专题02 常用逻辑用语7考点复习讲义（讲+练）-【题海探秘】2025-2026学年高一上学期数学期中复习（人教A版必修第一册）

2025-2026高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册） 专题02 常用逻辑用语7考点复习指南 知识1：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识2：从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识3：全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题及其否定 ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. （2）存在量词命题及其否定 ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 常用解题技巧 1.充分、必要条件的几种判定方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止． 2.充要条件常用的判断方法、步骤. 第一步，分清条件与结论； 第二步，判断及的真假； 第三步，下结论. 3.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 4.①求解充要条件的应用问题常根据相应集合之间的关系列出关于参数的方程（组）或不等式（组）求解. ②求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值进行检验. 5.①否定全称（存在）量词命题，一是改变量词，二是否定结论，没有量词的要结合命题的含义加上量词. ②否定全称量词命题，常举一反例即可，但否定存在量词命题，往往要进行严格证明，因为其否定是全称量词命题. 6.已知命题真假求参数范围，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）求解，另外注意转换，如本例，可将存在量词命题为真命题转换为全称量词命题为假命题，从而转化为一元二次不等式恒成立问题，再求其补集. 7.含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围． 考点1 充分、必要条件的判定 1．【多选】（2025高一·广东深圳·期中）下列说法正确的有（    ）. A．“”是“”的充分条件 B．命题“”是真命题 C．已知集合， 则满足条件的集合N的个数为4 D．集合，， 若， 则实数a的取值集合为 【答案】AC 【分析】对A，根据充分条件的判定即可；对B，根据一元二次方程的解即可判断；对C，根据子集的个数即可判断；对D，分和讨论即可. 【详解】对A，根据“”可以推出“”，则充分性成立，故A正确； 对B，，无实数解，故B错误； 对C，若，则，而集合的子集个数为4，故C正确； 对D，若，则，当，则， 当，则或，则或，解得或2； 综上实数a的取值集合为，故D错误. 故选：AC. 2．（2025高一·陕西西安·期中）设是两个实数，则“中至少有一个数大于”的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接给出作为A，B，D选项的反例，然后说明C选项正确即可. 【详解】由于当时，，，，故A，B，D错误； 由于当时，有，所以，从而中至少有一个数不小于它们的平均值，故中至少有一个数大于，C选项正确. 故选：C. 3．【多选】（2025高一·广东中山·阶段练习）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【详解】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 4．（2025高一·江苏南京·期中）已知命题，若命题是命题的必要条件，则命题可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据必要条件、充分条件的定义结合选项逐个判断即可. 【详解】由题意是的充分条件，对照选项，当满足时，必满足. 故选：C 考点2 充要条件的判定 5．【多选】（2025高一·甘肃白银·期中）下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】A选项利用充分不必要条件的定义进行判断；B选项利用必要不充分条件的定义进行判断；C选项利用充要条件的定义进行判断；D选项利用必要不充分条件的定义进行判断. 【详解】对于A选项，当时，成立；反之，当时，若，则不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B选项，当时，若，则不能推出；反之，当时，成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C选项，当时，，所以由不能推出； 反之当时，若，，则不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D选项，当，时，，所以由不能推出； 反之，当时，且，所以由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 6．（25-26高一·全国·期中）设a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】a，，由，得，，则，因此充分性成立； 由，得，又，则，因此必要性不成立 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．（2025高一·四川广安·期中）设，，则是的（　  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式可化简命题，然后可得答案. 【详解】，当时，可得，但当， 不一定能得到，则是的必要不充分条件. 故选：B 8．（25-26高一·全国·期中）已知；．则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由不等式的性质可判断充分性，用特殊值验证可说明必要性不成立. 【详解】若，由不等式的基本性质得，则成立，即． 若，不妨取，则不成立，即． 所以是的充分不必要条件． 故选：A 9．（2025高一·广东湛江·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义结合举反例说明. 【详解】当，，时，满足，此时，即不能推出； 当，，时，满足，此时，即不能推出. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 10．（2025高一·四川眉山·期中）若，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，求得满足条件的集合A，再根据必要不充分条件定义即可得解. 【详解】由可得， 因为集合是集合的真子集， 所以是的必要不充分条件. 故选：C. 考点3 根据充分、必要条件求参数 11．（2025高一·福建厦门·期中）已知集合，，若是成立的充分条件，则实数的取值范围是 （        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为集合，， 若是成立的充分条件，则， 所以，，解得. 故选：C. 12．（2025高一·陕西汉中·期中）已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，据此列出不等式求解即可. 【详解】由题意,且, 所以,则,可得; 故选：A. 13．【多选】（2025高一·贵州·期中）命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用一元二次不等式的成立问题结合必要不充分条件的定义判断各个选项. 【详解】存在，使得为真时， 当时，显然成立； 当时，有，解得， 当时，存在，使得； 所以存在，使得为真时，， 命题“存在，使得”为假命题时， 时，不一定成立，不合题意； 时，不一定成立，不合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是； 故选：CD. 14．（2025高二·安徽淮南·期中）命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意转化为子集问题，即可求解. 【详解】由条件可知，集合是集合的真子集， 所以. 故选：D 15．（2025高一·江苏泰州·期中）已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将充分不必要条件转化为真子集关系，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】设集合，集合， 因为的充分不必要条件是，所以是的真子集， 则，解得. 故选：D 16．（2025高一·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 17．（2025·云南昆明·模拟预测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，对集合分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的的值即可． 【详解】由题，，， 当时，有，符合题意； 当时，有，此时，所以或，所以. 综上，实数的所有可能的取值组成的集合为. 故选：A. 18．（2025高一·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据充要条件定义可直接构造方程求得结果. 【详解】命题是命题的充要条件，，解得：. 故答案为：. 考点4 探求命题为真的条件 19．（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案. 【详解】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A 20．（2025高一·江苏宿迁·期中）函数在区间上单调递增的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性，确定若函数在区间上单调递增等价于，再根据必要不充分条件的定义，逐项判断即可求解. 【详解】二次函数的对称轴为， 函数在区间上单调递增，所以，解得， 选项为函数在区间上单调递增的一个必要不充分条件， 则是选项的真子集，所以符合题意. 故选：C 21．（2025高一·广东河源·阶段练习）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】由命题“，”为真命题 可得，恒成立， 即可得，则可推得，必要性成立 而推不出，充分性不成立， ，”为真命题的一个必要不充分条件是； 故选：A 22．（2025高一·江苏淮安·期中）设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【答案】A 【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为1， 所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符. 故选：A 23．（2025高一·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 24．（2025高一·重庆渝中·阶段练习）已知命题：，，则为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解即可． 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为，. 故选：A 考点5 含量词命题的否定 25．（2025高一·云南曲靖·阶段练习）命题，的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由全称命题的否定为存在量词命题，即可得答案. 【详解】因为命题，， 所以其否定为：，. 故选：A 26．（25-26高一·辽宁·期中）命题：，，则是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】将全称命题的量词改变，否定结论，即可得出. 【详解】因为命题：，， 根据全称命题的否定可知，命题： ，. 故选：C 27．（2025高一·海南儋州·期中）已知命题：，总有，则命题的否定为（   ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 【答案】B 【分析】根据全称命题和特称命题的否定规则进行求解即可. 【详解】全称命题的否定规则为：全称命题：，它的否定. 所以对于命题：，总有，根据全称命题的否定规则， 它的否定是：，使得. 故选：B. 28．（2025高一·四川德阳·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由全称的否定是特称，变符号，否定结论可得. 【详解】命题“，”的否定是，. 故选：D 29．（2025高一·广东江门·期中）命题：“，”的否定是（      ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题：“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以所求的否定是：，. 故选：A 30．（2025高三·江苏扬州·开学考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定的知识来确定正确答案. 【详解】命题是存在量词命题，则命题的否定是全称命题， 所以命题，的否定为：，. 故选：D. 31．（2025高一·福建福州·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用存在量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以所求的否定是：，. 故选：D 32．（2025高二·河北·期中）“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由命题的否定的定义即可得解. 【详解】“，”的否定是“，”． 故选：C. 考点6 根据命题的真假求参数 33．（2025高一·湖南长沙·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由其否定为真命题，通过求解即可； 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 34．（2025高一·江苏苏州·期中）已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为命题，，且为真命题，则，解得. 故选：D. 35．（2025高一·广东广州·阶段练习）若“”为真命题.“”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据命题的真假确定集合中的元素具有的性质，得正确结论． 【详解】“”为真命题，， 因此做这个中含有 上的数， “”为假命题，则中有不小于2的元素， 只有C选项的集合M满足题意. 故选：C． 36．（2025高一·广东·阶段练习）命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称量词命题为真命题，分离参数求解出参数范围的充要条件，然后根据充分条件、必要条件的定义对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】因为命题“”为真命题，则对恒成立， 所以，所以， 所以命题“”为真命题的充分必要条件为，所以选项B不符合题意； 对于A选项，得不到，能得到，所以是的必要不充分条件，所以选项A符合题意； 对于C选项，得不到，也得不到，所以是的既不充分也不必要条件，所以选项C不符合题意； 对于D选项，能得到，得不到，所以是的充分不必要条件，所以选项D不符合题意. 故选：A. 37．（2025高三·宁夏银川·期中）“，恒成立”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据全称量词命题为真求出参数的取值范围，即可判断. 【详解】若，恒成立， 当时恒成立， 当时，解得， 综上可得， 所以“，恒成立”是“”的充要条件. 故选：C 38．（2025高一·湖北·期中）已知“方程至多有一个解”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】由题可知“方程至少有两个解”为真命题，求解即可. 【详解】由题可知“方程至少有两个解”为真命题， ， ， ， 综上且． 故选：B. 39．（2025高三·陕西西安·开学考试）若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】分析可知，根据存在性问题结合配方法分析求解. 【详解】因为，即， 又因为，当且仅当时，等号成立， 若，，即， 所以实数a可取的最小整数值是. 故选：A. 40．（2025高一·广东深圳·期中）已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为命题“，”为真命题，令，利用二次函数的性质求解. 【详解】解：因为命题p“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 令，其对称轴为， 当，即时，，解得，此时； 当，即时，，解得，此时无解； 当，即时，，即，此时， 综上：实数a的取值范围是， 故选：B 考点7 含量词命题的否定的应用 41．（2025高一·江苏·专题练习）已知命题，若p的否定为假命题，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意可知命题为真命题，利用参变分离结合存在性问题分析求解. 【详解】因为p的否定为假命题，则命题为真命题， 可化为，当且仅当时，等号成立， 即成立，只需即可， 故实数m的取值范围为． 42．（2025·辽宁·模拟预测）使，的否定为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知命题的否定为假命题，则命题为真命题，求出真命题成立的情况下的取值范围，再由选项即可判断出充分不必要条件. 【详解】由题使，的否定为假命题，知，为真命题，又，当且仅当时等号成立.所以是为真命题的充要条件，是为真命题的既不充分也不必要条件，是为真命题的既不充分也不必要条件，是为真命题的充分不必要条件. 故选：D. 43．（2025高二·江苏无锡·期中）若命题“”使的否定 是假命题，则实数的取值范围为 【答案】 【详解】试题分析：因为命题“，使”的否定是假命题，所以命题“，使”是真命题，即从而实数的取值范围是. 考点：命题的真假 44．（2025高三·全国·专题练习）已知，命题：，；命题：，．若命题是假命题，是真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据是真命题、是真命题求出实数的取值范围，再由若命题是假命题、是真命题可得答案. 【详解】若是假命题，则：，是真命题， 则，解得． 若命题：，是真命题， 则，解得，此时是假命题， 若是真命题，可得或， 若命题是假命题，是真命题， 则实数的取值范围为. 故答案为：． 45．（2025高一·河北保定·期中）命题“，”的否定为假命题，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知命题“，”为真命题，分和两种情况，结合一元二次不等式恒成立问题分析求解. 【详解】由题意可知：命题“，”为真命题， 若，，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：k的取值范围是. 故选：C. 1．（2025高一·江苏宿迁·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】原命题是一个特称命题，根据特称命题的否定规则即可得结论. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D. 2．（2025高三·江苏无锡·阶段练习）已知，若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果. 【详解】若，则，所以，故充分性满足； 若，则或，显然必要性不满足； 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 3．（2025高一·山西朔州·阶段练习）下列命题中是存在量词命题且为真命题的是（    ） A．， B．所有能被3整除的数都是奇数 C．， D．， 【答案】A 【分析】根据全称量词和存在量词，即可结合选项求解. 【详解】对于A，取，则，A是存在量词命题，且为真命题， 对于B， “所有”是全称量词，故B是全称命题， 对于C，由于，所以选项C为假命题， 对于D，，是全称量词命题， 故选：A 4．（2025高一·四川眉山·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由 ，结合集合间的包含关系即可判断. 【详解】由，可得， 由， 所以“”是“”的必要不充分条件； 故选：B 5．（2025高三·广东中山·阶段练习）如果不等式成立的充分非必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】转化为表示的集合是表示集合的真子集，列出不等式组可得答案. 【详解】根据题意，不等式的解集是，设为条件， 设为条件， 则的充分不必要条件是，即表示的集合是表示集合的真子集， 则有（等号不同时成立）， 解得. 故选：B. 6．（2025高一·广东肇庆·期末）下列选项中为“”的必要不充分条件的是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】先求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得或， 对于A中，可得或是“”的必要不充分条件，符合题意； 对于B中，可得或是“”的充要条件，不符合题意； 对于C中，可得或是“”的充分不必要条件，不符合题意； 对于D中，可得是“”的充分不必要条件，不符合题意. 故选：A. 7．（2025高一·广东佛山·阶段练习）命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意在恒成立，讨论、求对应参数范围，即可得答案. 【详解】当时，对于恒成立，满足； 当时，在恒成立，则，满足； 综上，. 故选：C 8．（2025高一·江苏镇江·阶段练习）命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将命题“，”为假命题转化“，”为真命题，求出其充要条件，再利用数集间的包含关系进行求解. 【详解】命题“，”为假命题， 即命题“，”为真命题， 则，解得， 对于A：是命题“”为假命题的充要条件，即选项A错误； 对于B：是的真子集，所以是“”为假命题的一个充分不必要条件，故选项B错误； 对于C：是的真子集，所以是 “”为假命题的一个必要不充分条件，故选项C正确； 对于D：与无包含关系，所以是“”为假命题的一个既不充分也不必要条件，故选项D错误. 故选：C. 9．【多选】（2025高一·全国·随堂练习）下列命题中是全称量词命题的是（    ） A．任意一个自然数都是正整数 B．有的菱形是正方形 C．梯形有两边平行 D．， 【答案】AC 【分析】根据全称命题的定义逐一判断即可. 【详解】根据全称命题和存在命题的定义可以判断选项AC是全称命题， BD是存在命题， 故选：AC 10．【多选】（2025高一·云南昭通·期中）下列命题中是真命题的有（    ） A． B． C．“”是“”的充分不必要条件 D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 【答案】ABC 【分析】对A配方即可判断；对B，求解方程即可判断；对C，解出一元二次不等式即可判断；对D，根据菱形和正方形关系即可判断. 【详解】对于A项，因为，所以，此命题为真命题，A正确； 对于B项，由，解得或1，所以命题“”为真命题，B正确； 对于C项，由，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D项，由“四边形为菱形”不能推出“四边形为正方形”，充分性不成立， 但由“四边形为正方形”可以推出“四边形为菱形”，必要性成立，D错误， 故选：ABC. 11．【多选】（2025高一·福建泉州·期中）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先分析方程根的情况，求出满足题意的值，再结合充分不必要条件概念，逐个判断即可. 【详解】先分析根的情况，. 当时，方程无实数根，此时，即， 解不等式得或时，，那么. 当时，即时，方程有实数根. 设方程的两根为，由韦达定理得，. 要使，则两根都大于，所以且。 解得或，结合，得到. 综上，时或. 对于选项A：是或的真子集. 当时，一定有，但时，还可能， 所以是是真命题的一个充分不必要条件. 对于选项B：与或无包含关系. 当时，不成立，所以不是充分条件. 对于选项C：是或的一部分. 当时，成立，是充分不必要条件. 对于选项D：或是的充要条件，不是充分不必要条件. 故选：AC. 12．（2025高三·安徽蚌埠·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 【答案】－1 【分析】由必要不充分条件的概念即可求解. 【详解】或， 因为是“”的必要不充分条件， 即 ， 所以，a的最大值为-1， 故答案为：-1 13．（2025高一·全国·专题练习）能说明命题“，”是真命题的的值可以是 .（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一）． 【分析】用换元法对原不等式进行化简，根据题意解不等式求出的取值范围，根据的取值范围写出一个满足题意的值即可． 【详解】令，原不等式化为，即（，舍去）或. 所以，解得或 又，所以当时，命题为真， 所以可取（答案不唯一，取值即可）． 故答案为：(答案不唯一)． 14．（2025高一·辽宁锦州·期末）已知命题为假命题，则实数λ的取值范围是 【答案】 【分析】由题可知命题的否定为真命题，是一个存在性问题，据此求解. 【详解】因为命题为假命题， 所以为真命题， 因此，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 15．（2025高一·天津·期中）已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据集合的交并补即可得到答案； （2）根据充分不必要条件得⫋，列出不等式组，解出即可. 【详解】（1）当时，集合， 又或，则， 或；. （2）若，且“”是“”的充分不必要条件， ⫋，则 解得， 故的取值范围是. 16．（2025高一·河南郑州·期中）已知，命题p：，；命题q：，． (1)若命题p为假命题，求a的取值范围； (2)若p和q均为真命题，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设，为真命题，根据求参数范围； （2）求出各命题为真对应参数范围，再由都为真命题，取交集即得参数范围. 【详解】（1）由命题p为假命题，则，为真命题， 所以，即. （2）对于，为真，则，可得或， 对于，为真，则， 由p和q均为真命题，所以. 17．（2025高二·河北·期末）已知或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意得到是假命题，结合一元二次方程的性质，列出不等式即可求解； （2）根据（1）的结论，得出命题是真命题的范围，再将问题转化为集合间的真子集关系，从而得到不等式组即可求解. 【详解】（1）因为命题是真命题，所以命题是假命题，即关于的方程无实数根. 当时，方程无解，符合题意； 当时，，解得. 故实数的取值范围是. （2）由（1）知若命题是真命题，则或. 因为命题是命题的必要不充分条件， 所以或⫋或， 则解得， 所以实数的取值范围是. 18．（2025高一·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由构造不等式即可求解； （2）由构造不等式即可求解； 【详解】（1）非空集合．可得：，解得： 由是的必要条件，可得：, 所以，解得：，综上实数的取值范围； （2）存在，由是的充分条件，则, 所以，解得：，所以实数的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册） 专题02 常用逻辑用语7考点复习指南 知识1：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识2：从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识3：全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题及其否定 ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. （2）存在量词命题及其否定 ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 常用解题技巧 1.充分、必要条件的几种判定方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止． 2.充要条件常用的判断方法、步骤. 第一步，分清条件与结论； 第二步，判断及的真假； 第三步，下结论. 3.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 4.①求解充要条件的应用问题常根据相应集合之间的关系列出关于参数的方程（组）或不等式（组）求解. ②求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值进行检验. 5.①否定全称（存在）量词命题，一是改变量词，二是否定结论，没有量词的要结合命题的含义加上量词. ②否定全称量词命题，常举一反例即可，但否定存在量词命题，往往要进行严格证明，因为其否定是全称量词命题. 6.已知命题真假求参数范围，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）求解，另外注意转换，如本例，可将存在量词命题为真命题转换为全称量词命题为假命题，从而转化为一元二次不等式恒成立问题，再求其补集. 7.含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围． 考点1 充分、必要条件的判定 1．【多选】（2025高一·广东深圳·期中）下列说法正确的有（    ）. A．“”是“”的充分条件 B．命题“”是真命题 C．已知集合， 则满足条件的集合N的个数为4 D．集合，， 若， 则实数a的取值集合为 2．（2025高一·陕西西安·期中）设是两个实数，则“中至少有一个数大于”的充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．【多选】（2025高一·广东中山·阶段练习）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·江苏南京·期中）已知命题，若命题是命题的必要条件，则命题可以为（    ） A． B． C． D． 考点2 充要条件的判定 5．【多选】（2025高一·甘肃白银·期中）下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 6．（25-26高一·全国·期中）设a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2025高一·四川广安·期中）设，，则是的（　  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高一·全国·期中）已知；．则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2025高一·广东湛江·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2025高一·四川眉山·期中）若，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 考点3 根据充分、必要条件求参数 11．（2025高一·福建厦门·期中）已知集合，，若是成立的充分条件，则实数的取值范围是 （        ） A． B． C． D． 12．（2025高一·陕西汉中·期中）已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 13．【多选】（2025高一·贵州·期中）命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 14．（2025高二·安徽淮南·期中）命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（2025高一·江苏泰州·期中）已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．（2025高一·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·云南昆明·模拟预测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 18．（2025高一·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 考点4 探求命题为真的条件 19．（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 20．（2025高一·江苏宿迁·期中）函数在区间上单调递增的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 21．（2025高一·广东河源·阶段练习）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 22．（2025高一·江苏淮安·期中）设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 23．（2025高一·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 24．（2025高一·重庆渝中·阶段练习）已知命题：，，则为（ ） A．， B．， C．， D．， 考点5 含量词命题的否定 25．（2025高一·云南曲靖·阶段练习）命题，的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 26．（25-26高一·辽宁·期中）命题：，，则是（ ） A．， B．， C．， D．， 27．（2025高一·海南儋州·期中）已知命题：，总有，则命题的否定为（   ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 28．（2025高一·四川德阳·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 29．（2025高一·广东江门·期中）命题：“，”的否定是（      ） A．， B．， C．， D．， 30．（2025高三·江苏扬州·开学考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 31．（2025高一·福建福州·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 32．（2025高二·河北·期中）“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 考点6 根据命题的真假求参数 33．（2025高一·湖南长沙·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 34．（2025高一·江苏苏州·期中）已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 35．（2025高一·广东广州·阶段练习）若“”为真命题.“”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 36．（2025高一·广东·阶段练习）命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 37．（2025高三·宁夏银川·期中）“，恒成立”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 38．（2025高一·湖北·期中）已知“方程至多有一个解”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．无法确定 39．（2025高三·陕西西安·开学考试）若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 40．（2025高一·广东深圳·期中）已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点7 含量词命题的否定的应用 41．（2025高一·江苏·专题练习）已知命题，若p的否定为假命题，求实数m的取值范围． 42．（2025·辽宁·模拟预测）使，的否定为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 43．（2025高二·江苏无锡·期中）若命题“”使的否定 是假命题，则实数的取值范围为 44．（2025高三·全国·专题练习）已知，命题：，；命题：，．若命题是假命题，是真命题，则实数的取值范围为 ． 45．（2025高一·河北保定·期中）命题“，”的否定为假命题，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2025高一·江苏宿迁·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·江苏无锡·阶段练习）已知，若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025高一·山西朔州·阶段练习）下列命题中是存在量词命题且为真命题的是（    ） A．， B．所有能被3整除的数都是奇数 C．， D．， 4．（2025高一·四川眉山·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025高三·广东中山·阶段练习）如果不等式成立的充分非必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 6．（2025高一·广东肇庆·期末）下列选项中为“”的必要不充分条件的是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 7．（2025高一·广东佛山·阶段练习）命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025高一·江苏镇江·阶段练习）命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 9．【多选】（2025高一·全国·随堂练习）下列命题中是全称量词命题的是（    ） A．任意一个自然数都是正整数 B．有的菱形是正方形 C．梯形有两边平行 D．， 10．【多选】（2025高一·云南昭通·期中）下列命题中是真命题的有（    ） A． B． C．“”是“”的充分不必要条件 D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 11．【多选】（2025高一·福建泉州·期中）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 12．（2025高三·安徽蚌埠·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 13．（2025高一·全国·专题练习）能说明命题“，”是真命题的的值可以是 .（写出一个即可） 14．（2025高一·辽宁锦州·期末）已知命题为假命题，则实数λ的取值范围是 15．（2025高一·天津·期中）已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16．（2025高一·河南郑州·期中）已知，命题p：，；命题q：，． (1)若命题p为假命题，求a的取值范围； (2)若p和q均为真命题，求a的取值范围． 17．（2025高二·河北·期末）已知或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18．（2025高一·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $