23.2.2 中心对称图形 配套培优分层练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册

《23.2.2 中心对称图形》配套培优分层练习 人教版九年级数学上册 · 三阶闯关训练（含配图与全解全析） 满分 建议用时 题量 分层结构 难度定位 100分 60分钟 16题 基础 / 进阶 / 挑战 中等偏上（培优） 答题说明 · 本卷按“三阶闯关”设计，第Ⅰ关面向全体，第Ⅱ关面向中等以上，第Ⅲ关面向学有余力的学生； · 凡标注“图”的题目，请对照图形作答，作图题须用直尺规范作图并保留痕迹； · 判断一个图形是否为中心对称图形，必须回到定义：能否绕某一点旋转180°后与自身重合。 第Ⅰ关　概念夯实与基础达标（8题，共40分）一、选择题（每小题4分）1．下列四个图形中，不是中心对称图形的是（　　） 图1 A．线段　　B．平行四边形　　C．正六边形　　D．等边三角形 2．在英文大写字母 M、A、T、H、S、O、X 中，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有（　　） A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 3．如图2，在平面直角坐标系中，点P（-2，3）关于点M（1，1）成中心对称的点P′的坐标是（　　） 图2 A．（4，-1）　　B．（-4，1）　　C．（0，5）　　D．（-1，2） 4．如图3，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线分别交AD于点E、交BC于点F。若AD＝6，AB＝4，OE＝2，则四边形ABFE的周长为（　　） 图3 A．10　　B．12　　C．14　　D．16 5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形　　B．平行四边形　　C．正五边形　　D．菱形 二、判断题（每小题2分，共8分）6．判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）： （1）平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点。（　　） （2）正五边形既是轴对称图形，又是中心对称图形。（　　） （3）线段是轴对称图形，所以它不是中心对称图形。（　　） （4）若一个图形绕某一点旋转180°后能与自身重合，则这个图形是中心对称图形。（　　） 三、填空题（每小题4分，共4分）7．如图4，正方形ABCD的面积为36，点O是它的对称中心，过点O作直线分别交AB于点P、交CD于点Q，则四边形APQD的面积为　　　　　　。 图4 四、作图与说理（12分）8．如图5，在5×5的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），点O、A、B均在格点上。 图5 （1）在网格中画出点A关于点O的对称点A′，点B关于点O的对称点B′； （2）四边形ABA′B′是中心对称图形吗？若是，请指出它的对称中心。 第Ⅱ关　模型进阶与综合应用（5题，共36分）9．（6分）如图6，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间留下一个小正方形。若小正方形的面积为4，大正方形的面积为20，求每个直角三角形的两条直角边长。 图6 10．（8分）如图7，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F。求证：四边形AECF是中心对称图形，并指出它的对称中心。 图7 11．（6分）如图8，矩形ABCD的对称中心为O₁，正方形DEFG的对称中心为O₂，直线l同时经过点O₁与点O₂。已知矩形ABCD的面积为24，正方形DEFG的面积为16，求直线l所分成的两部分中，与点A、点G在同一侧的图形面积之和。 图8 12．（8分）如图9，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（3，1），C（2，4）。 图9 （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A₁B₁C₁，并写出点A₁、B₁、C₁的坐标； （2）画出△ABC关于点P（1，0）成中心对称的△A₂B₂C₂，并写出点A₂的坐标； （3）若△ABC内部一点M（m，n）关于点P（1，0）对称后的点落在第四象限，求m、n满足的条件。 13．（8分）如图10，点M是△ABC的边BC的中点，AB＝7，AC＝5。求中线AM的取值范围。 图10 第Ⅲ关　中考冲顶与思维挑战（3题，共24分）14．（8分）如图11，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的中心为原点O，顶点A（1，1），B（-1，1），C（-1，-1），D（1，-1）。动点P从点A出发、动点Q从点C同时出发，都沿正方形的边框按逆时针方向以相同的速度匀速运动一周。在运动过程中，线段PQ的中点M的轨迹所围成的图形面积是（　　） 图11 A．0（始终为点O）　　B．1　　C．2　　D．4 15．（8分）如图12，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝6，CD＝4，AD与BC不平行，点E、F分别是边AD、BC的中点，连结EF。请判断线段EF是否平分四边形ABCD的面积，并说明理由。 图12 16．（8分）如图13，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点。现将一块等腰直角三角板的直角顶点放在点D处，并绕点D旋转，三角板的两条直角边分别交AB于点E、交AC于点F。 图13 （1）求证：DE＝DF； （2）求证：四边形AEDF的面积是定值； （3）当BC＝4√2时，求△DEF面积的最小值。 参考答案与全解全析第Ⅰ关　基础达标1．【答案】D 【解析】等边三角形绕其中心旋转180°后，顶点方向倒置，不能与原图形重合，所以不是中心对称图形（它是轴对称图形，有3条对称轴）。线段绕中点旋转180°与自身重合；平行四边形绕对角线交点旋转180°与自身重合；正六边形是偶数边正多边形，绕中心旋转180°与自身重合。故选D。 2．【答案】B 【解析】逐字判断：H、O、X 既是轴对称图形又是中心对称图形，共3个；M、A、T 只是轴对称图形；S 只是中心对称图形。故选B。 3．【答案】A 【解析】设对称点为P′（x，y）。因为点P与点P′关于点M成中心对称，所以点M是线段PP′的中点，由中点坐标公式得 (x + (-2))/2 ＝ 1，(y + 3)/2 ＝ 1，解得 x＝4，y＝-1，故P′（4，-1）。故选A。 4．【答案】C 【解析】平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线交AD于点E、交BC于点F，由中心对称的性质得 OE＝OF＝2，DE＝BF。所以 EF＝2OE＝4，AE＋BF＝AE＋DE＝AD＝6。于是四边形ABFE的周长 ＝ AB＋BF＋EF＋AE ＝ AB＋(AE＋BF)＋EF ＝ 4＋6＋4 ＝ 14。故选C。 5．【答案】D 【解析】等边三角形、正五边形是轴对称图形但不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；菱形既是轴对称图形（2条对角线所在直线为对称轴），又是中心对称图形（对角线交点为对称中心）。故选D。 6．【答案】（1）√　（2）×　（3）×　（4）√ 【解析】（2）正五边形边数为奇数，绕中心旋转180°后不能与自身重合，不是中心对称图形，故错误。（3）线段绕中点旋转180°与自身重合，是中心对称图形，“是轴对称图形”与“是中心对称图形”并不矛盾，故错误。（4）这正是中心对称图形的定义，故正确。 7．【答案】18 【解析】正方形是中心对称图形，点O是它的对称中心，任何经过对称中心的直线都把这个图形分成面积相等的两部分。所以 S(四边形APQD) ＝ 1/2 × 36 ＝ 18。 8．【答案】（1）如图，A′、B′即为所求；（2）四边形ABA′B′是中心对称图形，对称中心为点O。 【解析】（1）以点O为对称中心，点A（0，3）的对称点A′为（4，1），点B（1，4）的对称点B′为（3，0），画出即可。（2）因为点A与A′、点B与B′都关于点O成中心对称，所以四边形ABA′B′绕点O旋转180°后与自身重合，它是中心对称图形，对称中心为点O（也可说明：AB与A′B′关于点O对称，两条线段相等且平行）。 第Ⅱ关　能力进阶9．【答案】两条直角边长分别为4和2。 【解析】设直角三角形的两条直角边分别为 a、b（a＞b）。由拼图可知：小正方形的边长等于两直角边之差，即 a－b；大正方形的边长等于直角三角形的斜边，其面积等于 a²＋b²。于是 (a－b)² ＝ 4，a²＋b² ＝ 20。由 (a－b)² ＝ a²＋b²－2ab 得 4 ＝ 20－2ab，所以 ab ＝ 8。又 a－b ＝ 2，a＞b＞0，解得 a ＝ 4，b ＝ 2。即两条直角边长分别为4和2。 10．【证明】 ∵ 平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，∴ OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD。 ∵ AE⊥BD，CF⊥BD，∴ ∠AEO＝∠CFO＝90°。 在△AEO与△CFO中，∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AOE＝∠COF（对顶角相等），OA＝OC，∴ △AEO≌△CFO（AAS）。 ∴ OE＝OF，AE＝CF。又 AE⊥BD，CF⊥BD，∴ AE∥CF，∴ 四边形AECF是平行四边形。 ∵ 四边形AECF的对角线AC与EF相交于点O且互相平分，∴ 四边形AECF是中心对称图形，对称中心为点O。 11．【答案】20 【解析】矩形与正方形都是中心对称图形。因为直线l经过矩形ABCD的对称中心O₁，所以直线l把矩形分成面积相等的两部分，其中一部分的面积为 24÷2 ＝ 12；同理，直线l经过正方形DEFG的对称中心O₂，把正方形分成面积相等的两部分，其中一部分的面积为 16÷2 ＝ 8。因此直线l与点A、点G同侧的两部分面积之和为 12＋8 ＝ 20。 12．【答案】（1）A₁（-1，-2），B₁（-3，-1），C₁（-2，-4）；（2）A₂（1，-2）；（3）m＜2且n＞0。 【解析】（1）关于原点成中心对称的两个点，横、纵坐标都互为相反数。所以 A₁（-1，-2），B₁（-3，-1），C₁（-2，-4），依次连结即得△A₁B₁C₁。 （2）点P（1，0）是对称中心，则点P是对应点连线的中点。设A₂（x，y），由中点坐标公式得 (x＋1)/2 ＝ 1，(y＋2)/2 ＝ 0，解得 x＝1，y＝-2，即 A₂（1，-2）。（也可用公式：关于点（a，b）的对称点坐标为（2a－x，2b－y），此处 a＝1，b＝0。） （3）点M（m，n）关于点P（1，0）的对称点为M′（2－m，－n）。因为点M′在第四象限，所以横坐标为正、纵坐标为负，即 2－m＞0 且 －n＜0，解得 m＜2 且 n＞0。 13．【答案】1＜AM＜6 【解析】延长AM到点A′，使MA′＝AM，连结A′C。 ∵ 点M是BC的中点，∴ MB＝MC。又 ∠AMB＝∠A′MC，MA＝MA′，∴ △AMB≌△A′MC（SAS）。 ∴ A′C＝AB＝7。在△AA′C中，由三角形三边关系得 A′C－AC＜AA′＜A′C＋AC，即 7－5＜2AM＜7＋5，所以 2＜2AM＜12，解得 1＜AM＜6。 【模型小结】遇中线（或中点）常“倍长中线”，即把三角形绕中点旋转180°，构造中心对称的全等三角形，把分散的边集中到同一个三角形中，这是解决中线取值范围问题的通法。 第Ⅲ关　思维挑战14．【答案】A 【解析】因为正方形ABCD的中心为原点O，所以点A（1，1）与点C（-1，-1）关于原点O成中心对称。动点P、Q同时从点A、点C出发，沿边框按相同方向、相同速度运动，所以在任意时刻，点P与点Q始终关于原点O成中心对称。于是线段PQ的中点M始终与原点O重合，即点M的位置始终不变，它的“轨迹”是一个点，所围成的图形面积为0。故选A。 15．【答案】线段EF不平分四边形ABCD的面积。 【解析】设梯形（四边形）ABCD的中位线EF的长为 m，高为 h。因为E、F分别是AD、BC的中点，所以 EF∥AB∥CD，且 EF ＝ (AB＋CD)/2 ＝ (6＋4)/2 ＝ 5。 梯形ABFE与梯形EFCD的高相等，均为 h/2。于是： S(梯形ABFE) ＝ (AB＋EF)/2 × h/2 ＝ (6＋5)/2 × h/2 ＝ (11h)/4； S(梯形EFCD) ＝ (EF＋CD)/2 × h/2 ＝ (5＋4)/2 × h/2 ＝ (9h)/4。 因为 11h/4 ≠ 9h/4，所以线段EF并不平分四边形ABCD的面积。这说明“中位线把梯形分成上下两个梯形”看似一样大，实际只有在 AB＝CD（即四边形为平行四边形）时才相等。 【补充结论】一般地，平分梯形面积的直线必经过梯形中位线的中点；当且仅当 AB＝CD 时，中位线EF本身才平分梯形的面积。 【思维点睛】本题的关键在于不要凭直觉下结论：中位线把梯形分成上下两个梯形，看似“一样大”，实际只有当 AB＝CD（即四边形为平行四边形）时才相等。判断一个图形是否被某条直线平分面积，必须回到面积计算或中心对称的定义本身。 16．【答案与证明】 （1）连结AD。∵ AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴ AD⊥BC，AD＝BD＝CD＝(1/2)BC，且 ∠BAD＝∠CAD＝45°，∠C＝45°。 ∵ ∠EDF＝90°，∴ ∠ADE＋∠ADF＝90°。又 AD⊥BC，∴ ∠CDF＋∠ADF＝90°，∴ ∠ADE＝∠CDF。 在△ADE与△CDF中，∠EAD＝∠C＝45°，AD＝CD，∠ADE＝∠CDF，∴ △ADE≌△CDF（ASA），∴ DE＝DF。 （2）由（1）知 △ADE≌△CDF，∴ S(△ADE)＝S(△CDF)。 ∴ S(四边形AEDF)＝S(△ADE)＋S(△ADF)＝S(△CDF)＋S(△ADF)＝S(△ADC)＝(1/2)S(△ABC)，为定值。 （3）当BC＝4√2时，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，AD＝(1/2)BC＝2√2，S(△ABC)＝(1/2)×4×4＝8，∴ S(四边形AEDF)＝4。 在Rt△EDF中，DE＝DF，S(△DEF)＝(1/2)DE²。当DE取得最小值时，△DEF的面积最小。当DE⊥AB时，DE最短，此时 DE＝AD·sin45°＝2√2×(√2/2)＝2。 ∴ S(△DEF)的最小值 ＝ (1/2)×2² ＝ 2。 【模型小结】本题以“等腰直角三角形+中点”为背景，核心是构造关于中点D成中心对称（旋转180°）的全等三角形，实现边与角的转移。这类“旋转全等”是中考几何综合题的常见考法。 内容由 AI生成，请仔细甄别 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