计算对应的水平位置，进而解决计算某位置水流高度、判断喷水能否越过障碍物、调整喷水参数满足设计要求等各类问题。 【典例4】如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是（    ） A．20米 B．18米 C．10米 D．8米 【答案】A 【分析】根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米， 设抛物线解析式为，将点代入，得 解得 ∴抛物线解析式为 令，解得（负值舍去） 即， 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得解析式是解题的关键． 【变式4-1】要修建一个圆形水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离地中心． (1)求抛物线解析式； (2)水管应多长 【答案】(1)（建立坐标系方式不唯一，答案不唯一） (2) 【分析】(1)以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，将代入求得值， (2)令x=0，得的y值即为水管的长． 【详解】（1）解：如图，建立以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系， 由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为， 则设抛物线的解析式为：，代入， 解得：． 将值代入得到抛物线的解析式为： ， （2）令，则． 故水管长为． 【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据图形建立合适的直角坐标系. 【变式4-2】洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部下压如图位置时，洗手液从喷口流出，路线近似呈抛物线状，且喷口为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且、、三点共线．在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，不去接则洗手液落在台面的位置距的水平面是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出各点坐标，设抛物线解析式为，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解． 【详解】解：如图： 根据题意，得， 设抛物线解析式为， 把点代入得：， 解得：， 所以抛物线解析式为， 当时，即， 解得： 或（舍去）， 又， 所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算． 【变式4-3】如图为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高高度为．水柱落地处离池中心的水平距离为．小刚以柱形喷水装置与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，柱形喷水装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．水柱喷出的高度y()与水平距离x()之间的函数关系如图． (1)求表示该抛物线的函数表达式： (2)若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度． 【答案】(1)抛物线函数表达式为或 (2)m 【分析】（1）根据顶点坐标，设该抛物线的函数表达式为,由题意得，该抛物线经过点，待定系数法求解析式即可求解． （2）当时，代入解析式，解得． 【详解】（1）解：由于点为抛物线的顶点， 因此可设该抛物线的函数表达式为， 由题意得，该抛物线经过点，可得， 解得， ∴该抛物线函数表达式为或． （2）当时，，解得． 答：柱形喷水装置的高度为m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键． 【模块五】隧道问题 隧道问题是二次函数在交通工程场景中的典型应用，解题思路和这类实际应用问题的常规流程一致： 第一步，结合隧道横截面的对称特征建立合适的平面直角坐标系，通常将抛物线形隧道拱顶的顶点放在y轴上，隧道底部中点放在坐标原点，以此简化后续计算。 第二步，根据题目给出的隧道尺寸条件，提取出顶点、底部端点等关键点的坐标，结合坐标系位置选择顶点式设出二次函数解析式，代入已知点的坐标求出未知系数，就能得到隧道横截面抛物线的函数解析式。第三步，根据题目要求求解具体问题：如果是判断给定尺寸的车辆能否安全通过，只需根据车辆宽度找到对应位置的隧道净高，和车辆高度加上要求的安全间隙做比较，若隧道净高更大则可安全通过，反之则不能；如果是求解满足通行要求的最大车辆宽度，则将车辆高度加上安全间隙的数值代入解析式，求出两个对应横坐标，二者的差就是允许通行的最大车辆宽度。 【典例5】一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB＝8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道． 【答案】图象见详解，，（），能安全通过这条隧道 【分析】以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，则有，设这条抛物线的表达式为，进而可得，然后把x=1代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，函数图象如图所示： ∵AB＝8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m， ∴， 设这条抛物线的表达式为， ∵抛物线经过点C， ∴，解得：， ∴，（）； 当x=1时，， ∵， ∴这辆货车能安全通过这条隧道． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式． 【变式5-1】如图所示，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道， OM宽度为16米，其顶点P到OM的距离为8米 请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式； 隧道下的公路是双向行车道正中间是一条宽1米的隔离带，其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的特种车辆？请通过计算说明. 【答案】（1）,；（2）该车辆能通行； 【分析】(1)以O点为原点，建立直角坐标系，确定O，P，M的坐标，然后设出顶点式即可求解； （2）由于正中有一条宽1m的隔离带，则每个车道宽7.5m，3.5m宽的车沿着隔离带边沿行驶时,车最左侧边沿的,然后将x=4代入解析式，如果函数值大于5.8，则能顺利通过. 【详解】解： 以O点为原点，建立直角坐标系则O(0,0),P,M（0.16），且抛物线的顶点坐标为,设函数的解析式为, 将点代入上式得：,解得：, 故函数的表达式为：,； 双向行车道,正中间是一条宽1米的隔离带,则每个车道宽为米, 车沿着隔离带边沿行驶时,车最左侧边沿的, 当时,,即允许的最大高度为6米, ,故该车辆能通行； 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解答的关键在于弄通题意并联系实际生活. 【变式5-2】现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 【答案】(1)； (2)点A的坐标为，点B的坐标为； 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入，可得，即可解决问题； （2）把，代入抛物线的解析式，解方程可得结论． 【详解】（1）解：由题意可知， ∵，该抛物线的顶点P到的距离为， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入解析式，则， ∴， ∴； （2）解：∵点A、B到的距离均为， ∴令，则， 解得：，； ∴点A的坐标为，点B的坐标为； 【点睛】本题考查二次函数的应用，待定系数法，一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型． 【变式5-3】按要求解答 (1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？ (2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度米，人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高米．建立如图所示的直角坐标系． ①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示） ②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米． ③已知人行道台阶高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？说明理由． + 【答案】(1)原计划每天修20米 (2)①；②5.5米；③达标，理由见解析 【分析】（1）设原计划每天修x米，然后根据题意列分式方程求解即可； （2）①由题意可得，然后运用待定系数法解答即可；②车的宽度为4米，令时求得，然后再减去0.5即可解答；③如图：由高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3，令可解答点G的横坐标为，然后求出的长度即可解答． 【详解】（1）解：设原计划每天修x米 则根据题意可得： 解得：或 经检验，是分式方程的解． 答：原计划每天修20米． （2）解：①根据题意可得： 设抛物线的函数表达式为 由题意可得：，解得： 所以抛物线的函数表达式为 ②∵车的宽度为4米，车从正中通过， ∴令时，， ∴货车安全行驶装货的最大高度为（米）． ③如图：由高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3， 令，则有：，解得：（舍弃负值） ∴人行道台阶的宽度为： ∴人行道宽度设计达标． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征等知识点，正确求得函数解析式是解答本题的关键． 【模块六】跳跃问题 这类问题一般以运动员跳远、撑杆跳、跳水等运动为命题背景，将人体或运动器械的跳跃轨迹近似看作抛物线，借助二次函数性质求解相关实际问题。解题的基本流程与抛物线形隧道问题类似：首先根据场景特征建立平面直角坐标系，通常将起跳点设置在坐标原点，水平向前方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向；接着从题目条件中提取起跳点、最高点、落地点等已知位置的坐标，选择合适形式设出二次函数解析式，代入已知点坐标求解得到解析式的所有待定系数；最后根据题目问题类型对应计算即可：若要求最大跳跃高度，直接取顶点纵坐标即可；若要求跳跃的总水平距离，只需计算抛物线与x轴正方向交点的横坐标即可；若要求判断跳跃过程能否越过指定高度的障碍物，则将障碍物对应的水平横坐标代入解析式得到对应位置的轨迹高度，与障碍物高度比较即可得到结论。 【典例6】北京冬奥会跳台滑雪项目比赛其标准台高度是90m．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（   ） A．10m B．15m C．20m D．22.5m 【答案】B 【分析】将点（0，90.0）、（40，82.2）、（20，93.9）分别代入函数解析式，求得系数的值，然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案． 【详解】解：根据题意知，抛物线（）经过点（0，90.0）、（40，82.2）、（20，93.9）， 则， 解得：， ∴（m）． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用．熟练掌握抛物线的对称轴公式是解决本题的关键．此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时的水平距离即可 【变式6-1】一个跳水运动员从10m高台上跳水，他每一时刻所在高度（单位：m）与所用时间（单位：s）的关系是：h＝﹣5（t﹣2）（t+1），则运动员起跳到入水所用的时间是（　　） A．﹣5s B．2s C．﹣1s D．1s 【答案】B 【分析】根据每一时刻所在高度（单位：m）与所用时间（单位：s）的关系是：h＝−5（t−2）（t＋1），把h＝0代入列出一元二次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设运动员起跳到入水所用的时间是xs， 根据题意可知：﹣5（x﹣2）（x+1）＝0， 解得：x1＝﹣1（不合题意舍去），x2＝2， 那么运动员起跳到入水所用的时间是2s． 故选B． 【点睛】本题考查解一元二次方程，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 【变式6-2】某同学在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和拋物线相吻合，那么他能跳过的最大高度为______． 【答案】 【分析】把抛物线解析式化为顶点式，确定抛物线的最值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的最大值为，即他能跳过的最大高度为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出二次函数的顶点式是解题的关键． 【变式6-3】如图所示，一名跳远运动员在助跑后以与地面夹角方向起跳后，其运行的路径近似可以用抛物线来表示，那么该运动员能够跳出的距离约是______米． 【答案】 【分析】令解析式中，即可求解． 【详解】解：依题意，令中，， 即 解得：（舍去） 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【模块七】销售问题 这类问题的解题思路同样遵循先建模后求解的流程：首先明确问题中的核心变量，通常设价格调整量或者实际单价为自变量x，总利润或者总销售额为因变量y，接下来根据销售问题的基本数量关系梳理各量：单件利润=实际售价-单件成本，总利润=单件利润×销售量，再结合题目给出的价格变动对销售量的影响规律（例如每涨价1元，销售量减少n件，每降价1元，销售量增加m件这类条件），整理得到y关于x的二次函数解析式。 求解时根据问题类型对应处理即可：若题目要求最大利润，先确定自变量x的实际取值范围（销售量、售价都不能为负），再根据二次函数的开口方向和顶点位置求最值，需要注意顶点横坐标若不在自变量取值范围内，要结合函数在有效区间内的单调性确定最值；若要求获得指定利润时的定价，只需令总利润等于目标利润，得到一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的根，再整理得到对应定价即可；若要求利润不低于某个标准时的定价范围，结合二次函数与一元二次不等式的关系得到解集，再结合自变量的实际限制整理得到最终结论。 【典例7】商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（元为正整数），每星期销售的利润为元，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出销售量与x的关系，再根据利润（售价进价）销售量列出y关于x的关系即可得到答案． 【详解】解：设每件商品的售价上涨x元，则销售量为件， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键． 【变式7-1】2022年北京冬奥会的冰墩墩受广大群众的喜爱，某超市销售冰墩墩饰品，每件成本为40元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本．为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少元？（    ） A．80元，1800元 B．70元，2000元 C．70元，1800元 D．80元，2000元 【答案】C 【分析】设每月所获利润为，按照总利润=销售量(售价-成本)列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可． 【详解】设每月所获利润为， 由题意可知： ， ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数有最大值为1800． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键． 【变式7-2】某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第月至第月，这种水果每千克售价（元）与销售时间第月之间存在如图（一条线段）所示的变化趋势，每千克成本（元）与销售时间第月之间存在如图（一段抛物线）所示的变化趋势． (1)分别求函数和的表达式； (2)销售这种水果，第几月每千克所获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)销售这种水果，第4个月每千克所获得利润最大，最大利润是元/千克 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设第月每千克所获得的利润为（元，根据题意构造二次函数，用二次函数的最值思想求解即可． 【详解】（1）解：由题意设， 将，代入，得： ，解得， ； 设， 将代入，得： ， 解得， ， 函数和的表达式分别为，； （2）解：设第月每千克所获得的利润为（元，由题意得： ， 当时，有最大值，． 销售这种水果，第4个月每千克所获得利润最大，最大利润是元/千克． 【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键． 【变式7-3】某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为元/件，售价为元/件，下面是他们在活动结束后的对话： 小丽：我发现此商品如果按元/件销售，每星期可卖出件． 小强：我发现在售价元/件的基础上调整价格，每涨价元，每星期比小丽所调查的销售量件要少卖出件． 小红：我发现在售价元/件的基础上调整价格，每降价元，每星期比小丽所调查的销售量件要多卖出件． (1)若设每件涨价元，则每星期实际可卖出__________件，每星期售出商品的利润（元）与的关系式为__________，的取值范围是__________． (2)若设每件降价元，则每星期售出商品的利润（元）与的关系式为__________． (3)在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)，，，且为整数 (2) (3)商品的定价为元时，销售利润最大，最大为元 【分析】（1）根据每涨价元，每星期比小丽所调查的销售量件要少卖出件，由此即可求解； （2）根据每降价元，每星期比小丽所调查的销售量件要多卖出件，由此即可求解； （3）根据（1）中数量关系，将变形为顶点式，即可求解． 【详解】（1）解：进价为元/件，按元/件销售，每星期可卖出件，每涨价元，每星期比销售量件要少卖出件，设每件涨价元， ∴现在每件的销售价格为：元，销售量为：件，每件的利润为元， ∴，即， ∵，则， ∴，且为整数， 故答案为：，，，且为整数． （2）解：进价为元/件，按元/件销售，每星期可卖出件，每降价元，每星期比销售量件要多卖出件，设每件降价元， ∴现在销售价为：，销售量为：件，每件的利润为：元， ∴，即， 故答案为：． （3）解：由（1）可知，，（为整数）， ∴， ∴当时，商品的利润最大，最大利润， ∴商品的定价为元时，销售利润最大，最大为元． 【点睛】本题主要考查二次函数与销售问题的综合，理解题目中的数量关系，列方程解方程是解题的关键． 【模块八】几何图形问题 这类问题一般围绕图形面积最值、动线段长度最值、图形形状满足特定要求时的参数取值展开，解题的核心是数形结合：首先要根据图形的几何性质，把待研究的目标量、相关线段都用含自变量的代数式表示，再根据面积公式、勾股定理、相似三角形的比例关系等几何定理，建立目标量关于自变量的二次函数解析式。 需要特别注意的是，自变量的取值范围必须符合图形的实际限制，所有涉及的线段长度都不能为负，要先确定自变量的有效取值范围，再结合题目要求求解：若要求最值，同样需要判断顶点横坐标是否落在有效区间内，再结合开口方向确定结果；若要求图形满足特定条件，如面积不小于某个定值、动点满足特殊位置要求，则转化为对应一元二次方程或不等式求解，最终结合取值范围筛选出符合要求的结果。 【典例8】如图，晓波家的院墙一边靠墙处，用米长的铁栅栏围成了三个相连的养殖小院子，总面积为平方米，为方便喂养这些不同类的动物，在各个养殖院子之间留出了米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门．若设米，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示（见详解），设米，则可求出的长，根据矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示， 设米，则， 又小院子的总面积为， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数的运用，理解图形面积的计算方法，掌握数量关系，准确列出函数关系式是解题的关键． 【变式8-1】用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃，如图所示．设的长为，矩形的面积为，则与之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】根据篱笆总长度，求出，再根据矩形面积公式即可求出答案． 【详解】解：m， m， ， 与之间的函数关系式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，找到所给面积的等量关系是解决本题的关键． 【变式8-2】如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形养鸡场，设养鸡场的宽为，长为，面积为． (1)求y与x的函数关系，并写出x的取值范围； (2)当长方形的长、宽各为多少时，养鸡场的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)长方形的长为，宽为，最大面积为 【分析】（1）设养鸡场的宽为，则，根据长方形面积公式即可求解； （2）将二次函数一般式化为顶点式，结合x的取值范围，即可求出最值． 【详解】（1）解：由题意得， ，， ∴， ∴； （2）解：， ∵-3<0，抛物线的对称轴为直线，位于之间， 当时，即时，面积y有最大值为27， 长方形的长为，宽为，最大面积为． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，正确得出y与x的函数关系式． 【变式8-3】用米长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形． 垂直于墙的一边比另一边少 长方形的面积 ____ ____ ____ ____ ____ (1)当垂直于墙的一边比另一边少米时，求长方形的面积． (2)按上表中列出的数据要求，填写表格．观察表格，你感到长方形的面积会不会有最大的情况？如果会，可能是多少？ 【答案】(1) (2)见解析，会， 【分析】（1）设垂直于墙的一边为x，平行于墙的一边为y，根据三边长共为，且垂直于墙的一边比另一边少米，列出关于x、y的方程组，即可求得面积； （2）根据题意完成表格，设长方形的面积为S，可得，即可得到结果． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边为x，平行于墙的一边为y，且垂直于墙的一边比另一边少米， ∴， 解得：， ∴， 答：长方形的面积为； （2）解：完成表格如下： 垂直于墙的一边比另一边少 长方形的面积 设长方形的面积为S， 则：， ∴当时，长方形的面积取得最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用和二元一次方程组的应用，根据长宽之间的关系列出方程组和函数解析式是解题的关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】表格问题 这类问题通常以销售利润、抛体运动、图形变化等实际场景为命题背景，要求我们从给定表格中提取有效信息，完成二次函数解析式的求解与后续应用。解题时首先要结合表格给出的数据确定点的坐标，再根据已知条件选择合适的解析式形式：若表格给出顶点坐标或对称轴信息，则优先选择顶点式代入求解；若仅给出多个普通点坐标，则选择一般式，将对应坐标代入列方程组求解系数。 (3)连线: 按照横坐标由小到大的顺序，用平滑的曲线将描出的各点依次连接，即可得到二次函数的大致图像。 【典例9】某公司推出一款手机，每部手机的成本价为2500元，经试销发现，这款手机的日销售量（部）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，与的几组对应值如下表： 销售单价元 2700 2900 3200 3300 日销售量部 80 60 30 (1)求关于的函数解析式（不要求写出的取值范围）． (2)请根据以上信息填空： ①表格中，______； ②当______时，日销售利润（元）最大，最大利润是______元． 注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价） (3)该公司决定从每天的销售利润中捐赠1000元给希望工程，为了保证捐赠后每天剩余的利润不低于20000元，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①20；②3000，25000 (3) 【分析】（1）设一次函数解析式，根据待定系数法，求出一次函数解析式，即可解答； （2）①将值代入一次函数解析式，即可解答；②根据题意，根据日销售利润日销售量（销售单价成本单价），可得与x的关系式，根据二次函数的性质，即可解答； （3）根据题意，列出不等式，再根据二次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 将，分别代入， 得，解得 故． （2）①当时，； ②根据题意，可得， 当时，W取最大值，最大值为25000； （3）解：由题意得：， 当令，得， 解得或3200． 函数的图象开口向下， 故当捐赠后每天剩余的利润不低于20000元时，的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，二次函数的性质，二次函数在销售过程中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键． 【变式9-1】足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：）与足球被踢出后经过的时间t（单位：）之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7 …… h 0 8 14 18 20 20 18 14 …… 下列结论：①足球距离地面的最大高度为；②足球飞行路线的对称轴是直线；③足球被踢出时落地；④足球被踢出时，距离地面的高度是，其中正确的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意，抛物线经过 ，所以可以假设抛物线的解析式为，把代入可得，可得，由此即可一一判断． 【详解】解：∵当和时，h的值相同， ∴抛物线的对称轴为直线，故②正确； ∵当时，， ∴当时，，即足球被踢出时落地，故③错误； ∴可设抛物线的解析式为， 把代入得 解得， ∴， ∴足球距离地面的最大高度为，故①正确， ∴足球被踢出时落地，故③错误， ∵时，，故④正确． ∴正确的有①②④，共3个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键． 【变式9-2】单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，中国18岁小将苏翊鸣获得冠军．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． 这是苏翊鸣参赛前进行的一次训练． (1)训练时，苏翊鸣的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 2 5 8 11 14 竖直高度 根据上述数据，直接写出苏翊鸣竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)训练时，苏翊鸣的着陆点的竖直高度为7米，求着陆点的水平距离为多少？ 【答案】(1)最大值为，； (2)26米． 【分析】（1）根据表格数据可得抛物线的顶点坐标为，即可得出竖直高度最大值，用待定系数法求解函数关系式即可； （2）把代入（1）中得出的函数关系式，求解即可． 【详解】（1）解：由表可知，当和时的函数值相等， ∴抛物线顶点横坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为：， ， 即该运动员竖直高度的最大值为， 根据表格中的数据可知：当时，，代入得： ， 解得：， ∴函数关系式为：； 综上：直高度的最大值为，函数关系式为：． （2）把代入； 解得：或（不合题意舍去）， 着陆点的水平距离为26米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，从表格中得出顶点坐标，会用待定系数法求解函数表达式． 【变式9-3】青岛市是远近闻名的“中国蛤蜊之乡”，每年6至8月，总会吸引大批游客前来品尝，当地某商家为回馈顾客，两周内将标价为20元/千克的蛤蜊经过两次降价后变为16.2元/千克，并且两次降价的百分率相同． (1)求蛤蜊每次降价的百分率． (2)从第一次降价的第1天算起，第x天蛤蜊（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示： 时间x/天 售价/（元/千克） 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格 销量/千克 储存和损耗费用/元 已知蛤蜊的进价为元/千克，设销售蛤蜊第x（天）的利润为y（元） ①求y与x之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大？ ②问这14天中，哪几天的销售利润不低于930元？请说明理由． 【答案】(1) (2)①，第10天利润最大，最大利润为960元； ②第1天，第9天到第13天利润不低于930元 【分析】（1）设蛤蜊每次降价的百分率为，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出 x的值即得出答案； （2）①根据利润=（标价进价）×销量储存和损耗费，即可得y（元），进而可求出y与x之间的函数解析式，再结合一次函数和二次函数的性质求出其最值即可；②依题意可列出关于x的不等式，结合解一元一次不等式的方法和图象法解一元二次不等式，分别求出x的解集，即可得出答案． 【详解】（1）解：设蛤蜊每次降价的百分率为， 依题意得，， 解得：，（舍）． ∴水蛤蜊每次降价的百分率为10%； （2）①结合（1）得：第一次降价后的价格为（元）， ∴当时，． ∵， ∴y随着x的增大而减小， ∴当元时，利润最大为（元）； 当， ， ∵， ∴当时，利润最大为960元． ∵， ∴第10天利润最大，最大利润为960元． 综上可知，； 第10天利润最大，最大利润为960元； ②当时，， 解得：， ∴此时为第1天利润不低于930元； 当时，， 当， 解得：，， 根据图象法可解得：， ∵，， ∴此时第9天到第13天利润不低于930元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，一元一次不等式和一元二次不等式的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式和不等式是解题关键． 【微专题二】 二次函数应用中动点问题 核心在于抓住“动中寻静”的思路： 第一步先根据题意建立合适的平面直角坐标系，推导出固定边、固定图形的函数解析式； 第二步用含参数的代数式表示出动点坐标与相关线段长，将动态的位置关系、数量关系转化为关于参数的二次函数关系； 第三步结合二次函数的最值、增减性，以及参数的实际取值范围，即可推导出符合要求的结论，清晰判断题目条件能否满足。 【典例10】如图，在中，，，．动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合），同时动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合）．当四边形的面积最小时，经过的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用含代数式表示四边形的面积，通过配方求解． 【详解】解：设运动时间为秒，四边形的面积为， 则，， ， ， 即， 当时，有最小值为12， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值． 【变式10-1】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过 秒钟，使△PBQ的面积最大． 【答案】3 【分析】设P点的运动时间为t秒，由题意得：，，则，即可得到，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设P点的运动时间为t秒， 由题意得：，， ∴， ∵∠B=90°， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴经过3秒钟，使△PBQ的面积最大 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意表示出三角形PBQ的面积与运动时间的关系式． 【变式10-2】正方形ABCD中，AB=4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP=PF，则△APF的面积最大值为(     ) A．8 B．6 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据AP=PF得到点P在AF的垂直平分线上，过P作PG⊥AF，G为垂足，则AG=GF，DG=PG，设DF=x，得到AG=，GD=PG=，利用三角形面积公式计算得到S△APF=，根据函数性质即可得到答案． 【详解】∵AP=PF， ∴点P在AF的垂直平分线上， 过P作PG⊥AF，G为垂足，则AG=GF，DG=PG， 设DF=x，则AG=， ∴GD=PG=， ∴S△APF=≤4， 所以△APF面积最大值为4； 故选：C． ． 【点睛】此题考查正方形的性质，线段垂直平分线的判定及性质，二次函数的最值问题，正确引出辅助线并设定未知数解决问题是解题的关键． 【变式10-3】如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则面积的最小值为 ． 【答案】##1.5 【分析】设，则，过点D作 PQ∥EF交CE于Q，GF于P，证明四边形EQPF是矩形，得到EC=EF=PQ，即可推出，从而得到，由此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CDE=90°， 设，则， 过点D作 PQ∥EF交CE于Q，GF于P， ∵四边形CEFG是正方形， ∴∠QEF=∠EFP=90°，EF=EC=FG， ∴∠EQP=90°， ∴四边形EQPF是矩形， ∴EC=EF=PQ， ∴ ， ， 当时，面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，二次函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】新情境问题 通常以当下生产生活、科技发展中的真实场景为命题载体，比如新能源产能规划、体育器材参数设计、生态固碳效益测算等，这类问题不会直接点明考查二次函数知识，要求我们先从繁杂的题干材料中提取有效信息，剥离无关背景描述，抽象出不同变量之间的对应关系，进而建立合适的二次函数模型，再结合问题指向求解最值、最优方案或者参数取值。 这类问题的核心难点在于建模环节，部分题目会结合图表给出零散数据，需要我们先根据数据特征判断变量关系为二次型，再选择合适的方法求出解析式，最后还要结合实际情境确定自变量的取值范围，结合二次函数的单调性、最值性质得到符合实际要求的最终结果，是近年中考对二次函数应用考查的热门命题方向。 【典例11】．小李经营一个社区快递网点，负责周边快件收发，由于疫情原因，到2020年2月12 日网点才可以复工，而该网点的另外两名员工因为办理复工手续，将分别在2月15日和2月26日返岗，工作据大数据显示，预计从复工之日开始，每日到达该网点的快件数量(件)与第天(2月12日为第天)满足：．已知一位快递员日均派送快件量为件，通过加班最高可派送件． 前三天小李派送的快件总量为_ 件； 以最高派送量派送快件还有剩余时，则当天剩余快件留到第二天优先派送， ①到第十天结束时，滞留的快件共有 件； 到第十四天结束时，滞留的快件共有__件； ②2月18日后快递激增爆仓，小李和员工每天加班派送，根据现有快递数量的变化趋势，从2月19日开始计算，小李至少要加班几天才可以不用加班派送．(即小李不加班派送的情况下，快递点没有滞留件) 到了3月5日，全国疫情稳定，预计每日到达网点的快件数量将按新趋势变化，“女神节”期间(3月6日-9日)日均快件量为件，3月10日起日均快件量稳定在件．此时小李接到快递总公司新规定：从3月10日开始，到达的快件必须当天派送完毕，否则将扣除滞留快件滞留费元/件天(之前滞留的快件从3月10日0时开始收取滞留费)为此，小李想到从市场招聘____名临时工帮助派送快递，若临时工基本工资元/天，外加派送费元/件临时工一天最多可派送快件件，为了将支出降到最低，小李应该聘请临时工几天，派送快件共多少件？此时最低支出多少元钱？直接写出你的答案． 【答案】（1）300；（2）①270；1180；②从19日开始计算，小李至少要加班天；（3）小李应聘临时工天，派送件，最低支出元 【分析】（1）根据题意分别求出第一天、第二天、第三天的件数，据此进一步计算即可； （2）①根据题意求出前十四天的每天的快件数，然后根据实际每天可派送的快件数进一步分析求解即可；②设天后滞留快件件，根据题意得出，由此进一步分析即可； （3）首先根据题意得出当时，(件)，又因为3月5日余件快件，由此结合题意分不聘临时工，聘临时工天，聘临时工天，聘临时工天多种情况分别求出相应的花费，最后通过对比得出答案即可. 【详解】（1）由题意得： 第一天的快件数量为：（件）， 第二天的快件数量为：（件）， 第三天的快件数量为：（件）， ∴前三天的快件总量为：（件）， 故答案为：300； （2）①由题意得： 第四天的快件数量为：（件）， 第五天的快件数量为：（件）， 第六天的快件数量为：（件）， 第七天的快件数量为：（件）， 第八天的快件数量为：（件）， 第九天的快件数量为：（件）， 第十天的快件数量为：（件）， 第十一天的快件数量为：（件）， 第十二天的快件数量为：（件）， 第十三天的快件数量为：（件）， 第十四天的快件数量为：（件）， ∵每人每天最高派送180件， ∴第四天到第七天的快件都可以及时派送完， 而第八天到第十天的快件总量为：（件）， ∴（件）， ∴第十天结束时滞留快件有270件， ∴从第十一天起到第十四天需派送的快件数为：（件）， ∴（件）， ∴第十四天结束时滞留快件有1180件， 故答案为：270，1180； ②解：设天后滞留快件件， 则：， 当时，快件余件， 当时，快件余件， 当时，快件已送完，如果人送，快件为件， ∵(天) 答：从19日开始计算，小李至少要加班天； （3）小李应聘临时工天，派送件，最低支出元， 理由如下：当时，(件)， 又∵(件)， 即3月5日余件快件， 当不聘临时工，(元)， 当聘临时工天，(元)， 当聘临时工天，(元)， 当聘临时工天，(元)， ∵， ∴小李应聘临时工天，派送件，最低支出元． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 【变式11-1】某市计划在十二年内通过租房建设，解决低收入人群的住房问题，已知前7年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x（第x年）的关系构成一次函数（1≤x≤7且x为整数），且第一和第三年竣工投入使用的公租房面积分别为和百万平方米；后五年竣工面积与时间的关系是y＝x+（7＜x≤12且x为整数）． （1）已知第六年竣工使用的公租房面积可解决20万人的住房问题，如果人均住房面积最后一年比第六年提高20%，那么最后一年竣工投入使用的公租房面积可解决多少万人的住房问题？ （2）受物价上涨的影响，已知这12年中，每年投入使用的租金与时间的函数解析式为m＝2x+36．假设每年的公租房当年全部出租完，写出这12年中每年竣工的公租房年租金W关于时间x的函数解折式，并求出W的最大值（单位：亿元）．如果在W取得最大值的这一年，老张租用了58平方米的房子，计算老张这一年应交的租金为多少？ 【答案】（1）最后一年竣工投入使用的公租房面积可解决12.5万人的住房问题；（2）；的最大值为1.47亿元；老张这一年应交的租金为2436元． 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数表达式，算出第六年对应的y值，由已知条件即可求得答案； （2）分别算出和时，W的函数表达式，配方求得最值，对比分析即可知道W的最大值，进一步求得老张应交的租金． 【详解】解：设 由已知得：，解得： ∴ 当时， ∴（平方米），（平方米） 当时， ∴（万人） 所以最后一年可解决12.5万人的住房问题． （2）当时，； 当时， ∴这12年中每年竣工的公租房年租金W关于时间x的函数解折式为; 又∵当时， ∴当时，； ∵当时， ∴当时，； ∵147＞143 ∴当时，年租金最大，的最大值为1.47亿元 当时， ∴（元） 所以老张这一年应交的租金为2436元 【点睛】本题考查一次函数实际应用，二次函数的应用．能够从大量文字中提取出解题所需要的条件，并能够列出符合题意的表达式，利用配方法将二次函数一般式配成顶点式，从而求出最值是解题的关键． 【变式11-2】某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图1，当时可近似用函数刻画；当时可近似用函数刻画． (1)求h的值； (2)按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p满足函数关系如表： 生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35 提前上市的天数m（天） 0 5 10 15 ①请运用已学的知识，求m关于p的函数解析式； ②请用含t的代数式表示m． (3)天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度，在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市（一次售完），销售额可增加800元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t（℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润．（农作物上市后大棚暂停使用） 【答案】(1) (2)①；② (3)提前上市20天时增加的利润最大，最大值为19000元 【分析】（1）将代入，即可求得的值； （2）①分析表格中的数据，可知是的一次函数，利用待定系数法进行求解；②将是的函数，是的函数，只需将后者代入前者，即可得到与的函数关系； （3）先用待定系数法求出与的函数关系式，由此可写出增加的利润与的函数关系式，分析其最大值，并计算此时的值． (1) 解：将代入， 得， 解得或， ∵， ∴； (2) 解：①由表格可知，m是p的一次函数，设， 则，解得 ∴； ②当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上， (3) 解：①当时，设， 将点，代入上式， 得，解得， ． ∴增加的利润为：， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，增加的利润最大，最大值为元； ②当时，， 增加的利润为． ∴当时，增加的利润最大，最大值为19000元，此时，． 综上，提前上市20天时增加的利润最大，最大值为19000元． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，解题的关键是理清题目中各变量之间的关系，从而建立等量关系，求出函数表达式，再结合题意进行分析． 【变式11-3】如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标； (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由； (3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)；点B的坐标为 (2)该运动员此次跳水失误了，见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求出抛物线解析式，令得出点B的坐标为； （2）当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为，将代入解析式得，根据，确定该运动员此次跳水失误了； （3）根据题意得到点E，M，N ，当抛物线过点M时，，分情况求出值，进而根据点D在之间得出． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由最高点即顶点坐标为可知， 将原点代入求得， ∴抛物线的解析式为， 令得，解得（舍），， ∴点B的坐标为； （2）解：当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为， 将代入解析式得， ， ∴该运动员此次跳水失误了； （3）解：． ∵，点E的坐标为， ∴点M，N的坐标分别为， ∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为， ∴当抛物线过点M时，， 把代入，得； 同理，当抛物线过点时，， 由点D在之间得． 【点睛】本题考查二次函数实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图像与性质、根据计算做决策及求参数范围等，读懂题意，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键． 【压轴二】实物抽象出二次函数模型 完成建模得到函数解析式后，首先要结合实际问题中变量的实际意义，确定自变量的允许取值范围——这是应用类二次函数问题区别于纯代数类二次函数问题的关键环节，能够避免得到脱离实际场景的错误结果。若需要结合图象直观分析函数的变化趋势，可在自变量的取值范围内，合理选取若干组自变量与对应函数值制成表格，再依次完成描点、连线，就能得到对应二次函数在实际问题中的图象，进而可以直观观察函数随自变量变化的增减规律，方便后续求解实际问题要求的最值、最优方案等内容。 【典例12】如图1所示，装置是王老师设计的用来画二次函数图像的工具．直角三角板可以在直板L上滑动，其中，在边处，存在像拉链一样可以展开的细线，一端固定在定点A处．点P处为拉链展开处，且随着三角板的移动，开始时，点D，A，B在同一直线上，点P为中点．点P处的铅笔头可以画出点P移动的轨迹．在画轨迹时，需保持细线拉直，如图2． (1)根据题意得，与的关系为：___________； (2)若已知点A到直板L的距离为，以其中点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，设点； ①用x，y表示出和的长； ②若长，那么三角板向右滑动的最大距离是多少？ 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）根据题意可得点在的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质可得答案； （2）①根据点A到直板L的距离为，以其中点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，设点，则可得点，，进而得出答案； ②根据，从而得出点的纵坐标最大为，根据题意得出抛物线解析式，进而得出点横坐标的最大距离． 【详解】（1）解：根据题意点在的垂直平分线上， ∴， 故答案为：； （2）①∵点A到直板L的距离为，以其中点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，设点， ∴，， ∴，； ②由（1）得，即， ∴， 整理得， ∵， ∴得最大值为， ∴点的纵坐标最大为， ∴， 解得：， ∴此时点的横坐标为， ∴三角板向右滑动的最大距离为． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，垂直平分线的性质，读懂题意，清楚理解题目中所给的信息是解本题的关键． 【变式12-1】康康发现超市里有一种长方体包装的果冻礼盒，四个果冻连续放置（如图2）．每个果冻高为6cm，底面直径为4cm，其轴截面的轮廓可近似地看作一段抛物线，如图1所示． (1)在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出左侧第一条抛物线的函数表达式． (2)为了节省包装成本，康康设计了一种新的包装方案：将相邻的果冻上下颠倒放置（相邻果冻紧贴于一点，但果冻之间无挤压），如图3所示． ①康康发现相邻两条紧贴于一点的抛物线成中心对称．请在你建立的坐标系中，求左侧两条抛物线的对称中心的坐标． ②按照康康的方案，包装盒的长度节省了多少厘米？ 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，得到，设抛物线的解析式为，将点A，B，C坐标代入求解即可； （2）①根据左侧两条抛物线成中心对称，得到对称中心的纵坐标为3，将代入，求出x值即可得到对称中心的坐标；②计算出原包装盒的长度，及相邻两个果冻对称轴之间的距离，即可得到康康的方案中包装盒的长度，由此得到节省的长度． 【详解】（1）解：建立如图所示的直角坐标系， 由题意得， ∴， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴左侧第一条抛物线的函数表达式为． （2）①∵左侧两条抛物线成中心对称， ∴对称中心的纵坐标为3， 当时，， 解得或（舍去）， ∴对称中心的坐标为； ②原包装盒的长度为， ∵， ∴康康的方案中包装盒的长度为， ∴节省了． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意建立函数关系模型是解题的关键． 【变式12-2】如图1所示是某家具厂的抛物线木板余料，其最大高度为9，最大宽度为12，现计划将此余料进行切割： (1)结合图形，在图1上建立适当的坐标系，求出抛物线对应的函数表达式； (2)工人师傅现需要一块边长为7的正方形木板，为了切割方便，要求一边在底部边缘上，这块余料能否满足工人的需求？如果能，请说出切割方案，如果不能，请说明理由； (3)若切割成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长； (4)若切割成宽为2的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长，请在图3上画出切割方案，直接写出拼接后的矩形的长边长（结果保留根号）． 注意：思考中可能会用到的数据，， 【答案】(1)坐标系见解析， (2)不能满足，理由见解析 (3)26 (4)． 【分析】（1）以所在的直线为x轴，以线段的中点O为原点建立如图1所示的平面直角坐标系，再利用待定系数法即可求解；（2）若按题目要求切割边长为7的正方形，一边在底部边缘上，为使边长最长，按如图2所示切割，则，求出时的纵坐标即可求解；（3）如图3所示矩形，设，则，再用含有t的表达式表示出矩形的周长，从而构造新的函数即可求解（4）分别令，再求出所有解，将所有解的绝对值相加即可． 【详解】（1）以所在的直线为x轴，以线段的中点O为原点建立如图1所示的平面直角坐标系，由图象可知，， 所以设抛物线的表达式为，把代入，可得，所以抛物线所表示的二次函数的表达式为 （2） 不能满足工人的需求，若按题目要求切割边长为7的正方形，一边在底部边缘上，为使边长最长，按如图2所示切割，当时，，所以不能满足． （3） 如图3所示矩形，设，则 将代入二次函数解析式，得，则， 矩形的周长为：， 当时，矩形的周长最大，最大周长为26； （4） 切割方案如图4所示，拼接后的矩形的长边长为． 当时， 即． 解得 当时，解得 当时，解得 当时，解得 ∴拼接后的矩形的长边长为． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用及待定系数法等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 【变式12-3】根据以下素材，探索完成任务． 如何给桥护栏挂小彩灯 素材1 图1是桥的护栏实物图，护栏长200米，高1.6米，图2是桥护栏示意图，为了使彩灯挂起来整齐美观，设计小组首先制作了外缘呈抛物线型模板，然后用该模板在图纸上绘制抛物线图案，彩灯沿抛物线摆放 素材2 方案一：护栏中间正好可以摆5具模板，绘制5条抛物线图案连成一条波浪线，每条抛物线的顶点落在护栏的上下边方案二：将模板一部分放入护栏，绘制若干条抛物线图案，靠上下两边连成两条波浪线，每条抛物线的高度都相等，相对两条抛物线的顶点之间的距离h为0.7米． 方案三：将方案一和方案二中的抛物线图案各若干条，沿护栏下边摆放，大的图案摆在中间，小的图案摆两边，连成一条波浪线，且整个小彩灯图案呈轴对称图形，每条抛物线图案保持完整，两边能摆尽摆，可以有空余 任务 问题解决 一 确定抛物线形状 求出模板抛物线的函数解析式 二 确定方案二中一条抛物线图案的宽度和摆放方案 求出其中一条抛物线图案的宽度．每边这样的图案最多可以摆放几个？ 三 设计方案三摆放方案 确定大小抛物线图案各需多少个，并给出摆放方案 【答案】任务一：；任务二：，这样的抛物线图案每边最多可以摆放6个；任务三：方案1：较大的抛物线段1条，较小抛物线4条；方案2：较大的抛物线段2条，较小抛物线4条；方案3：较大的抛物线段3条，较小抛物线2条 【分析】任务一：用待定系数法求解即可； 任务二：先求出点D的纵坐标，代入解析式求出点C和点D的横坐标，求出开口宽度，然后可求出每边这样的图案最多可以摆放几个； 任务三：设较大的抛物线段m条，较小抛物线n条，可得（m，n为正整数，且），然后讨论即可． 【详解】任务一：由题意得：，点B坐标为， 设抛物线解析式为，将点代入解析式得： 解得， ∴抛物线解析式为 任务二：时，点D的纵坐标为：， 当时，代入，得 解得，， ∴， ∴这样的抛物线图案每边最多可以摆放6个． 任务三：设较大的抛物线段m条，较小抛物线n条， 由以上条件可知：，． （m，n为正整数，且）， ①，，（不能对称摆放，舍去） ②，（中间摆1个较大的，左右各摆2个较小的，两边各余20米，符合题意） ③，（中间摆2个较大的，左右各摆2个较小的，两边没有空余，符合题意） ④，（中间摆3个较大的，左右各摆1个较小的，两边各余10米，符合题意） ⑤，（不能对称摆放，舍去） 综上可知，方案1：较大的抛物线段1条，较小抛物线4条；方案2：较大的抛物线段2条，较小抛物线4条；方案3：较大的抛物线段3条，较小抛物线2条； 【点睛】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高与水平的距离之间的函数关系式为，则该运动员的成绩是(       ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】铅球落地才能计算成绩，此时，即，解方程即可．在实际问题中，注意负值舍去． 【详解】解：由题意可知，把代入解析式得：， 解方程得，（舍去）， 即该运动员的成绩是10米． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是搞清楚运动员成绩是铅球落地即时x的值，此题为数学建模题，常借助二次函数解决实际问题． 2．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ） A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m 【答案】C 【详解】解：根据题意，把y=﹣4直接代入解析式y=﹣x2 解得x=±10， 所以A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4）， 即可得水面宽度AB为20m． 故选C. 【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用． 3.飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来．（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当s取最大值时，飞机停下来，求函数最大值时的自变量即可． 【详解】∵当s取最大值时，飞机停下来， ∴t= =20， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数应用-飞机着陆问题，熟练把问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键． 4.商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（元为正整数），每星期销售的利润为元，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出销售量与x的关系，再根据利润（售价进价）销售量列出y关于x的关系即可得到答案． 【详解】解：设每件商品的售价上涨x元，则销售量为件， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键． 5.如图①，在中，，，点是边上一动点，过点作，交边（或）于点．设，的面积为，如图②是与的函数关系的大致图像，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定与的函数关系式，判断的面积与的关系，分类讨论：点在上时，点在上时，点在点上时，由此即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴的面积为， 当时，，则（舍去），， ∴当时，， 当点从点到点时，的面积，随的增大而增大； 当点从点到点时，如图所示， ∵，， ∴，， ∴， 的面积，此时随的增大而减小， ∴当点到点处，的面积最大，且，如图所示， ∴在中，，，， ∴，， 故选：． 【点睛】本题主要考查三角形与动点问题，理解动点运动图像的变换，结合面积图像的最大值是解题的关键． 二 填空题 6.向空中发射一枚信号弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为．若此信号弹在第8秒与第14秒时的高度相等，则在 秒时信号弹所在高度最高的． 【答案】11 【分析】求出抛物线的对称轴，即可得炮弹位置达到最高时的值． 【详解】解：∵此炮弹在第8秒与第14秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴炮弹位置达到最高时，时间是第11秒． 故答案为：11． 【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 7.一辆汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶的时间t(单位：s)的函数解析式是，则汽车刹车后最远可以行驶_______m． 【答案】 【分析】把二次函数化成顶点式，求最值即可． 【详解】解：， 汽车刹车后到停下来前进了， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了求二次函数的最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键 8.超市销售的某商品进价10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝－5x＋150，该商品售价定为____元/件时，每天销售该商品获利最大． 【答案】20 【分析】根据利润=单件利润×销售量可得W=（x-10）（-5x+150），再根据二次函数的性质，用配方法算出售价即可； 【详解】设获利W元，则W=（x-10）·y ∴W=（x-10）（-5x+150） =-5x2+200x-1500 当x===20时，W的值最大 ∴当x=20时，每天销售该商品获利最大． 故答案为：20． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．熟练掌握配方法和二次函数的性质是解决本题的关键． 9.如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是 m． 【答案】10 【分析】由图可知，要求OA的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0，将y=0代入函数的解析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可． 【详解】将y=0代入； 整理得： （x-10）（x+2）=0 解得：x=10或x=-2（舍去） ∴铅球推出的水平距离OA的长是10m． 故答案为：10 【点睛】本题主要考查了二次函数得实际应用，熟练地掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 10.某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）．    【答案】121 【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值． 【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得： ， 解得， ∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为， 设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元， ， ∵1<0， ∴当时，w有最大值为121， 故答案为：121． 【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键． 三解答题 11.如图，一块草地是长、宽的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为的小路，这时草坪面积为．求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】． 【分析】可以把两条互相垂直的小路平移到矩形两边上，这样便于表达草坪的长（80-x）m，宽（60-x）m，列出函数关系式． 【详解】由题意得： ， ． 所以函数关系式为： ． 【点睛】考查二次函数的应用，在列关系式时，将不规则的图象转化为规则图形是解题的关键. 12如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 与水平距离之间的关系是：． (1)求当铅球落地时推出有多远？ (2)铅球行进高度能否达到？为什么？ 【答案】(1) (2)铅球行进高度不能达到，最高能达到 【分析】（1）求出抛物线与x轴的交点横坐标即可得到答案； （2）把抛物线的解析式化为顶点式，求出函数最大值即可做出判断． 【详解】（1）解：当 时，， 解得 ，（不合题意，舍去）， 答：当铅球落地时推出有． （2）， 当时， 有最大值 ． 铅球行进高度不能达到，最高能达到 ． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象与x轴的交点和顶点式是解题的关键． 13.卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离对方球门30米处的点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米．如图所示，以球员甲所在位置点为原点，球员甲与对方球门所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求满足条件的抛物线的函数表达式； (2)如果葡萄牙球员罗站在球员甲前3米处，罗跳起后最高能达到米，那么罗能否在空中截住这次吊射？ 【答案】(1) (2)能 【分析】（1）根据题意得出二次函数的顶点坐标，进而求出二次函数解析式； （2）将代入函数表达式，与相比较即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，足球距离点米时，足球达到最大高度8米， 设抛物线解析式为：， 把代入解析式得：， 解得：， 故抛物线解析式为：； （2）当时，， 故罗能在空中截住这次吊射． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题关键． 14.直播作为一种新的营销方式，已经被越来越多的人所接受．近年以来，许多特色农产品随着直播漫步“云端”，被销售到全国各地．某农户在直播间销售一种成本为10元/的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系，设销售这种商品每天的利润为W（元）． (1)求W与x之间的函数关系式； (2)若销售单价不低于15元/，且每天至少销售时，求W的最大值． 【答案】(1) (2)2500元 【分析】（1）先求出当时，当时，y与x的函数关系式，再根据销售每件的利润乘以每天销售量等于每天的总利润，直接列式即可作答； （2）根据（1）W与x之间的函数关系式，结合一次函数的性质，二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 此时； 当时，设y与x的函数关系式为， ∵点，在该函数图像上， ∴，解得， ∴y与x的关系式为， 此时； ∴W与x的关系式为； （2）解：由题可知， ∴． ①当，， 此时W随x的增大而增大， ∴当时，； ②当，； ∵，对称轴为直线， ∴当时，W随x的增大而增大． ∴当时，（元）； ∵， 答：W的最大值是2500元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用，根据已知的等量关系列出相应的函数关系式是解答本题的关键． 15如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表： x（米） 0 2 4 6 8 y（米） 4.0 5.5 6.0 5.5 4.0 (1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式； (2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图像． (3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？ 【答案】(1)6，． (2)见解析 (3)隧道需标注的限高应为4.5米 【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意，以点A为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标，画出函数图像即可； （3）令，求得相应的y值，结合到隧道顶面的距离不小于0.35米,可得汽车最高点距地面的距离即可解答． 【详解】（1）解：根据二次函数的对称性可知，当时，y有最大值6， 设 ∵D的坐标为 ∴，解得 ∴． 故答案为：6，． （2）解：根据题意，以点A为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标,画出图像如图所示： （3）解：令，可得 隧道需标注的限高应为（米）． 答：隧道需标注的限高应为4.5米． 【点睛】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数量关系、求得函数解析式是解题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题26.4实际问题与二次函数》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 投球问题 模块8 几何图形问题 模块2 拱桥问题 微专题1表格问题 模块3 二次函数应用中增长率问题 微专题2二次函数应用中动点问题 模块4 喷水问题 压轴1 新情境问题 模块5 隧道问题 压轴2 实物抽象出二次函数模型 模块6跳跃问题 通关检测·实战演练 模块7销售问题 知识梳理 · 基础溯源 知识点 利用二次函数解决实际问题 1.一般步骤 (1)审题意;(2)设未知量;(3)列关系式;(4)解答实际问题;(5)验证结果是否符合实际. 2.求二次函数最值 将解析式写成y=a(x-h)"+k(a≠0的形式，当x=h时，有最大(小)值k;若对二次函数 y=ax2+bx+c使用配方法，则当x= 一时，y有最大(小)值 3.实际问题与二次函数的联系转化 模块通关·举一反 三 【模块一】投球问题 .这类问题将投出物体的飞行轨迹近似建模为开口向下的二次函数抛物线，解决问题时通常先根据题目条件建立合适的平面直角坐标系，一般以出手点在水平地面的投影或出手点本身为坐标原点，再结合题目给出的出手高度、最大高度、落地点水平距离等条件，提取出已知点的坐标，选择合适形式设出二次函数解析式，代入求解得到具体解析式后，就可以进一步计算出题目要求的投掷最大距离、飞行最大高度，也可以判断投出的物体能否落入指定区域、能否越过某一位置的障碍物，是二次函数建模思想解决实际运动问题的典型应用。 【典例1】下列问题中，变量y与x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　） A．圆的面积y与圆的半径x B．汽车匀速行驶时，行驶的距离y与行驶的时间x C．小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度y与篮球离开手的时间x D．三角形面积一定时，它的底边长y与底边上的高x 【变式1-1】如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）之间具有函数关系，则小球飞行的最大高度为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，小强在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮筐底的距离是（    ） A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m 【模块二】拱桥问题 .这类问题将拱桥的桥拱轮廓近似建模为开口向下的二次函数抛物线，解决问题时通常会根据题目给出的桥拱跨度、拱顶高度等信息选择合适的平面直角坐标系，最常用的是以桥拱与水平面（水面）的两个交点连线的中点为坐标原点，水平面为x轴建立坐标系，此时二次函数的顶点在y轴正半轴，解析式形式较为简洁，也有部分题目会以桥拱的左端点或顶点为原点建立坐标系。解题时我们只需要从题干中提取出桥拱跨度、拱高、指定位置的相关数据，转化为已知点的坐标，设出对应形式的二次函数解析式，代入求出具体解析式后，就可以进一步求解任意位置处的桥拱高度、特定高度对应的桥宽，也能判断吃水深度、船顶高度符合要求的船只能否顺利通过桥洞，是二次函数建模思想解决实际建筑工程问题的典型应用。 【典例2】某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为40米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为5米的景观灯杆的高度为（    ） A．13米 B．14米 C．15米 D．16米 【变式2-1】如图所示，是一座抛物线型的拱桥，当桥下水面宽度是时，拱顶到水面的距离是，当水面下降后，水面的宽度是(    )m． A．6 B． C． D． 【变式2-2】如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　） A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m 【变式2-3】如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为，请根据所给的数据，则支柱的长度为（   ） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【模块三】二次函数应用中增长率问题 二次函数应用中增长率问题，核心是将实际的增长变化关系转化为二次函数模型进行分析求解。通常情况下，设初始基数为a，平均每期增长率为x，经过两期增长后，总的总量y满足关系y = a(1+x)2，将该式展开整理后即可得到y关于x的二次函数解析式，从而将实际增长率问题转化为二次函数的求值、解方程问题，我们就可以借助二次函数的相关性质，完成对增长率、目标总量等实际量的求解，这类模型也常应用于产值增长、人口增长、销量增长等实际场景的问题分析中。 【典例3】为解决药价虚高给老百姓带来的求医难问题，国家决定对某药品分两次降价，若设平均每次降价的百分率为，该药品的原价是元，降价后的价格是元，则与的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车辆，若第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么与的函数关系是 （    ） A． B． C． D． 【变式3-2】某种产品今年的年产量是20t，计划今后两年增加产量．如果每年的产量都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量y与x之间的函数表达式是________________． 【变式3-3】为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 【模块四】喷水问题 和桥拱问题类似，喷水问题是典型的抛物线型实际应用问题，遵循清晰的解题步骤： 1. 设定坐标系：结合这类问题的条件特征，最常用的设定是选择喷水管与地面的交点作为坐标原点，地面所在水平线为x轴，竖直向上为y轴正方向；若题目已经明确给出喷口高度，也可直接将喷口位置设为原点，能简化后续设解析式的过程，有效减少计算量。 2. 整理坐标：根据题目给出的喷水射程、最大喷水高度、喷口距地面高度等已知数据，提取出关键已知点的坐标——比如喷口坐标、抛物线顶点坐标、水流落回地面的交点坐标，整理得到清晰的点坐标表格。 3. 描点：即按照整理好的坐标，在平面直角坐标系中逐一点出各点的位置，注意把握各点相对位置的大小关系，避免点错位置影响后续连线和解析式求解。 4. 连线：用平滑的曲线按照x从小到大的顺序连接所有描出的点，因为只有从喷口到落地点的部分是实际存在的水流，因此只需要连接这一段曲线，就能得到近似的水流抛物线轮廓。 5. 求解析式：根据设定的坐标系和已知条件选择对应形式的二次函数解析式，若已知顶点坐标，优先选择顶点式来简化计算，再代入已知点坐标求出未知系数，最终得到完整的水流抛物线函数解析式。 6. 解决实际问题：根据题目具体要求，代入特定位置的横坐标计算对应位置的水流高度，或是代入给定高度计算对应的水平位置，进而解决计算某位置水流高度、判断喷水能否越过障碍物、调整喷水参数满足设计要求等各类问题。 【典例4】如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是（    ） A．20米 B．18米 C．10米 D．8米 【变式4-1】要修建一个圆形水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离地中心． (1)求抛物线解析式； (2)水管应多长 【变式4-2】洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部下压如图位置时，洗手液从喷口流出，路线近似呈抛物线状，且喷口为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且、、三点共线．在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，不去接则洗手液落在台面的位置距的水平面是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高高度为．水柱落地处离池中心的水平距离为．小刚以柱形喷水装置与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，柱形喷水装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．水柱喷出的高度y()与水平距离x()之间的函数关系如图． (1)求表示该抛物线的函数表达式： (2)若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度． 【模块五】隧道问题 隧道问题是二次函数在交通工程场景中的典型应用，解题思路和这类实际应用问题的常规流程一致： 第一步，结合隧道横截面的对称特征建立合适的平面直角坐标系，通常将抛物线形隧道拱顶的顶点放在y轴上，隧道底部中点放在坐标原点，以此简化后续计算。 第二步，根据题目给出的隧道尺寸条件，提取出顶点、底部端点等关键点的坐标，结合坐标系位置选择顶点式设出二次函数解析式，代入已知点的坐标求出未知系数，就能得到隧道横截面抛物线的函数解析式。第三步，根据题目要求求解具体问题：如果是判断给定尺寸的车辆能否安全通过，只需根据车辆宽度找到对应位置的隧道净高，和车辆高度加上要求的安全间隙做比较，若隧道净高更大则可安全通过，反之则不能；如果是求解满足通行要求的最大车辆宽度，则将车辆高度加上安全间隙的数值代入解析式，求出两个对应横坐标，二者的差就是允许通行的最大车辆宽度。 【典例5】一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB＝8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道． 【变式5-1】如图所示，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道， OM宽度为16米，其顶点P到OM的距离为8米 请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式； 隧道下的公路是双向行车道正中间是一条宽1米的隔离带，其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的特种车辆？请通过计算说明. 【变式5-2】现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 【变式5-3】按要求解答 (1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？ (2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度米，人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高米．建立如图所示的直角坐标系． ①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示） ②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米． ③已知人行道台阶高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？说明理由． + 【模块六】跳跃问题 这类问题一般以运动员跳远、撑杆跳、跳水等运动为命题背景，将人体或运动器械的跳跃轨迹近似看作抛物线，借助二次函数性质求解相关实际问题。解题的基本流程与抛物线形隧道问题类似：首先根据场景特征建立平面直角坐标系，通常将起跳点设置在坐标原点，水平向前方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向；接着从题目条件中提取起跳点、最高点、落地点等已知位置的坐标，选择合适形式设出二次函数解析式，代入已知点坐标求解得到解析式的所有待定系数；最后根据题目问题类型对应计算即可：若要求最大跳跃高度，直接取顶点纵坐标即可；若要求跳跃的总水平距离，只需计算抛物线与x轴正方向交点的横坐标即可；若要求判断跳跃过程能否越过指定高度的障碍物，则将障碍物对应的水平横坐标代入解析式得到对应位置的轨迹高度，与障碍物高度比较即可得到结论。 【典例6】北京冬奥会跳台滑雪项目比赛其标准台高度是90m．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（   ） A．10m B．15m C．20m D．22.5m 【变式6-1】一个跳水运动员从10m高台上跳水，他每一时刻所在高度（单位：m）与所用时间（单位：s）的关系是：h＝﹣5（t﹣2）（t+1），则运动员起跳到入水所用的时间是（　　） A．﹣5s B．2s C．﹣1s D．1s 【变式6-2】某同学在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和拋物线相吻合，那么他能跳过的最大高度为______． 【变式6-3】如图所示，一名跳远运动员在助跑后以与地面夹角方向起跳后，其运行的路径近似可以用抛物线来表示，那么该运动员能够跳出的距离约是______米． 【模块七】销售问题 这类问题的解题思路同样遵循先建模后求解的流程：首先明确问题中的核心变量，通常设价格调整量或者实际单价为自变量x，总利润或者总销售额为因变量y，接下来根据销售问题的基本数量关系梳理各量：单件利润=实际售价-单件成本，总利润=单件利润×销售量，再结合题目给出的价格变动对销售量的影响规律（例如每涨价1元，销售量减少n件，每降价1元，销售量增加m件这类条件），整理得到y关于x的二次函数解析式。 求解时根据问题类型对应处理即可：若题目要求最大利润，先确定自变量x的实际取值范围（销售量、售价都不能为负），再根据二次函数的开口方向和顶点位置求最值，需要注意顶点横坐标若不在自变量取值范围内，要结合函数在有效区间内的单调性确定最值；若要求获得指定利润时的定价，只需令总利润等于目标利润，得到一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的根，再整理得到对应定价即可；若要求利润不低于某个标准时的定价范围，结合二次函数与一元二次不等式的关系得到解集，再结合自变量的实际限制整理得到最终结论。 【典例7】商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（元为正整数），每星期销售的利润为元，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】2022年北京冬奥会的冰墩墩受广大群众的喜爱，某超市销售冰墩墩饰品，每件成本为40元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本．为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少元？（    ） A．80元，1800元 B．70元，2000元 C．70元，1800元 D．80元，2000元 【变式7-2】某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第月至第月，这种水果每千克售价（元）与销售时间第月之间存在如图（一条线段）所示的变化趋势，每千克成本（元）与销售时间第月之间存在如图（一段抛物线）所示的变化趋势． (1)分别求函数和的表达式； (2)销售这种水果，第几月每千克所获得利润最大？最大利润是多少？ 【变式7-3】某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为元/件，售价为元/件，下面是他们在活动结束后的对话： 小丽：我发现此商品如果按元/件销售，每星期可卖出件． 小强：我发现在售价元/件的基础上调整价格，每涨价元，每星期比小丽所调查的销售量件要少卖出件． 小红：我发现在售价元/件的基础上调整价格，每降价元，每星期比小丽所调查的销售量件要多卖出件． (1)若设每件涨价元，则每星期实际可卖出__________件，每星期售出商品的利润（元）与的关系式为__________，的取值范围是__________． (2)若设每件降价元，则每星期售出商品的利润（元）与的关系式为__________． (3)在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？ 【模块八】几何图形问题 这类问题一般围绕图形面积最值、动线段长度最值、图形形状满足特定要求时的参数取值展开，解题的核心是数形结合：首先要根据图形的几何性质，把待研究的目标量、相关线段都用含自变量的代数式表示，再根据面积公式、勾股定理、相似三角形的比例关系等几何定理，建立目标量关于自变量的二次函数解析式。 需要特别注意的是，自变量的取值范围必须符合图形的实际限制，所有涉及的线段长度都不能为负，要先确定自变量的有效取值范围，再结合题目要求求解：若要求最值，同样需要判断顶点横坐标是否落在有效区间内，再结合开口方向确定结果；若要求图形满足特定条件，如面积不小于某个定值、动点满足特殊位置要求，则转化为对应一元二次方程或不等式求解，最终结合取值范围筛选出符合要求的结果。 【典例8】如图，晓波家的院墙一边靠墙处，用米长的铁栅栏围成了三个相连的养殖小院子，总面积为平方米，为方便喂养这些不同类的动物，在各个养殖院子之间留出了米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门．若设米，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃，如图所示．设的长为，矩形的面积为，则与之间的函数关系式为______． 【变式8-2】如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形养鸡场，设养鸡场的宽为，长为，面积为． (1)求y与x的函数关系，并写出x的取值范围； (2)当长方形的长、宽各为多少时，养鸡场的面积最大，最大面积是多少？ 【变式8-3】用米长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形． 垂直于墙的一边比另一边少 长方形的面积 ____ ____ ____ ____ ____ (1)当垂直于墙的一边比另一边少米时，求长方形的面积． (2)按上表中列出的数据要求，填写表格．观察表格，你感到长方形的面积会不会有最大的情况？如果会，可能是多少？ 专题攻坚·多题归一 【微专题一】表格问题 这类问题通常以销售利润、抛体运动、图形变化等实际场景为命题背景，要求我们从给定表格中提取有效信息，完成二次函数解析式的求解与后续应用。解题时首先要结合表格给出的数据确定点的坐标，再根据已知条件选择合适的解析式形式：若表格给出顶点坐标或对称轴信息，则优先选择顶点式代入求解；若仅给出多个普通点坐标，则选择一般式，将对应坐标代入列方程组求解系数。 (3)连线: 按照横坐标由小到大的顺序，用平滑的曲线将描出的各点依次连接，即可得到二次函数的大致图像。 【典例9】某公司推出一款手机，每部手机的成本价为2500元，经试销发现，这款手机的日销售量（部）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，与的几组对应值如下表： 销售单价元 2700 2900 3200 3300 日销售量部 80 60 30 (1)求关于的函数解析式（不要求写出的取值范围）． (2)请根据以上信息填空： ①表格中，______； ②当______时，日销售利润（元）最大，最大利润是______元． 注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价） (3)该公司决定从每天的销售利润中捐赠1000元给希望工程，为了保证捐赠后每天剩余的利润不低于20000元，求的取值范围． 【变式9-1】足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：）与足球被踢出后经过的时间t（单位：）之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7 …… h 0 8 14 18 20 20 18 14 …… 下列结论：①足球距离地面的最大高度为；②足球飞行路线的对称轴是直线；③足球被踢出时落地；④足球被踢出时，距离地面的高度是，其中正确的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-2】单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，中国18岁小将苏翊鸣获得冠军．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． 这是苏翊鸣参赛前进行的一次训练． (1)训练时，苏翊鸣的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 2 5 8 11 14 竖直高度 根据上述数据，直接写出苏翊鸣竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)训练时，苏翊鸣的着陆点的竖直高度为7米，求着陆点的水平距离为多少？ 【变式9-3】青岛市是远近闻名的“中国蛤蜊之乡”，每年6至8月，总会吸引大批游客前来品尝，当地某商家为回馈顾客，两周内将标价为20元/千克的蛤蜊经过两次降价后变为16.2元/千克，并且两次降价的百分率相同． (1)求蛤蜊每次降价的百分率． (2)从第一次降价的第1天算起，第x天蛤蜊（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示： 时间x/天 售价/（元/千克） 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格 销量/千克 储存和损耗费用/元 已知蛤蜊的进价为元/千克，设销售蛤蜊第x（天）的利润为y（元） ①求y与x之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大？ ②问这14天中，哪几天的销售利润不低于930元？请说明理由． 【微专题二】 二次函数应用中动点问题 核心在于抓住“动中寻静”的思路： 第一步先根据题意建立合适的平面直角坐标系，推导出固定边、固定图形的函数解析式； 第二步用含参数的代数式表示出动点坐标与相关线段长，将动态的位置关系、数量关系转化为关于参数的二次函数关系； 第三步结合二次函数的最值、增减性，以及参数的实际取值范围，即可推导出符合要求的结论，清晰判断题目条件能否满足。 【典例10】如图，在中，，，．动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合），同时动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合）．当四边形的面积最小时，经过的时间为（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过 秒钟，使△PBQ的面积最大． 【变式10-2】正方形ABCD中，AB=4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP=PF，则△APF的面积最大值为(     ) A．8 B．6 C．4 D． 【变式10-3】如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则面积的最小值为 ． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】新情境问题 通常以当下生产生活、科技发展中的真实场景为命题载体，比如新能源产能规划、体育器材参数设计、生态固碳效益测算等，这类问题不会直接点明考查二次函数知识，要求我们先从繁杂的题干材料中提取有效信息，剥离无关背景描述，抽象出不同变量之间的对应关系，进而建立合适的二次函数模型，再结合问题指向求解最值、最优方案或者参数取值。 这类问题的核心难点在于建模环节，部分题目会结合图表给出零散数据，需要我们先根据数据特征判断变量关系为二次型，再选择合适的方法求出解析式，最后还要结合实际情境确定自变量的取值范围，结合二次函数的单调性、最值性质得到符合实际要求的最终结果，是近年中考对二次函数应用考查的热门命题方向。 【典例11】．小李经营一个社区快递网点，负责周边快件收发，由于疫情原因，到2020年2月12 日网点才可以复工，而该网点的另外两名员工因为办理复工手续，将分别在2月15日和2月26日返岗，工作据大数据显示，预计从复工之日开始，每日到达该网点的快件数量(件)与第天(2月12日为第天)满足：．已知一位快递员日均派送快件量为件，通过加班最高可派送件． 前三天小李派送的快件总量为_ 件； 以最高派送量派送快件还有剩余时，则当天剩余快件留到第二天优先派送， ①到第十天结束时，滞留的快件共有 件； 到第十四天结束时，滞留的快件共有__件； ②2月18日后快递激增爆仓，小李和员工每天加班派送，根据现有快递数量的变化趋势，从2月19日开始计算，小李至少要加班几天才可以不用加班派送．(即小李不加班派送的情况下，快递点没有滞留件) 到了3月5日，全国疫情稳定，预计每日到达网点的快件数量将按新趋势变化，“女神节”期间(3月6日-9日)日均快件量为件，3月10日起日均快件量稳定在件．此时小李接到快递总公司新规定：从3月10日开始，到达的快件必须当天派送完毕，否则将扣除滞留快件滞留费元/件天(之前滞留的快件从3月10日0时开始收取滞留费)为此，小李想到从市场招聘____名临时工帮助派送快递，若临时工基本工资元/天，外加派送费元/件临时工一天最多可派送快件件，为了将支出降到最低，小李应该聘请临时工几天，派送快件共多少件？此时最低支出多少元钱？直接写出你的答案． 【变式11-1】某市计划在十二年内通过租房建设，解决低收入人群的住房问题，已知前7年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x（第x年）的关系构成一次函数（1≤x≤7且x为整数），且第一和第三年竣工投入使用的公租房面积分别为和百万平方米；后五年竣工面积与时间的关系是y＝x+（7＜x≤12且x为整数）． （1）已知第六年竣工使用的公租房面积可解决20万人的住房问题，如果人均住房面积最后一年比第六年提高20%，那么最后一年竣工投入使用的公租房面积可解决多少万人的住房问题？ （2）受物价上涨的影响，已知这12年中，每年投入使用的租金与时间的函数解析式为m＝2x+36．假设每年的公租房当年全部出租完，写出这12年中每年竣工的公租房年租金W关于时间x的函数解折式，并求出W的最大值（单位：亿元）．如果在W取得最大值的这一年，老张租用了58平方米的房子，计算老张这一年应交的租金为多少？ 【变式11-2】某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图1，当时可近似用函数刻画；当时可近似用函数刻画． (1)求h的值； (2)按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p满足函数关系如表： 生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35 提前上市的天数m（天） 0 5 10 15 ①请运用已学的知识，求m关于p的函数解析式； ②请用含t的代数式表示m． (3)天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度，在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市（一次售完），销售额可增加800元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t（℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润．（农作物上市后大棚暂停使用） 【变式11-3】如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标； (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由； (3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围． 【压轴二】实物抽象出二次函数模型 完成建模得到函数解析式后，首先要结合实际问题中变量的实际意义，确定自变量的允许取值范围——这是应用类二次函数问题区别于纯代数类二次函数问题的关键环节，能够避免得到脱离实际场景的错误结果。若需要结合图象直观分析函数的变化趋势，可在自变量的取值范围内，合理选取若干组自变量与对应函数值制成表格，再依次完成描点、连线，就能得到对应二次函数在实际问题中的图象，进而可以直观观察函数随自变量变化的增减规律，方便后续求解实际问题要求的最值、最优方案等内容。 【典例12】如图1所示，装置是王老师设计的用来画二次函数图像的工具．直角三角板可以在直板L上滑动，其中，在边处，存在像拉链一样可以展开的细线，一端固定在定点A处．点P处为拉链展开处，且随着三角板的移动，开始时，点D，A，B在同一直线上，点P为中点．点P处的铅笔头可以画出点P移动的轨迹．在画轨迹时，需保持细线拉直，如图2． (1)根据题意得，与的关系为：___________； (2)若已知点A到直板L的距离为，以其中点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，设点； ①用x，y表示出和的长； ②若长，那么三角板向右滑动的最大距离是多少？ 【变式12-1】康康发现超市里有一种长方体包装的果冻礼盒，四个果冻连续放置（如图2）．每个果冻高为6cm，底面直径为4cm，其轴截面的轮廓可近似地看作一段抛物线，如图1所示． (1)在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出左侧第一条抛物线的函数表达式． (2)为了节省包装成本，康康设计了一种新的包装方案：将相邻的果冻上下颠倒放置（相邻果冻紧贴于一点，但果冻之间无挤压），如图3所示． ①康康发现相邻两条紧贴于一点的抛物线成中心对称．请在你建立的坐标系中，求左侧两条抛物线的对称中心的坐标． ②按照康康的方案，包装盒的长度节省了多少厘米？ 【变式12-2】如图1所示是某家具厂的抛物线木板余料，其最大高度为9，最大宽度为12，现计划将此余料进行切割： (1)结合图形，在图1上建立适当的坐标系，求出抛物线对应的函数表达式； (2)工人师傅现需要一块边长为7的正方形木板，为了切割方便，要求一边在底部边缘上，这块余料能否满足工人的需求？如果能，请说出切割方案，如果不能，请说明理由； (3)若切割成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长； (4)若切割成宽为2的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长，请在图3上画出切割方案，直接写出拼接后的矩形的长边长（结果保留根号）． 注意：思考中可能会用到的数据，， 【变式12-3】根据以下素材，探索完成任务． 如何给桥护栏挂小彩灯 素材1 图1是桥的护栏实物图，护栏长200米，高1.6米，图2是桥护栏示意图，为了使彩灯挂起来整齐美观，设计小组首先制作了外缘呈抛物线型模板，然后用该模板在图纸上绘制抛物线图案，彩灯沿抛物线摆放 素材2 方案一：护栏中间正好可以摆5具模板，绘制5条抛物线图案连成一条波浪线，每条抛物线的顶点落在护栏的上下边方案二：将模板一部分放入护栏，绘制若干条抛物线图案，靠上下两边连成两条波浪线，每条抛物线的高度都相等，相对两条抛物线的顶点之间的距离h为0.7米． 方案三：将方案一和方案二中的抛物线图案各若干条，沿护栏下边摆放，大的图案摆在中间，小的图案摆两边，连成一条波浪线，且整个小彩灯图案呈轴对称图形，每条抛物线图案保持完整，两边能摆尽摆，可以有空余 任务 问题解决 一 确定抛物线形状 求出模板抛物线的函数解析式 二 确定方案二中一条抛物线图案的宽度和摆放方案 求出其中一条抛物线图案的宽度．每边这样的图案最多可以摆放几个？ 三 设计方案三摆放方案 确定大小抛物线图案各需多少个，并给出摆放方案 通关检测·实战演练 一 选择题 1.某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高与水平的距离之间的函数关系式为，则该运动员的成绩是(       ) A． B． C． D． 2．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ） A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m 3.飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来．（　　　） A． B． C． D． 4.商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（元为正整数），每星期销售的利润为元，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 5.如图①，在中，，，点是边上一动点，过点作，交边（或）于点．设，的面积为，如图②是与的函数关系的大致图像，则的长为（    ） A． B． C． D． 二 填空题 6.向空中发射一枚信号弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为．若此信号弹在第8秒与第14秒时的高度相等，则在 秒时信号弹所在高度最高的． 【答案】11 【分析】求出抛物线的对称轴，即可得炮弹位置达到最高时的值． 【详解】解：∵此炮弹在第8秒与第14秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴炮弹位置达到最高时，时间是第11秒． 故答案为：11． 【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 7.一辆汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶的时间t(单位：s)的函数解析式是，则汽车刹车后最远可以行驶_______m． 8.超市销售的某商品进价10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝－5x＋150，该商品售价定为____元/件时，每天销售该商品获利最大． 9.如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是 m． 10.某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）．    三解答题 11.如图，一块草地是长、宽的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为的小路，这时草坪面积为．求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 12如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 与水平距离之间的关系是：． (1)求当铅球落地时推出有多远？ (2)铅球行进高度能否达到？为什么？ 13.卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离对方球门30米处的点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米．如图所示，以球员甲所在位置点为原点，球员甲与对方球门所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求满足条件的抛物线的函数表达式； (2)如果葡萄牙球员罗站在球员甲前3米处，罗跳起后最高能达到米，那么罗能否在空中截住这次吊射？ 14.直播作为一种新的营销方式，已经被越来越多的人所接受．近年以来，许多特色农产品随着直播漫步“云端”，被销售到全国各地．某农户在直播间销售一种成本为10元/的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系，设销售这种商品每天的利润为W（元）． (1)求W与x之间的函数关系式； (2)若销售单价不低于15元/，且每天至少销售时，求W的最大值． 15如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表： x（米） 0 2 4 6 8 y（米） 4.0 5.5 6.0 5.5 4.0 (1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式； (2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图像． (3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？ 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $