专题04 基本不等式求最值的常用技巧（期中复习讲义·培优版）高一数学上学期人教A版

专题04 基本不等式求最值的常用技巧 （期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 直接利用基本不等式求最值 题型02 配凑法求最值 题型03 分离常数法求最值 题型04 “1”的妙用求最值 题型05 联立消元法与设“k”法求最值 题型06 多次使用基本不等式求最值 题型07 三元均值不等式 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 基本不等式直接应用 牢记"一正、二定、三相等"三条件，能直接由积定求和最小、和定求积最大 选择填空高频基础题；易错点集中在忽略各项为正、等号取不到 凑项、凑系数 对和/积不定的式子，通过加减常数、乘除系数，配凑出"积定"或"和定"结构 中档题主流考法，靠观察系数与常数灵活配凑 “1”的代换 已知 ax+by=m 或含"1"的等式时，将目标式乘"1"整体展开，连用基本不等式 高考热点题型，常与条件等式结合，考查整体代换思想 分式拆项、分离常数 对形如分子分母同次的分式，分离为整式+真分式后再用基本不等式 易在定义域限制、等号不成立时出错，须检验等号条件 知识点01 基本不等式核心公式 核心公式： 即 和 ≥ 2倍算术根，当且仅当 时取等号。 均值不等式链： （调和 ≤ 几何 ≤ 算术 ≤ 平方平均） 使用三条件（“一正二定三相等”）： 1. 一正：各项必须为正； 1. 二定：求和最小要积为定值，求积最大要和为定值； 1. 三相等：等号必须能取到（各变量相等时）。 易错点： · 易错点总结：三条件缺一不可，尤其”等号成立”被忽略——看着像用了基本不等式，实际上等号取不到，结果错。 · 注意事项总结：每次用基本不等式求最值，必须回头检验等号条件，写”当且仅当…时取等号”。 知识点02 凑项法（拆常数配定值） 核心思想：把原式拆出”和为定值”或”积为定值”的结构。 常用技巧：当出现 型时，直接用；当出现 型时，提取系数配凑。 示例： 求 （）的最小值。 解：由基本不等式 当且仅当 ，即 时取等号。 故 。 易错点： · 易错点总结：直接套公式不凑项，导致乘积不是定值。 · 注意事项总结：看到” 分式”且分母含 ，先把 拆成分母形式（如 ），配出定值。 知识点03 凑系数法 核心思想：当两个变量系数不一致时，乘一个常数使乘积为定值。 示例： 求 （）的最大值。 解：注意 ，。凑系数： 当且仅当 ，即 时取等号。 故 。 易错点： · 易错点总结：直接对 和 用不等式，忽略它们系数不等，乘完不是常数。 · 注意事项总结：两式和要凑成常数，乘除系数时别漏了前面的系数（本题 ）。 知识点04 “1”的代换 核心模型：已知 （或类似定值），求 的最小值。 核心方法：把要求的式子整体乘以”1”（即已知条件），展开后用基本不等式。 示例： 已知 ，，求 的最小值。 解：1的代换—— 当且仅当 ，即 时取等号。 故 。 易错点： · 易错点总结：不乘1，直接对 用不等式，导致积不定。 · 注意事项总结：看到”已知和为定值，求倒数和”或反过来，立刻想到1的代换——把要求的式子乘以已知的定值。 知识点05 拆项法 核心思想：把分子凑成分母的多项式，分离出常数。 示例： 求 （）的最小值。 解：令 ，，则 当且仅当 时取等号。 易错点： · 易错点总结：硬通分不换元，式子越化越复杂。 · 注意事项总结：分式分子次数 ≥ 分母次数时，先分离常数或换元，把它化成”对勾函数”型。 知识点06 取倒数法 核心思想：当原式不好直接用时，两边取倒数，凑出 型。 适用场景：分式结构中分子简单、分母复杂。 示例： 求 （）的最大值。 解：取倒数： 故 ，当且仅当 时取等号，。 易错点： · 易错点总结：取倒数后不等式方向搞反—— 推出的是 ，不是 。 · 注意事项总结：取倒数后注意不等号方向改变，且必须确认 。 知识点07 多次连用与等号一致性 核心原则：多次使用基本不等式时，每一次的等号条件必须能同时成立。 示例（经典陷阱）： 求 （）的最大值。 错误做法： 再乘 继续放缩——两次等号条件不一致，错。 正确做法： 令 ，或配系数： 故 ，当 即 时取等号。 易错点： · 易错点总结：多次连用基本不等式，但等号条件矛盾——第一次要 ，第二次要 ，结果 不满足原式。 · 注意事项总结：连用后必须联立等号条件，看能否同时成立；不能就换方法（如拆系数使三项相等）。 知识点08 消元法（多元变一元） 核心思想：条件中含两个变量，先利用条件消去一个，只剩一元函数再求最值。 示例： 已知 ，，求 的最大值。 解：（）， 当 即 时取等号。 易错点： · 易错点总结：消元后忽略新变量的范围（如 ），导致等号取不到。 · 注意事项总结：消元后立刻写新变量的定义域，检查等号点是否落在定义域内。 题型一 直接利用基本不等式求最值 解｜题｜技｜巧 - 基本不等式：（），积定和最小，和定积最大。 - 直接套用的前提：一正（各项为正）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到）。 - 形如 （）型，直接得最小值 。 易｜错｜点｜拨 - 忽视”正”的条件： 时不能直接用，需先变号。 - 忽视”定”：和或积不是定值时不能直接得最值。 - 忽视”相等”：等号取不到时，“最值”只是下界，不是真最值（需用对勾函数单调性补位）。 答｜题｜模｜板 1. 确认各项为正； 2. 验证和/积为定值； 3. 用基本不等式放缩； 4. 验证等号成立条件（），写出最值。 【典例1】若，，且，则有（    ） A．最大值 B．最大值3 C．最小值 D．最小值3 【典例2】（25-26高一上·四川南充·期中）若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（25-26高一上·山东德州·期中）若，则的最小值为________． 【变式2】当时，函数的最小值为 ________________ ． 题型二 配凑法求最值 解｜题｜技｜巧 - 目的：通过加一项、减一项、乘一项、除一项，凑出”和定”或”积定”的结构。 - 常见配凑： - （）凑成 ； - 型凑积定。 - 配凑后整体换元，注意新元的范围必须为正。 易｜错｜点｜拨 - 配凑后忘记整体换元的范围检验。 - 配凑方向错误：该凑积定却凑成和不定。 - 拆项不对应：配凑后两项乘积不为定值。 答｜题｜模｜板 1. 观察原式结构，确定需要凑出”和定”还是”积定”； 2. 拆项/添项，配出 型结构； 3. 对新整体用基本不等式； 4. 验证等号条件，写出最值。 【典例1】（25-26高一上·四川雅安·期中）已知 ，则代数式 的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【典例2】（25-26高一上·山东济宁·期中）已知，则的最大值为（     ） A．8 B．6 C．5 D．4 【变式1】（25-26高一上·广东中山·期中）已知，则的最小值是______. 【变式2】若，则的最大值为________． 题型三 分离常数法求最值 解｜题｜技｜巧 - 适用于分子分母均为一次（或同次）的分式，如 型。 - 分离常数：把分子凑成分母的倍数加常数，化为”常数 + “结构。 - 分离后再用基本不等式或对勾函数单调性求最值。 易｜错｜点｜拨 - 分离常数时计算错误，分子拆项对不齐。 - 分离后未注意分母的正负，直接套用基本不等式。 - 忽略自变量范围导致新结构不再满足”正”的条件。 答｜题｜模｜板 1. 将分式分子按分母的倍数拆分； 2. 分离出常数项，化为”常数 + 倒数型”； 3. 判断符号后用基本不等式； 4. 验证等号，写出最值。 【典例1】（25-26高一上·贵州黔西南·期中）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【典例2】若，则当取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·河南南阳·期中）已知，则的最小值为______． 【变式2】（25-26高一上·甘肃平凉·期中）已知，则的最小值为______. 题型四 “1”的妙用求最值 解｜题｜技｜巧 - 适用：已知 （或 ），求 的最小值。 - 技巧：把所求式乘以已知条件中的”1”，即，展开后用基本不等式。 - 若已知和为 而非1，先除以 凑出”1”。 易｜错｜点｜拨 - 乘”1”后展开不彻底，漏项。 - 两次用基本不等式时，等号条件不一致（详见题型06）。 - 忽略 的正值条件。 答｜题｜模｜板 1. 从已知条件中凑出”1”； 2. 所求式整体乘以这个”1”； 3. 展开，凑出 型结构； 4. 用基本不等式，验证等号同时成立。 【典例1】（25-26高一上·江西南昌·期中）已知实数，，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·湖南长沙·期中）设，，且，则的最小值为（   ） A．8 B． C．10 D． 【变式1】（25-26高一下·四川眉山·期中）已知为正数，，则的最小值为_________. 【变式2】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）若，且，则的最小值是___________． 题型五 联立消元法与设“k”法求最值 解｜题｜技｜巧 - 消元法：已知两个变量的等式关系，解出一个变量代入目标式，化为单变量最值。 - 设”k”法：设目标式 ，整理为关于某变量的方程，用判别式 求 的范围。 - 消元后注意自变量的隐含范围（由原等式和正数条件确定）。 易｜错｜点｜拨 - 消元后忘写自变量范围，导致最值取错。 - 设 法化为方程后，忽略二次项系数为零的情况。 - 判别式法求出范围后，未检验端点能否取到。 答｜题｜模｜板 1. 消元法：由已知等式解出一个变量代入目标式； 2. 化为单变量函数，确定自变量范围； 3. 或设 法：令目标式 ，整理为方程； 4. 用判别式/基本不等式求最值，验证端点。 【典例1】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，则下列正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【典例2】（25-26高一上·福建福州·期中）已知正数满足，下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为1 C．的最小值为12 D．的最小值为14 【变式1】已知，均为正实数，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·山东淄博·期中）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最大值为8 B．的最小值为8 C．的最小值为 D．的最小值为 题型六 多次使用基本不等式求最值 解｜题｜技｜巧 - 多次连用基本不等式时，每一步的等号条件必须同时成立，否则结果不是真最值。 - 策略：尽量一步到位；若必须分步，记录每步等号成立条件，联立看是否相容。 - 常见连用：先在子式上用一次，再对整体用一次。 易｜错｜点｜拨 - 各步等号条件互相矛盾，结果只是下界不是最值。这是本题型最高频失分点。 - 连用时忽视中间过程的”定”。 - 多次放缩后方向不一致，最值漂移。 答｜题｜模｜板 1. 分步使用基本不等式，每步记录等号成立条件； 2. 联立各步等号条件，看能否同时满足； 3. 若相容，所得即为最值；若矛盾，换方法（一步到位或用函数单调性）； 4. 写出最终最值及取等条件。 【典例1】已知，，，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【典例2】已知，，且，则的最小值是______. 【变式1】已知，，则的最小值为_______. 题型七 三元均值不等式 解｜题｜技｜巧 - 三元均值不等式：（）。 - 积定和最小，和定积最大。 - 常见配凑：把多项式拆成三项，使乘积为定值。 易｜错｜点｜拨 - 三元均值的取等条件是 ，比二元更严格，更容易取不到等号。 - 配凑时三项乘积不为定值，盲目使用。 - 混淆二元与三元公式，系数写错。 答｜题｜模｜板 1. 确认三项均为正； 2. 拆项/配凑，使三项乘积为定值； 3. 用三元均值不等式放缩； 4. 验证 能否同时成立，写出最值。 【典例1】（25-26高一上·湖南衡阳·期中）小明与父亲准备围一个三角形花园，为设计科学，其父特为他设计了如下的趣味数学问题，即按要求用长为的细线，围成三角形并求解，以指导后续实践活动. 【问题1】甲围法：三边长分别为32cm，33cm，35cm；乙围法：三边长分别为30cm，41cm，29cm，哪种方法围成的三角形面积大； 【问题2】围成一三角形，其中一边长为，求该三角形面积的最大值； 【问题3】将细线围成的三角形中，当三角形面积最大时，求三角形的形状. 并提供了如下的公式作为参考，可直接使用. 【海伦-秦九韶公式】若三角形的三边分别为，，，则该三角形的面积满足， 【三元均值不等式】，，，，时等号成立. 【典例2】我们学习了二元基本不等式：设,,,当且仅当时，等号成立利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值. (1)对于三元基本不等式请猜想：设_______当且仅当时，等号成立（把横线补全）. (2)利用（1）猜想的三元基本不等式证明： 设求证： (3)利用（1）猜想的三元基本不等式求最值： 设求的最大值. 【变式1】（25-26高一上·四川成都·期中）数学中有一种推理的方法叫“类比推理”，类比推理是根据两个对象有部分属性相同，从而推出其它属性也相同的推理.这是一种特殊到特殊的推理，推理的结果不一定正确，需要证明方可使用.比如：我们可以通过对二元二次不等式：的不同理解，推理出不同的结果： ①如果我们把不等式的右边看成的两个齐次式，那我们可以推理出二元三次不等式： ②如果我们把不等式的右边看成数字2与ab相乘，那我们可以推理出三元三次不等式： (1)请结合上文中①的推理结果，证明②中的“三元三次不等式”：． (2)已知函数． ①解不等式； ②利用（1）的结论，对任意恒成立，求实数的取值范围． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．4 2．（25-26高一上·河北唐山·期中）当（   ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 3．（25-26高一上·云南玉溪·期中）函数的最小值为________. 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知正实数满足时，有恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知x，y均为正数，满足，则的最小值为______． 4．（25-26高一上·天津南开·期中）“，”是假命题，则实数的最大值为_______． 5．（25-26高一上·河南开封·期中）根据题意，求解下列问题： (1)已知正实数，满足，求的最小值； (2)已知正实数，满足，求的最小值； (3)已知，求的最大值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·江西景德镇·期中）已知，为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 2．（1）已知，比较与的大小； （2）已知，且，求的最大值． 3．已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值. 4．（25-26高一上·上海·期中）已知正实数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时即时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值： (2)若实数满足，求证：； (3)求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 基本不等式求最值的常用技巧 （期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 直接利用基本不等式求最值 题型02 配凑法求最值 题型03 分离常数法求最值 题型04 “1”的妙用求最值 题型05 联立消元法与设“k”法求最值 题型06 多次使用基本不等式求最值 题型07 三元均值不等式 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 基本不等式直接应用 牢记"一正、二定、三相等"三条件，能直接由积定求和最小、和定求积最大 选择填空高频基础题；易错点集中在忽略各项为正、等号取不到 凑项、凑系数 对和/积不定的式子，通过加减常数、乘除系数，配凑出"积定"或"和定"结构 中档题主流考法，靠观察系数与常数灵活配凑 “1”的代换 已知 ax+by=m 或含"1"的等式时，将目标式乘"1"整体展开，连用基本不等式 高考热点题型，常与条件等式结合，考查整体代换思想 分式拆项、分离常数 对形如分子分母同次的分式，分离为整式+真分式后再用基本不等式 易在定义域限制、等号不成立时出错，须检验等号条件 知识点01 基本不等式核心公式 核心公式： 即 和 ≥ 2倍算术根，当且仅当 时取等号。 均值不等式链： （调和 ≤ 几何 ≤ 算术 ≤ 平方平均） 使用三条件（“一正二定三相等”）： 1. 一正：各项必须为正； 1. 二定：求和最小要积为定值，求积最大要和为定值； 1. 三相等：等号必须能取到（各变量相等时）。 易错点： · 易错点总结：三条件缺一不可，尤其”等号成立”被忽略——看着像用了基本不等式，实际上等号取不到，结果错。 · 注意事项总结：每次用基本不等式求最值，必须回头检验等号条件，写”当且仅当…时取等号”。 知识点02 凑项法（拆常数配定值） 核心思想：把原式拆出”和为定值”或”积为定值”的结构。 常用技巧：当出现 型时，直接用；当出现 型时，提取系数配凑。 示例： 求 （）的最小值。 解：由基本不等式 当且仅当 ，即 时取等号。 故 。 易错点： · 易错点总结：直接套公式不凑项，导致乘积不是定值。 · 注意事项总结：看到” 分式”且分母含 ，先把 拆成分母形式（如 ），配出定值。 知识点03 凑系数法 核心思想：当两个变量系数不一致时，乘一个常数使乘积为定值。 示例： 求 （）的最大值。 解：注意 ，。凑系数： 当且仅当 ，即 时取等号。 故 。 易错点： · 易错点总结：直接对 和 用不等式，忽略它们系数不等，乘完不是常数。 · 注意事项总结：两式和要凑成常数，乘除系数时别漏了前面的系数（本题 ）。 知识点04 “1”的代换 核心模型：已知 （或类似定值），求 的最小值。 核心方法：把要求的式子整体乘以”1”（即已知条件），展开后用基本不等式。 示例： 已知 ，，求 的最小值。 解：1的代换—— 当且仅当 ，即 时取等号。 故 。 易错点： · 易错点总结：不乘1，直接对 用不等式，导致积不定。 · 注意事项总结：看到”已知和为定值，求倒数和”或反过来，立刻想到1的代换——把要求的式子乘以已知的定值。 知识点05 拆项法 核心思想：把分子凑成分母的多项式，分离出常数。 示例： 求 （）的最小值。 解：令 ，，则 当且仅当 时取等号。 易错点： · 易错点总结：硬通分不换元，式子越化越复杂。 · 注意事项总结：分式分子次数 ≥ 分母次数时，先分离常数或换元，把它化成”对勾函数”型。 知识点06 取倒数法 核心思想：当原式不好直接用时，两边取倒数，凑出 型。 适用场景：分式结构中分子简单、分母复杂。 示例： 求 （）的最大值。 解：取倒数： 故 ，当且仅当 时取等号，。 易错点： · 易错点总结：取倒数后不等式方向搞反—— 推出的是 ，不是 。 · 注意事项总结：取倒数后注意不等号方向改变，且必须确认 。 知识点07 多次连用与等号一致性 核心原则：多次使用基本不等式时，每一次的等号条件必须能同时成立。 示例（经典陷阱）： 求 （）的最大值。 错误做法： 再乘 继续放缩——两次等号条件不一致，错。 正确做法： 令 ，或配系数： 故 ，当 即 时取等号。 易错点： · 易错点总结：多次连用基本不等式，但等号条件矛盾——第一次要 ，第二次要 ，结果 不满足原式。 · 注意事项总结：连用后必须联立等号条件，看能否同时成立；不能就换方法（如拆系数使三项相等）。 知识点08 消元法（多元变一元） 核心思想：条件中含两个变量，先利用条件消去一个，只剩一元函数再求最值。 示例： 已知 ，，求 的最大值。 解：（）， 当 即 时取等号。 易错点： · 易错点总结：消元后忽略新变量的范围（如 ），导致等号取不到。 · 注意事项总结：消元后立刻写新变量的定义域，检查等号点是否落在定义域内。 题型一 直接利用基本不等式求最值 解｜题｜技｜巧 - 基本不等式：（），积定和最小，和定积最大。 - 直接套用的前提：一正（各项为正）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到）。 - 形如 （）型，直接得最小值 。 易｜错｜点｜拨 - 忽视”正”的条件： 时不能直接用，需先变号。 - 忽视”定”：和或积不是定值时不能直接得最值。 - 忽视”相等”：等号取不到时，“最值”只是下界，不是真最值（需用对勾函数单调性补位）。 答｜题｜模｜板 1. 确认各项为正； 2. 验证和/积为定值； 3. 用基本不等式放缩； 4. 验证等号成立条件（），写出最值。 【典例1】若，，且，则有（    ） A．最大值 B．最大值3 C．最小值 D．最小值3 【答案】A 【详解】由基本不等式可知， 即，∴，当且仅当时取等号. 所以有最大值. 【典例2】（25-26高一上·四川南充·期中）若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题设，则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 【变式1】（25-26高一上·山东德州·期中）若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以根据基本不等式的性质可得 ，当且仅当，即时等号成立， 此时取最小值为. 【变式2】当时，函数的最小值为 ________________ ． 【答案】 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解． 【详解】当时，函数， 当且仅当，即x时,等号成立，所以的最小值为. 题型二 配凑法求最值 解｜题｜技｜巧 - 目的：通过加一项、减一项、乘一项、除一项，凑出”和定”或”积定”的结构。 - 常见配凑： - （）凑成 ； - 型凑积定。 - 配凑后整体换元，注意新元的范围必须为正。 易｜错｜点｜拨 - 配凑后忘记整体换元的范围检验。 - 配凑方向错误：该凑积定却凑成和不定。 - 拆项不对应：配凑后两项乘积不为定值。 答｜题｜模｜板 1. 观察原式结构，确定需要凑出”和定”还是”积定”； 2. 拆项/添项，配出 型结构； 3. 对新整体用基本不等式； 4. 验证等号条件，写出最值。 【典例1】（25-26高一上·四川雅安·期中）已知 ，则代数式 的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】， 因为即所以， 当且仅当时等号成立， 即时取得最小值，最小值为. 【典例2】（25-26高一上·山东济宁·期中）已知，则的最大值为（     ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最大值. 【变式1】（25-26高一上·广东中山·期中）已知，则的最小值是______. 【答案】 【分析】由题意得，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． 【变式2】若，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 题型三 分离常数法求最值 解｜题｜技｜巧 - 适用于分子分母均为一次（或同次）的分式，如 型。 - 分离常数：把分子凑成分母的倍数加常数，化为”常数 + “结构。 - 分离后再用基本不等式或对勾函数单调性求最值。 易｜错｜点｜拨 - 分离常数时计算错误，分子拆项对不齐。 - 分离后未注意分母的正负，直接套用基本不等式。 - 忽略自变量范围导致新结构不再满足”正”的条件。 答｜题｜模｜板 1. 将分式分子按分母的倍数拆分； 2. 分离出常数项，化为”常数 + 倒数型”； 3. 判断符号后用基本不等式； 4. 验证等号，写出最值。 【典例1】（25-26高一上·贵州黔西南·期中）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】，， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为1． 【典例2】若，则当取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代数式变形为，然后利用基本不等式求出该代数式的最大值. 【详解】变形，可得， ，， 原式， 当且仅当，即时取等号，因此，取最大值时. 故选D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值时等号成立的条件，解题时要对代数式进行合理配凑，同时要注意条件“一正、二定、三相等”的成立，考查运算求解能力，属于中等题. 【变式1】（25-26高一上·河南南阳·期中）已知，则的最小值为______． 【答案】3 【详解】因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 【变式2】（25-26高一上·甘肃平凉·期中）已知，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】通过换元将原式转化为符合基本不等式使用条件的结构，再利用基本不等式求解最小值. 【详解】令，由得，且. 将代入原式化简： . 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立. 令，，则， 当且仅当即（，负根舍去）时等号成立. 此时，满足题设条件，因此，即所求最小值为. 题型四 “1”的妙用求最值 解｜题｜技｜巧 - 适用：已知 （或 ），求 的最小值。 - 技巧：把所求式乘以已知条件中的”1”，即，展开后用基本不等式。 - 若已知和为 而非1，先除以 凑出”1”。 易｜错｜点｜拨 - 乘”1”后展开不彻底，漏项。 - 两次用基本不等式时，等号条件不一致（详见题型06）。 - 忽略 的正值条件。 答｜题｜模｜板 1. 从已知条件中凑出”1”； 2. 所求式整体乘以这个”1”； 3. 展开，凑出 型结构； 4. 用基本不等式，验证等号同时成立。 【典例1】（25-26高一上·江西南昌·期中）已知实数，，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立. 【典例2】（25-26高一上·湖南长沙·期中）设，，且，则的最小值为（   ） A．8 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】由可得，然后由基本不等式1的妙用可得答案. 【详解】两边同时除以，得到， ， 当且仅当，即，时等号成立. 【变式1】（25-26高一下·四川眉山·期中）已知为正数，，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】问题化为求的最小值，应用“1”的代换及基本不等式求其最小值即可. 【详解】由题设，则， 求的最小值，即求的最小值，其中， 由， 当且仅当，即时取等号， 综上，的最小值为. 【变式2】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）若，且，则的最小值是___________． 【答案】3. 【分析】利用代换1法，结合基本不等式来求最小值. 【详解】因为，且， 所以 ， 当且仅当时取等号， 故答案为：3. 题型五 联立消元法与设“k”法求最值 解｜题｜技｜巧 - 消元法：已知两个变量的等式关系，解出一个变量代入目标式，化为单变量最值。 - 设”k”法：设目标式 ，整理为关于某变量的方程，用判别式 求 的范围。 - 消元后注意自变量的隐含范围（由原等式和正数条件确定）。 易｜错｜点｜拨 - 消元后忘写自变量范围，导致最值取错。 - 设 法化为方程后，忽略二次项系数为零的情况。 - 判别式法求出范围后，未检验端点能否取到。 答｜题｜模｜板 1. 消元法：由已知等式解出一个变量代入目标式； 2. 化为单变量函数，确定自变量范围； 3. 或设 法：令目标式 ，整理为方程； 4. 用判别式/基本不等式求最值，验证端点。 【典例1】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，则下列正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对进行变形，结合基本不等式逐项进行分析. 【详解】选项A：由得，， 又，，所以， 所以， 因为，所以，所以.故选项A正确. 选项B：由得，， 则， 又，所以，当且仅当即时，等号成立.故选项B错误. 选项C：， 又，所以，当且仅当即时，等号成立. 故选项C正确. 选项D：由得，， 所以， 由选项C知，当时，取得最小值， 故的最小值为.故选项D正确. 故选：ACD 【典例2】（25-26高一上·福建福州·期中）已知正数满足，下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为1 C．的最小值为12 D．的最小值为14 【答案】ABC 【分析】根据题设条件，利用基本不等式和消元转化等方法逐一分析判断各选项即可. 【详解】对于A，因为，由可得，解得，故A正确； 对于D，由，可得，解得， 此时， 当且仅当，即当，时，等号成立，即的最小值为，故D错误； 对于B，由，得， 由， 由D项知当，时，取得最小值13，此时的最小值为，故B正确； 对于C，由可得，解得， 此时， 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为12，即C正确. 故选：ABC. 【变式1】已知，均为正实数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式 “一正、二定、三相等” 的原则，对题干条件进行变形，结合各选项的结构特征，通过齐次化、代入特殊值、分式变形等方法逐一分析选项. 【详解】选项A，因为，当且仅当时取等号， 又，所以，即， 当且仅当，时取等号，故A正确； 选项B，因为，所以，则， 当且仅当，即时取等号，所以，故B正确； 选项C，已知，令，，则成立， 此时，故C错误； 选项D，已知， 则， 又，当且仅当，时取等号， 所以，即，故D正确. 故选：ABD. 【变式2】（25-26高一上·山东淄博·期中）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最大值为8 B．的最小值为8 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】对A，直接使用基本不等式，构造出关于的基本不等式，解出即可即可判断；对BC，用表示出，从而减少变量，再结合基本不等式即可判断；对D，直接使用基本不等式，再整体代入即可判断. 【详解】对A，因为，当且仅当时取等号， 则， 解不等式得，即， 当且仅当时等号成立，故的最大值为8，A正确； 对B，由得， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，B正确； 对C，，结合，解得，则， ， 当且仅当时等号成立，即时等号成立，故C正确； 对D，， 当且仅当时取等号，即时等号成立， 此时取得最小值，D错误． 故选：ABC. 题型六 多次使用基本不等式求最值 解｜题｜技｜巧 - 多次连用基本不等式时，每一步的等号条件必须同时成立，否则结果不是真最值。 - 策略：尽量一步到位；若必须分步，记录每步等号成立条件，联立看是否相容。 - 常见连用：先在子式上用一次，再对整体用一次。 易｜错｜点｜拨 - 各步等号条件互相矛盾，结果只是下界不是最值。这是本题型最高频失分点。 - 连用时忽视中间过程的”定”。 - 多次放缩后方向不一致，最值漂移。 答｜题｜模｜板 1. 分步使用基本不等式，每步记录等号成立条件； 2. 联立各步等号条件，看能否同时满足； 3. 若相容，所得即为最值；若矛盾，换方法（一步到位或用函数单调性）； 4. 写出最终最值及取等条件。 【典例1】已知，，，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，当，时，原式取得最小值 故选：D 【典例2】已知，，且，则的最小值是______. 【答案】24 【解析】解：， 因为，所以，所以， 当且仅当，，时等号成立，故答案为：24 【变式1】已知，，则的最小值为_______. 【答案】 【详解】由，， ， 当且仅当，时取等号， 故答案为： 【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于中档题. 题型七 三元均值不等式 解｜题｜技｜巧 - 三元均值不等式：（）。 - 积定和最小，和定积最大。 - 常见配凑：把多项式拆成三项，使乘积为定值。 易｜错｜点｜拨 - 三元均值的取等条件是 ，比二元更严格，更容易取不到等号。 - 配凑时三项乘积不为定值，盲目使用。 - 混淆二元与三元公式，系数写错。 答｜题｜模｜板 1. 确认三项均为正； 2. 拆项/配凑，使三项乘积为定值； 3. 用三元均值不等式放缩； 4. 验证 能否同时成立，写出最值。 【典例1】（25-26高一上·湖南衡阳·期中）小明与父亲准备围一个三角形花园，为设计科学，其父特为他设计了如下的趣味数学问题，即按要求用长为的细线，围成三角形并求解，以指导后续实践活动. 【问题1】甲围法：三边长分别为32cm，33cm，35cm；乙围法：三边长分别为30cm，41cm，29cm，哪种方法围成的三角形面积大； 【问题2】围成一三角形，其中一边长为，求该三角形面积的最大值； 【问题3】将细线围成的三角形中，当三角形面积最大时，求三角形的形状. 并提供了如下的公式作为参考，可直接使用. 【海伦-秦九韶公式】若三角形的三边分别为，，，则该三角形的面积满足， 【三元均值不等式】，，，，时等号成立. 【答案】问题1：甲围法所得三角形面积更大 问题2:480 问题3：当三角形面积最大时，三角形为等边三角形. 【分析】根据所给的海伦-秦九韶公式，直接代入比较大小即可求解问题1，根据基本不等式以及三元均值不等式即可求解问题2和3. 【详解】由题易知， 问题1：甲、乙围法所得面积分别为， 又，得到，故甲围法所得三角形面积更大. 问题2： 若三角形的三边长分别为，，，， 则， 当且仅当时取到等号， 问题3： 若三角形的三边分别为，，，且，， 由三元均值不等式，可得， 故， 所以，当且仅当时取到等号，此时三角形为等边三角形， 所以当三角形面积最大时，三角形为等边三角形. 【典例2】我们学习了二元基本不等式：设,,,当且仅当时，等号成立利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值. (1)对于三元基本不等式请猜想：设_______当且仅当时，等号成立（把横线补全）. (2)利用（1）猜想的三元基本不等式证明： 设求证： (3)利用（1）猜想的三元基本不等式求最值： 设求的最大值. 【答案】(1) (2),,,由（1）可得, (3) 【分析】（1）通过类比推理,得到结果； （2）利用（1）可得,与相乘后,整理即得证 （3）先利用,得到,，,反向使用（1）,整理后即可得到最值 【详解】（1）通过类比,可以得到当,,时,当且仅当时,等号成立； （2）略 （3）由（1）可得,,即,由题,已知,,,,,，, 当且仅当,即时取等,即的最大值为 【变式1】（25-26高一上·四川成都·期中）数学中有一种推理的方法叫“类比推理”，类比推理是根据两个对象有部分属性相同，从而推出其它属性也相同的推理.这是一种特殊到特殊的推理，推理的结果不一定正确，需要证明方可使用.比如：我们可以通过对二元二次不等式：的不同理解，推理出不同的结果： ①如果我们把不等式的右边看成的两个齐次式，那我们可以推理出二元三次不等式： ②如果我们把不等式的右边看成数字2与ab相乘，那我们可以推理出三元三次不等式： (1)请结合上文中①的推理结果，证明②中的“三元三次不等式”：． (2)已知函数． ①解不等式； ②利用（1）的结论，对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明：当时， ，当且仅当时等号成立， 得证①的推理结果， 同理有，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 三式相加可得 ， 又，，， 所以， 得，当且仅当时等号成立. (2)①；② 【分析】（1）先证明，，，再将三式相加结合基本不等式即可证明； （2）①移项通分化为整式不等式，解高次不等式即可得出答案；②由三元不等式求出在上的最小值，可以将题意转为在上恒成立，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）略 （2）①，由得，即， 得， 则有，解得或或， 所以不等式解集为. ②因为当时，，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，， 对任意恒成立，则， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】由，则、， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 2．（25-26高一上·河北唐山·期中）当（   ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 【答案】C 【详解】依题意，，，当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值. 3．（25-26高一上·云南玉溪·期中）函数的最小值为________. 【答案】3 【分析】先分离变量，再用均值不等式 【详解】，， 由均值不等式， 当且仅当，即时等号成立. 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据基本不等式”1”的代换，可得的最小值，根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由，得，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，则，解得， 则的取值范围是. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知正实数满足时，有恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求出的最小值，再代入解不等式即可． 【详解】解：因为正实数满足， 所以， 当且仅当时，等号成立，即时，等号成立， 因为正实数满足时，有恒成立， 所以，即， 即，得最大值为8． 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，而不一定成立，例如，故A不正确； 因为， 若，则，而不一定小于2，比如，故B不正确； 因为，若，则，故C正确； 因为，若， 不一定大于1，例如，故D不正确． 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知x，y均为正数，满足，则的最小值为______． 【答案】25 【分析】利用“的代换”的方法，结合基本不等式，求得的最小值. 【详解】． 当且仅当且，即时取等号， 所以． 4．（25-26高一上·天津南开·期中）“，”是假命题，则实数的最大值为_______． 【答案】6 【分析】首先利用命题的否定将命题变为真命题，分离参数后结合均值不等式求的最大值. 【详解】因“，”是假命题，故命题的否定为，为真命题， 分离参数可得： 令，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 即当时，不等式右侧表达式取得最小值为6，所以的最大值为6. 5．（25-26高一上·河南开封·期中）根据题意，求解下列问题： (1)已知正实数，满足，求的最小值； (2)已知正实数，满足，求的最小值； (3)已知，求的最大值． 【答案】(1)4 (2)8 (3) 【分析】（1）由基本不等式即可直接求解； （2）由条件得到，再结合基本不等式即可求解； （3）通过配方得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，当且仅当， 即，时，等号成立．     故的最小值为4； （2）由得， 则， 则， 则，故， 当且仅当时，即时，等号成立． 即的最小值为8； （3） 当且仅当，即时，等号成立． 即的最大值为. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·江西景德镇·期中）已知，为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可． 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值． 2．（1）已知，比较与的大小； （2）已知，且，求的最大值． 【答案】（1）；（2）4 【分析】（1）根据题意利用作差法结合不等式性质分析判断即可； （2）整理可得，结合基本不等式运算求解即可； 【详解】（1）因为 ， 又因为，则，， 且，， 可得，即， 所以； （2）因为，且，则， 又因为，即， 整理可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为4. 3．已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值. 【答案】(1)证明： 由基本不等式得， 左右相加得， 当且仅当时“”成立，问题得证. (2)由已知，故， ， 当且仅当时等号成立， 所以不等式成立； 用替换，替换，替换 得 ，即 ， 故 成立 当且仅当，即时，等号成立，. 【分析】（1）由基本不等式得，再左右分别相加可得； （2）由基本不等式结合立方和公式变形可证明；变形所求函数为，再由前面证明结果可得. 【详解】（1）略； （2）证明略，7. 4．（25-26高一上·上海·期中）已知正实数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时即时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值： (2)若实数满足，求证：； (3)求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 【答案】(1) (2) 证明：，， ，当且仅当时等号成立， ， . (3)最大值为，此时的值为. 【分析】（1）利用“1”的代换，结合基本不等式求解； （2）利用“1”的代换，结合基本不等式求解； （3）通过均值不等式求的最大值，即可求出的值. 【详解】（1）正实数满足，，， 当且仅当且时取等号，解得， 的最小值为. （2）略 （3），，解得， ， 根据均值不等式可得， 当且仅当时等号成立，解得， ， ，， 最大值为，此时的值为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $