专题01 集合中的参数问题（期中复习讲义·培优版）高一数学上学期人教A版

专题01 集合中的参数问题（期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 元素与集合关系求参数 题型02 由集合中元素的个数求参数 题型03 由集合相等关系求参数 题型04 由集合的包含关系求参数 题型05 由集合的交集运算求参数 题型06 由集合的并集运算求参数 题型07 由集合交并补混合运算求参数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 由元素性质定参 熟练掌握利用集合元素的确定性、互异性、无序性列方程求参数。 基础必考点，常出现在小题。 由包含关系定参 能准确由 、、 等包含关系求参数范围。 小题与大题的高频考点，常忽略讨论空集。 由集合运算定参 能准确由 、、、 等运算结果反求参数。 小题与大题的高频考点，由集合运算结果反推包含关系容易出错。 含参不等式与集合综合 能熟练处理解含参不等式问题与集合求参问题的综合问题。 小题与大题的高频考点，区间端点是否可取容易出错。 知识点01 集合元素的互异性与参数 核心概念：集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特性，其中互异性是参数问题的第一考点——同一集合中元素不能重复。 解题原理： 1. 先根据题意求出参数的所有可能值； 1. 必须代回检验，看是否满足元素互异性（即求出的参数值是否导致集合中出现相同元素）； 1. 导致元素重复的参数值要舍去。 公式/法则：若 ，则 互不相等。 ·示例：已知集合 ，求实数 的取值范围。 由互异性得，解得 ，，。 即 。 ·易错点：求出参数后忘记代回检验，把使集合出现重复元素的值也保留。 知识点02 已知集合间关系求参数（子集问题） 核心概念：若 ，则 的所有元素都在 中；特别注意 的情况。 解题原理（数轴法）： 1. 化简两个集合，明确各自范围； 2. 在数轴上表示 、； 3. 由包含关系列出不等式组； 4. 单独讨论 的情形； 5. 验证端点值的取舍。 关键公式： · 数轴上 的区间被 的区间覆盖； · （真子集） 覆盖且不完全相等。 ·易错点：当集合是”方程/不等式的解集”时，先看参数是否能让解集为空。 知识点03 已知集合运算结果求参数（交、并、补） 核心概念：利用 、、 的结果反推参数。 解题原理： 1. 把运算结果翻译为集合关系： · 两集合无公共元素； · ； · ； · ； 2. 结合数轴或 Venn 图列不等式； 3. 注意参数的分类讨论。 ·易错点：遇”交集为空”，要分”两区间分别在数轴两侧”与”同向但不重叠”两种情形 知识点04 含参数的一次/二次方程解集问题 核心模型： · 一次方程 ： 有唯一解； 解集为 ； 解集为 。 · 二次方程 ：要分 （退化为一次）与 讨论，结合判别式 判断根的个数。 ·易错点：默认方程是二次方程，直接套 ，忽略二次项系数为 0 时退化为一次方程的情形。 知识点05 端点值取舍与”等号”检验法 核心方法：数轴法 + 端点单独代入。 解题技巧： 1. 先不考虑等号，列出不等式定方向； 2. 把端点值代回原题，看取等时集合关系是否仍然成立； 3. 成立则”闭”，不成立则”开”。 口诀：“大于向右、小于向左；包含看闭、相交看交；端点代入、定夺等号。” 题型一 元素与集合关系求参数 解｜题｜技｜巧 · 利用元素与集合的从属关系 满足集合 的描述条件，将参数代入列方程（组）。 · 若是列举法表示的集合（如 ），元素属于集合即“等于其中某一项”，需分类讨论“等于哪一项”。 · 注意集合中元素的三性：确定性、互异性、无序性——求出参数后必须回代检验互异性。 易｜错｜点｜拨 · 忘检验互异性：解出参数后若导致两个元素相同，必须舍去。 · 忽略代表元素的含义：比如 是 的范围（定义域）， 是 的范围（值域）， 是点集。三者不可混淆。 · 忽视参数取值范围使集合无意义（如分母为零、对数真数非正）。 【典例1】（25-26高一上·广东广州·期中）若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【典例2】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【变式1】（25-26高一上·江苏南京·期中）已知集合，如果，那么实数的取值为_______. 【变式2】含有三个实数的集合，若且，求______． 题型二 由集合中元素的个数求参数 解｜题｜技｜巧 · 数集元素个数问题本质是“方程（不等式）解的个数”问题。 · 二次方程根的个数：用判别式 判定；注意二次项系数含参数时要分“一次方程/二次方程”讨论。 · 含绝对值、分式、根式的集合，先化简为最简方程，再数根。 · 数点集个数：联立方程看交点个数。 易｜错｜点｜拨 · 忘记讨论二次项系数为 的情况（此时退化为一次方程）。 · 忽略重根只算一个元素（互异性）： 时集合只有一个元素，不是两个。 · 分式、对数方程求出根后未验增根（分母为零、真数非正）。 答｜题｜模｜板 1. 将集合化为最简方程 ； 2. 按“一次/二次”分类讨论参数使二次项系数为零的情形； 3. 二次情形下用 判定根的个数； 4. 验根（去增根），按题意确定参数值。 【典例1】若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【典例2】（25-26高一上·福建福州·期中）已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【变式1】（25-26高一上·天津河北·期中）若集合中只有一个元素，则满足条件的实数构成的集合为______． 【变式2】（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知集合的非空真子集为0个，则实数的取值范围是______. 题型三 由集合相等关系求参数 解｜题｜技｜巧 · 两集合相等 元素完全相同（个数相同、对应元素相同）。 · 列举法集合相等：按“对应元素相等”列方程组；常见配对方式需分类讨论所有可能的对应。 · 描述法集合相等：化简后比较代表元素的范围是否一致。 易｜错｜点｜拨 · 只按一种对应关系列方程，漏掉另一种对应（无序性！）。 · 求出参数后忘检验互异性，导致矛盾结果混入。 · 忽视集合中元素为实数/整数等限定条件。 答｜题｜模｜板 1. 列出两集合元素间所有可能的对应组合； 2. 对每种组合列方程组求解； 3. 逐组回代检验：是否满足互异性、是否两集合真正相等； 4. 合并符合条件的参数值。 【典例1】已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【典例2】设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1】设a，，若集合，则______． 【变式2】已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 题型四 由集合的包含关系求参数 解｜题｜技｜巧 · ：将集合化简为数轴上的区间/点集，用数轴法或Venn图分析端点位置。 · 空集是任何集合的子集： 时务必先讨论 的情形。 · 端点取舍要小心：，，端点能否取到由开闭决定。 · （真子集）在 基础上排除 的情况。 易｜错｜点｜拨 · 漏掉 这一极端情形——这是本题型最高频失分点。 · 等号方向搞反：谁包含谁决定端点不等式方向。 · 忽略区间开闭导致端点取舍错误（尤其“端点能否取等号”）。 答｜题｜模｜板 1. 化简 、 为数轴区间； 2. 讨论 （参数使 为空）的情形； 3. 当 时，由 列端点不等式组（注意开闭）； 4. 合并两种情形下的参数范围；真子集需再排除 。 【典例1】（25-26高一上·黑龙江鸡西·期中）已知集合，． (1)若，求实数的取值集合； (2)若中有3个整数，求实数的取值集合； 【典例2】（25-26高一上·河南周口·期中）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 【变式1】（25-26高一上·山西运城·期中）若集合，，且，求：a的取值范围 【变式2】（25-26高一上·海南儋州·期中）已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 题型五 由集合的交集运算求参数 解｜题｜技｜巧 · ：两区间在数轴上有公共部分，从“无交集”的反面入手更易列不等式。 · ，转化为包含关系问题（回扣题型04）。 · 点集交集：联立方程组求解。 易｜错｜点｜拨 · “无交集”条件下的端点取舍：两区间紧挨着（如 与 ）算不算交集？看开闭。 · 漏讨论集合为空的情形。 · 由 结果反推参数时，忘记检验。 答｜题｜模｜板 1. 化简 、； 2. 把交集条件翻译为数轴位置关系（有公共点/无公共点/完全包含）； 3. 列端点不等式（必要时先讨论空集）； 4. 验端点、验互异性，写出参数范围。 【典例1】已知，或，若，求a的取值范围． 【典例2】已知集合.，求实数m的取值范围. 【变式1】设 ．若 ，求 的取值范围． 【变式2】（25-26高一上·贵州遵义·期中）设全集，集合，，． (1)求； (2)若，求的取值范围． 题型六 由集合的并集运算求参数 解｜题｜技｜巧 · ，同样转化为包含关系。 · （全集）：两区间“拼接”覆盖整条数轴，注意端点是否重叠衔接。 · 已知并集结果反求参数：画数轴找区间端点必须满足的条件。 易｜错｜点｜拨 · 时两端点衔接处容易“差一点”或“多一截”，必须逐点核对。 · 漏掉空集情形。 · 混淆并集与交集的数轴判定方向。 答｜题｜模｜板 1. 化简集合并画数轴； 2. 将并集条件翻译为区间覆盖关系； 3. 列端点不等式组（注意衔接点的开闭）； 4. 合并空集与非空情形，写出参数范围。 【典例1】已知集合，集合. (1)求的子集； (2)若，求的值. 【典例2】已知集合，集合 (1)写出的真子集及其非空真子集； (2)若，求的值． 【变式1】（25-26高一上·山东济宁·期中）已知集合或，， (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【变式2】设为全集，集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 题型七 由集合交并补混合运算求参数 解｜题｜技｜巧 · 先算括号内，再算括号外：按 的运算顺序逐步化简。 · 善用德摩根定律：，，可避免反复画补集。 · 借助数轴或Venn图逐步定位结果。 · 已知运算结果反求参数时，把最终条件翻译回单集合间的包含/相交关系。 易｜错｜点｜拨 · 运算顺序搞错，先并后补或漏算补集。 · 补集是相对于全集 而言的，脱离全集谈补集无意义；全集边界常被忽略。 · 多层运算中端点开闭层层传递出错。 · 由“ 满足某条件”反推 时忘记取反。 答｜题｜模｜板 1. 化简各集合及补集，标出全集 ； 2. 按运算顺序（括号→补→交→并）逐步化简，每步对应数轴/Venn图； 3. 将最终已知条件翻译为端点/包含关系，列不等式组； 4. 回代验证混合运算结果是否与题设一致，确定参数范围。 【典例1】新高一年级数学人教A版）已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 【典例2】已知集合，或，. (1)求； (2)若，求m的取值范围. 【变式1】（25-26高一上·四川乐山·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【变式2】（25-26高一上·辽宁阜新·期中）设集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)设，若且，求实数的取值范围. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·河南开封·期中）设集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·贵州黔西南·期中）已知集合，，且，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东深圳·期中）若集合，且，，则的取值范围为______． 4．（25-26高一上·上海浦东新区·期中）已知集合，，且，则的值为_____. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求的取值集合． 2．（25-26高一上·山东济宁·期中）设全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若 ，求实数的取值范围. 3．（25-26高一上·河北衡水·期中）已知集合，其中为实数，集合. (1)若，求； (2)若非空集合，求实数的取值范围. 4．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知集合，集合． (1)若，求和． (2)若，求实数的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合中的参数问题（期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 元素与集合关系求参数 题型02 由集合中元素的个数求参数 题型03 由集合相等关系求参数 题型04 由集合的包含关系求参数 题型05 由集合的交集运算求参数 题型06 由集合的并集运算求参数 题型07 由集合交并补混合运算求参数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 由元素性质定参 熟练掌握利用集合元素的确定性、互异性、无序性列方程求参数。 基础必考点，常出现在小题。 由包含关系定参 能准确由 、、 等包含关系求参数范围。 小题与大题的高频考点，常忽略讨论空集。 由集合运算定参 能准确由 、、、 等运算结果反求参数。 小题与大题的高频考点，由集合运算结果反推包含关系容易出错。 含参不等式与集合综合 能熟练处理解含参不等式问题与集合求参问题的综合问题。 小题与大题的高频考点，区间端点是否可取容易出错。 知识点01 集合元素的互异性与参数 核心概念：集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特性，其中互异性是参数问题的第一考点——同一集合中元素不能重复。 解题原理： 1. 先根据题意求出参数的所有可能值； 1. 必须代回检验，看是否满足元素互异性（即求出的参数值是否导致集合中出现相同元素）； 1. 导致元素重复的参数值要舍去。 公式/法则：若 ，则 互不相等。 ·示例：已知集合 ，求实数 的取值范围。 由互异性得，解得 ，，。 即 。 ·易错点：求出参数后忘记代回检验，把使集合出现重复元素的值也保留。 知识点02 已知集合间关系求参数（子集问题） 核心概念：若 ，则 的所有元素都在 中；特别注意 的情况。 解题原理（数轴法）： 1. 化简两个集合，明确各自范围； 2. 在数轴上表示 、； 3. 由包含关系列出不等式组； 4. 单独讨论 的情形； 5. 验证端点值的取舍。 关键公式： · 数轴上 的区间被 的区间覆盖； · （真子集） 覆盖且不完全相等。 ·易错点：当集合是”方程/不等式的解集”时，先看参数是否能让解集为空。 知识点03 已知集合运算结果求参数（交、并、补） 核心概念：利用 、、 的结果反推参数。 解题原理： 1. 把运算结果翻译为集合关系： · 两集合无公共元素； · ； · ； · ； 2. 结合数轴或 Venn 图列不等式； 3. 注意参数的分类讨论。 ·易错点：遇”交集为空”，要分”两区间分别在数轴两侧”与”同向但不重叠”两种情形 知识点04 含参数的一次/二次方程解集问题 核心模型： · 一次方程 ： 有唯一解； 解集为 ； 解集为 。 · 二次方程 ：要分 （退化为一次）与 讨论，结合判别式 判断根的个数。 ·易错点：默认方程是二次方程，直接套 ，忽略二次项系数为 0 时退化为一次方程的情形。 知识点05 端点值取舍与”等号”检验法 核心方法：数轴法 + 端点单独代入。 解题技巧： 1. 先不考虑等号，列出不等式定方向； 2. 把端点值代回原题，看取等时集合关系是否仍然成立； 3. 成立则”闭”，不成立则”开”。 口诀：“大于向右、小于向左；包含看闭、相交看交；端点代入、定夺等号。” 题型一 元素与集合关系求参数 解｜题｜技｜巧 · 利用元素与集合的从属关系 满足集合 的描述条件，将参数代入列方程（组）。 · 若是列举法表示的集合（如 ），元素属于集合即“等于其中某一项”，需分类讨论“等于哪一项”。 · 注意集合中元素的三性：确定性、互异性、无序性——求出参数后必须回代检验互异性。 易｜错｜点｜拨 · 忘检验互异性：解出参数后若导致两个元素相同，必须舍去。 · 忽略代表元素的含义：比如 是 的范围（定义域）， 是 的范围（值域）， 是点集。三者不可混淆。 · 忽视参数取值范围使集合无意义（如分母为零、对数真数非正）。 【典例1】（25-26高一上·广东广州·期中）若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 【典例2】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 【变式1】（25-26高一上·江苏南京·期中）已知集合，如果，那么实数的取值为_______. 【答案】 【分析】首先根据列出等式，再根据元素的互异性验证的取值即可. 【详解】因为，则或，解得或， 当时，集合中有两个相同的元素2，不符合互异性，舍去； 当时，集合，满足集合元素的性质，符合要求. 因此，实数的取值为-1. 【变式2】含有三个实数的集合，若且，求______． 【答案】 【分析】利用集合元素的互异性求参数的值，然后代入求解即可． 【详解】因为中，为分母，所以． 又因为，所以． 因为，且，所以或． 当时，不满足集合的互异性，故舍去． 当时，集合为． 综上所述，，． 所以． 题型二 由集合中元素的个数求参数 解｜题｜技｜巧 · 数集元素个数问题本质是“方程（不等式）解的个数”问题。 · 二次方程根的个数：用判别式 判定；注意二次项系数含参数时要分“一次方程/二次方程”讨论。 · 含绝对值、分式、根式的集合，先化简为最简方程，再数根。 · 数点集个数：联立方程看交点个数。 易｜错｜点｜拨 · 忘记讨论二次项系数为 的情况（此时退化为一次方程）。 · 忽略重根只算一个元素（互异性）： 时集合只有一个元素，不是两个。 · 分式、对数方程求出根后未验增根（分母为零、真数非正）。 答｜题｜模｜板 1. 将集合化为最简方程 ； 2. 按“一次/二次”分类讨论参数使二次项系数为零的情形； 3. 二次情形下用 判定根的个数； 4. 验根（去增根），按题意确定参数值。 【典例1】若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】若集合为单元素集合，则意味着与时的值相等， 由函数的图象关于直线对称， 得，解得. 【典例2】（25-26高一上·福建福州·期中）已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【答案】C 【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可. 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 【变式1】（25-26高一上·天津河北·期中）若集合中只有一个元素，则满足条件的实数构成的集合为______． 【答案】 【分析】根据方程根的情况分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，，符合题意； 当时，要使该集合只有一个元素， 必须且只需方程有两个相等的实根， 即，符合题意， 所以满足条件的实数构成的集合为， 故答案为： 【变式2】（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知集合的非空真子集为0个，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【分析】由题意可得集合A中只有一个元素，从而得方程只有一个解，分、求解即可. 【详解】因为集合A的非空真子集为0个， 所以集合A中只有一个元素或者没有元素， 若方程只有一个解， 当时，，满足题意； 当时，由，解得， 若集合集合A中没有元素，即集合A为空集， 则, 综上可知，实数的取值范围是或 故答案为：或 题型三 由集合相等关系求参数 解｜题｜技｜巧 · 两集合相等 元素完全相同（个数相同、对应元素相同）。 · 列举法集合相等：按“对应元素相等”列方程组；常见配对方式需分类讨论所有可能的对应。 · 描述法集合相等：化简后比较代表元素的范围是否一致。 易｜错｜点｜拨 · 只按一种对应关系列方程，漏掉另一种对应（无序性！）。 · 求出参数后忘检验互异性，导致矛盾结果混入。 · 忽视集合中元素为实数/整数等限定条件。 答｜题｜模｜板 1. 列出两集合元素间所有可能的对应组合； 2. 对每种组合列方程组求解； 3. 逐组回代检验：是否满足互异性、是否两集合真正相等； 4. 合并符合条件的参数值。 【典例1】已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【分析】利用集合相等的知识求解. 【详解】因为集合，所以或. 显然不成立，当时，,符合题意. 所以. 【典例2】设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 【变式1】设a，，若集合，则______． 【答案】0 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 【变式2】已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 【答案】1 【分析】通过集合相等的性质分类讨论求解. 【详解】显然， ①若，则解得，此时，不满足集合中元素的互异性； ②若，则，则，，时即可满足集合中元素的互异性，满足题意； ③若，则，则或可解得或. 经检验这两种情况均不满足集合中元素的互异性. 综上可知，. 题型四 由集合的包含关系求参数 解｜题｜技｜巧 · ：将集合化简为数轴上的区间/点集，用数轴法或Venn图分析端点位置。 · 空集是任何集合的子集： 时务必先讨论 的情形。 · 端点取舍要小心：，，端点能否取到由开闭决定。 · （真子集）在 基础上排除 的情况。 易｜错｜点｜拨 · 漏掉 这一极端情形——这是本题型最高频失分点。 · 等号方向搞反：谁包含谁决定端点不等式方向。 · 忽略区间开闭导致端点取舍错误（尤其“端点能否取等号”）。 答｜题｜模｜板 1. 化简 、 为数轴区间； 2. 讨论 （参数使 为空）的情形； 3. 当 时，由 列端点不等式组（注意开闭）； 4. 合并两种情形下的参数范围；真子集需再排除 。 【典例1】（25-26高一上·黑龙江鸡西·期中）已知集合，． (1)若，求实数的取值集合； (2)若中有3个整数，求实数的取值集合； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分为和两种情况分别讨论，结合集合的包含关系列不等式组即可求解； （2）根据中有3个整数得到，从而得到，所以分为中整数为，和三种情况分别讨论，列不等式组即可求解. 【详解】（1）分情况讨论：和， ①当时，， 空集是任意集合的子集，满足， ②当时，则， 若，，该不等式组无解， 综上，实数的取值集合为. （2）若中有3个整数，则，解得， 所以， 情况一：中整数为，，， 此时， 情况二：中整数为，，， ，解得：，即， 情况三：中整数为，，， ，解得：，即， 综上，实数的取值集合为. 【典例2】（25-26高一上·河南周口·期中）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据交集的概念即可求出； （2）分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，， 根据交集的概念可得 （2）当，即时，，满足； 当，即时，，解得，故， 综上，m的取值范围为. 【变式1】（25-26高一上·山西运城·期中）若集合，，且，求：a的取值范围 【答案】当时，；当时，. 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系，分类列式求解即得. 【详解】当时，若，即，解得，满足，则， 若，由，得，解得，因此； 当时，，由，得，因此，即， 所以当时，a的取值范围是；当时，a的取值范围是. 【变式2】（25-26高一上·海南儋州·期中）已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据集合的包含关系列出不等式即可得解； （2）分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）若，如图所示，    则，解得， 所以m的取值范围为； （2）若，有和两种情况， 当时，，解得， 当时，如图所示，    则，解得， 综上，m的取值范围为． 题型五 由集合的交集运算求参数 解｜题｜技｜巧 · ：两区间在数轴上有公共部分，从“无交集”的反面入手更易列不等式。 · ，转化为包含关系问题（回扣题型04）。 · 点集交集：联立方程组求解。 易｜错｜点｜拨 · “无交集”条件下的端点取舍：两区间紧挨着（如 与 ）算不算交集？看开闭。 · 漏讨论集合为空的情形。 · 由 结果反推参数时，忘记检验。 答｜题｜模｜板 1. 化简 、； 2. 把交集条件翻译为数轴位置关系（有公共点/无公共点/完全包含）； 3. 列端点不等式（必要时先讨论空集）； 4. 验端点、验互异性，写出参数范围。 【典例1】已知，或，若，求a的取值范围． 【答案】或 【分析】根据已知条件得出，结合数轴分和两种情况讨论，进而求出的取值范围． 【详解】由可知，， ①若，则，解得； ②若，则有或， 解得或． 综上所述，a的取值范围是或． 【典例2】已知集合.，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】对是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】若，则， 当时，，即； 当时， ，得， 则实数m的取值范围为. 【变式1】设 ．若 ，求 的取值范围． 【答案】或 【分析】化简集合，根据交集的概念可知，通过讨论集合是否为空集即可求解. 【详解】化简集合 ，得 ．由于 ，则有 可知集合 或为空集，或只含有根0或 ． ①若，由 ，得． ②若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，也符合题意； ③若，代入，得 ，即 或 ，当时，②中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综合①②③得或. 【变式2】（25-26高一上·贵州遵义·期中）设全集，集合，，． (1)求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集和交集运算求解； （2）由题可得，列式求解. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以. （2）因为，，，即集合是集合的真子集， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 题型六 由集合的并集运算求参数 解｜题｜技｜巧 · ，同样转化为包含关系。 · （全集）：两区间“拼接”覆盖整条数轴，注意端点是否重叠衔接。 · 已知并集结果反求参数：画数轴找区间端点必须满足的条件。 易｜错｜点｜拨 · 时两端点衔接处容易“差一点”或“多一截”，必须逐点核对。 · 漏掉空集情形。 · 混淆并集与交集的数轴判定方向。 答｜题｜模｜板 1. 化简集合并画数轴； 2. 将并集条件翻译为区间覆盖关系； 3. 列端点不等式组（注意衔接点的开闭）； 4. 合并空集与非空情形，写出参数范围。 【典例1】已知集合，集合. (1)求的子集； (2)若，求的值. 【答案】(1)，，， (2)或或 【详解】（1）的两个根为，，即.的子集为，，，. （2）得. 当时，方程无解，则,满足条件，故符合条件. 当时,解方程得，即，因为所以或，解得或. 综上，或或. 【典例2】已知集合，集合 (1)写出的真子集及其非空真子集； (2)若，求的值． 【答案】(1)真子集：，，；非空真子集：， (2)，或 【分析】（1）解方程可得集合，再求真子集； （2）因为，所以，分和进行求解． 【详解】（1）解方程得，或 因此集合， 其真子集为，，，共3个． 非空真子集：， （2）因为，所以， ①当时，，此时符合题意 ②当时，因为，此时易知 要使得，即或，解得，或． 综上所述，要使得，则，或． 【变式1】（25-26高一上·山东济宁·期中）已知集合或，， (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 代入求出集合，先求在全集下的补集，再与集合取交集得到结果； (2) 由转化为，分和两类讨论，列出对应不等式组求解的取值范围. 【详解】（1）当时，， 或 或或（也可写为） （2）因为，所以， 当时，，解得； 当时，或解得或 所以实数的范围是. 【变式2】设为全集，集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解二次函数在给定区间的值域得到集合，代入求集合，接下来求解的补集，最后求交集； （2）将等价转化为，分为空集和非空两种情况列不等式求解. 【详解】（1）函数，图象开口向上，对称轴为， 因此该函数在上单调递增， 当时，；当时，， 故， 当时，代入得，得或， 所以； （2）由可得， 分两种情况讨论： ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足，解得， 综上，，所以实数的取值范围为. 题型七 由集合交并补混合运算求参数 解｜题｜技｜巧 · 先算括号内，再算括号外：按 的运算顺序逐步化简。 · 善用德摩根定律：，，可避免反复画补集。 · 借助数轴或Venn图逐步定位结果。 · 已知运算结果反求参数时，把最终条件翻译回单集合间的包含/相交关系。 易｜错｜点｜拨 · 运算顺序搞错，先并后补或漏算补集。 · 补集是相对于全集 而言的，脱离全集谈补集无意义；全集边界常被忽略。 · 多层运算中端点开闭层层传递出错。 · 由“ 满足某条件”反推 时忘记取反。 答｜题｜模｜板 1. 化简各集合及补集，标出全集 ； 2. 按运算顺序（括号→补→交→并）逐步化简，每步对应数轴/Venn图； 3. 将最终已知条件翻译为端点/包含关系，列不等式组； 4. 回代验证混合运算结果是否与题设一致，确定参数范围。 【典例1】新高一年级数学人教A版）已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】根据集合是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】由得，， 当时，由，可得，即， 此时； 当时，由， 得或，而， 所以，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 【典例2】已知集合，或，. (1)求； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1) (2){或} 【分析】（1）根据补集、并集的知识求得正确答案. （2）对进行分类讨论，由此求得的取值范围. 【详解】（1），或，， 所以. （2）， 若，，则，满足. 若，，则或解得或. 综上所述，m的取值范围是或. 【变式1】（25-26高一上·四川乐山·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）集合的交集和补集的运算计算得出结果；（2）根据已知条件，求解参数范围 【详解】（1）由，得， 方法1： 可得或， 由题，有或， 所以或． 方法2： 则， 所以，或． （2）依题意，或， 因为，所以 解得，故的取值范围为． 【变式2】（25-26高一上·辽宁阜新·期中）设集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)设，若且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，再分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），解得即可. （2）因为且，所以集合中至少存在一个整数，得，求解即得. 【详解】（1），且，所以. 若，此时，解得； 若，此时，且，解得， 则实数的取值范围是. （2）因为且，所以集合中至少存在一个整数. 或，，要使中至少存在一个整数， 则，解得，则实数的取值范围是. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·河南开封·期中）设集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又，，所以. 2．（25-26高一上·贵州黔西南·期中）已知集合，，且，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， ，． 3．（25-26高一上·广东深圳·期中）若集合，且，，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】因为，所以，解得， 所以的取值范围为． 故答案为：． 4．（25-26高一上·上海浦东新区·期中）已知集合，，且，则的值为_____. 【答案】 【分析】根据集合相等得到或，分别求出、的值，再检验即可. 【详解】因为，，且， 所以或， 解得或或 ， 根据集合的元素的互异性可得，且， 所以，此时，，满足， 所以. 故答案为： 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合交集、和补集的定义进行求解即可； （2）根据集合的包含关系可得关于的不等式组，进而计算可求得的取值集合． 【详解】（1）当时，，， 所以或， 所以. （2）由，得. 当时，则，解得， 当时，，符合； 当时，由，得，解得； 综上所述：的取值集合为． 2．（25-26高一上·山东济宁·期中）设全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若 ，求实数的取值范围. 【答案】(1) ，； (2). 【分析】（1）由集合的交并运算求集合； （2）由集合的补运算得，再由并集结果列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，， 则 ， ； （2）由题设，若 ，则 ，解得， 故的取值范围是. 3．（25-26高一上·河北衡水·期中）已知集合，其中为实数，集合. (1)若，求； (2)若非空集合，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解绝对值不等式和分式不等式求得集合，可求； （2）利用集合非空可得，由，可得，求解即可. 【详解】（1）若，由，得，解得，所以. 由，得，即，所以， 解得，，所以； （2）由（1）得， 因为集合为非空集合，所以， 由，得，解得，所以， 又，所以，解得，又，所以， 所以实数的取值范围. 4．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知集合，集合． (1)若，求和． (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）解分式不等式求得集合，进而求得，可求和． （2）由题意可得，分与讨论，列出不等式，计算可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由，得，所以，所以 所以，解得， 所以，所以， 当时，， 所以，或； （2）由，则，由（1）可知 若，则，解得，满足； 若，由，得，解得，即， 综上所述：实数的取值范围为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $