专题02 集合的新定义与创新情境（期中复习讲义·培优版）高一数学上学期人教A版

专题02 集合的新定义与创新情境（期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 定义集合的新概念题型 02 定义集合的新运算 题型03 定义集合的新性质题型 04 定义集合的新背景 题型05 集合新定义综合压轴 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 新定义集合的概念辨析 熟练掌握解读题目给出的新定义问题的方法。 以压轴题为主，难度较大，题目所给新定义经常看不懂。 新运算的运算律与封闭性 熟练利用题目所给运算规则进行计算。 以压轴题为主，难度较大，对运算规则解读不充分导致计算错误。 Venn 图与数轴的创新应用 熟练利用Venn 图与数轴解决新定义问题。 以压轴题为主，难度较大，对Venn 图与数轴的性质利用不充分。 存在性与任意性问题 熟练解决新定义问题中的存在性与任意性问题。 以压轴题为主，难度较大，容易混淆存在性与任意性问题。 知识点01 新运算定义型问题 核心概念：题目给出集合间的一种新运算符号（如 、、 等），要求按定义进行运算或判断性质。本质是“照章办事”——严格按题目给出的定义套，不凭经验臆测。 解题原理： 1. 读定义：把新运算的文字描述或集合表达式读懂，明确“怎么算”； 2. 翻译：将新运算翻译成已经学过的交、并、补运算； 3. 代值验证：有限集用列举法把元素代入算一遍； 4. 判断性质：交换律、结合律、单位元等用具体例子验证。 ·示例：定义集合运算 ，设 ，，求 。 解：，， 故 。 ·易错点：把新运算当成普通加减乘除，或默认它满足交换律、结合律而不验证。 知识点02 新集合性质判断（封闭性等） 核心概念：题目定义一类“特殊集合”（如“好集合”“友好集合”“封闭集合”），要求判断某集合是否符合，或求参数。 解题原理： 1. 抠定义：把定义中的关键词逐条标出； 2. 举例子：构造符合/不符合的具体集合验证； 3. 反例法：判断“不满足”时，找一个反例即可。 典型模型： - 封闭性：若集合中任意两个元素经某运算后结果仍在集合内，则称该集合对该运算封闭； - “好集合”型：如“若 ，则 ”； - 倍集：如“集合 中任意元素都是 的倍数”。 ·易错点：只验证“正方向”，忽略“任意”二字——必须对集合中所有元素对都成立。 知识点03 创新情境——实际问题集合建模 核心概念：把实际问题（人群分类、课程选择、电路开关、赛程安排等）转化为集合语言，再用交、并、补求解。 解题原理： 1. 设全集：把研究对象总体设为全集 ； 2. 分集合：按条件把每类人/物设为 ； 3. 画 Venn 图：把已知数量填入图中； 4. 列方程：利用容斥原理列方程求解。 容斥原理公式： ·示例：某班 50 人，参加数学小组的有 30 人，参加物理小组的有 26 人，两科都参加的有 15 人，问两科都不参加的有多少人？ 解：设全集为全班 50 人，=数学组，=物理组。 两科都不参加：（人）。 ·易错点：容斥原理记反符号，把 多加或少减；Venn 图中重叠区域重复计算。 知识点04 新定义与参数综合问题 核心概念：新定义中嵌入参数，要求根据定义条件求参数取值范围。 解题原理： 1. 先读懂新定义对集合元素的要求； 2. 把要求翻译为不等式/方程； 3. 结合本单元参数问题的三大闸门（空集、等号、互异）求解。 ·易错点：新定义含参数时，优先试“端点元素两两组合”——最大+最大、最小+最小、最大+最小，往往边界就藏在这里。 知识点05 数集新定义 核心概念：对单个元素或数对给出新命名（如“好数”“友好对”），要求统计个数或求参数。 解题技巧： 1. 列举法：集合元素个数有限时，直接列举所有元素逐一判断； 2. 分类枚举：按大小、奇偶、正负分类枚举，避免重复； 3. 计数原理：用排列组合思想数满足条件的个数。 ·示例：设 ，定义“友好对” 满足 为偶数，求友好对的个数。 解： 为偶数 同奇偶。 中奇数：（3 个）；偶数：（2 个）。 友好对个数 。 题型一 定义集合的新概念 解｜题｜技｜巧 - 读懂定义：逐字推敲新概念的全称、条件、结论，用自己的话复述一遍。 - 紧扣定义：判断元素/集合是否符合新概念，唯一依据是题目给出的定义，不要用课本旧概念去套。 - 举特例验证：从简单元素（0、1、空集）入手代入定义，快速把握新概念本质。 - 翻译转化：把新定义翻译成已有数学语言（如”友集”“好集”往往就是某种等式/不等式关系）。 易｜错｜点｜拨 - 望文生义：被新概念的名字干扰，按日常理解做题，偏离题目给出的严格定义。 - 漏看限定条件：定义中”对任意”“存在”“当且仅当”等量词遗漏，导致判断相反。 - 举特例时选了特殊情况，以偏概全，把特殊结论当一般结论。 答｜题｜模｜板 1. 精读定义，圈出关键词（量词、运算关系、限制条件）； 2. 用1~2个具体元素代入定义，验证理解是否正确； 3. 将新定义翻译为方程/不等式/集合关系； 4. 按定义逐条验证所给元素或集合，下结论。 【典例1】（25-26高一上·上海浦东新区·期中）给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（   ） ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合，为闭集合，则为闭集合； ④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据闭集合的定义判断①、②，举反例判断③、④. 【详解】对于①：， 当，时，， 但，不满足闭集合的定义，故①错误； 对于②：， 任意，可设，，， 则，， 由，， 所以，且，故集合为闭集合．故②正确； 对于③：设， 任意，可设，，， 则，， 由，， 所以，且，则集合为闭集合． 由②分析可知也为闭集合． ， 当，时，， 但，即不是闭集合，故③错误； 对于④：设，若，则，， 则都为闭集合，又，且， 不存在，使得，即不存在，使得，故④错误； 故选：B. 【典例2】（25-26高一上·北京·期中）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割. ①是一个戴德金分割； ②M没有最大元素，有一个最小元素； ③有一个最大元素，有一个最小元素； ④没有最大元素，没有最小元素； 上述选项中，可能成立的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意举出实例依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项①，因为，，，故①错误； 对选项②，设，，满足戴德金分割，则中没有最大元素，有一个最小元素，故②正确； 对选项③，若有一个最大元素，有一个最小元素，则不能同时满足，，故③错误； 对选项④，设，，满足戴德金分割，此时没有最大元素，也没有最小元素，故④正确. 故选：. 【变式1】（25-26高一上·湖北武汉·期中）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ACD 【分析】通过，确定集合，再通过选项逐个判断即可. 【详解】当时，， 当时，， 对选项A：若，，此时，满足； 对选项B：若，，此时，不满足； 对选项C：若，，此时，满足； 对选项D：若，，此时，满足； 故选：ACD. 【变式2】（24-25高一上·甘肃金昌·阶段检测）已知全集，是的非空子集，当时，且，则称为的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（   ） A．若中元素均为孤立元素，则中最多有个元素 B．若中不含孤立元素，则中最少有个元素 C．若中元素均为孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个 D．若中不含孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个 【答案】ABD 【分析】对于A，结合新定义说明中元素个数不可能大于，再说明可能有个元素； 对于B，结合定义举例说明， 对于C，列出符合条件的集合，即可判断； 对于D，列出符合条件的集合，再判断结论. 【详解】对于A，因为集合，，的并集为， 且集合，，中任意两个集合的交集都为空集， 若中的元素个数大于，则必有两个元素来自集合，，中的一个， 此时，集合中存在不是孤立元素的元素， 故若中元素均为孤立元素，则中的元素个数小于等于， 又时，中元素均为孤立元素， 所以若中元素均为孤立元素，则中最多有个元素， 对于B，若中只有1个元素，则必为孤立元素， 又集合时，中不含孤立元素，故B正确； 对于C，易知这样的集合有，，，；， ，；，；共个，故C错误； 对于D，，其中不含“孤立元素”且包含有四个元素的集合有 ，，，，，共6个，故D正确. 故选：ABD. 题型二 定义集合的新运算 解｜题｜技｜巧 - 先按给定的新运算规则，对具体数字/集合做1~2次运算，摸清运算律。 - 研究新运算是否满足交换律、结合律、分配律，找单位元、逆元。 - 与旧运算（交、并、补）类比，新运算往往是旧运算的变形或组合。 - 求新运算下的结果集合，可先列元素表，再按规则筛选。 易｜错｜点｜拨 - 把新运算当成普通加减乘除，想当然套用运算律（如默认交换律成立）。 - 运算顺序搞错，新运算与旧运算混合时未按括号优先级处理。 - 求新运算下集合的元素时，漏算组合情况或重复计数。 答｜题｜模｜板 1. 用具体例子试算新运算，明确运算规则； 2. 与旧运算对比，判断可类比的性质； 3. 列元素表/分步运算，逐步求出目标集合； 4. 对所得结果回代新运算规则验证。 【典例1】（25-26高一上·浙江宁波·期中）对于集合，，记，且，且，表示集合中元素的个数. (1)若，，求，； (2)试判断：是否成立，若成立则加以证明，若不成立，请举出反例； (3)已知有限集，，满足，试用含，的式子表示满足条件的集合的个数. 【答案】(1)，. (2) 成立，证明如下： 由题意可知：且，且， 所以且， 所以成立. (3). 【分析】（1）先求出集合M、N，进而可求出和，根据所给定义，即可求得答案. （2）由题意且，且，进而可得，分析即可得证. （3）画出Venn图，将划分成个集合，分别求出，，，进而可得，化简整理，分析计算，可得，不妨设集合，其中集合，，根据所给定义，化简整理，即可得答案. 【详解】（1）由已知得：，， 则：，， 故，. （2）略 （3）画出Venn图，将划分成个集合， 则：每一个集合的元素个数为：， 则：， ，， ， 由条件可得： ， 化简得：，即，得：，即. 由，可知：； ，可知：， 故. 不妨设集合，其中集合，. 由于，且，所以， 即：集合为集合的子集， 故满足条件的集合的个数等于满足条件的集合的个数，等于. 【典例2】（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素，结合集合描述法即可得结果； （2）分析可知，根据题意结合集合间的运算求解即可； （3）分析可知，且，结合题意即可得结果. 【详解】（1）由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素， 所以. （2）由题意可知：， 因为，， 则，， 所以或. （3）因为，，可知， 则，且， 又因为，可得， 所以实数的取值集合为. 【变式1】已知有限集，定义两个集合的差集为且，对称差为. (1)若，求集合. (2)已知集合.对任意非空有限实数集，设，记表示集合中的元素个数. （i）证明：； （ii）求的最小值. 【答案】(1) (2)（i） 若，则，且. 于是，，从而，，因此成立. 否则，若或，则必有， 综上，成立. （ii）2026 【分析】（1）根据新定义及集合的运算求解； （2）（i）根据新定义，分类讨论即可得解； （ii）令，首先证明，再证明存在集合使得即可得证. 【详解】（1）根据定义得， 则 （2）（i）略 （ii）令，首先证明. 依题意可知. 由（i）可知， 只需证明. 若，则，于是. 否则，不妨设中的最大元素为，且，则必有. 考虑元素. 若，又，因此； 若，则，由于，因此， 注意到，因此. 因此，对任意或中总有一个成立， 故. 因此. 综上可知，. 其次证明，存在集合使得， 取，此时. 于是，，此时. 综上可知，. 【变式2】若集合中的元素都可以表示为某两个整数的平方和，即，则称集合为“弦方集” (1)分别判断，，，是否为弦方集中的元素； (2)已知集合为弦方集，且，正整数能表示为某个整数的平方，证明：； (3)已知集合为弦方集，集合，证明：. 【答案】(1)是弦方集中的元素，不是弦方集中的元素； (2)依题意，集合为弦方集，且，即存在，使得， 正整数能表示为某个整数的平方，即存在， 所以， 所以是弦方集中的元素，即. (3)假设，则存在，， 使得，由于是奇数，所以是奇数， 所以一个是奇数，另一个是偶数， 不妨设， 则， 而除以的余数为，除以的余数为， 所以，与已知矛盾，所以. 【分析】（1）根据“弦方集”的元素的特征进行判断； （2）根据“弦方集”的定义证得结论成立； （3）利用反证法，先假设，根据“弦方集”的元素的特征以及整数的有关性质得出矛盾，从而证得. 【详解】（1）因为，所以是弦方集中的元素. 不存在，使得，所以不是弦方集中的元素. （2）略 （3）略 【点睛】方法点睛：解新定义题型的方法步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论； （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”，归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况； （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 题型三 定义集合的新性质 解｜题｜技｜巧 - 新性质通常形如”若对任意 ，都有 ，则称 具有某性质”——本质是对集合内元素的封闭性要求。 - 判断给定集合是否满足新性质：任取集合中代表元素，验证条件是否恒成立。 - 求满足新性质的集合：从性质条件反推元素必须满足的关系，再枚举/筛选。 - 区分”任意”与”存在”：全称量词下要所有元素都满足，存在量词下只要有一个即可。 易｜错｜点｜拨 - 混淆”任意”与”存在”：性质是全称要求时，只举一个元素满足就误判整个集合满足。 - 求参数范围时漏边界值，或把必要条件当充要条件。 - 忽略空集/单元素集等特殊集合是否满足新性质。 答｜题｜模｜板 1. 读出新性质中的量词（任意/存在）和等式关系； 2. 判断类问题：任取一般元素代入，验证性质是否恒成立； 3. 求解类问题：由性质条件列方程/不等式，反推参数或元素范围； 4. 检验特殊情形（空集、单元素、端点），下结论。 【典例1】已知数集具有性质P：对任意的i，，与两数中至少有一个属于A. (1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由； (2)证明：； (3)证明：. 【答案】(1) 由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P； 由于都属于数集，∴该数集具有性质P． (2) ∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A， 由于，∴，故． 从而，∴． (3) ∵， ∴，故． 由A具有性质P可知． 又∵， ∴， 从而． 【分析】（1）直接根据定义一一计算判定即可； （2）利用定义及元素的大小分析即可； （3）利用定义及元素的大小分析，结合不等式及集合元素的互异性证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【典例2】设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． (1)试判断集合是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明不可能具有性质； (3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 【答案】(1)具有性质，理由： ∵，，，，， ∴具有性质． (2) 假设具有性质，那么有1不能有4，有2不能有5，有3不能有6， 那么集合中最多有3个元素，与集合中含有4个元素矛盾， ∴不可能具有性质． (3)至多只有5个，理由： ．将这11个数分为，，，，，，，7个集合， ①5，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10； 选7则不选3，11；则只剩4，8，又不能同时选，故1，2，3．．．，11中属于集合的元素个数不超过5个． ②5，6，7选2个， 若选5，6，则1，2，9，10，7不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选5，7，则1，3，9，11，6不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． ③5，6，7中只选1个，又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个， 由上可知，属于集合的元素至多只有5个 【分析】（1）根据新定义判断是否具有性质即可； （2）利用反证法，假设具有性质，可得集合中最多有3个元素，与集合中含有4个元素矛盾，从而得证； （3）分①5，6，7同时选，②5，6，7选2个，③5，6，7中只选1个，三种情况讨论，分别利用新定义求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 【变式1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称具有孪生性质. (1)若集合，求集合，； (2)若集合，，且，求的值并证明：； (3)若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)， (2)，证明：由于集合，， 则集合的元素在0，，，中产生， 且，， 而，故中最大元素属于，而为4个元素中的最大者， 故，即， 故，故中的3个元素为0，，，所以只能与0或或重合， 而，故即. (3)1350 【分析】（1）根据题目所给新定义，写出集合即可； （2）根据题目所给新定义，以及题干所给元素大小关系，求出元素差的大小关系，在根据条件列出方程，求出结果即可； （3）根据题目所给新定义，判断集合中元素满足的性质，分别讨论元素满足的条件，列出集合中元素个数满足的不等式，求出结果即可. 【详解】（1）因为集合，所以由，，，可得； ，，，可得. （2）略 （3）设满足题意，设， 则， ，又，， ，，即， ， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ，即， . 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即，故的最小值为675， 于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合C中元素的个数的最大值是1350. 【变式2】已知数集具有性质：对任意的，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)求证：. 【答案】(1) 因为，所以具有性质；因为不存在，使得，所以不具有性质. (2)证明： 因为集合具有性质：对任意的，，使得成立，又因为， 所以，， 所以，，所以， 即. 【分析】（1）直接运用题设提供的条件进行验证即可；（2）运用题设条件中定义的信息可得 ，，及，，两式相加，即可证明. 【详解】（1）略； （2）略. 题型四 定义集合的新背景 解｜题｜技｜巧 - 新背景通常是在实际情境（如选课、排队、密码、信号、游戏）中包装集合语言。 - 剥去情境外衣：把实际对象抽象成元素，把规则翻译成集合的交并补关系。 - 画Venn图或表格，把各群体/类别之间的关系可视化。 - 抓住”分类”本质：新背景题大多是用集合语言做计数与分类。 易｜错｜点｜拨 - 被情境文字带偏，沉迷于故事背景而忽略数学本质。 - 分类不重不漏：多重条件叠加时，子集划分交叉或遗漏。 - 实际单位理解错误（如”至少”“至多”“都不”“不都”的否定形式）。 答｜题｜模｜板 1. 从背景中抽出元素全集，列出涉及的各个集合； 2. 把每条规则翻译成集合关系（交/并/补/包含）； 3. 画Venn图，标注已知量； 4. 按集合运算列式，求出目标数量或集合。 【典例1】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若集合A具有以下性质：（1），；（2）若x、，则，且时，.则称集合A是“完美集”．则下列说法正确的是（    ） A．集合是“完美集” B．有理数集Q是“完美集” C．设集合A是“完美集”，，则 D．设集合A是“完美集”，若，则 【答案】BCD 【分析】A选项，举出反例可得A错误；B选项，有理数集Q满足两个条件，B正确；C选项，得到，所以，C正确；D选项，若中有0或1时，显然，当均不为0，1时，得到，推出，，同理可知，，，，故，所以，，则，D正确. 【详解】A选项，取，则，集合不是“完美集”，A错误； B选项，有理数集Q满足（1），，（2）若，则， 且时，，故有理数集Q是“完美集”，B正确； C选项，集合A是“完美集”，，，则， 所以，C正确； D选项，集合A是“完美集”， ，，任取， 若中有0或1时，显然， 当均不为0，1时，则，显然， 所以，则， 由C可知，，同理可知， 由C可知，， 从可得，所以， 故，所以， ，则，D正确. 故选：BCD 【典例2】我们将数集的任意一个非空子集中的各元素之和称为的一个子集和（若的子集只有一个元素，则该元素为的一个子集和）.若有限数集中的元素均为正整数，且的任何两个子集和均不相等，则称为异和型集，下列结论正确的是（   ） A．集合的一个子集和可能为5 B．存在含有4个元素的异和型集，其元素均小于9 C．集合为异和型集 D．任意一个含有个元素的异和型集，其元素之和不小于 【答案】ABD 【分析】根据本题集合的新定义，逐个判断即可. 【详解】A选项：，且，故A选项正确； B选项：的子集和为, 满足任何两个子集和均不相等且元素均小于9，故B选项正确； C选项：的子集与的子集和相等，故不满足异和型集，故C选项不正确； D选项：当集合含有n个元素的异和型集时，设 设为数列的前项和，则，∴ 要想最小，则，，此时，故D选项正确； 故选：ABD 【变式1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）对任意集合，记，且，并称为集合的相异集，则（   ） A． B．若，则 C．命题“若，则”为假命题 D．若，则是成立的充要条件 【答案】AD 【分析】根据集合的新定义结合并集及子集定义分别计算判断各个选项即可. 【详解】对A，且，A正确； 对B，若，当时，，， 且，当时，假设，则，故，B错误； 对C，若，则C错误； 对D，由得，反之也成立，D正确． 故选：AD 【变式2】（25-26高一上·浙江宁波·期中）设二维实向量空间为，若且满足以下所有条件，则称为“完美集”：①；②对任意的，任意，都有 .则下列命题正确的是（    ） A．若为“完美集”，则集合也是“完美集” B．若，都是“完美集”，则集合也是“完美集” C．若，都是“完美集”，且，则也是“完美集” D．若，都是“完美集”，则也是“完美集” 【答案】BC 【分析】通过举反例判断AD，通过新定义，结合元素与集合的关系逐项判断即可． 【详解】对于A，取，符合完美集， 则， 取，取， 则，不满足条件，故A错误， 对于B，若，都是“完美集”，则， 任取两个元素，根据的定义，存在和， 使得，， 对任意，，， ， 故，B正确； 对于C，由已知 ，对任意，则，， 因此对任意，，， 所以，C正确． 对于D，取，，都是完美集， 则 ， 取，，取，则，不满足条件，故D错误. 题型五 集合新定义综合压轴 解｜题｜技｜巧 - 压轴题通常分三小问递进：第1问直接套定义（送分），第2问利用第1问结论探究性质，第3问一般化为参数讨论或证明。 - 逐问递进：前一问的结论往往是后一问的阶梯，不要跳问做。 - 第3问常用方法：① 特例探路 → ② 归纳猜想 → ③ 严格证明（反证、分类讨论）。 - 涉及参数时，按参数取值分类讨论，注意空集、端点、特殊值。 - 证明集合相等/包含时，用定义法：互相属于。 易｜错｜点｜拨 - 跳问做题，忽略前问结论对后问的铺垫作用。 - 把”探究”当”证明”：只给特例不给一般论证，或反过来。 - 新定义与旧知识结合时，新旧概念混淆。 【典例1】“笛卡尔积”是一个很有趣的问题．设是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，并记集合中的元素个数为． (1)若，，求与； (2)若，，为素数，且对任意的恒成立，求实数的最大值，并写出当取到最大值时一组符合条件的． 【答案】(1)； ； (2)，.(答案不唯一，只需满足，即可). 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）由题意可得，或，，结合基本不等式及为素数求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以； ； （2）因为，，为素数， 所以，或，， 当，时， ， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为为素数，所以等号不成立； 当，时， ， 又因为， 当且仅当，即时等号成立，满足为素数， 所以当时，取最大值为. 此时符合条件的一组集合是. (答案不唯一，只需满足，即可) 【典例2】对任意正整数，定义集合.设，定义：，. (1)__________（填“”或“”）；__________（填“”或“”）； (2)设，，，，求； (3)证明：对任意，存在，满足：，且. 【答案】(1)；； (2) (3) 设，， 则， 任取，令， 则，， 所以， 同理， 而中有个元素，， 所以必存在中的两个不同的元素，使得， 令，则，且且. 【分析】（1），故，是的真子集，故； （2），为偶数，必为偶数，推出，此时，又，同理可得，，求出答案； （3）设，，由绝对值不等式得到，，同理可得，，而中有个元素，，所以必存在中的两个不同的元素，令，满足要求. 【详解】（1）显然，故， ， ， 由于是的真子集，故， （2）设，则 ∴必为偶数，因此. 当时，，与矛盾； 当时，，与矛盾； 所以. 又因为，所以同理得. 所以. （3）略 【变式1】已知，，的所有非空子集的所有元素和分别为，若互不相等，则称具有“和而不同”性质．此时记． (1)判断和是否具有“和而不同”性质，若具有，写出或； (2)若且具有“和而不同”性质，判断命题“中元素个数最大值为3”是否正确，并说明理由； (3)若集合，都具有“和而不同”性质，判断“”是不是“”的充分条件，并说明理由． 【答案】(1)集合具有“和而不同”性质，，集合不具有“和而不同”性质 (2)不正确，理由如下： 因为，例如， 则其非空子集分别为，， 则对应的所有元素和分别为，互不相等， 可知集合具有“和而不同”性质，但集合的元素个数为4， 所以命题“中元素个数最大值为3”不正确. (3)是，理由如下： 若，可知集合的元素个数相同， 设，，其中， 且，， 定义为非空数集中元素的最小值， 不妨设，， 可知，， 若，则，即； 设，，，且，， 则，， 假设集合中不包含的非空子集对应的所有元素和为， 集合中不包含的非空子集对应的所有元素和为， 可知集合的非空子集对应的所有元素和为， 则为集合中的不同元素，即集合的非空子集对应的元素和互不相等， 可知集合具有“和而不同”性质，且； 同理可得：集合具有“和而不同”性质，且； 因为，则集合，即， 可得，即； 依次类推，可得，所以. 【分析】（1）对于集合：求其非空子集对应的所有元素和，进而判断，对于集合：举反例说明即可； （2）取反例，根据题意证明其具有“和而不同”性质即可； （3）根据题意从最小元素开始证明，逐步去掉最小元素，结合“和而不同”性质可得元素相等，进而可得集合相等. 【详解】（1）对于集合，其非空子集为， 则对应的所有元素和分别为，互不相等， 所以集合具有“和而不同”性质，且； 对于集合，可知集合和为其非空子集， 但对于的所有元素和均为，所以集合不具有“和而不同”性质. （2）略 （3）略 【变式2】（25-26高一上·山东威海·期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值. 【答案】(1)， (2) 点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明如下： 因为点是点的“上位点”，所以， 因为， 所以，所以点是点的“下位点”， 因为， 所以，所以点是点的“上位点”； 所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”； (3)4039 【分析】（1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，可得出点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为； （2）由点是点的“上位点”得出，然后利用作差法得出与、的大小关系，结合“下位点”和“上位点”的定义可得出结论； （3）先由推导出，结合（2）中的结论，可得，，满足条件，可得出的最小值. 【详解】（1）由， 根据题意的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和. （2）略 （3）若正整数满足条件，在，时恒成立， 即， 所以所以， 所以，在，时恒成立， 所以， 又由（2）中的结论可知，，时，满足条件， 因此，的最小值为4039． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·重庆·期中）定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据给定定义求出中的所有元素即可. 【详解】，当时，； 当时，；时，， 因此，所以中元素个数为5. 故选：C 2．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知集合A，B，定义集合且.若，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合,,再由定义求出集合. 【详解】易得 且. 故选：B 3．（25-26高一上·江苏南京·期中）在本题中，我们把且叫做集合A与B的差集，记作．设，，则________________． 【答案】 【分析】根据差集定义求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以. 故答案为： 4．（25-26高一上·陕西西安·期中）对于非空数集A，B，定义，将称为“A与B的笛卡尔积”.记非空数集M的元素个数为，由笛卡尔积的定义可知.若A，B是两个非空数集，则的最小值是__________. 【答案】4 【分析】设，根据定义有，利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】设，则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值是4. 故答案为：4. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·上海徐汇·期中）非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； (3)若题设中的或都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. 【答案】(1) ，当时，，，是“坏集”. ，不妨设， 当时，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 对于任意，，若数或中至少有一个属于，所以集合是“好集”. (2) 假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为， 则，，，， ，，有限集合是“坏集”. (3) “超级好集”且. 【分析】（1）根据集合是“好集”的定义对集合和中的元素一一验证数或中至少有一个属于是否成立，即可得解； （2）假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为，则，，由，，得到，，则有限集合是“坏集”； （3）由且时，，则为“超级好集”；由（2）的结论证明集合中不可能存在其它元素，从而得到满足题意的“超级好集”且. 【详解】（1）略 （2）略 （3）当且时，，则为“超级好集”； 下面证明：集合中不可能存在其它元素. 由（2）知：集合不可能同时大于1和小于1的元素， 若，且为中大于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 若，且为中小于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 中不可能存在其它元素. 满足题意的“超级好集”且. 2．（25-26高一上·四川遂宁·期中）现有集合，集合 (1)判断中哪些元素属于集合B； (2)求证：若，则； (3)求证：若，则有且为奇数. 【答案】(1)， (2) 当时，令，为整数， 则， 显然都是整数，因此， 当时，，则，所以. (3) 由， 得， 则都是整数，为整数， 因此，即， 由是整数，得是偶数，或都是奇数，则是奇数，是奇数， 所以且是奇数. 【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可. （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证. （3）根据给定条件可得，进而求出，再推理说明是奇数即可. 【详解】（1）由，得； 由，得； 由没有倒数，得； 由，得， 所以，. （2）略 （3）略 3．（25-26高一上·江西赣州·期中）对任意给定的不小于3的正整数n，n元集合（含有n个元素的集合），均为正整数集的子集，若集合A和集合B满足①，②，③，则称集合A，B互为不交双等集． (1)分别判断集合与和集合与是否互为不交双等集，请说明理由． (2)若集合与集合互为不交双等集，求的值． (3)证明：对任意给定的正整数，存在两个n元正整数集M，N互为不交双等集． 【答案】(1)，不互为不交双等集，集合，互为不交双等集，理由如下： 因为，， 所以集合，不满足条件②， 则集合，不互为不交双等集． 因为，，，， 且， 所以集合，互为不交双等集． (2)或 (3) 引理1：设m元不交双等集对和n元不交双等集对，可由此构造元不交双等集对． 引理1证明：必有，，， ，，， 对于任意的正整数，为元不交双等集对， 显然存在足够大得正整数，使得， 满足， 所以， ，， ，则互为元不交双等集． 引理2：由引理1中得已知得两个不交双等集对可由此构造元不交双等集对. 引理2证明：当时由引理1中得构造方法可知存在元不交双等集对， 再对此元不交双等集对和元不交双等集对重复使用引理1可构造元不交双等集对. 再对此元不交双等集对和元子集对， 使用引理1，可构造元不交双等子集对. 现在来证明对任意给定的正整数，存在两个n元正整数集M，N互为不交双等集． 证明：由（1）（2）可知和互为4元不交双等集， 为三元不交双等集对； 易证和互为4元不交双等集， 和互为3元不交双等集， 进而得到和互为5元不交双等集． 当时，由引理2可得结论正确； 当时，由引理2可构造元不交双等集对， 再和1个4元不交双等集利用引理2构造得到； 当，由引理2可构造元不交双等集对， 再和1个5元不交双等集利用引理2构造得到． 故对任意给定的正整数，存在两个n元正整数集M，N互为不交双等集． 【分析】（1）由集合新定义可得； （2）由集合新定义解方程组可得； （3）先证明引理1：设m元不交双等集对和n元不交双等集对，可由此构造元不交双等集对．引理2：由引理1中得已知得两个不交双等集对可由此构造元不交双等集对.然后利用（1）（2）的结论得到3元，4元，5元不交双等集对，进而按照分类即可证得. 【详解】（1）略 （2）由不交双等集的定义可得， 解得或，则或． （3）略 4．（25-26高一上·福建福州·期中）已知集合，其中，新定义1个性质G：若对任意的，必有，则称集合A具有性质G．由A中元素可构成两个点集P和Q：，，其中P中有m个元素，Q中有n个元素． (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由； (2)集合A具有性质G，若，求：集合Q最多有几个元素？ (3)试判断：集合A具有性质G是的什么条件（写出结论即可）． 【答案】(1) 集合不具有性质，理由如下： 由于，不符合定义故不具有性质； 集合具有性质，对应集合，； 集合不是整数集，所以不具有性质. (2)4950 (3)充分不必要条件 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【详解】（1）略 （2）由题意可知集合A的元素构成有序数对，共有个， 因为，所以 又因为时，，所以时，， 所以集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为4950个， 故中元素的个数最多4950. （3）充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知. 若，则， ， 满足，而集合不具有性质. 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 集合的新定义与创新情境（期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 定义集合的新概念题型 02 定义集合的新运算 题型03 定义集合的新性质题型 04 定义集合的新背景 题型05 集合新定义综合压轴 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 新定义集合的概念辨析 熟练掌握解读题目给出的新定义问题的方法。 以压轴题为主，难度较大，题目所给新定义经常看不懂。 新运算的运算律与封闭性 熟练利用题目所给运算规则进行计算。 以压轴题为主，难度较大，对运算规则解读不充分导致计算错误。 Venn 图与数轴的创新应用 熟练利用Venn 图与数轴解决新定义问题。 以压轴题为主，难度较大，对Venn 图与数轴的性质利用不充分。 存在性与任意性问题 熟练解决新定义问题中的存在性与任意性问题。 以压轴题为主，难度较大，容易混淆存在性与任意性问题。 知识点01 新运算定义型问题 核心概念：题目给出集合间的一种新运算符号（如 、、 等），要求按定义进行运算或判断性质。本质是“照章办事”——严格按题目给出的定义套，不凭经验臆测。 解题原理： 1. 读定义：把新运算的文字描述或集合表达式读懂，明确“怎么算”； 2. 翻译：将新运算翻译成已经学过的交、并、补运算； 3. 代值验证：有限集用列举法把元素代入算一遍； 4. 判断性质：交换律、结合律、单位元等用具体例子验证。 ·示例：定义集合运算 ，设 ，，求 。 解：，， 故 。 ·易错点：把新运算当成普通加减乘除，或默认它满足交换律、结合律而不验证。 知识点02 新集合性质判断（封闭性等） 核心概念：题目定义一类“特殊集合”（如“好集合”“友好集合”“封闭集合”），要求判断某集合是否符合，或求参数。 解题原理： 1. 抠定义：把定义中的关键词逐条标出； 2. 举例子：构造符合/不符合的具体集合验证； 3. 反例法：判断“不满足”时，找一个反例即可。 典型模型： - 封闭性：若集合中任意两个元素经某运算后结果仍在集合内，则称该集合对该运算封闭； - “好集合”型：如“若 ，则 ”； - 倍集：如“集合 中任意元素都是 的倍数”。 ·易错点：只验证“正方向”，忽略“任意”二字——必须对集合中所有元素对都成立。 知识点03 创新情境——实际问题集合建模 核心概念：把实际问题（人群分类、课程选择、电路开关、赛程安排等）转化为集合语言，再用交、并、补求解。 解题原理： 1. 设全集：把研究对象总体设为全集 ； 2. 分集合：按条件把每类人/物设为 ； 3. 画 Venn 图：把已知数量填入图中； 4. 列方程：利用容斥原理列方程求解。 容斥原理公式： ·示例：某班 50 人，参加数学小组的有 30 人，参加物理小组的有 26 人，两科都参加的有 15 人，问两科都不参加的有多少人？ 解：设全集为全班 50 人，=数学组，=物理组。 两科都不参加：（人）。 ·易错点：容斥原理记反符号，把 多加或少减；Venn 图中重叠区域重复计算。 知识点04 新定义与参数综合问题 核心概念：新定义中嵌入参数，要求根据定义条件求参数取值范围。 解题原理： 1. 先读懂新定义对集合元素的要求； 2. 把要求翻译为不等式/方程； 3. 结合本单元参数问题的三大闸门（空集、等号、互异）求解。 ·易错点：新定义含参数时，优先试“端点元素两两组合”——最大+最大、最小+最小、最大+最小，往往边界就藏在这里。 知识点05 数集新定义 核心概念：对单个元素或数对给出新命名（如“好数”“友好对”），要求统计个数或求参数。 解题技巧： 1. 列举法：集合元素个数有限时，直接列举所有元素逐一判断； 2. 分类枚举：按大小、奇偶、正负分类枚举，避免重复； 3. 计数原理：用排列组合思想数满足条件的个数。 ·示例：设 ，定义“友好对” 满足 为偶数，求友好对的个数。 解： 为偶数 同奇偶。 中奇数：（3 个）；偶数：（2 个）。 友好对个数 。 题型一 定义集合的新概念 解｜题｜技｜巧 - 读懂定义：逐字推敲新概念的全称、条件、结论，用自己的话复述一遍。 - 紧扣定义：判断元素/集合是否符合新概念，唯一依据是题目给出的定义，不要用课本旧概念去套。 - 举特例验证：从简单元素（0、1、空集）入手代入定义，快速把握新概念本质。 - 翻译转化：把新定义翻译成已有数学语言（如”友集”“好集”往往就是某种等式/不等式关系）。 易｜错｜点｜拨 - 望文生义：被新概念的名字干扰，按日常理解做题，偏离题目给出的严格定义。 - 漏看限定条件：定义中”对任意”“存在”“当且仅当”等量词遗漏，导致判断相反。 - 举特例时选了特殊情况，以偏概全，把特殊结论当一般结论。 答｜题｜模｜板 1. 精读定义，圈出关键词（量词、运算关系、限制条件）； 2. 用1~2个具体元素代入定义，验证理解是否正确； 3. 将新定义翻译为方程/不等式/集合关系； 4. 按定义逐条验证所给元素或集合，下结论。 【典例1】（25-26高一上·上海浦东新区·期中）给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（   ） ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合，为闭集合，则为闭集合； ④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得. A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】（25-26高一上·北京·期中）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割. ①是一个戴德金分割； ②M没有最大元素，有一个最小元素； ③有一个最大元素，有一个最小元素； ④没有最大元素，没有最小元素； 上述选项中，可能成立的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（25-26高一上·湖北武汉·期中）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【变式2】（24-25高一上·甘肃金昌·阶段检测）已知全集，是的非空子集，当时，且，则称为的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（   ） A．若中元素均为孤立元素，则中最多有个元素 B．若中不含孤立元素，则中最少有个元素 C．若中元素均为孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个 D．若中不含孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个 题型二 定义集合的新运算 解｜题｜技｜巧 - 先按给定的新运算规则，对具体数字/集合做1~2次运算，摸清运算律。 - 研究新运算是否满足交换律、结合律、分配律，找单位元、逆元。 - 与旧运算（交、并、补）类比，新运算往往是旧运算的变形或组合。 - 求新运算下的结果集合，可先列元素表，再按规则筛选。 易｜错｜点｜拨 - 把新运算当成普通加减乘除，想当然套用运算律（如默认交换律成立）。 - 运算顺序搞错，新运算与旧运算混合时未按括号优先级处理。 - 求新运算下集合的元素时，漏算组合情况或重复计数。 答｜题｜模｜板 1. 用具体例子试算新运算，明确运算规则； 2. 与旧运算对比，判断可类比的性质； 3. 列元素表/分步运算，逐步求出目标集合； 4. 对所得结果回代新运算规则验证。 【典例1】（25-26高一上·浙江宁波·期中）对于集合，，记，且，且，表示集合中元素的个数. (1)若，，求，； (2)试判断：是否成立，若成立则加以证明，若不成立，请举出反例； (3)已知有限集，，满足，试用含，的式子表示满足条件的集合的个数. 【典例2】（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【变式1】已知有限集，定义两个集合的差集为且，对称差为. (1)若，求集合. (2)已知集合.对任意非空有限实数集，设，记表示集合中的元素个数. （i）证明：； （ii）求的最小值. 【变式2】若集合中的元素都可以表示为某两个整数的平方和，即，则称集合为“弦方集” (1)分别判断，，，是否为弦方集中的元素； (2)已知集合为弦方集，且，正整数能表示为某个整数的平方，证明：； (3)已知集合为弦方集，集合，证明：. 题型三 定义集合的新性质 解｜题｜技｜巧 - 新性质通常形如”若对任意 ，都有 ，则称 具有某性质”——本质是对集合内元素的封闭性要求。 - 判断给定集合是否满足新性质：任取集合中代表元素，验证条件是否恒成立。 - 求满足新性质的集合：从性质条件反推元素必须满足的关系，再枚举/筛选。 - 区分”任意”与”存在”：全称量词下要所有元素都满足，存在量词下只要有一个即可。 易｜错｜点｜拨 - 混淆”任意”与”存在”：性质是全称要求时，只举一个元素满足就误判整个集合满足。 - 求参数范围时漏边界值，或把必要条件当充要条件。 - 忽略空集/单元素集等特殊集合是否满足新性质。 答｜题｜模｜板 1. 读出新性质中的量词（任意/存在）和等式关系； 2. 判断类问题：任取一般元素代入，验证性质是否恒成立； 3. 求解类问题：由性质条件列方程/不等式，反推参数或元素范围； 4. 检验特殊情形（空集、单元素、端点），下结论。 【典例1】已知数集具有性质P：对任意的i，，与两数中至少有一个属于A. (1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由； (2)证明：； (3)证明：. 【典例2】设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． (1)试判断集合是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明不可能具有性质； (3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 【变式1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称具有孪生性质. (1)若集合，求集合，； (2)若集合，，且，求的值并证明：； (3)若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【变式2】已知数集具有性质：对任意的，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)求证：. 题型四 定义集合的新背景 解｜题｜技｜巧 - 新背景通常是在实际情境（如选课、排队、密码、信号、游戏）中包装集合语言。 - 剥去情境外衣：把实际对象抽象成元素，把规则翻译成集合的交并补关系。 - 画Venn图或表格，把各群体/类别之间的关系可视化。 - 抓住”分类”本质：新背景题大多是用集合语言做计数与分类。 易｜错｜点｜拨 - 被情境文字带偏，沉迷于故事背景而忽略数学本质。 - 分类不重不漏：多重条件叠加时，子集划分交叉或遗漏。 - 实际单位理解错误（如”至少”“至多”“都不”“不都”的否定形式）。 答｜题｜模｜板 1. 从背景中抽出元素全集，列出涉及的各个集合； 2. 把每条规则翻译成集合关系（交/并/补/包含）； 3. 画Venn图，标注已知量； 4. 按集合运算列式，求出目标数量或集合。 【典例1】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若集合A具有以下性质：（1），；（2）若x、，则，且时，.则称集合A是“完美集”．则下列说法正确的是（    ） A．集合是“完美集” B．有理数集Q是“完美集” C．设集合A是“完美集”，，则 D．设集合A是“完美集”，若，则 【典例2】我们将数集的任意一个非空子集中的各元素之和称为的一个子集和（若的子集只有一个元素，则该元素为的一个子集和）.若有限数集中的元素均为正整数，且的任何两个子集和均不相等，则称为异和型集，下列结论正确的是（   ） A．集合的一个子集和可能为5 B．存在含有4个元素的异和型集，其元素均小于9 C．集合为异和型集 D．任意一个含有个元素的异和型集，其元素之和不小于 【变式1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）对任意集合，记，且，并称为集合的相异集，则（   ） A． B．若，则 C．命题“若，则”为假命题 D．若，则是成立的充要条件 【变式2】（25-26高一上·浙江宁波·期中）设二维实向量空间为，若且满足以下所有条件，则称为“完美集”：①；②对任意的，任意，都有 .则下列命题正确的是（    ） A．若为“完美集”，则集合也是“完美集” B．若，都是“完美集”，则集合也是“完美集” C．若，都是“完美集”，且，则也是“完美集” D．若，都是“完美集”，则也是“完美集” 题型五 集合新定义综合压轴 解｜题｜技｜巧 - 压轴题通常分三小问递进：第1问直接套定义（送分），第2问利用第1问结论探究性质，第3问一般化为参数讨论或证明。 - 逐问递进：前一问的结论往往是后一问的阶梯，不要跳问做。 - 第3问常用方法：① 特例探路 → ② 归纳猜想 → ③ 严格证明（反证、分类讨论）。 - 涉及参数时，按参数取值分类讨论，注意空集、端点、特殊值。 - 证明集合相等/包含时，用定义法：互相属于。 易｜错｜点｜拨 - 跳问做题，忽略前问结论对后问的铺垫作用。 - 把”探究”当”证明”：只给特例不给一般论证，或反过来。 - 新定义与旧知识结合时，新旧概念混淆。 【典例1】“笛卡尔积”是一个很有趣的问题．设是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，并记集合中的元素个数为． (1)若，，求与； (2)若，，为素数，且对任意的恒成立，求实数的最大值，并写出当取到最大值时一组符合条件的． 【典例2】对任意正整数，定义集合.设，定义：，. (1)__________（填“”或“”）；__________（填“”或“”）； (2)设，，，，求； (3)证明：对任意，存在，满足：，且. 【变式1】已知，，的所有非空子集的所有元素和分别为，若互不相等，则称具有“和而不同”性质．此时记． (1)判断和是否具有“和而不同”性质，若具有，写出或； (2)若且具有“和而不同”性质，判断命题“中元素个数最大值为3”是否正确，并说明理由； (3)若集合，都具有“和而不同”性质，判断“”是不是“”的充分条件，并说明理由． 【变式2】（25-26高一上·山东威海·期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·重庆·期中）定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知集合A，B，定义集合且.若，则集合（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏南京·期中）在本题中，我们把且叫做集合A与B的差集，记作．设，，则________________． 4．（25-26高一上·陕西西安·期中）对于非空数集A，B，定义，将称为“A与B的笛卡尔积”.记非空数集M的元素个数为，由笛卡尔积的定义可知.若A，B是两个非空数集，则的最小值是__________. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·上海徐汇·期中）非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； (3)若题设中的或都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. 2．（25-26高一上·四川遂宁·期中）现有集合，集合 (1)判断中哪些元素属于集合B； (2)求证：若，则； (3)求证：若，则有且为奇数. 3．（25-26高一上·江西赣州·期中）对任意给定的不小于3的正整数n，n元集合（含有n个元素的集合），均为正整数集的子集，若集合A和集合B满足①，②，③，则称集合A，B互为不交双等集． (1)分别判断集合与和集合与是否互为不交双等集，请说明理由． (2)若集合与集合互为不交双等集，求的值． (3)证明：对任意给定的正整数，存在两个n元正整数集M，N互为不交双等集． 4．（25-26高一上·福建福州·期中）已知集合，其中，新定义1个性质G：若对任意的，必有，则称集合A具有性质G．由A中元素可构成两个点集P和Q：，，其中P中有m个元素，Q中有n个元素． (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由； (2)集合A具有性质G，若，求：集合Q最多有几个元素？ (3)试判断：集合A具有性质G是的什么条件（写出结论即可）． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $