专题01 集合与常用逻辑用语（期中复习讲义）高一数学上学期人教A版

专题01 集合与常用逻辑用语（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1.1 元素与集合的关系（属于∈、不属于∉） 能正确判断给定元素与集合的关系，并能根据关系求解参数。 基础题，常与集合的互异性结合考查。 1.2 集合的表示法（列举法、描述法） 能根据问题情境选择合适的方法表示集合，并能进行两种表示法的相互转化。 易错点在描述法中对代表元素及其公共属性的准确理解。 1.3 集合的特性（确定性、互异性、无序性） 能利用互异性检验集合表示的正确性，并求解相关参数。 小题中常设陷阱，如忽略互异性导致多解。 1.4 集合间的关系（子集、真子集、相等） 能判断两集合间的关系，会求一个集合的所有子集和真子集个数。 易忽略空集是任何集合的子集，是分类讨论的常见漏解原因。 1.5 集合的运算（交集、并集、补集） 能进行简单的混合运算，并能利用数轴或Venn图解决与不等式、定义域相关的集合运算问题。 高频考点，数轴法求参是常见题型和难点。 1.6 充分条件与必要条件的判断 能通过“定义法”、“集合法”等多种方法准确判断条件的类型。 核心易错点，常将“谁是条件”混淆，命题趋势是结合其他知识构成复合命题。 1.7 全称量词与存在量词命题的否定 能正确书写含有一个量词的命题的否定，并判断其真假。 易错点是否定时只改量词而不否定结论 知识点01 元素与集合 1． 集合的概念 一般地，我们把指定的某些对象的全体称为 集合 ，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫做这个集合的 元素 ，通常用小写字母a，b，c，…表示. 2． 集合与元素的关系 一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素 a 属于 集合A，记作 ，如果元素a在不集合中A中，就说元素a 不属于 集合A，记作 . 3．集合的分类 含有有限个元素的集合叫作 有限集 ，含有无限个元素的集合叫作 无限集 ，不含任何元素的集合叫作 空集 ，记作 . 4．元素与集合 （1）集合中元素的特性： 确定性 、 互异性 、 无序性 . （2）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （3）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 N N*或（N＋） Z Q R C 知识点02 集合的基本关系 文字语言 符号语言 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] ______ 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的 真子集 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有____个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑__空集___的情况，否则会造成漏解. 知识点03 集合的交集、并集、补集运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 并 集 由所有属于集合A 或属于 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或 x∈B}   A∪B 交 集 由所有属于集合A 且属于 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且 x∈B}     A∩B 补 集 由全集U中 不属于 集合A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且 x∉A}     知识点04 集合的运算性质 1．交集的性质： ①A∩B A；②A∩B B；③A∩A＝ ；   ④A∩＝ ；⑤A∩B = B∩A. 2．并集的性质： ①A∪B A；②A∪B B；③A∪A＝ ；④A∪＝ ；⑤A∪B = B∪A. 3．补集的性质： ①∁U(∁UA)＝ ； ②∁UU＝ ；③∁U＝ ； ④A∩(∁UA)＝ ；⑤A∪(∁UA)＝ ； ⑥∁U(A∩B)＝(∁UA) (∁UB)； ⑦∁U(A∪B)＝(∁UA) (∁UB)． 知识点05 德摩根公式 知识点06 容斥定理之集合中元素个数 知识点07 命题的概念 （1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断 真假 的 陈述句 叫做命题． （2）分类：判断为 真 的语句是真命题，判断为 假 的语句是假命题． （3）结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中， 称为命题的条件， 称为命题的结论． 知识点08 充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的定义 一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。 由可推出，记作，并且说是的___充分条件___，是的___必要条件___。 如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。 2．充分性和必要性的关系 在“若，则”中， 若：，则是的充分条件，是的必要条件 若：，则是的充分条件，是的必要条件 也就是说：在“若，则”中， 条件结论，____充分性成立____； 结论条件，____必要性成立___ 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的 充分不必要 条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分 条件 pq且q⇒p p是q的 充要 条件 p⇔q p是q的 既不充分又不必要 条件 pq且qp 知识点09 集合中的包含关系在判断条件关系中的应用 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立） 若，即，，是的______充分不必要条件______ 若，即，，是的____必要不充分条件_______ 若，即，，是的______充要条件_________ 知识点10 全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 全称量词 ，并用符号“∀”表示. 含有全称量词的命题，叫做 全称量词命题 . 全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为 ∀x∈M，p（x） . （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 存在量词 ，并用符号“∃”表示. 含有存在量词的命题，叫做 存在量词命题 . 存在量词命题“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为 ∃x∈M，p（x） . 2．全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定 对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题，，它的否定： ，不成立 ． 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定 对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题，，它的否定： ，不成立 ． 存在量词命题的否定是全称量词命题． （3）在书写这两种命题的否定时，相应地 存在量词 变为全称量词，全称量词变为 存在量词 ． 题型一 元素与集合的关系 解｜题｜技｜巧 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 注意：结合互异性解题 【典例1】（24-25高一上·重庆渝北·期中）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断集合与元素的属于关系，集合与集合的包含关系. 【详解】且， ∴，A选项错误，B选项正确， 对于选项C、D，集合与集合的关系是（真）包含或不包含，不能用属于，故错误. 故选：B 【变式1】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 【答案】 【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值. 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 【变式2】）已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【答案】A 【分析】根据条件可得到集合中元素的特征，分析的特征后即可得到答案． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 题型二 集合间的基本关系 解｜题｜技｜巧 （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性. 【典例1】（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系，结合元素个数求得子集的个数，可得答案. 【详解】由题可知集合是集合的非空真子集，故有个. 故选：B. 【典例2】（24-25高一上·云南·期中）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的定义求，再根据集合关系判断选项A，C；求根据集合相等定义判断D， 根据与集合，，的关系，结合集合并集定义判断B. 【详解】由题意可得，为的真子集，故A，C均错误； ，，D正确； ，，，B错误. 故选：D. 【典例3】（24-25高一上·广东广州·期中）设集合，若，则满足条件的的集合为 【答案】 【分析】先由集合之间的包含关系与集合的元素特征，得到满足条件的集合，再逐一分析得对应的取值即可得解. 【详解】因为，， 所以或或， 当时，则； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，满足条件的的集合为. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·福建福州·期中）满足的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】首先要解出方程的根，得到集合的元素.然后根据子集关系确定满足条件的集合的个数. 【详解】解方程的根，，则. 因为  . 那么A中一定含有元素和，可能含有元素，，（但不全有）， 所以集合的个数即为集合的真子集个数，共有个. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·安徽宿州·期中）设集合，，则集合，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，将集合化简，即可得到结果. 【详解】由题意得，，集合， 所以. 故选：A． 【变式3】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）集合，集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，分和两种情况讨论即可. 【详解】因为， ①当时，，解得， ②当时，， 解得， 综上所述，的取值范围是为：. 故选：A 题型三 集合间的基本运算 【典例1】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解不等式，然后按补集定义求补集，再用并集定义求解即可 【详解】或 所以， 故选：D 【典例2】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，根据集合的包含关系即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，则； （2）由得，所以， 解得，即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即 当时，有或，解得 综上，实数的取值范围为. 【变式1】（24-25高一上·福建福州·期中）（多选）全集，，，，则下列判断正确的有（    ） A． B．或 C．若，则或 D．若，则或 【答案】AD 【分析】由已知可得集合，根据并集的定义即可判断；先求解，再根据补集的运算即可判断；由已知分和两种情况分别列不等式求解即可判断；先求解，再分和两种情况分别列不等式求解即可判断. 【详解】因为，所以， 所以，故正确； 因为，所以或，故错误； 因为， 当时，所以，即， 当时，所以或，解得或， 综上，的取值范围是或，故错误； 因为，所以或， 因为， 当时，所以，即， 当时，所以或，解得或， 综上，的取值范围是或，故正确. 故选：. 【变式2】（24-25高一上·北京丰台·期中）已知集合，． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）求出，根据交集、并集以及补集运算，求解即可； （2）由得，分，两种情况讨论可求得的取值范围． 【详解】（1）由得，，所以．                因为，所以或，        所以或． （2）因为，所以， 当时，可得，解之可得， 此时，故不满足舍弃， 当时，可得，故． 综上可知的取值范围为. 题型四 Venn图及容斥原理的应用 【典例1】（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 【典例2】（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【答案】BC 【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案. 【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学， 则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 【变式1】（24-25高一上·福建福州·期中）（多选）已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的不同真子集个数为8 【答案】BC 【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又，说明， 综上，画出维恩图如下： 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，的不同真子集个数为7，故D错误， 故选：BC. 【变式2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习．已知选择物理的有36人，选择化学的有24人，选择生物的有20人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有 人． 【答案】46 【分析】根据题意，把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，结合Venn图和容斥原理可知，当取最大值时最大，验证可得最终结果. 【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合， 选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合. 由题意知， 且， 则， 由 ， 可得， 当且仅当时，最大，此时． 验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件． 故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有46人． 故答案为：46． 题型五 集合新定义 【典例1】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）（多选）定义集合A与B的运算：，.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据新定义，结合交并补概念逐个计算即可确定正确选项. 【详解】∵，， ∴， ∴，，选项A、B正确. ∵，∴， ∴，选项C错误. ∵，∴， ∴，选项D正确. 故选：ABD. 【典例2】（24-25高一上·安徽·期中）对于非空的有限整数集，定义，． (1)若集合，求和． (2)已知，为非空的有限整数集，且． （ⅰ）若，求集合； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)；. (2)（ⅰ）或；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）根据题意，由集合新定义代入计算，即可得到结果； （2）（ⅰ）根据题意，由集合新定义可得，从而可得，即可得到结果；（ⅱ）结合新定义可得，则，然后分别考虑属于时的情况，再考虑，时，由是有限集即可舍去，从而证明. 【详解】（1）由题意可得，. （2）（ⅰ）设，则， 因为，所以，所以， 即，因此， 因为，所以，所以， 由此可知中至少有和两个元素，所以， 故或. （ⅱ）设，因为，所以， 又因为，所以，即， 若，则，故可以是； 若，则，故可以是，； 若，则，故可以是，； 若，则， 像这样可以得到无限个中的元素，不符合是有限集； 若，则， 同样不符合是有限集； 同理可得，当或时，也不符合是有限集； 综上，可以是，，，，， 均满足. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了集合新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于从新情境中获取信息，搭建相关的集合知识网络，将其运用到新情境中，从而求解. 【变式1】（24-25高一上·浙江·期中）（多选）已知非空集合，若对，都有，成立，则称集合是封闭集.下列说法中正确的是（    ） A．集合是封闭集 B．若集合是封闭集，则也是封闭集 C．若集合，为封闭集，且，则也是封闭集 D．若集合，为封闭集，且，则也是封闭集 【答案】AD 【分析】根据封闭集的定义判断AD；举例说明判断BC. 【详解】对于A，记，由，设，， 则，，可知，， 则集合是封闭集，故A正确； 对于B，取集合{有理数}， 若，则都有，成立，故集合是封闭集． {无理数}，取，可知，， 故不是封闭集，故B错误； 对于C，取，是封闭集． 取，由，设，， 则，， 则，，可知是封闭集，且， 取，则，但， 因此不是封闭集，故C错误； 对于D，设，则，， 若集合，为封闭集，且， 则，；，； 从而，，则也是封闭集，故D正确. 故选：AD. 【变式2】（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知集合，若对任意的整数和中至少有一个是集合的元素，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，并说明理由. (2)若集合具有性质，证明：，且. (3)当时，若集合具有性质，且，求集合. 【答案】(1)集合具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）集合具有性质的定义判断即可. （2）令，利用集合具有性质，进而可得是集合的元素，进而可得结论. （3）由（2）可得，进而可得，利用定义计算可求得集合. 【详解】（1）因为都是集合的元素， 且时，也是集合A的元素， 所以集合具有性质. （2）令 因为集合具有性质，所以和中至少有一个是集合的元素. 因为，所以，所以不是集合的元素， 所以是集合的元素，即0是集合的元素. 因为. 因为，所以， 所以，显然有，得证. （3）由（2）可知，则， 即， 所以，所以. 因为，所以，且， 则或. 当时，， 故集合； 当时，， 故集合，此时，不符合题意. 综上，集合. 题型六 判断充分条件与必要条件及其参数求解 解｜题｜技｜巧 （1） 直接法：判断条件是否能推出结论，再判断结论是否能推出条件，双向判断后即可． （2）集合法：对于条件和结论对应的集合关系，利用“小充分大必要”即可判断． 【典例1】（24-25高一上·贵州·期中）设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义，结合条件间的推出关系判断充分、必要关系. 【详解】当时，满足，但不满足且，充分性不成立； 当且时，必有，必要性成立； 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 【典例2】（24-25高一上·广东肇庆·期中）设，已知集合，. (1)①当时，求； ②当时，求实数m的范围； (2)设p：；q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围. 【答案】(1)①或；② (2) 【分析】（1）①根据交集、补集的知识求得正确答案. ②由题意知，4是集合B的元素，代入可得答案； （2）由题可得是的真子集，分类讨论为空集和不为空集合两种情况，即可求得m的取值范围. 【详解】（1）①当时，， 所以， 所以或. ②由题可得，解得； （2）由题可得是的真子集， 当，则； 当，，则（等号不同时成立），解得 综上：. 【变式1】子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良. 从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立； 反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立； 所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意可得方程有解，根据即可求解. （2）由题意得，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）由题意可得方程有解， 所以，即， 解得， 所以． （2）因为是的必要条件，所以， 又因为为非空集合，且， 所以解得， 所以实数的取值范围为． 题型七 全称量词命题与存在量词命题（习题跨章节） 【典例1】命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定的知识来确定正确答案. 【详解】命题是存在量词命题，则命题的否定是全称命题， 所以命题，的否定为：，. 故选：D. 【典例2】已知命题，，命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】利用特值法即可判断两个命题的真假，从而得到答案. 【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，不妨取，由，则命题为真命题，因此，和都是真命题. 故选：B. 【变式1】已知命题，命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用全称量词命题为真求出的范围，再由为真求得答案. （2）由存在量词命题为真求出命题，进而求出，再结合（1）的信息求出结果. 【详解】（1）对于任意，不等式恒成立，而，则， 即命题，则命题， 所以实数的取值范围是. （2）由，得，解得， 即命题，则命题，由（1）知命题， 由命题和均为真命题，得， 所以实数的取值范围是. 【变式2】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到命题“”是真命题，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，当时，显然成立；当时，转化为恒成立，结合基本不等式求得最小值，即可求解. 【详解】（1）解：因为集合， 由命题“”是假命题，可得命题“”是真命题， 即在上恒成立， 因为函数，当时，取得最大值，最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. （2）解：因为恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，不等式等价于恒成立，符合题意； 当时，等价于恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】先用列举法写出集合，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数. 【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为. 故选：D. 2．（23-24高一上·四川达州·期中）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把集合解出来化成最简形式，再利用补集和交集的定义即可得出答案. 【详解】由或，故集合或，所以， 易得集合，故. 故选：B. 3．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合区间的包含关系，根据充要条件的判断方法即得. 【详解】因是的真子集，故是的充分不必要条件. 故选：A. 4．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】原命题是一个特称命题，根据特称命题的否定规则即可得结论. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D. 二、多选题 5．（24-25高一上·浙江衢州·期中）已知集合，则下列符号语言表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先求出集合，然后逐个分析判断即可. 【详解】， 对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为0是元素，，所以，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以C错误， 对于D，因为，所以，所以D正确. 故选：AD 6．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【详解】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 三、填空题 7．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】根据集合相等解方程即可求得结果. 【详解】因为，所以； 依题意可得且. 即实数的值是. 故答案为： 8．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据集合的包含关系列不等式可求的取值范围. 【详解】因为，，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 一、单选题 9．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次不等式解得集合，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，建立不等式，可得答案. 【详解】由或，则， 由是的充分不必要条件，则，且 可得，解得. 故选：C. 10．（24-25高一上·江西上饶·期中）已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据参数是否等于零分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式，求解即可. 【详解】由题意，命题“，”是真命题， 当时，不等式，解得，不满足题意； 当时，，解得 综上所述，实数的取值范围是 故选：A. 二、多选题 11．（24-25高一上·福建福州·期中）全集，，，，则下列判断正确的有（    ） A． B．或 C．若，则或 D．若，则或 【答案】AD 【分析】由已知可得集合，根据并集的定义即可判断；先求解，再根据补集的运算即可判断；由已知分和两种情况分别列不等式求解即可判断；先求解，再分和两种情况分别列不等式求解即可判断. 【详解】因为，所以， 所以，故正确； 因为，所以或，故错误； 因为， 当时，所以，即， 当时，所以或，解得或， 综上，的取值范围是或，故错误； 因为，所以或， 因为， 当时，所以，即， 当时，所以或，解得或， 综上，的取值范围是或，故正确. 故选：. 12．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【答案】AB 【分析】根据集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可． 【详解】解：对于A，因为，所以， 所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确； 对于B，因为，所以， 即与是相同的，所以，即B正确； 对于C，因为，所以， 所以，即C错误； 对于D，由于 ， 而， 故，即D错误． 故选：AB． 三、填空题 13．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 四、解答题 14．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据交集的概念计算即可； （2）根据集合的关系及补集运算，分类讨论计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以； （2）由题意，，所以， 集合，所以或， 所以或， 所以或. 故实数m的取值范围为或. 15．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【答案】(1)证明见解析 (2)不一定，举例见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明； （2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断； （3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明. 【详解】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 16．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 17．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 18．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 19．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 20．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 21．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 22．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 23．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可. 【详解】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则或，选项D错误； 故选：A. 24．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1.1 元素与集合的关系（属于∈、不属于∉） 能正确判断给定元素与集合的关系，并能根据关系求解参数。 基础题，常与集合的互异性结合考查。 1.2 集合的表示法（列举法、描述法） 能根据问题情境选择合适的方法表示集合，并能进行两种表示法的相互转化。 易错点在描述法中对代表元素及其公共属性的准确理解。 1.3 集合的特性（确定性、互异性、无序性） 能利用互异性检验集合表示的正确性，并求解相关参数。 小题中常设陷阱，如忽略互异性导致多解。 1.4 集合间的关系（子集、真子集、相等） 能判断两集合间的关系，会求一个集合的所有子集和真子集个数。 易忽略空集是任何集合的子集，是分类讨论的常见漏解原因。 1.5 集合的运算（交集、并集、补集） 能进行简单的混合运算，并能利用数轴或Venn图解决与不等式、定义域相关的集合运算问题。 高频考点，数轴法求参是常见题型和难点。 1.6 充分条件与必要条件的判断 能通过“定义法”、“集合法”等多种方法准确判断条件的类型。 核心易错点，常将“谁是条件”混淆，命题趋势是结合其他知识构成复合命题。 1.7 全称量词与存在量词命题的否定 能正确书写含有一个量词的命题的否定，并判断其真假。 易错点是否定时只改量词而不否定结论 知识点01 元素与集合 1． 集合的概念 一般地，我们把指定的某些对象的全体称为 ，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫做这个集合的 ，通常用小写字母a，b，c，…表示. 2． 集合与元素的关系 一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素 a 集合A，记作 ，如果元素a在不集合中A中，就说元素a 集合A，记作 . 3．集合的分类 含有有限个元素的集合叫作 ，含有无限个元素的集合叫作 ，不含任何元素的集合叫作 ，记作 . 4．元素与集合 （1）集合中元素的特性： 、 、 . （2）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （3）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 N*或（N＋） Z Q R C 知识点02 集合的基本关系 文字语言 符号语言 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] _____ 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有____个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑_____的情况，否则会造成漏解. 知识点03 集合的交集、并集、补集运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 并 集 由所有属于集合A 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或 x∈B}   交 集 由所有属于集合A 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且 x∈B}     补 集 由全集U中 集合A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且 x∉A}     知识点04 集合的运算性质 1．交集的性质： ①A∩B A；②A∩B B；③A∩A＝ ；   ④A∩＝ ；⑤A∩B B∩A. 2．并集的性质： ①A∪B A；②A∪B B；③A∪A＝ ；④A∪＝ ；⑤A∪B B∪A. 3．补集的性质： ①∁U(∁UA)＝ ； ②∁UU＝ ；③∁U＝ ； ④A∩(∁UA)＝ ；⑤A∪(∁UA)＝ ； ⑥∁U(A∩B)＝(∁UA) (∁UB)； ⑦∁U(A∪B)＝(∁UA) (∁UB)． 知识点05 德摩根公式 知识点06 容斥定理之集合中元素个数 知识点07 命题的概念 （1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断 的 叫做命题． （2）分类：判断为 的语句是真命题，判断为 的语句是假命题． （3）结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中， 称为命题的条件， 称为命题的结论． 知识点08 充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的定义 一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。 由可推出，记作，并且说是的______，是的______。 如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。 2．充分性和必要性的关系 在“若，则”中， 若：，则是的充分条件，是的必要条件 若：，则是的充分条件，是的必要条件 也就是说：在“若，则”中， 条件结论，________； 结论条件，_______ 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的 条件 p⇒q且qp p是q的 条件 pq且q⇒p p是q的 条件 p⇔q p是q的 条件 pq且qp 知识点09 集合中的包含关系在判断条件关系中的应用 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立） 若，即，，是的___________ 若，即，，是的_________ 若，即，，是的______________ 知识点10 全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“∀”表示. 含有全称量词的命题，叫做 . 全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为 . （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“∃”表示. 含有存在量词的命题，叫做 . 存在量词命题“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为 . 2．全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定 对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题，，它的否定： ． 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定 对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题，，它的否定： ． 存在量词命题的否定是全称量词命题． （3）在书写这两种命题的否定时，相应地 变为全称量词，全称量词变为 ． 题型一 元素与集合的关系 解｜题｜技｜巧 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 注意：结合互异性解题 【典例1】（24-25高一上·重庆渝北·期中）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 【变式2】）已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 题型二 集合间的基本关系 解｜题｜技｜巧 （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性. 【典例1】（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·云南·期中）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一上·广东广州·期中）设集合，若，则满足条件的的集合为 【变式1】（24-25高一上·福建福州·期中）满足的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（24-25高一上·安徽宿州·期中）设集合，，则集合，的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）集合，集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三 集合间的基本运算 【典例1】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【变式1】（24-25高一上·福建福州·期中）（多选）全集，，，，则下列判断正确的有（    ） A． B．或 C．若，则或 D．若，则或 【变式2】（24-25高一上·北京丰台·期中）已知集合，． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 题型四 Venn图及容斥原理的应用 【典例1】（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【变式1】（24-25高一上·福建福州·期中）（多选）已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的不同真子集个数为8 【变式2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习．已知选择物理的有36人，选择化学的有24人，选择生物的有20人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有 人． 题型五 集合新定义 【典例1】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）（多选）定义集合A与B的运算：，.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·安徽·期中）对于非空的有限整数集，定义，． (1)若集合，求和． (2)已知，为非空的有限整数集，且． （ⅰ）若，求集合； （ⅱ）证明：． 【变式1】（24-25高一上·浙江·期中）（多选）已知非空集合，若对，都有，成立，则称集合是封闭集.下列说法中正确的是（    ） A．集合是封闭集 B．若集合是封闭集，则也是封闭集 C．若集合，为封闭集，且，则也是封闭集 D．若集合，为封闭集，且，则也是封闭集 【变式2】（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知集合，若对任意的整数和中至少有一个是集合的元素，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，并说明理由. (2)若集合具有性质，证明：，且. (3)当时，若集合具有性质，且，求集合. 题型六 判断充分条件与必要条件及其参数求解 解｜题｜技｜巧 （1） 直接法：判断条件是否能推出结论，再判断结论是否能推出条件，双向判断后即可． （2）集合法：对于条件和结论对应的集合关系，利用“小充分大必要”即可判断． 【典例1】（24-25高一上·贵州·期中）设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【典例2】（24-25高一上·广东肇庆·期中）设，已知集合，. (1)①当时，求； ②当时，求实数m的范围； (2)设p：；q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围. 【变式1】子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围. 题型七 全称量词命题与存在量词命题（习题跨章节） 【典例1】命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】已知命题，，命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【变式1】已知命题，命题. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【变式2】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 2．（23-24高一上·四川达州·期中）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高一上·浙江衢州·期中）已知集合，则下列符号语言表述正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 8．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 一、单选题 9．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·江西上饶·期中）已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高一上·福建福州·期中）全集，，，，则下列判断正确的有（    ） A． B．或 C．若，则或 D．若，则或 12．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 三、填空题 13．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 四、解答题 14．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 15．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 16．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 17．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 18．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 19．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 20．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 21．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 22．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 23．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 24．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $