专题02 等式与不等式性质、基本不等式（期中复习讲义）高一数学上学期人教A版

专题02 等式与不等式性质、基本不等式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 2.1 不等式的基本性质（对称性、传递性、可加/乘性） 能依据性质进行简单的数值比较和不等式推导。 基础题，乘负变号是必考点。 2.2 基本不等式的形式与推导 能准确写出基本不等式，理解其几何意义。 理解性考点，是应用的基础。 2.3 “一正二定三相等”的运用条件 能准确判断给定问题是否满足基本不等式的使用条件。 高频易错点，是解题的第一步，常被忽略。 2.4 直接利用基本不等式求最值 能对符合“积定”或“和定”条件的表达式直接应用公式求最值。 最基础的考查方式。 2.5 “配凑法”应用基本不等式 能通过拆项、添项、凑系数等技巧，将表达式转化为可用基本不等式的形式。 期中解答题核心考法，是能力的区分点。 2.6 换元法（化繁为简） 当表达式复杂时，能通过代换简化问题，转化为基本不等式模型。 重要技巧，常用于含根式条件最值问题。 2.7 “1”的代换法（条件等式） 当已知条件能巧妙地运用或变形“1”，可将目标式乘以“1”进行计算。 高频题型，技巧性强，是高分的关键。 2.8 分式型最值问题 能处理形如(二次式) / (一次式)”或 (一次式) / (二次式)”的函数，通过分离常数、换元或基本不等式求最值。 常见中档题，分离常数是常用技巧。 2.9 二次使用基本不等式（连续放缩） 能判断在什么情况下需要两次或多次使用基本不等式，并保证每次放缩的等号能同时成立。 难度最高的题型之一，常用于证明或求复杂式子的最值，对逻辑严谨性要求高。 2.10 恒成立问题中求参数范围（综合应用） 对于恒成立的问题，能将其转化为求目标式的最小值或最大值，从而确定参数a的范围。 期中压轴题常见模式，综合性强，易错点在于混淆“≥最大值”与“≤最小值”的逻辑关系。 2.11 基本不等式在实际问题（如面积、成本最优化）中的应用 能根据实际问题建立函数模型，并利用基本不等式求解最值。 命题趋势偏向应用，考查数学建模能力 知识点01 等式的性质 性质1 如果，那么_____； 性质2 如果，，那么____； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么____； 知识点02 比较两个实数大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有： ； ； 另外，若，则有；；. 知识点03 不等式的性质 性质 别名 性质内容 1 对称性 ＜ 2 传递性 ＞ 3 可加性 ＞ 推论1：； 推论2： 4 可乘性 ＞ ； 推论3：； 推论4： ＞ （，）； 推论5： 5 取倒数 ＜ 知识点04 基本不等式 如果，那么（当且仅当 时取“=”）. 说明： ①对于非负数，我们把称为的 算术平均数 ，称为的 几何平均数 . ②我们把不等式称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数. ③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当 时，有；另一方面当 时，有. ④ 结构特点：和式与积式的关系. 知识点05 利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值 ； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值． 知识点06 几个重要不等式 （1）（a，）（当且仅当时取等号）. 变形式： （a，）（当且仅当时取等号）. （2）基本不等式： （，）（当且仅当时取等号）. 变形式：（，），（a，）（当且仅当时等号成立）. （3）（a，b，）（当且仅当时取等号）. （4）若，则，（当且仅当时取等号）. 知识点07 基本不等式链 拓展. m>n时， 知识点08 权方和不等式的二维形式 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀) 知识点09 糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 知识点10 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 题型一 由已知条件判断所给不等式是否正确 解｜题｜技｜巧 （1） 直接法：依据不等式基本性质（对称性、传递性、可加性、可乘性等 ），结合已知条件直接推导判断。 （2）特殊值法：选取满足已知条件的特殊数值代入不等式，验证是否成立。 （3）作差（商）法：对不等式两边作差（商），结合已知条件判断差（商）的正负，进而确定不等式是否成立（作商法需注意正负），部分复杂式子判断可用此思路延伸。 【典例1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质逐项分析得解. 【详解】由不等式性质，，故A错误， 由，故B错误； 由，故C正确； 由，故D错误. 故选：C 【典例2】（24-25高一上·山东潍坊·期中）（多选）已知实数，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】利用不等式的性质，逐个验证各选项的条件下结论是否成立. 【详解】对于A，时，满足，此时，A选项错误； 对于B，时，有，又，所以，B选项正确； 对于C，且，则，即，C选项正确； 对于D，，则，所以，D选项错误. 故选：BC. 【变式1】（24-25高一上·湖北黄冈·期中）下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】举例说明判断AD；利用不等式的性质推理判断BC. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：B 【变式2】（24-25高一上·河北唐山·期中）（多选）已知，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】举反例可判断ABD；利用不等式的性质可判断C. 【详解】对于A，当，，时，，故A错误； 对于B，当，，时，，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，当，，时，，故D错误． 故选：ABD. 题型二 由不等式关系，求解不等式范围 解｜题｜技｜巧 （1）直接运算：依据不等式基本性质，对已知不等式变形求解即可． （2）线性组合：若求多个式子线性组合的范围，先将目标式表示为已知范围式子的线性组合，再利用不等式性质，分别求各组合部分范围后“同向可加”即可. 【典例1】（24-25高一上·河南商丘·期中）若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将用和表示，然后根据不等式的性质求解范围即可. 【详解】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 【变式1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【答案】D 【分析】根据的取值范围，可得到以及的取值范围，然后相加相乘即可得解. 【详解】对于A，因为， 所以，即， 所以的取值范围为，故A正确，不符合题意； 对于B，因为，所以， 因为，所以，即， 所以的取值范围为，故B正确，不符合题意； 对于C，因为，则， 所以，则， 所以的取值范围为，故C正确，不符合题意； 对于D，因为，所以，则， 因为，所以，则， 所以取值范围为，故D错误，符合题意； 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·浙江台州·期中）（多选）设x，y为实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用不等式的性质逐项分析即可. 【详解】A：因为，所以，即，故正确； B：因为，所以，即，故错误； C：因为，所以，所以，所以，故正确； D：因为，所以，所以，所以，故错误； 故选：AC. 题型三 作差法比较式子大小关系 【典例1】（24-25高一上·广西北海·期中）已知，则 （填“”或“”） 【答案】> 【分析】作差法比较大小. 【详解】，故. 故答案为：> 【变式1】（24-25高一上·福建莆田·期中），，，则有 .（请填“”、“”、“”、“”、“”） 【答案】 【分析】利用作差法可得出、的大小关系. 【详解】因为， 故. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·湖南郴州·期中）若a，b为正数，且，则 （用符号>、<、≥、≤填空）. 【答案】> 【分析】作差法比较出大小. 【详解】 ， 因为a，b为正数，且，所以， 所以. 故答案为：> 题型四 糖水不等式及其应用（跨章节） 【典例1】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立不等关系即可. 【详解】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为， 则有. 故选：C 【变式1】克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件及不等式的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由得，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，由题得，故C错误； 对于D，由糖水不等式得，所以，故D错误. 故选：A. 【变式2】如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【详解】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又， 所以 所以原不等式成立． 题型五 直接用基本不等式求和或积的最值 解｜题｜技｜巧 （1）定条件：确认“一正（各项为正）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到，即存在实数使等号成立）” . （2）选公式：和定求积最大，用；积定求和最小，用. （3）代计算：代入定值，结合等号成立条件（验证是否满足“三相等” ），算出最值. 【典例1】（24-25高一上·四川德阳·期中）若实数，，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式进行求解即可. 【详解】，，， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 故选：C 【典例2】（24-25高一上·浙江台州·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】结合指数幂的运算，由基本不等式即可求解. 【详解】， 当切仅当即时取等号. 故选：A 【变式1】（24-25高一上·安徽·阶段练习）设，，且，则xy的最大值是（   ） A． B． C． D．100 【答案】A 【分析】运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为x，，所以， 即，所以，当且仅当且，即，时等号成立. 故选：A 【变式2】（24-25高一上·福建龙岩·期中）已知实数，则的最小值是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】将变形为，再利用基本不等式即可计算求解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值是7. 故选：B. 题型六 巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值（含权方和不等式的应用） 解｜题｜技｜巧 （1）找“1”或常数：观察条件，将已知等式变形出“1”或常数，用于构造可基本不等式形式。 （2）乘“1”拼凑：用变形出的“1”或常数，将目标式与含“1”或常数的式子相乘展开，凑出能用基本不等式求解的式子。 （3）验证等号：展开后用基本不等式求最值，同时验证等号成立条件，确保最值有效。 【典例1】（24-25高一上·广西·期中）已知实数满足，且，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】根据得，利用“1”的代换化简，结合基本不等式，即可得出答案. 【详解】∵， ∴， ∴ ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·山东济宁·期中）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 故选：D 【变式2】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，均为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件化为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，均为正实数，，均为正实数，且， 则， 整理得：，因为，， 所以， 即，当且仅当时，即时，等号成立. 故选：C 题型七 二次与二次（一次）的商式求最值 【典例1】若，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将解析式化简凑出积为常数，再由基本不等式求出函数的最小值． 【详解】解：由题意得，， ， ∴，当且仅当时取等号，即， 则函数的最小值是4， 故选D． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，关键是对解析式化简凑出定值，注意三个条件的验证，属于基础题． 【变式1】函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 题型八 换元法求最值 【典例1】已知，求的最大值. 【答案】 【详解】 设，则， 因此 因，当且仅当，即时取等号， 所以. 故的最大值为. 【典例2】已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 【变式1】已知正实数满足且，则的最小值为 【答案】 【详解】设，则， 当且仅当且，即，时等号成立. 故答案为： 【变式2】已知，，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】令，， 则，，，，，所以， 所以 ， 当且仅当，，即，时等号成立． 故答案为： 题型九 两次应用基本不等式求最值 【典例1】对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】任意的正实数，满足， 由于为正实数，故由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为. 故答案为： 【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等 【变式1】已知实数，满足，则的最小值为 . 【答案】8 【详解】因为，所以， ∴ 当且仅当，即时等号成立 所以的最小值为8. 故答案为：8. 题型十 条件等式变形求最值 【典例1】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【分析】根据题设得到且，代入目标式并应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，又，，故，则， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D 【典例2】（24-25高一上·重庆·期中）若满足，则的最大值是 ，的最小值是 . 【答案】 2 【分析】将等式变形后运用基本不等式即可求得最值. 【详解】因，由，可得， 即得，当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最大值是； 因，，即得， 当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最小值是. 故答案为：2；. 【变式1】（24-25高一上·福建福州·期中）已知，且，的最小值为 . 【答案】35 【分析】由，得到，再利用“1”的代换，结合基本不等式求解. 【详解】因为，且，所以， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以最小值为35. 故答案为：35 【变式2】（24-25高一上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】设，得到，假设得到矛盾，即有，结合且，将目标式化为，最后应用基本不等式求最小值. 【详解】设，则，即， 若，则，而，仅当时等号成立， 所以，显然与矛盾，所以， 由上，由，即，则， 所以 ，当且仅当时等号成立， 所以，，即，时，目标式最小值为4. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：应用换元法，结合基本不等式得到，再由将目标式整理只为含的表达式为关键. 题型十一 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 【典例1】（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可算出，再将最小值代入，即可求解 【详解】不等式恒成立 ，，且 当且仅当，即时取等号 ，即 解得 故实数的取值范围是 故选：C 【变式1】已知，若恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由基本不等式可得，所以，从而得解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 又因为恒成立，所以，解得. 故答案为： 【变式2】已知且恒成立，则实数的最大值是 ． 【答案】 【分析】不等式变形为，利用基本不等式求得右侧的最小值即可得结论． 【详解】∵，∴，，， ， ， 当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值是． 故答案为：． 题型十二 基本不等式的应用 【典例1】（24-25高一上·四川绵阳·期中）某公园有如图所示一块直角三角形空地，直角边．现欲建一个如图的内接矩形花园，点在斜边上（不包括端点），则花园的面积的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可求面积的最大值. 【详解】设，则， 因为，所以，解得，其中， 所以花园的面积为， 当且仅当即时等号成立， 故花园的面积的最大值为， 故选：B. 【典例2】（24-25高一上·浙江温州·期中）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，则矩形广告的总面积最小值为 ． 【答案】 【分析】设阴影部分矩形的底边长为，则其高为，根据题意可得出矩形广告的总面积关于的函数关系式，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设阴影部分矩形的底边长为，则其高为， 所以，矩形广告的总面积为 ， 当且仅当时，即当时，取最小值. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·四川眉山·期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，则能围成的菜园面积的最大值为 . 【答案】 【分析】设矩形菜园的长为，宽为，得到，得到围成的菜园的面积，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设矩形菜园的长为，宽为，可得， 则围成的菜园的面积， 当且仅当即时等号成立， 所以围成菜园的最大面积为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·北京·期中）如图是一份纸制作的矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为P，两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为的空白.若，，则当 时，才能使纸的用量最少，最少的纸的用量是 .    【答案】 【分析】首先设，再根据条件，用表示用纸的用量，列式后再用基本不等式，即可求解. 【详解】设，纸的用量为，则， 所以， ， 当时，即， 所以当时，最少的纸的用量为. 故答案为：； 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·广东汕头·期中）若，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可. 【详解】对A，由，所以，错误； 对B，由，，所以，正确； 对C，由，所以，错误； 对D，由，所以，错误. 故选：B 2．（24-25高一上·重庆·期中）已知：，；：，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】通过举特例及不等式性质可判断选项正误. 【详解】当时，，，但， 则由不能得到；当，时，，，则由可得到, 故是的充分不必要条件. 故选：A 3．（24-25高一上·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 【答案】D 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】设矩形菜园的宽为，长，则，且，. 因为（当且仅当，时取“”）. 故选：D 4．（24-25高一上·福建南平·期中）已知、，且满足，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为知、，且满足， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 5．（24-25高一上·河北邯郸·期中）若正数满足：，则当取最大值时的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解积的最值. 【详解】根据基本不等式，解得，所以，所以， 当且仅当时等号成立，此时的值为1. 故选：C 二、多选题 6．（24-25高一上·贵州·期中）下列命题中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】利用不等式的性质，推理判断ACD；举例说明判断B. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，由，得，则，因此，C正确； 对于D，由，得，而，则，D正确. 故选：AB 7．（24-25高一上·重庆·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个选项判断正误即可． 【详解】对于A，因为，，所以，又所以， 所以，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，所以， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：BCD. 三、解答题 8．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知，． (1)求的取值范围； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的性质直接求解即可； （2）由，结合基本不等式可求得结果. 【详解】（1），， ，， ，即的取值范围为. （2），，， （当且仅当，即，时取等号）， 的最小值为. 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 一、单选题 9．（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以， （当且仅当即时取“”）. 故选：C 10．（24-25高一上·安徽·期中）已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，则，，且， 所以， ， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 11．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 12．（24-25高一上·河北·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得.再将变形为，利用基本不等式“1”的代换即可求出最小值. 【详解】，，即. ，即. ， 当且仅当即时等号成立. 故的最小值为. 故选：D. 二、多选题 13．（24-25高一上·湖南·期中）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】对于AB，利用作差法，结合条件判断得的正负情况即可判断；对于CD，举反例即可得解. 【详解】对于A，因为，， 所以，，所以， 而，所以，故A正确； 对于B，因为，， 所以，，所以， 由选项A知，所以，故B正确； 对于C，取，满足，且， 但，故C错误； 对于D，取，满足，且， 但，故D错误. 故选：AB. 14．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）若实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为 【答案】AD 【分析】根据可分析出的最值；根据结合的范围可求的最值. 【详解】因为，所以，所以， 当，此时，当，此时或， 所以的最大值为，最小值为，故A正确，B错误； 因为，所以，所以， 当时，，当时，， 所以的最大值为，最小值为，故C错误，D正确； 故选：AD. 三、填空题 15．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 . 【答案】 9 【分析】（1）直接由基本不等式得，再将看成一个整体解一元二次不等式即可. （2）方法一：首先根据得，通分后将代入，再利用判别式法求最值即可； 方法二：设，，代入化简可得，利用分离常数法与基本不等式求解即可. 【详解】（1），为正数，且， ，，. （2）方法一：因为，所以，所以， 等号成立当且仅当， 从而， 令，设， 显然，则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得， 注意到，从而， 等号成立当且仅当， 即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 方法二：设，， 则 . 故答案为：. 【点睛】常见的求最值的方法有：观察法(图象法)、配方法、基本不等式法、分离常数法、函数单调性求最值、判别式法等. 四、解答题 16．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知正实数x，y满足. (1)求的值； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值. 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由得，由x，y为正数得． （2）由得，利用基本不等式求最值即可. （3）由得，化简之后结合基本不等式求最值即可. 【详解】（1）∵，∴， ∵x，y为正数，∴， ∴． （2）∵，∴， ∴ ， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为． （3）∵， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等式与不等式性质、基本不等式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 2.1 不等式的基本性质（对称性、传递性、可加/乘性） 能依据性质进行简单的数值比较和不等式推导。 基础题，乘负变号是必考点。 2.2 基本不等式的形式与推导 能准确写出基本不等式，理解其几何意义。 理解性考点，是应用的基础。 2.3 “一正二定三相等”的运用条件 能准确判断给定问题是否满足基本不等式的使用条件。 高频易错点，是解题的第一步，常被忽略。 2.4 直接利用基本不等式求最值 能对符合“积定”或“和定”条件的表达式直接应用公式求最值。 最基础的考查方式。 2.5 “配凑法”应用基本不等式 能通过拆项、添项、凑系数等技巧，将表达式转化为可用基本不等式的形式。 期中解答题核心考法，是能力的区分点。 2.6 换元法（化繁为简） 当表达式复杂时，能通过代换简化问题，转化为基本不等式模型。 重要技巧，常用于含根式条件最值问题。 2.7 “1”的代换法（条件等式） 当已知条件能巧妙地运用或变形“1”，可将目标式乘以“1”进行计算。 高频题型，技巧性强，是高分的关键。 2.8 分式型最值问题 能处理形如(二次式) / (一次式)”或 (一次式) / (二次式)”的函数，通过分离常数、换元或基本不等式求最值。 常见中档题，分离常数是常用技巧。 2.9 二次使用基本不等式（连续放缩） 能判断在什么情况下需要两次或多次使用基本不等式，并保证每次放缩的等号能同时成立。 难度最高的题型之一，常用于证明或求复杂式子的最值，对逻辑严谨性要求高。 2.10 恒成立问题中求参数范围（综合应用） 对于恒成立的问题，能将其转化为求目标式的最小值或最大值，从而确定参数a的范围。 期中压轴题常见模式，综合性强，易错点在于混淆“≥最大值”与“≤最小值”的逻辑关系。 2.11 基本不等式在实际问题（如面积、成本最优化）中的应用 能根据实际问题建立函数模型，并利用基本不等式求解最值。 命题趋势偏向应用，考查数学建模能力 知识点01 等式的性质 性质1 如果，那么 ； 性质2 如果，，那么____； 性质3 如果，那么 ； 性质4 如果，那么 ； 性质5 如果，，那么____； 知识点02 比较两个实数大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有： ； ； 另外，若，则有；；. 知识点03 不等式的性质 性质 别名 性质内容 1 对称性 2 传递性 3 可加性 推论1：； 推论2： 4 可乘性 ； 推论3：； 推论4： （，）； 推论5： 5 取倒数 知识点04 基本不等式 如果，那么（当且仅当 时取“=”）. 说明： ①对于非负数，我们把称为的 ，称为的 . ②我们把不等式称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数. ③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当 时，有；另一方面当 时，有. ④ 结构特点：和式与积式的关系. 知识点05 利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值 ； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值． 知识点06 几个重要不等式 （1）（a，）（当且仅当时取等号）. 变形式： （a，）（当且仅当时取等号）. （2）基本不等式： （，）（当且仅当时取等号）. 变形式：（，），（a，）（当且仅当时等号成立）. （3）（a，b，）（当且仅当时取等号）. （4）若，则，（当且仅当时取等号）. 知识点07 基本不等式链 拓展. m>n时， 知识点08 权方和不等式的二维形式 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀) 知识点09 糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 知识点10 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 题型一 由已知条件判断所给不等式是否正确 解｜题｜技｜巧 （1） 直接法：依据不等式基本性质（对称性、传递性、可加性、可乘性等 ），结合已知条件直接推导判断。 （2）特殊值法：选取满足已知条件的特殊数值代入不等式，验证是否成立。 （3）作差（商）法：对不等式两边作差（商），结合已知条件判断差（商）的正负，进而确定不等式是否成立（作商法需注意正负），部分复杂式子判断可用此思路延伸。 【典例1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·山东潍坊·期中）（多选）已知实数，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（24-25高一上·湖北黄冈·期中）下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】（24-25高一上·河北唐山·期中）（多选）已知，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型二 由不等式关系，求解不等式范围 解｜题｜技｜巧 （1）直接运算：依据不等式基本性质，对已知不等式变形求解即可． （2）线性组合：若求多个式子线性组合的范围，先将目标式表示为已知范围式子的线性组合，再利用不等式性质，分别求各组合部分范围后“同向可加”即可. 【典例1】（24-25高一上·河南商丘·期中）若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【变式2】（24-25高一上·浙江台州·期中）（多选）设x，y为实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 作差法比较式子大小关系 【典例1】（24-25高一上·广西北海·期中）已知，则 （填“”或“”） 【变式1】（24-25高一上·福建莆田·期中），，，则有 .（请填“”、“”、“”、“”、“”） 【变式2】（24-25高一上·湖南郴州·期中）若a，b为正数，且，则 （用符号>、<、≥、≤填空）. 题型四 糖水不等式及其应用（跨章节） 【典例1】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 题型五 直接用基本不等式求和或积的最值 解｜题｜技｜巧 （1）定条件：确认“一正（各项为正）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到，即存在实数使等号成立）” . （2）选公式：和定求积最大，用；积定求和最小，用. （3）代计算：代入定值，结合等号成立条件（验证是否满足“三相等” ），算出最值. 【典例1】（24-25高一上·四川德阳·期中）若实数，，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【典例2】（24-25高一上·浙江台州·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【变式1】（24-25高一上·安徽·阶段练习）设，，且，则xy的最大值是（   ） A． B． C． D．100 【变式2】（24-25高一上·福建龙岩·期中）已知实数，则的最小值是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 题型六 巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值（含权方和不等式的应用） 解｜题｜技｜巧 （1）找“1”或常数：观察条件，将已知等式变形出“1”或常数，用于构造可基本不等式形式。 （2）乘“1”拼凑：用变形出的“1”或常数，将目标式与含“1”或常数的式子相乘展开，凑出能用基本不等式求解的式子。 （3）验证等号：展开后用基本不等式求最值，同时验证等号成立条件，确保最值有效。 【典例1】（24-25高一上·广西·期中）已知实数满足，且，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C． D． 【变式1】（24-25高一上·山东济宁·期中）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，均为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型七 二次与二次（一次）的商式求最值 【典例1】若，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】函数的最小值为 ． 【变式2】（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 题型八 换元法求最值 【典例1】已知，求的最大值. 【典例2】已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知正实数满足且，则的最小值为 【变式2】已知，，，则的最大值为 ． 题型九 两次应用基本不等式求最值 【典例1】对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 【变式1】已知实数，满足，则的最小值为 . 题型十 条件等式变形求最值 【典例1】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【典例2】（24-25高一上·重庆·期中）若满足，则的最大值是 ，的最小值是 . 【变式1】（24-25高一上·福建福州·期中）已知，且，的最小值为 . 【变式2】（24-25高一上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 . 题型十一 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 【典例1】（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，若恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【变式2】已知且恒成立，则实数的最大值是 ． 题型十二 基本不等式的应用 【典例1】（24-25高一上·四川绵阳·期中）某公园有如图所示一块直角三角形空地，直角边．现欲建一个如图的内接矩形花园，点在斜边上（不包括端点），则花园的面积的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·浙江温州·期中）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，则矩形广告的总面积最小值为 ． 【变式1】（24-25高一上·四川眉山·期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，则能围成的菜园面积的最大值为 . 【变式2】（24-25高一上·北京·期中）如图是一份纸制作的矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为P，两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为的空白.若，，则当 时，才能使纸的用量最少，最少的纸的用量是 .    期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·广东汕头·期中）若，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆·期中）已知：，；：，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（24-25高一上·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（    ） A．36 B．144 C．60 D．72 4．（24-25高一上·福建南平·期中）已知、，且满足，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河北邯郸·期中）若正数满足：，则当取最大值时的值为（    ） A． B． C．1 D． 二、多选题 6．（24-25高一上·贵州·期中）下列命题中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（24-25高一上·重庆·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题 8．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知，． (1)求的取值范围； (2)若，求的最小值． 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 一、单选题 9．（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·安徽·期中）已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 12．（24-25高一上·河北·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（24-25高一上·湖南·期中）若，且，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）若实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为 三、填空题 15．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 . 四、解答题 16．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知正实数x，y满足. (1)求的值； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $